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2013 by Editrice Ardea web s.r.l.
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Ristampe
2013
2014
2015
2016
2017
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Questo volume è stato stampato presso - Arti Grafiche Italo Cernia - Via Capri, 67 - Casoria (NA)
Art Director: Gianfranco De Angelis
Ideazione e realizzazione grafica, copertina, impaginazione, illustrazioni, colorazione, revisione ed editing:
Indice
Introduzione
4
1. La struttura del quaderno dell’alunno
2. I contenuti della guida dell’insegnante
3. La prova INVALSI di Matematica: qualche istruzione
4. Le possibili funzioni della prova INVALSI di Matematica
4
4
4
5
Soluzioni - Prove simulate
9
Prova 1
Prova 2
Prova 3
Prova 4
9
10
10
11
Registro di valutazione collettiva
12
Rilevazione degli apprendimenti - Anno Scolastico 2012-2013
Prova di Matematica
Griglia di correzione
Guida alla lettura
14
14
35
38
3
Introduzione
Nel 1999 è stato creato l’INVALSI (Istituto nazionale per la valutazione del sistema educativo di
istruzione e di formazione). Tale istituto si occupa della valutazione del sistema di istruzione italiano, quindi, ancor più che il livello di preparazione degli alunni, esso si fornisce di strumenti per
valutare lo stato dell’insegnamento, in particolare dell’italiano e della matematica.
La pubblicazione qui proposta è formata da un quaderno operativo rivolto agli alunni e la presente
guida. Lo scopo di tale pubblicazione è quello di fornire gli alunni e gli insegnanti di un riferimento
chiaro rispetto all’espletamento delle prove INVALSI.
1. La struttura del quaderno dell’alunno
Il quaderno operativo dell’alunno è diviso in due parti: la prima parte, denominata Giochiamo con Camilla,
è formata da 15 quesiti di Aritmetica, 10 quesiti di Geometria e 10 quesiti di Misure, statistica e probabilità, le cui risposte sono guidate e accompagnate da indizi e spiegazioni: una sorta di “allenamento”,
proposto nella forma di un gioco orchestrato da Camilla, simpatico personaggio immaginario. La seconda
parte, Tutti alla prova!, è formata da quattro prove, costruite sul modello dell’INVALSI e costituite ciascuna
da 35 item, come nelle prove nazionali.
2. I contenuti della guida dell’insegnante
Nei paragrafi che seguono viene fornita un’introduzione alle prove INVALSI e alle loro funzioni dal punto
di vista educativo e culturale, accompagnata da una breve presentazione della prova di matematica. A
seguire vengono riportate tabelle con le soluzioni alle prove contenute nel quaderno dell’alunno, corredate di un modello di registro di valutazione collettiva, che il docente può fotocopiare e utilizzare per
ciascuna prova (assegnare 1 punto per la risposta corretta, 0 punti per la risposta errata e, nel caso dei
quesiti tipologia Vero/Falso, 1 punto soltanto se prevalgono le risposte esatte). In calce al volume viene
riprodotto il testo della prova INVALSI dell’anno scolastico 2012-2013 con relativa griglia di correzione
e guida alla lettura.
3. La prova INVALSI di Matematica: qualche istruzione
Per gli insegnanti che si trovassero per la prima volta ad avere a che fare con le prove INVALSI, proviamo
a restituire, in sintesi, alcune delle principali caratteristiche di questo strumento di valutazione e analisi.
La prova INVALSI di Matematica per la classe quinta della Scuola primaria è costituita da circa 35 item.
Essa va svolta in un tempo definito, 75 minuti, e consiste nella presentazione di una serie di domande
proposte sotto forma di problemi, grafici, tabelle, operazioni, forme geometriche.
Le prove INVALSI di matematica sono in genere costituite da diverse tipologie di quesiti:
1. a “risposta chiusa”, cioè domande con risposta a scelta multipla che presentano quattro possibili
opzioni, di cui una soltanto è corretta;
2. a “risposta falsa-aperta” o risposta aperta “univoca”, cioè domande che richiedono semplici
risposte (come ad esempio la formula del calcolo dell’area di una figura o il risultato di un calcolo, o il
giudizio negativo o positivo – vero o falso – su una data affermazione); in alcuni casi viene richiesta la
spiegazione del percorso messo in atto per arrivare alla risposta.
