Introduzione ai piani fattoriali
• Col termine piano fattoriale ci si riferisce
ad esperimenti completi o replicazioni
degli stessi, in cui sono provate tutte le
combinazioni di fattori e livelli
• Fattori incrociati: se ci sono a livelli del
fattore A e b livelli del fattore B, ogni
replicazione contiene tutte le combinazioni
a x b dei trattamenti
Introduzione ai piani fattoriali
Fattore B
• Effetto principale: definito come la
variazione nella risposta prodotta da una
variazione nel livello del fattore
+
-
(30)
(52)
(20)
(40)
-
+
Fattore A
Effetto Principale A = (40+52)/2-(20+30)/2=21
Effetto Principale B = (30+52)/2-(20+40)/2=11
Introduzione ai piani fattoriali
Fattore B
• Effetto incrociato: la differenza nella
risposta tra i livelli di un fattore non è la
stessa per tutti i livelli degli altri fattori
+
-
(40)
(20)
(12)
(50)
-
+
Esperimento fattoriale con Interazione
L’entità dell’effetto dell’interazione è la
differenza media tra i due effetti:
AB = (-28-30)/2=-29
Interazione piuttosto rilevante!
Fattore A
Al livello B-: Effetto Principale A = 50-20=30
Al livello B+: Effetto Principale A = 12-40=-28
Poiché l’effetto di A dipende dal livello
scelto per il fattore B, possiamo
asserire che c’è interazione tra A e B
Introduzione ai piani fattoriali
• Interazione: Linee parallele tra le risposte
in funzione del fattore A indicano assenza
di interazione tra i fattori A e B e viceversa
70
70
60
60
+
B
-
40
-
B
+
30
B
50
B
20
Risposta
Risposta
50
+
40
B
30
20
-
B
10
+
-
B
B
-
+
10
0
0
-
+
Fattore A
Fattore A
Introduzione ai piani fattoriali
• Modello di regressione di un esperimento
a due fattori e due livelli
y  0  1 x1   2 x2  12 x1 x2  e
y  risposta sperimenta le
 i  parametri empirici da determinar e sperimenta lmente
x i  fattori ed interazion e tra fattori
e  errore
Introduzione ai piani fattoriali
• Applicazione del modello di regressione
con stime ai minimi quadrati
+
Fattore B
(30)
(52)
y  35.5  10.5x1  5.5x2  0.5x1x2
-
(20)
(40)
-
+
Fattore A
Effetto Principale B = (30+52)/2-(20+40)/2=11
1  21 / 2
2  11 / 2
Effetto Interazione AB = [(52-30)-(40-20)]/2=1
12  1 / 2
Effetto Principale A = (40+52)/2-(20+30)/2=21
Media Risposte = (30+52+20+40)/4=35.5
0  35.5
Introduzione ai piani fattoriali
• Superficie di risposta e grafico a linee di
livello del modello di regressione
y  35.5  10.5x1  5.5x2
0,8
50
45
0,4
42
y
x2
40
39
0,0
36
32
30
29
-0,4
26
-0,4
0,0
x
1
2
-0,8
0,8
0,4
0,0
-0,4
-0,8
x
20
0,4
0,8
-0,8
23
-0,8
-0,4
0,0
x1
0,4
0,8
Introduzione ai piani fattoriali
• Superficie di risposta e grafico a linee di
livello del modello di regressione
y  35.5  10.5x1  5.5x2  8x1x2
70
0,8
60
0,4
26
48
45
x2
y
50
37
0,0
41
40
34
-0,4
30
0,0
x
1
0,4
0,8
30
-0,8
2
-0,4
x
20
-0,8
0,8
0,4
0,0
-0,4
-0,8
L’interazione è pertanto una forma di curvatura!
-0,8
-0,4
0,0
x1
0,4
0,8
Introduzione ai piani fattoriali
Fattore B
• Effetti principali ed incrociati: in genere
quando un interazione è grande gli effetti
principali hanno significato pratico limitato
+
-
(40)
(20)
-
(12)
(50)
+
Esperimento fattoriale con Interazione
L’entità dell’effetto dell’interazione è la
differenza media tra i due effetti:
AB = (-28-30)/2=-29
Interazione piuttosto rilevante!
Fattore A
Al livello B-: Effetto Principale A = 50-20=30
Al livello B+: Effetto Principale A = 12-40=-28
Effetto Principale A = (50+12)/2-(20+40)/2=1
Poiché l’effetto di A dipende dal livello
scelto per il fattore B, possiamo
asserire che c’è interazione tra A e B
Il fattore A non ha effetto ma
dipende dal livello del fattore B!
Vantaggi dei piani fattoriali
• Esperimento ad un fattore alla volta ed
esperimento fattoriale
-
(A-B-)
+
3,5
(A+B-)
-
+
Fattore A
Efficienza Relativa
Fattore B
(A-B+)
Fattore B
+
(A-B+) (A+B+)
3,0
2,5
2,0
(A-B-)
(A+B-)
-
+
Fattore A
1,5
A  A B   A B 



B  A B  A B

A  A B  2 A B3


4 B  5A B 6  A B 
di Fattori 
 Numero

A  A B  A B
B  A B   A B 