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Trasformazioni Geometriche1
Roberto Petroni, 2011
Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo
1) Introduzione
Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni punto
P del piano uno e un solo punto P' appartenente al piano stesso.
Una trasformazione geometrica, quindi, può essere vista come una funzione biiettiva (biunivoca) in
cui sia il dominio sia il codominio coincidono con l’insieme dei punti del piano.
Si può pertanto scrivere, utilizzando il simbolismo delle funzioni:
P’ = τ (P)
E, come per le funzioni, indicare P’ come immagine di P e P come controimmagine di P’.
Def: se in una trasformazione P e P’ coincidono, si dice che P è un punto unito. Se tutta una figura
si trasforma in se stessa, si tratta di una figura unita.
Es: immaginate che i punti del piano siano le mattonelle di un pavimento e la trasformazione
geometrica sia τ: “ fai un passo di tre mattonelle a destra e uno di tre mattonelle a sinistra”.
Evidentemente la mattonella di partenza e quella di arrivo coincidono.
Se una trasformazione applicata due volte, a P e poi a P’ riconduce a P, cioè
Def: se, essendo P’= τ (P), si ha P = τ (P’) allora la trasformazione si dice involutoria.
Es: dato un punto P su una circonferenza e la trasformazione geometrica sia τ: “ ruota sulla
circonferenza di un angolo di 180°”.
P
P’
fig.1
La trasformazione, applicata la prima volta ci fa passare da P a P’, applicata la seconda volta, con
tutta evidenza, ci riporta a P.
Def: se in una trasformazione geometrica la distanza tra due punti rimane invariata, la
trasformazione è una isometria.
1
Questi appunti si riferiscono esclusivamente al programma svolto dalla 2CL nell’A.S. 2010-2011; successivamente
potranno essere rivisti e ampliati.
2
Qualunque figura trasformata mediante un’isometria risulta evidentemente sovrapponibile
(mediante un movimento rigido) alla figura di partenza.
Pertanto isometria può essere considerato un sinonimo di congruenza.
Quindi in una isometria:
rette incidenti si trasformano in rette incidenti;
rette parallele si trasformano in rette parallele;
ad un angolo corrisponde un angolo congruente al primo;
ad un triangolo corrisponde un triangolo congruente al primo;
2) Isometrie
Identità
Def: si ha un’identità quando ogni punto del piano viene trasformato in se stesso, cioè:
P’ = τ (P) = P, ∀P
In un’identità, evidentemente, tutti i punti sono uniti. L’esempio della mattonella fatto sopra è
un’identità.
L’identità è una trasformazione involutoria.
Simmetria centrale
Def: la simmetria centrale di centro C è una trasformazione geometrica che ad ogni punto P del
piano associa
un punto P' = σc(P) tale che C è il punto medio del segmento PP' .
P
C
Fig.2
P’
Costruzione: per disegnare una simmetria centrale, tracciare la retta passante per P e C, quindi
prendere sulla retta, dalla parte opposta di P un segmento CP’ ≅ PC.
In una simmetria centrale l’unico punto unito è il punto C.
La simmetria centrale è una trasformazione involuto ria;
3
infatti, se dopo aver costruito P’, applico di nuovo le indicazioni date sopra (con, ovviamente, P’ al
posto di P) otterrò un punto P’’= P
Teorema: la simmetria centrale è un’isometria
(per dimostrare il teorema, consideriamo il segmento che unisce due punti A e B e costruiamo i
simmetrici degli estremi del segmento)
A
B’
Ip: 1) A' = σc(A)
2) B' = σc(B)
C
B
Ts: AB ≅ A’B’
A’
fig.3
Dimostrazione
AC ≅ A’C
per l’Ip 1)
BC ≅ B’C
per l’Ip 2)
AĈB ≅ A’ĈB’
per il teorema degli angoli opposti al vertice
-----------------------------
ACB ≅ A’CB’
per il I criterio di congruenza dei triangoli
-----------------------------
AB ≅ A’B’
perché lati corrispondenti in triangoli congruenti
c.v.d.
Simmetria assiale
Def: la simmetria assiale di asse a, è una trasformazione geometrica che ad ogni punto P del
piano associa un punto P' = σa(P) tale che il segmento PP ' è perpendicolare ad a e il punto
medio M di PP ' appartiene all'asse stesso.
Costruzione: tracciare la retta perpendicolare ad a, passante per P e M, quindi prendere sulla retta,
dalla parte opposta di P, un segmento MP’ ≅ MP.
4
a
P
M
P’
fig.4
In una simmetria assiale, tutti i punti dell’asse a sono punti uniti.