4
Introduzione
È importante ricordare che durante la prova gli alunni sono tenuti a rispettare alcune regole; in particolare: non possono usare la calcolatrice, non possono scrivere con la matita, devono usare la biro nera o
blu, possono usare gli spazi bianchi presenti nel fascicolo INVALSI per fare calcoli o disegni.
4. Le possibili funzioni della prova INVALSI di Matematica
Secondo il Quadro di Riferimento (QdR) per le prove di valutazione dell’INVALSI, cioè quell’insieme di
riferimenti necessari per la costruzione stessa delle prove, lo scopo principale delle prove non è tanto
la valutazione delle capacità raggiunte dagli alunni, quanto piuttosto, citando direttamente il testo, «la
valutazione del sistema di istruzione, ossia dell’efficacia e dell’efficienza del sistema scolastico, globalmente inteso, a livello nazionale e per singoli settori o singole istituzioni scolastiche»*.
L’obiettivo è, perciò, quello di fornire elementi sullo stato dell’istruzione sul territorio nazionale; le prove,
pertanto, costituiscono un importante strumento, se adoperato in maniera adeguata, per apportare
eventuali miglioramenti ai processi educativi messi in atto dalla scuola e dal corpo docente.
• Il Quadro di Riferimento (Qdr) di Matematica
Per questa ragione reputiamo utile per gli insegnanti, allo scopo di non far gravare in modo esclusivo le
responsabilità della buona riuscita delle prove sugli alunni, ma anche di migliorare e rendere più consone
agli standard europei le nostre proposte curricolari, assumere una sempre maggiore consapevolezza di
quanto definito dal QdR stesso.
Allo scopo di contribuire a un affinamento del mestiere, nell’insegnamento della matematica, in una
prospettiva che non può più considerarsi locale (l’Italia ormai si confronta sempre più con i processi
evolutivi messi in atto in tutti gli Stati europei e del mondo), illustriamo in sintesi quali sono i principali
elementi di riferimento fissati dal QdR per le prove di valutazione INVALSI. Si tratta in particolare di due
aspetti:
a) gli ambiti della valutazione, cioè quali aspetti della matematica del primo ciclo della scuola si valutano, e la scelta degli argomenti oggetto della valutazione;
b) i modi della valutazione, ossia le caratteristiche degli strumenti di valutazione e i criteri seguiti nella
costruzione delle prove.
Il QdR, come già detto, serve prima di tutto alle persone incaricate di realizzare i fascicoli contenenti
le prove; per questo motivo, esso può essere utile anche agli insegnanti per interpretare i risultati
delle prove stesse in modo da realizzare un «confronto tra le indicazioni nazionali, il curricolo effettivo
e quello raggiunto anche allo scopo di valutare i risultati delle proprie classi o della propria istituzione
scolastica».
In tale quadro è facile dedurre il contributo che un’analisi attenta dei risultati di tali prove può dare anche
ai singoli insegnanti, i quali, a partire dai materiali acquisiti, possono «condurre una riflessione autonoma
sia sulle abilità e conoscenze acquisite dagli alunni (curricolo raggiunto), sia sulla validità delle scelte
didattiche effettuate, sull’efficacia dell’offerta formativa programmata e infine sull’ampiezza, profondità
e coerenza del curriculo svolto (curricolo effettivo)».
* Questa e le successive citazioni sono tratte dal Quadro di riferimento di Matematica reperibile sul sito web dell’INVALSI
www.invalsi.it.
5
Introduzione
Le prove INVALSI vanno quindi viste non come un’occasione per intensificare eventuali addestramenti
degli alunni in vista dell’impegno che esse costituiscono, ma come strumento che permetta di osservare
criticamente il lavoro e i percorsi attivati in classe.
• La matematica come strumento di conoscenza della realtà
L’importanza dell’acquisizione di competenze matematiche è fondamentale a diversi livelli. Nella società
moderna essa costituisce la base dello strumentario necessario per potere indagare su questioni scientifiche, per trattare informazioni di tipo economico, per la costruzione e la strutturazione dei linguaggi
informatici, per la progettazione di edifici, di apparecchiature di alta tecnologia.
Buona parte delle attività che sottendono al funzionamento della società moderna trovano nella matematica alcuni degli strumenti primari per poter essere sviluppate e sostenute. Per questa ragione, il QdR
pone molta attenzione ai risvolti pratici dell’uso della matematica, per saggiare i livelli di abilità raggiunti
dagli alunni nel riutilizzare i concetti appresi in contesti diversi da quelli astratti prodotti dai curricoli classici di matematica.
