Microeconomia, Esercitazione 2
Elasticità, vincolo di bilancio del consumatore, paniere ottimo
Dott. Giuseppe Francesco Gori
Domande a risposta multipla
1) Se la curva di domanda 𝑝 = 18 − 3 ∙ 𝑞 ha un’elasticità rispetto al prezzo 𝜀 = 1/2 , in
corrispondenza di quale prezzo ci troviamo?
a) 4;
b) 6;
c) 10;
d) 8.
2) L'elasticità incrociata della domanda del bene x al prezzo del bene y:
a) è il rapporto fra la variazione della domanda del bene y e la variazione del prezzo del bene
y;
b) è la variazione percentuale del prezzo del bene x dovuta all'aumento della domanda per y;
c) è il rapporto fra la variazione percentuale della domanda di x e la variazione
percentuale del prezzo di y;
d) e il reciproco dell'elasticità congiunta dei beni x e y .
3) Un'analisi di mercato ha permesso di determinare che attualmente l'elasticità puntuale e la
domanda di sogliole sono pari rispettivamente a −4 e 𝑞 = 120 − 𝑃. Quale è il prezzo delle
sogliole che attualmente si osserva sul mercato?
a)
b)
c)
d)
24 euro;
80 euro;
120 euro;
nessuno dei precedenti.
4) Un'analisi del mercato delle colombe pasquali ha permesso di determinare che attualmente
l'elasticità puntuale e la domanda di mercato sono pari rispettivamente a -3 e 𝑞 = 100 − 𝑝.
Quale è la quantità di colombe attualmente venduta sul mercato?
a)
b)
c)
d)
50
25
75
100
5) Antonio compra solo due beni, sigarette e banane. Il costo di un pacchetto di sigarette è di 4
euro e il costo di un chilo di banane è di 3 euro. Se Antonio spendesse tutto il suo reddito
settimanale in banane, potrebbe comprare 12 chili di banane la settimana. Se spendesse tutto il
suo reddito in sigarette, quanti pacchetti di sigarette la settimana potrebbe comprare?
1
a)
b)
c)
d)
36;
48;
9;
nessuna delle altre risposte indicate è corretta.
6) Se vi sono due beni e se il reddito del consumatore e il prezzo del bene 1 raddoppiano, mentre
il prezzo del bene 2 resta costante, il consumatore:
a)
b)
c)
d)
aumenta la domanda del bene 1 solo se è un bene di Giffen;
diminuisce la domanda del bene 2 solo se è un bene di Giffen;
aumenta la domanda del bene 2 solo se è un bene inferiore;
diminuisce la domanda del bene 2 solo se è un bene inferiore.
!
7) Se la domanda di mercato è data dalla funzione q = 40 − ! ∙ p come varia la spesa
complessiva dei consumatori se il prezzo aumenta di poco, partendo dal valore iniziale di p =
30 ?
a)
b)
c)
d)
La spesa aumenta
La spesa rimane invariata
La spesa diminuisce
Nessuna delle risposte precedenti.
!
8) Se la domanda di mercato è data dalla funzione q = 80 − ! ∙ p , come varia la spesa
complessiva dei consumatori se il prezzo aumenta dell’1%, partendo dal valore iniziale di p =
15 ?
a)
b)
c)
d)
La spesa aumenta
La spesa rimane invariata
La spesa diminuisce
Nessuna delle risposte precedenti.
9) L’elasticità rispetto al prezzo della domanda lungo una curva di domanda lineare:
a) Varia in valore assoluto da zero dove la curva di domanda interseca l’asse Y a infinito
sull’asse X;
b) Varia da infinito dove la curva di domanda interseca l’asse Y a zero sull’asse X;
c) Ha elasticità unitaria (uguale a meno 1) nel punto di mezzo della curva di domanda;
d) Sono vere entrambe le risposte b e c.
