SUL CALCOLO DELLE PROBABILITA’
a cura di Giovanni Maci
(con figure ed esempi tratti dal testo di Re Fraschini – Grazzi
Matematica: metodo e modelli 2)
Si dice EVENTO casuale o aleatorio ogni avvenimento, esperimento aleatorio o
casuale, tale che, espresso da una proposizione, per essa risulta coerente chiedersi
se è VERA o FALSA.
Gli EVENTI possono essere CERTI, POSSIBILI O IMPOSSIBILI.
ESPERIMENTI ALEATORI :




estrazione di una carta da un mazzo
lancio di una moneta
estrazione del lotto
lancio di uno o più dadi
ESPERIMENTI NON ALEATORI
 previsione della temperatura di un luogo
 posizione di una molecola di un gas
EVENTI:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
esce carta di quadri
esce il 2 di fiori
esce il re di cuori
esce un numero pari nel lancio di un dado
esce il tre
esce una figura e una carta di fiori
GLI EVENTI sopra esposti sono ELEMENTARI (1 – 4 - 5) O COMPOSTI (2 – 3 – 6)
La PROBABILITA’ di un evento E è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli e il
numero dei casi possibili:
P(E) =
𝒇
𝒏
0≤ p ≤ 1
p = 0 probabilità di un evento IMPOSSIBILE
1
p = 1 probabilità di un evento CERTO
Esempi di eventi elementari:
 lancio di una moneta; esce testa p= 1/2
 vincere una partita di calcio
p= 1/3
 estrazione di un numero tra il 10 e il 20 sulla ruota di Napoli 1° estratto p =
11/90
EVENTI COMPOSTI INCOMPATIBILI
1) Lancio di una moneta.
E1 = < esce testa >
E1 ∩ E2 = ∅
E2 = < esce croce >
E = < esce testa o croce >
1
1
P(E) = p(E1 ∪ E2 ) = p(E1) + p(E2) = 2 + 2 = 1
2) Lancio di un dado
E1 = < esce il 3 >
E1 ∩ E2 = ∅
E2 = < esce il 6 >
E = E1 ∪ E2 < esce testa o croce >
1
P(E) = p(E1 ∪ E2 ) = p(E1) + p(E2) = +
6
3) Estrazione di una carta
E1 = carta di fiori
E2 = carta di cuori
1
2
=6
6
E1 ∩ E2 = ∅
E = E1 ∪ E2 = < carta di fiori o di cuori >
P(E) = p(E1 ∪ E2 ) = p(E1) + p(E2) =
=
13 13 26
+ =
52 52 52
2
4) EVENTI COMPOSTI
E1 = < asso >
COMPATIBILI
E2 = < carta di cuori > E = E1 ∪ E2 = < asso di cuori >
E1 ∩ E2 ≠ ∅
L’evento composto
P(E) = p(E1 ∪ E2 ) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2 ) =
=
5) E1 = < una donna >
4 13 1
16
+
−
=
52 52 52 52
E2 = < figura di picche >
E = E1 ∪ E2 = < donna di picche >
E1 ∩ E2 ≠ ∅
L’evento composto
P(E) = p(E1 ∪ E2 ) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2 )
4
3
1
6
= +
−
=
40
40
40
40
6) Gli alunni di una scuola sono 30; 10 giocano a calcio, 8 a
tennis e 4 a entrambi. L’insegnate di Ed. Fisica ne estrae
uno a caso.
3
Qual ‘ è la probabilità che
l’alunno estratto sappia praticare
entrambi gli sport =
4
30
Qual ‘ è la probabilità che sappia praticare almeno uno sport :
10
8
P(E) = p(E1 ∪ E2 ) = p(E1) + p(E2) – p(E1 ∩ E2 ) = 30 + 30 -
4
=
30
14
30
EVENTI INDIPENDENTI E DIPENDENTI
7)
Un’urna contiene 4
palline bianche e 2 nere;
- estrazione di una pallina
bianca =
- estrazione di una pallina nera =
4
6
2
6
E= <estrazione di 2 palline
bianche>
-con reimmissione (EVENTI
INDIPENDENTI)
P(E) = p(E1 ∩ E2 ) = p(E1) × p(E2) =
4
4
4
16
4
20
× 6 = 36 = 9 = 0, 4 = 45
6
-senza reimmissione (EVENTI DIPENDENTI)
P(E) = p(E1 ∩ E2 ) = p(E1) × p(E2/E1) =
4
3
=6×5 =
12
30
2
Estrazione di 2 nere
Con
2
2
4
4
Estrazione di 1 bianca e 1 nera
1
5
× 6 = 36 = 9 = 45
6
Senza
2
1
2
18
= 5 = 9 = 0,4 = 45
1
4
Con
3
× 5 = 30 = 15 = 45
6
Senza
2
8
2
10
× 6 = 36 = 9 = 45
6
4
2
8
4
12
× 5 = 30 = 15 = 45
6
Estrazione di 1 nera e 1 bianca
Con
Senza
2
4
8
2
10
× 6 = 36 = 9 = 45
6
2
6
4
8
4
12
× 5 = 30 = 15 = 45
PUNTEGGIO COMPLESSIVO NEL LANCIO DI DUE DADI
5
Punteggio
complessivo
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
1
Casi
favorevoli
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
0
probabilità
1/36
2/36
3/36
4/36
5/36
6/36
5/36
4/36
3/36
2/36
1/36
0
ESEMPI
1)
Una moneta viene lanciata due volte. Qual è la probabilità che esca due volte testa ?
1
2
2)
1
1
×2=4
Una moneta viene lanciata tre volte. Qual è la probabilità che esca tre volte testa, sapendo che la
prima è stata testa ?
1
2
1
1
×2 =4
6
3)
Da un mazzo di 40 carte si estraggono tre carte. Qual è la probabilità che escano tre assi, senza
rimettere la carta estratta nel mazzo ?
4
40
4)
2
1
Da un mazzo di 40 carte si estraggono tre carte. Qual è la probabilità che escano tre assi,
rimettendo la carta estratta nel mazzo ?
4
40
5)
3
× 39 × 38 = 2470
4
4
1
× 40 × 40 = 1000
Nell’estrazione del lotto, qual è la probabilità che, estraendo un numero, esso risulti minore di 5 o
maggiore di 85 ?
4
5
9
1
+
=
=
90 90 90 10
6)
7)
8)
9)
Nel lancio di un dado, qual è la probabilità che si ottenga un numero maggiore di 2 ?
4 2
=
6 3
Nel lancio di un dado due volte, qual è la probabilità che si ottenga un numero due volte il 2 ?
1 1
1
× =
6 6 36
Lanciando due dadi, qual è la probabilità di ottenere un numero minore o uguale a 4 ?
6
1
=
36 6
Lanciando due dadi, qual è la probabilità di ottenere somma 7 ?
6
1
=
36 6
10)
In una data popolazione la probabilità di non essere cattolico è del 40%, non protestante è
del 15%, né cattolico e né protestante è del 5%. Qual è la probabilità che un individuo preso a caso
non sia né cattolico e né protestante ?
50%
7