L’idea che sottende le prove INVALSI è quella di una matematica che si fa strumento di conoscenza della
realtà moderna. Questo non significa, ovviamente, che i concetti fondamentali di base della matematica,
diciamo i capisaldi, siano inutili, tutt’altro: essi costituiscono la base necessaria per intraprendere un
discorso sulla matematica aperto al mondo come adesso si presenta, un mondo dove la scienza e la
tecnologia hanno assunto un ruolo di primo piano.
Un’analisi attenta delle strutture dei test rende chiaro come le prove INVALSI non si limitino a valutare
l’apprendimento dei fondamenti della matematica, ma anche e forse soprattutto il suo uso come strumento di pensiero e di indagine della realtà.
Da questo punto di vista è utile osservare come questo costituisca l’aspetto predominante del Programme for International Student Assesment (PISA), un’indagine sullo stato della conoscenza delle
discipline matematiche e scientifiche (non è un caso che esse vengano strettamente associate) riguardante i quindicenni, promosso dall’Organizzazione per la cooperazione e lo sviluppo economico (OCSE).
L’obiettivo è verificare quanto gli studenti, vicini al termine dell’istruzione obbligatoria, abbiano acquisito
alcuni degli strumenti di conoscenza e abilità che sono essenziali per partecipare pienamente alla vita
sociale.
L’INVALSI si pone in piena sintonia con gli intenti espressi dall’OCSE, ponendo come obiettivo primario
delle prove da esso strutturate mettere in atto agenti di cambiamento nei modi dell’insegnamento delle
scienze e della matematica volti al raggiungimento di quelle «importanti conoscenze necessarie alla vita
di adulti».
• I contenuti matematici e loro suddivisioni
Le Indicazioni Nazionali per il curricolo di matematica della Scuola primaria operano la seguente suddivisione:
1.
2.
3.
4.
Numeri;
Spazio e figure;
Relazioni e funzioni;
Dati e previsioni.
6
Introduzione
La scelta linguistica nell’eseguire la compilazione delle Indicazioni Nazionali ci dà un’idea della filosofia
che sottende il tentativo di riforma dei metodi di insegnamento della matematica in atto.
Troviamo scritto:
• numeri anziché aritmetica, enfatizzando in tal modo il rapporto diretto tra la definizione dei numeri
e la realtà delle cose da numerare;
• spazio e figure anziché geometria, sottolineando quanto le astrazioni geometriche abbiano dei
fondamenti portanti nell’analisi e nella percezione della realtà fisica;
• relazioni e funzioni anziché algebra, mostrando quanto la matematica sia permeata da una visione
non statica, quanto piuttosto dinamica nell’ideazione, strutturazione e risoluzione dei problemi che
essa pone o cerca di risolvere;
• dati e previsioni anziché statistica e probabilità, proponendo un uso degli strumenti di questa
branca della matematica in connessione a questioni e problematiche concrete.
Tali scelte tendono a valorizzare gli oggetti con cui gli alunni devono fare esperienza (contare a partire
dalle cose, scoprire le forme geometriche e i concetti nella realtà fisica che ci circonda, adoperare gli
strumenti matematici per indagare e risolvere questioni concrete). Scelte, queste, che non mettono assolutamente in secondo piano la sistemazione teorica, ma la radicano nell’esperienza rendendola per
questo più significativa.
Proponiamo qui di seguito un elenco di elementi significativi per valutare le competenze matematiche
nella Scuola primaria adoperando la suddivisione proposta dalle Indicazioni Nazionali:
Numeri
Numeri naturali e loro rappresentazione in base dieci. Addizione e sottrazione
fra numeri naturali. Moltiplicazione e divisione fra numeri naturali. Numeri decimali e frazioni. Frazioni equivalenti. Scrittura posizionale dei numeri naturali
e decimali. Operazioni fra numeri decimali. Proprietà delle operazioni. Significato delle parentesi in sequenze di operazioni. Proprietà dei numeri naturali
(precedente successivo, pari dispari, doppio, metà…). Operazioni con i numeri interi. Calcolo approssimato. Potenze di numeri naturali e interi. Numeri
primi. Multipli e divisori. Rapporti, percentuali e proporzioni. Numeri decimali
limitati e illimitati periodici (rappresentazione decimale e frazionaria). Numeri
razionali. Operazioni con i numeri razionali. Numeri decimali non periodici.