La simmetria centrale è una trasformazione involutoria;
anche in questo caso, per sincerarsene, basta seguire le indicazioni di costruzione date sopra.
Teorema: la simmetria assiale è un’isometria
B
a
A
Ip: 1) A' = σc(A)
2) B' = σc(B)
C
Ts:
H
B’
A’
fig.5
AB ≅ A’B’
5
Dimostrazione (facoltativa)
1
AH ≅ A’H
per l’Ip 1)
2
HC ≅ HC
per la proprietà riflessiva della congruenza
AĤC ≅ A’ĤC
perché entrambi ≅ all’ ang. retto, per l’Ip 1)
3
-----------------------------
4
AHC ≅ A’HC
per il I criterio di congruenza dei triangoli
-----------------------------
5
HĈA ≅ HĈA’
perché angoli corrispondenti in triangoli
congruenti
6
BĈH ≅ B’ĈH
perché entrambi ≅ all’ ang. retto, per l’Ip 2)
7
BC ≅ B’C
per l’Ip 2)
8
BĈA ≅ B’ĈA’
perché angoli complementari di angoli ≅ (5 e 6)
AC ≅ A’C
perché lati corrispondenti in triangoli congruenti (4)
Inoltre
9
-----------------------------
10
BCA ≅ B’CA’
per il I criterio di congruenza dei triangoli
-----------------------------
11
AB ≅ A’B’
perché lati corrispondenti in triangoli congruenti
c.v.d.
Traslazione
Def: si chiama vettore un ente matematico individuato da un valore numerico, cioè l’intensità o
modulo, da una direzione e da un verso.
Un vettore può essere quindi immaginato come il rappresentante degli infiniti segmenti orientati
aventi la stessa lunghezza, direzione e verso. I vettori si indicano con una lettera maiuscola
sovrastata da una linea; per motivi grafici lo indicheremo senza linea ma con una lettera in
grassetto: V, W, Z, ecc.; l’intensità sarà invece indicata con la stessa lettera ma in carattere
normale.
Nello spazio il vettore è rappresentato da una freccia la cui lunghezza indica l’intensità, mentre la
direzione è indicata dalla retta su cui poggia il vettore e il verso è indicato dalla punta della freccia.
Le frecce rappresentate di seguito non sono quindi diversi vettori, ma diversi rappresentanti dello
stesso vettore V:
Fig.6
6
Def: si chiama traslazione di vettore V una trasformazione geometrica P' = τv (P) che ad ogni punto
P del piano associa un punto P’ tale che il segmento orientato PP’ coincide col vettore V
Costruzione: disegnare il vettore V dato, ponendo la sua “coda” in P; il punto P’coincide allora con
la “punta” della freccia del vettore.
V
P’
P
Fig.7
Teorema: la traslazione è un’isometria
(per dimostrare il teorema, applichiamo il vettore V agli estremi di un segmento AB)
V
A’
A
B’
Ip: 1) A' = τv (A)
2) B' = τv (B)
Ts:
AB ≅ A’B’
B
Fig. 8
Dimostrazione
AA’ ≅ BB’ ≅ V
per l’Ip 1) e 2)
AB’ ≅ AB’
per la proprietà riflessiva della congruenza
AB’^B ≅ A’A^B’ 2
perché angoli alterni interni di rette parallele;
infatti AA’ // BB’ // V per l’Ip 1) e 2)
-----------------------------
AB’B ≅ A’AB’
per il I criterio di congruenza dei triangoli
-----------------------------
AB ≅ A’B’
perché lati corrispondenti in triangoli congruenti
c.v.d.
2
Con AB^C si intende l’angolo di vertice C, con ABC il triangolo
7
Rotazione
Def: si chiama rotazione di centro C e angolo α, una trasformazione geometrica P' = ρα (P) che ad
ogni punto P del piano associa un punto P' tale che CP = CP' e PĈP' ≅ α .
P’
α
α
P
C
Fig.9
Costruzione: disegnare un angolo ≅ a α con l’origine in C e con un lato coincidente alla semiretta
CP, quindi sull’altro lato fissare il punto P’ tale che CP’ ≅ CP.
8
Trasformazioni Geometriche sul piano cartesiano
Come sappiamo, esiste una corrispondenza biunivoca fra i punti del piano cartesiano e le coppie
ordinate di numeri reali; in altri termini, ad ogni punto del piano può essere associata una ed una
sola coppia di numeri reali (ascissa, ordinata) e ad ogni coppia di numeri reali può essere associato
uno e un solo punto del piano.
y
Yp
P
Xp
x
P < = > (Xp, Yp)
Fig.10
Questa caratteristica fondamentale del piano cartesiano consente di rappresentare la trasformazione
geometrica P’ = τ (P), che associa il punto P al punto P’, attraverso due equazioni che permettono di
calcolare rispettivamente l’ascissa e l’ordinata di P’ a partire dalle coordinate di P.