10) Un consumatore consuma solo bene 1 e bene 2. Quando il prezzo del bene 1 aumenta senza
che sia cambiato il prezzo del bene 2 né il reddito del consumatore, egli compra meno sia del
bene 1 che del bene 2. Da questa informazione possiamo concludere con certezza che
a)
b)
c)
d)
2
il bene 1 è un bene normale
il bene 2 è un bene normale
il bene 1 è un bene inferiore
il bene 2 è un bene inferiore
11) Un certo consumatore considera ogni tazza di caffè perfetto sostituto di due tazze di tè. Se una
tazza di caffè costa 7$ e una tazza di tè costa 4$, quale sarà la sua domanda di tazze di tè se
dispone di un reddito di 56$?
a)
b)
c)
d)
sarà di 8 tazze di tè
sarà di 16 tazze di tè
sarà di una qualsiasi quantità fra 0 e 16
sarà di 0 tazze di tè
12) Nel caso di beni perfettamente complementari:
a)
b)
c)
d)
L’effetto reddito è nullo.
L’effetto complessivo è nullo.
L’effetto di sostituzione è negativo.
nessuna delle precedenti.
13) Per effetto di sostituzione si intende:
a) La variazione della quantitá domandata di un bene a seguito della variazione del suo prezzo.
b) La variazione del prezzo di un bene in seguito alla variazione del prezzo di un bene
sostituto.
c) La variazione della quantitá domandata di un bene in seguito alla variazione del prezzo di un
bene sostituto.
d) La variazione della quantitá domandata di un bene in seguito alla variazione della
convenienza relativa degli altri beni.
14) Il prezzo di riserva di un bene è definito come:
a) la somma di denaro massima che un soggetto è costretto a dare in cambio di una ulteriore
unità di quel bene
b) la somma di denaro minima che un soggetto è disposto a dare in cambio di quel bene
c) la somma di denaro massima che un soggetto è disposto a dare in cambio di quel bene
d) la somma di denaro massima che un soggetto è disposto a dare in cambio di una
ulteriore unità di quel bene
e) nessuna delle altre risposte indicate è corretta
15) Nel caso di beni perfetti complementi:
a) l'effetto di sostituzione è sempre nullo
b) l'effetto reddito è sempre nullo
c) i due effetti non si possono calcolare
3
Esercizi
Esercizio 1
Il mercato presenta una funzione di domanda pari a:
𝑝 ! = 40 − 3 ∙ 𝑞 !
e una funzione di offerta pari a:
𝑝 ! = 30 + 2 ∙ 𝑞 !
Si determini:
1) L’equilibrio del mercato;
2) L’elasticità della domanda e dell’offerta nel punto di equilibrio;
3) Il punto della funzione di domanda nel quale l’elasticità è unitaria.
Svolgimento
Punto (1)
La soluzione del primo punto richiede di risolvere il sistema:
𝑝 = 40 – 3 ∙ 𝑞
𝑝 = 30 + 2 ∙ 𝑞
→
30 + 2 ∙ 𝑞 = 40 – 3 ∙ 𝑞
𝑝 = 30 + 2 ∙ 𝑞
→
5 ∙ 𝑞 = 10
𝑝 = 30 + 2 ∙ 𝑞
La soluzione è 𝑝∗ , 𝑞 ∗ = (34; 2). Mentre la rappresentazione grafica:
"
p
"
S
40"
p* = 34
30"
D
&15"
q* = 2
40/3"
"
q
Punto (2)
Per calcolare il valore dell’elasticità della domanda nel punto di equilibrio basta ricordarne la
definizione:
𝜀 = 4
𝑑𝑞 𝑝
. 𝑑𝑝 𝑞
Indica la misura della sensibilità della quantità nei confronti di variazioni del prezzo in termini
relativi o percentuali. Nel nostro caso, con funzioni lineari, il rapporto incrementale (𝑑𝑞/𝑑𝑝)
coincide con l’inverso del coefficiente angolare della retta in questione (che è pari a -3). Per la
funzione di domanda avremo, in valore assoluto:
𝜀! = 𝑑𝑞 𝑝 1 34
. = ∙
= 5,6 𝑑𝑝 𝑞 3 2
La funzione di domanda è sempre decrescente, quindi possiamo considerare l’elasticità in valore
assoluto. Nel caso dell’offerta avremo:
𝜀! = 𝑑𝑞 𝑝 1 34
. = ∙
= 8,5 𝑑𝑝 𝑞 2 2
Punto (3)
Per trovare i valori in corrispondenza dei quali l’elasticità della domanda è unitaria, ritorniamo alla
definizione di elasticità e poniamo 𝜀 = 1:
𝜀! = 𝑑𝑞 𝑝
1 𝑝
. = 1 → 𝜀! = ∙ = 1
𝑑𝑝 𝑞
3 𝑞
da cui
𝑝 =3∙𝑞
possiamo allora scrivere un sistema nel quale quest’ultima condizione si associa alla definizione di
curva di domanda:
𝑝=3∙𝑞
𝑝 = 40 − 3 ∙ 𝑞
→
𝑝=3∙𝑞
𝟑 ∙ 𝒒 = 𝟒𝟎 − 𝟑 ∙ 𝒒
→
𝑝=3∙𝑞
𝟔 ∙ 𝒒 = 𝟒𝟎
→
𝒑 = 𝟐𝟎
𝟒𝟎
𝒒=
𝟔
Valori in corrispondenza dei quali, la domanda presenta elasticità unitaria rispetto alle variazioni di
prezzo.