Spazio e figure
Mappe, piantine e orientamento. Rappresentazione di oggetti nel piano e
nello spazio. Semplici figure dello spazio e del piano (cubo, sfera, triangolo,
quadrato…). I principali enti geometrici. Angoli e loro ampiezza. Rette incidenti, parallele e perpendicolari. Verticalità, orizzontalità. Uguaglianza di
figure. Equivalenza fra figure. Composizione e scomposizione di figure. Elementi di semplici figure dello spazio (vertici, spigoli…). Unità di misure di lunghezze, aree e volumi. Perimetro di poligoni. Aree di poligoni. Somma degli
angoli di un triangolo e di poligoni. Teorema di Pitagora. Traslazioni, rotazioni
e simmetrie. Riproduzioni in scala: ampliamenti e riduzioni. Lunghezza della
circonferenza e area del cerchio. Angoli al centro e angoli alla circonferenza.
Aree e volumi dei principali solidi. Rappresentazione piana di figure solide.
Sistema di riferimento cartesiano. Rappresentazione sul piano cartesiano di
figure piane e di trasformazioni geometriche.
7
Introduzione
Relazioni
e funzioni
Classificazione di oggetti, figure, numeri in base a una determinata proprietà.
Equivalenze e ordinamenti. Grandezze direttamente e inversamente proporzionali. Ricerca di regolarità in sequenze di numeri, figure, simboli e parole.
Generalizzazione di regolarità attraverso parole ed espressioni algebriche.
Funzioni del tipo y=ax, y=a/x e y=x2 e loro rappresentazione grafica. Rappresentazione di funzioni attraverso parole, tabelle, grafici, espressioni algebriche. Equazioni di primo grado. Rappresentazione di fatti e fenomeni
attraverso tabelle, grafici ed espressioni algebriche.
Misura dati
e previsioni
La statistica e i suoi elementi. Prime rappresentazioni di dati (tabelle, pittogrammi, grafici a barre, ecc.). Caratteri qualitativi e quantitativi. Moda, mediana
e media aritmetica. Istogrammi. Calcolo di frequenze relative e percentuali.
Diagrammi di vario tipo. Evento certo, possibile e impossibile. Campione
estratto da una popolazione, casuale e non casuale. Probabilità di un evento:
valutazione della probabilità di eventi elementari ed equiprobabili. Semplici valutazioni di probabilità di un evento a partire da dati statistici. Misure di grandezze discrete per conteggio. Misure di grandezze continue attraverso oggetti
e strumenti. Il Sistema Internazionale di misura. Stime e approssimazioni. Notazione scientifica.
Lo sviluppo possibile qui proposto dei quattro punti definiti dalle Indicazioni Nazionali sottintende una
serie di obiettivi minimi da far raggiungere agli studenti durante i cinque anni di scuola primaria; obiettivi
che presentiamo di seguito.
Gli alunni devono giungere a conoscere e padroneggiare:
1. i contenuti specifici della matematica (oggetti matematici, proprietà, strutture...);
2. algoritmi e procedure (in ambito aritmetico, geometrico...);
3. diverse forme di rappresentazione e saper passare da una all’altra (verbale, scritta, simbolica,
grafica...).
Gli alunni devono:
1. saper risolvere problemi utilizzando gli strumenti della matematica (individuare e collegare le informazioni utili, confrontare strategie di soluzione, individuare schemi risolutivi di problemi…);
2. saper riconoscere in contesti diversi il carattere misurabile di oggetti e fenomeni e saper utilizzare
strumenti di misura (saper individuare l’unità o lo strumento di misura più adatto in un dato contesto, saper stimare una misura…);
3. acquisire progressivamente forme tipiche del pensiero matematico (congetturare, verificare, giustificare, definire, generalizzare...);
4. utilizzare la matematica appresa per il trattamento quantitativo dell’informazione in ambito scientifico, tecnologico, economico e sociale (descrivere un fenomeno in termini quantitativi, utilizzare
modelli matematici per descrivere e interpretare situazioni e fenomeni...).
Senza volere esaurire il ventaglio di tutti i possibili contenuti e obiettivi raggiungibili, la verifica del raggiungimento di queste conoscenze e abilità da parte degli alunni costituisce il segno evidente dell’attivazione
di un percorso efficace e pertinente sulla matematica e il suo rapporto con la cultura in modo ampio e
profondo (scienza, economia, statistica, tecnologia).