Di seguito vengono riportate le equazioni di trasformazione di alcune applicazioni particolarmente
semplici e basilari relative alle isometrie studiate sopra..
Identità
In questo caso P e P’ coincidono e quindi le equazioni di trasformazione non possono che essere:
X’ = X
Y’ = Y
1)
9
Simmetria centrale
Studiamo un caso particolarmente semplice, quello della simmetria di P rispetto all’origine degli
assi:
Come si può vedere dal disegno, le nuove coordinate si ottengono dalle vecchie semplicemente
cambiando i segni.
Simmetria centrale rispetto all’origine degli assi
y
Equazioni di trasformazione:
P
3
X’ = − X
2)
Y’ = − Y
-2
x
2
P’
-3
Fig.11
Simmetria assiale
Anche per la simmetria assiale limitiamoci ad alcuni casi particolari.
Simmetria rispetto all’asse Y
y
Equazioni di trasformazione:
3
P’
P
X’ = − X
Y’ = Y
-2
2
x
Fig.12
-3
3)
10
Simmetria rispetto all’asse X
y
Equazioni di trasformazione:
P
X’ = X
4)
Y’ = − Y
-2
2
x
-3
Fig.13
P’
In entrambi i casi precedenti le equazioni possono essere ricavate semplicemente guardando il
disegno.
Il prossimo esempio invece richiede una rapida dimostrazione (facoltativa).
Simmetria rispetto ad un asse parallelo all’asse X o all’Y
y
Equazioni di trasformazione:
P’
P
3
Asse x = a
X’ = 2a − X
5)
Y’ = Y
2
-2
3 4
a
a-x
a-x
x
Asse y = a
X’ = X
6)
Y’ = 2a − Y
-3
Fig.14
Le rette parallele agli assi non possono essere rappresentate dall’equazione y = mx + q.
Una retta parallela all’asse x ha equazione y = a, essendo a il valore dell’ordinata del punto in cui la
retta interseca l’asse y.
11
Una retta parallela all’asse y, analogamente, ha equazione x = a, essendo a il valore dell’ascissa del
punto in cui la retta interseca l’asse x. Per esempio, nella fig. 14, l’asse rispetto a cui si ha la
simmetria di P è la retta x = 3.
Nella fig.14, il punto P ha coordinate x = 2 e y = 3. P’ ha ovviamente la stessa ordinata di P, quindi
y’ = y.
Per determinare x’ si può ragionare in questo modo:
P’ ha un’ascissa x’ data dalla distanza dell’asse dall’origine, cioè a, più la distanza che c’è tra x’ e
l’asse che, per la definizione di simmetria, è la stessa distanza che c’è tra l’asse e l’ascissa x di P,
cioè a – x (vedi fig. 14);
quindi:
x’ = a + (a – x) = 2a – x,
mentre, come già detto
y’ = y.
Risultano così dimostrate le equazioni 5).
Per esempio, nel caso rappresentato in figura, x = 2 e a = 3; applicando la formula data sopra
X’ = 2a – x = 2∙3 -2 = 4
Per ricavare le equazioni 6) si ragiona nello stesso modo, ma ovviamente, facendo riferimento ad un
asse y = a parallelo all’asse x.
Traslazione
Prima di ricavare le equazioni della traslazione occorre dare alcune indicazioni sulla
rappresentazione dei vettori sul piano cartesiano.
Vettori nel piano cartesiano
Nel piano cartesiano ciascun vettore viene individuato dalle sue componenti, cioè le proiezioni del
vettore stesso sull’asse X (Vx) e sull’asse y (Vy) (vedi fig. 15); si scriverà: V(Vx, Vy).
y
Q
YQ
Vy
Yp
P
Vx
XP
XQ
x
Fig.15
12
Ad esempio V(2, − 5) vuol dire che la sua proiezione sull’asse X vale 2 e quella su Y vale −5;
quindi per rappresentare il vettore in un dato punto P collocherò la “coda” in P e per individuare la
“punta” conterò 2 quadretti a destra e 5 in basso (− 5).
Traslazione di vettore V
y
Equazioni di trasformazione:
P’
Y’
Vy
Yp
X’ = X + Vx
P
7)
Y’ = Y+ Vy
Vx
XP
X’
x
Fig.16
Per ricavare le equazioni della traslazione basta osservare la fig. 16, da cui si ricava
immediatamente che per ottenere le coordinate di P’ basta aggiungere Vx a X e per ottenere Y’
basta aggiungere Vy a Y.