Esercizio 2 (più difficile)
La spesa totale di un consumatore per un unico bene è pari a:
100 ∙ 𝑝 − 𝑝!
Supponendo che la domanda sia lineare, individuate un valore del prezzo in corrispondenza del
quale la domanda è elastica, e un valore del prezzo in corrispondenza del quale la domanda è
anelastica.
Svolgimento
La risoluzione richiede di scrivere la definizione generica di spesa totale e di uguagliarla a quella
fornita dal testo dell’esercizio
𝑝 ∙ 𝑞 = 100 ∙ 𝑝 − 𝑝! → 𝑝 ∙ 𝑞 = 𝑝 ∙ (100 − 𝑝) → 𝑞 = 100 − 𝑝
5
A questo punto possiamo scrivere la domanda inversa, che sarà
𝑝 = 100 − 𝑞
Dalla teoria sappiamo che l’elasticità (puntuale) della domanda al prezzo è
𝜀 = 𝑑𝑞 𝑝
. 𝑑𝑝 𝑞
e dato che la pendenza di una generica curva di domanda inversa è pari a
𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑧𝑎 = 𝑑𝑝
𝑑𝑞
possiamo scrivere l’elasticità come:
𝜀 = 1
𝑝
. 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑞
Nel nostro caso la pendenza della curva è pari al coefficiente di q nella funzione di domanda
inversa, ovvero è -1. Abbiamo quindi che:
𝜀 = 1 𝑝
𝑝
. = −1 𝑞
𝑞
A questo punto è nostro interesse esprimere l’elasticità unicamente in funzione del prezzo. Per farlo
utilizziamo la definizione di quantità che abbiamo dalla curva di domanda diretta (q = 100 − p)
sostituendo quest’ultima nella definizione di elasticità:
𝜀 =
𝑝
100 − 𝑝
Individuare il tratto anelastico della curva significa individuare l’intervallo di prezzi tali che
l’elasticità sia minore dell’unità, basterà allora imporre che quest’ultima condizione sia rispettata:
𝑝
< 1 → 𝑝 < 100 − 𝑝 → 2 ∙ 𝑝 < 100 → 𝑝 < 50 100 − 𝑝
Dunque, nell’intervallo 0 < 𝑝 < 50, la domanda é anelastica, per p > 50 é invece elastica.
𝜀<1→
Esercizio 3
Il New York Times ha riferito, il 17 Febbraio 1996, che i passeggeri della metropolitana di New
York sono diminuiti in conseguenza dell’aumento della tariffa di trasporto: "Nel Dicembre 1995, il
primo mese dopo che il biglietto è stato aumentato di 25 centesimi, portandolo a 1,50 dollari, si
contavano 4 milioni di passeggeri in meno, rispetto allo stesso mese dell’anno precedente: una
diminuzione del 4,3%".
Utilizzate questi dati per calcolare l’elasticità della domanda di trasporti in metropolitana rispetto al
prezzo.