8
Soluzioni - Prove simulate
Prova 1 - (pag. 37)
Item
Soluzione
Item
Soluzione
Item
Soluzione
D1
B
D13
C
D25
C
D2
D
D14
A
D26
B
D3
C
D15
C
D27
D
D4
B
D16
B
D28
A
D5
C
D17
D
D29
C
D6
B
D18
B
D30
A
D7
D
D19
D
D31
B
D8
B
D20
B
D32
B
D9
C
D21
B
D33
C
D10
D
D22
C
D34
C
D11
A
D23
A
D35
C
D12
B
D24
A
9
Soluzioni - Prove simulate
Prova 2 - (pag. 50)
Item
Soluzione
Item
Soluzione
Item
Soluzione
D1
B
D13
A
D25
B
D2
D
D14
B
D26
A
D3
B
D15
C
D27
C
D4
C
D16
D
D28
D
D5
B
D17
D
D29
D
D6
C
D18
B
D30
B
D7
C
D19
A
D31
B
D8
D
D20
C
D32
B
D9
C
D21
D
D33
D
D10
A
D22
C
D34
A
D11
B
D23
A
D35
A
D12
D
D24
D
Prova 3 - (pag. 63)
Item
Soluzione
Item
Soluzione
Item
Soluzione
D1
A
D13
A
D25
D
D2
C
D14
D
D26
B
D3
A
D15
B
D27
A
D4
C
D16
A
D28
D
D5
B
D17
B
D29
C
D6
B
D18
C
D30
B
D7
D
D19
C
D31
A
D8
B
D20
D
D32
D
D9
C
D21
B
D33
B
D10
C
D22
D
D34
C
D11
C
D23
D
D35
D
D12
A
D24
B
10
Soluzioni - Prove simulate
Prova 4 - (pag. 76)
Item
Soluzione
Item
Soluzione
Item
Soluzione
D1
D
D13
C
D25
A
D2
B
D14
5 cm
D26
B
D3
B
D15
C
D27
B
D28
Altezza triangolo:
12 cm
D4
C
D16
a – no
b – sì
c – sì
d – no
D5
C
D17
A
D29
B
D6
Un triangolo rettangolo
D18
B
D30
D
D7
A
D19
A
D31
D
D8
a – falso
b – vero
c – falso
d – vero
D20
Numero più alto:
864320
Numero più basso:
0,23468
D32
C
D9
A
D21
C
D33
D
D10
C
D22
B
D34
D
D11
C
D23
C
D35
B
D12
C
D24
84 libri fuori posto.
Servono altri 4 scaffali
11
Registro di valutazione collettiva
ALUNNI
PROVA N. ..........
1
2
3
4
5
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
12
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Registro di valutazione collettiva
a.s. ......................................
classe ......................................
data ......................................
tot.
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
13
32
33
34
35
VALUTAZIONI
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
14
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
15
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
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Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
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Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
18
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
19
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
20
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
21
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
22
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
23
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
24
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
25
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
26
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
27
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
28
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
29
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
30
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
31
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
32
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
33
Rilevazione degli apprendimenti - Prova di Matematica (2012-2013)
34
Rilevazione degli apprendimenti - Griglia di correzione (2012-2013)
GRIGLIA DI CORREZIONE
35
Rilevazione degli apprendimenti - Griglia di correzione (2012-2013)
36
Rilevazione degli apprendimenti - Griglia di correzione (2012-2013)
37
Rilevazione degli apprendimenti - Guida alla lettura (2012-2013)
GUIDA ALLA LETTURA
38
Rilevazione degli apprendimenti - Guida alla lettura (2012-2013)
39
Rilevazione degli apprendimenti - Guida alla lettura (2012-2013)
40
Rilevazione degli apprendimenti - Guida alla lettura (2012-2013)
41
Rilevazione degli apprendimenti - Guida alla lettura (2012-2013)
42
Rilevazione degli apprendimenti - Guida alla lettura (2012-2013)
43
Rilevazione degli apprendimenti - Guida alla lettura (2012-2013)
44
Rilevazione degli apprendimenti - Guida alla lettura (2012-2013)
45
Rilevazione degli apprendimenti - Guida alla lettura (2012-2013)
46
Rilevazione degli apprendimenti - Guida alla lettura (2012-2013)
47