Svolgimento
6
Anche se riporta in maniera diretta soltanto i valori degli scostamenti di prezzo (∆𝑝 = 0,25) e di
quantità (∆𝑞 = 4.000.000), l’esercizio fornisce tutti i dati necessari per calcolare il valore
dell’elasticità puntuale. In particolar modo il valore del prezzo è ottenibile come differenza tra
prezzo di arrivo (1,50) e scostamento, sarà dunque (p = 1,25) mentre la quantità è desumibile dal
fatto che lo scostamento ne rappresenta il 4,3%. Possiamo dunque scrivere
0,043 ∙ 𝑞 = 4.000.000 → 𝑞 =
L’elasticità puntuale è dunque pari a:
𝜀=
4.000.000
0,043
4.000.000
1,25
4.000.000
0,043
1,25
∙
=
∙
∙ 1,25 =
∙ 0,043 = 0,215 4.000.000
0,25
0,25
4.000.000
0,25
0,043
Esercizio 4
In corrispondenza di una quantità pari a 12.000 televisori alla settimana, l’elasticità della domanda
di televisori rispetto al suo prezzo è pari a 0,6. Di quanto varia quindi la domanda se il prezzo
aumenta del 5%?
Svolgimento
Si consideri la seguente definizione di elasticità puntuale:
∆𝑞/𝑞
∆𝑝/𝑝
L’esercizio fornisce direttamente il valore del denominatore (pari al 5% ovvero a 0,05) nonché il
valore di q e di ε. Abbiamo quindi che l’unica incognita rimane la variazione della domanda,
possiamo esplicitarla nel seguente modo:
𝜀=
0,6 =
∆𝑞/12.000
→ ∆𝑞 = 0,6 ∙ 0,05 ∙ 12.000 = 0,03 ∙ 12.000 = 360 0,05
La domanda subisce dunque una contrazione di 360 unità.
Esercizio 5
Sabrina ha uno stipendio di 1.000 euro al mese, che spende totalmente in cene (il cui prezzo medio
è di 50 euro) e scarpe (il cui prezzo medio è pari a 100 euro).
1) Scrivere e rappresentare il vincolo di bilancio di Sabrina;
2) Sabrina si fidanza e siccome il suo reddito è più alto tra i due deve pagare per tutti e due. Il
costo medio di una cena diviene 100 euro;
3) La casa preferita da Sabrina presenta la collezione primavera-estate, con un nuovo modello il
cui prezzo è pari a 200. Sabrina decide di comprare il nuovo modello;
4) A causa dell'inflazione, entrambi i prezzi aumentano del 50%;
5) Sabrina ottiene un aumento di stipendio. Il suo reddito mensile passa a 1200 euro.
Svolgimento
7
Punto (1)
Per scrivere il vincolo di bilancio è necessario individuare prezzi e reddito. I prezzi sono
𝑝!"#" = 50; 𝑝!"#$%& = 100 mentre il reddito è
𝑀 = 1.000
l’equazione del vincolo di bilancio sarà allora
𝑀 = 𝑞!"#" ∙ 𝑝!"#" + 𝑞!"#$%& ∙ 𝑝!"#$%& → 1.000 = 𝑞!"#" ∙ 50 + 𝑞!"#$%& ∙ 100
Per individuarne la pendenza è utile riscriverlo come
𝑞!"#$%& = 𝑓(𝑀, 𝑞!"#" , 𝑝!"#" , 𝑝!"!"#$ )
otterremo quindi
𝑞!"#$%& =
𝑀
𝑝!"#$%&
−
𝑝!"#"
1.000 50
∙ 𝑞!"#" → 𝑞!"#$%& =
−
∙𝑞
→
𝑝!"#$%&
100
100 !"#"
1
→ 𝑞!"#$%& = 10 − ∙ 𝑞!"#"
2
il coefficiente di 𝑞!"#" (che nel nostro caso sarà la variabile rappresentata sull’asse delle ascisse) è
appunto la pendenza del vincolo di bilancio e coincide con l’opposto del rapporto tra i prezzi dei
!
due beni, mentre !
= 10 è l’intercetta del vincolo sull’asse delle ordinate. La sua
!"#$%&
rappresentazione grafica è dunque:
scarpe$
M
= 10
pscarpe
pcene
1
=−
pscarpe
2
M
= 20
pcene
cene$
Punto (2)
Il testo di questo punto suggerisce una variazione del prezzo di un bene (le cene) fermo restando
quello dell’altro bene. Il vincolo di bilancio allora diverrà
8
1.000 = 𝑞!"#" ∙ 100 + 𝑞!"#$%& ∙ 100
ovvero
𝑞!"#$%& =
1.000 100
−
∙𝑞
→ 𝑞!"#$%& = 10 − 1 ∙ 𝑞!"#" 100
100 !"#"
La variazione del prezzo ha quindi determinato un aumento dell’inclinazione della retta (in valore
assoluto). Il vincolo di bilancio ruota dunque in senso orario facendo perno sull’intercetta verticale
(dato che non varia la quantità massima di scarpe che Sabrina può permettersi)
scarpe$
M
pscarpe
= 10
pscarpe
1
=−
pcene
2
p 'cene
= −1
pscarpe
pcene
1
=−
pscarpe
2
M
= 10
p 'cene
M
= 20
pcene
cene$
Punto (3)
In questo caso varia il prezzo delle scarpe. Il vincolo di bilancio allora diverrà
1.000 = 𝑞!"#" ∙ 50 + 𝑞!"#$%& ∙ 200
ovvero
𝑞!"#$%& =
1.000 50
1
−
∙ 𝑞!"#" → 𝑞!"#$%& = 5 − ∙ 𝑞!"#"
200
200
4
La variazione del prezzo ha quindi determinato una riduzione dell’inclinazione della retta (in valore
assoluto). Il vincolo di bilancio ruota dunque adesso in senso antiorario facendo perno
sull’intercetta orizzontale (dato che non varia la quantità massima di cene che Sabrina può
permettersi rispetto al punto (1))
9
scarpe$
M
pscarpe
= 10
M
=5
p 'scarpe
pcene
1
=−
pscarpe
2
pcene
1
=−
p 'scarpe
4
M
= 20
pcene
cene$
Punto (4)
In questo caso è necessario calcolare il nuovo livello di entrambi i prezzi:
𝑝′!"!" = 𝑝!"#" ∙ 1 + 0,5 ; 𝑝′!"#$%& = 𝑝!"#$%& ∙ 1 + 0,5
𝑝′!"#" = 50 ∙ 1 + 0,5 = 75; 𝑝! !"#$%& = 100 ∙ 1 + 0,5 = 150
e il vincolo di bilancio che ne deriva sarà
1.000 = 𝑞!"#" ∙ 75 + 𝑞!"#$%& ∙ 150
ovvero
𝑞!"#$%& =
1.000 75
1
−
∙ 𝑞!"#" → 𝑞!"#$%& = 6,6 − ∙ 𝑞!"#"
150
150
2
La variazione del prezzo non ha determinato una riduzione dell’inclinazione della retta, ovvero non
è mutato il costo opportunità dei due beni. Il vincolo si sposta però parallelamente a se stesso verso
sinistra: le possibilità di consumo di Sabrina quindi diminuiscono dato che entrambi i beni sono
adesso più costosi.
10
scarpe$
M
pscarpe
= 10
M
= 6, 6
p 'scarpe
pcene
1
=−
p 'scarpe
2
pcene
1
=−
pscarpe
2
M
= 13, 3
p 'cene
M
= 20
pcene
cene$
Punto (5)
In questo caso il vincolo di bilancio che sarà
1.200 = 𝑞!"#" ∙ 50 + 𝑞!"#$%& ∙ 100
ovvero
𝑞!"#$%& =
1.200 50
1
−
∙ 𝑞!"#" → 𝑞!"#$%& = 12 − ∙ 𝑞!"#"
100
100
2
L’aumento non ha determinato una riduzione dell’inclinazione della retta, ovvero ancora una volta
non è mutato il costo opportunità dei due beni. Il vincolo si sposta questa volta parallelamente a se
stesso verso destra ad indicare un aumento delle possibilità di consumo di Sabrina.
scarpe$
M'
= 12
pscarpe
M
pscarpe
= 10
M'
= 24
pcene
pcene
1
=−
pscarpe
2
M
= 20
pcene
cene$
11
Esercizio 6 (più difficile)
Un consumatore percepisce un reddito di 1.000 euro e può acquistare solo orologi e televisori. Il
prezzo dei due beni è rispettivamente di 25 euro e di 50 euro.
1) Scrivete e disegnate il suo vincolo di bilancio rappresentando la quantità di orologi sull’asse
delle ordinate e quella dei televisori sull’asse delle ascisse.
2) Definite una nuova coppia di prezzi per cui l’inclinazione della retta non cambia.
3) Individuate la quantità massima di orologi che il consumatore può acquistare nel caso in cui
rimanga costante quella massima di televisori e l’inclinazione del vincolo sia pari a −1.
4) Ripetete l’esercizio del punto precedente nel caso in cui l’inclinazione del vincolo sia pari a
−1/2.
5) A partire dal vincolo identificato nel punto precedente e ipotizzando che il prezzo dei televisori
non sia variato rispetto all’ipotesi iniziale, trovate quale variazione di reddito sarebbe
necessaria al consumatore per tornare a consumare la quantità massima di orologi che
consumava in corrispondenza del vincolo originario. Con questo nuovo reddito quanti televisori
potrebbe permettersi al massimo?
Svolgimento
Punto (1)
Date le informazioni dell’esercizio, l’equazione del vincolo di bilancio sarà
1.000 50
−
∙ 𝑇 → 25
25
→ 𝑂 = 40 − 2 ∙ 𝑇 1000 = 25 · 𝑂 + 50 · 𝑇 → 𝑂 =
dove O rappresenta la quantità di orologi e T quella di televisori:
orologi)
M
= 40
pO
pT
= −2
pO
12
M
= 20
pT
televisori)
Punto (2)
Una variazione dei prezzi nella stessa percentuale lascerebbe invariato il loro rapporto e quindi la
pendenza del vincolo. Ad esempio, se i due prezzi raddoppiassero (un aumento del 100%) avremmo
che
𝑝′! = 50; 𝑝′ ! = 100
e
1.000 100
−
∙ 𝑇 → 50
50
→ 𝑂 = 20 − 2 ∙ 𝑇 1000 = 50 · 𝑂 + 100 · 𝑇 → 𝑂 =
Punto (3)
Se la quantità massima acquistabile di televisori rimane costante, abbiamo necessariamente che
𝑀
= 20
𝑝!
Se inoltre la nuova pendenza del vincolo è pari a -1, abbiamo che
𝑝! = 𝑝!
Allora, sostituendo la seconda equazione nella prima, abbiamo che
𝑀
= 20
𝑝!
che è la quantità massima di orologi che adesso è possibile consumare.
Punto (4)
Nel caso in cui l’inclinazione sia -1/2, avremo che
𝑝! =
e quindi
1
∙𝑝
2 !
1
𝑀
𝑀 = 20 ∙ 𝑝! → 𝑀 = 20 ∙ ∙ 𝑝! →
= 10
2
𝑝!
Punto (5)
Per quanto riguarda il punto (5), dato che il prezzo dei televisori non è cambiato e che vale ancora
!
l’ultima condizione p! = ! ∙ p! il prezzo degli orologi dovrà essere pari a
p! = 2 ∙ p! = 100
Se il consumatore (nell’ipotesi del punto (4)) riesce a consumare al massimo 10 unità di orologi
avrà bisogno allora di un aumento di reddito pari al valore delle 30 unità che gli mancano per
arrivare a quelle che riusciva a consumare nell’ipotesi iniziale dell’esercizio (punto (1)).
Dato il prezzo p! = 100, il suo reddito dovrebbe allora aumentare di 30 · 100 = 3.000 𝑒𝑢𝑟𝑜; in
quel caso, con un reddito pari a 𝑀′ = 4.000 euro complessivi sarebbe in grado di acquistare al
massimo 80 televisori
M′ 4000 = = 80 P!
50
13
orologi)
M
= 40
pO
30)
M
= 10
p'O
pT
= −2
pO
pT
1
=−
pO
2
televisori)
M
= 20
pT
M'
= 80
pT
Esercizio 7
Il consumatore ha una funzione di utilità data da
!
!
𝑈 = 𝑥 ! ∙ 𝑦 !
Il prezzo del bene 𝑥 è 6, il prezzo di 𝑦 è 9 e il reddito a disposizione 𝑀 = 54.
1) Si calcoli e si rappresenti graficamente la curva di indifferenza di livello 2.
2) Si calcoli e si rappresenti graficamente la scelta ottimale del consumatore (𝑆𝑀𝑆 = 𝑦/2𝑥).
Svolgimento
Punto 1
!
!
La curva in questione ha equazione implicita 2 = 𝑥 ! ∙ 𝑦 ! ed esplicita 𝑦 = 4/ 𝑥. Passa per i punti
(4, 2), (9,4/3), (16,1).
Punto 2
Per calcolare la scelta ottimale del consumatore è necessario innanzitutto scrivere l’equazione del
vincolo di bilancio:
54 = 6 ∙ 𝑥 + 9 ∙ 𝑦
ovvero
2
𝑦 =6− ∙𝑥
3
la cui pendenza è pari a −2/3.
Data la forma della funzione di utilità, le curve di indifferenza saranno necessariamente di forma
14
iperbolica. Per trovare l’ottimo del consumatore dovremo allora utilizzare il metodo della tangenza,
ovvero imporre che il rapporto tra le utilità marginali derivanti dal consumo dei due beni (il saggio
marginale di sostituzione) sia uguale al rapporto tra i prezzi.
Il saggio marginale di sostituzione è
𝜕𝑈 1 !!! !!
∙𝑥 ∙𝑦
𝑈𝑀𝑥
1 𝑦
𝑆𝑀𝑆!,! =
= 𝜕𝑥 = 4 !
= ∙
!
𝑈𝑀𝑦 𝜕𝑈 1 ! !! 2 𝑥
𝜕𝑦 2 ∙ 𝑥 ∙ 𝑦
e la condizione di tangenza
𝑝! 1 𝑦 2
𝑆𝑀𝑆!,! =
→ ∙ =
𝑝! 2 𝑥 3
da cui
4
𝑦 = ∙𝑥
3
e il sistema sarà
4
4
4
4
∙𝑥
𝑦= ∙𝑥
3
3
→
→ 𝑦=3∙𝑥 → 𝑦=3∙𝑥
2
𝟒
𝟐
𝟐∙𝒙=𝟔
𝒙=𝟑
𝑦=6− ∙𝑥
∙𝒙=𝟔− ∙𝒙
3
𝟑
𝟑
𝑦=
𝑦∗ = 4
→
𝑥∗ = 3
Sostituendo le quantità ottimali di x e y nella funzione di utilità
!
!
𝑈 = (3)! ∙ (4)! =
!
3 ∙ 4 = 1,31 ∙ 2 = 2,62
possiamo verificare che il paniere ottimale giace sulla curva di indifferenza di livello 2,6. La
rappresentazione grafica dell’equilibrio è la seguente
y
6"
y* = 4
U = 2, 6
x* = 3
9"
x
15
Esercizio 8
Il consumatore ha una funzione di utilità data da
!
!
𝑈 = 𝑥 ! ∙ 𝑦 !
Il prezzo del bene 𝑥 è 4, il prezzo di 𝑦 è 8 e il reddito a disposizione 𝑀 = 48.
1) Si scriva il vincolo di bilancio e si determini il paniere d’equilibrio. Quale livello di utilità
raggiunge il consumatore?
2) Si scelga un livello di utilità inferiore o superiore a quello trovato e si indichi quale variazione
nel reddito del consumatore (rispettivamente negativa e positiva) ne determinerebbe il
raggiungimento.
Svolgimento
Punto 1
Il vincolo di bilancio è
48 = 4 · 𝑥 + 8 · 𝑦
L’individuazione del paniere ottimale richiede innanzitutto di imporre la condizione di tangenza tra
curve di indifferenza e vincolo di bilancio. A tal fine è necessario scrivere l’equazione del saggio
marginale di sostituzione. Questa volta, a differenza dello svolgimento dell’esercizio precedente,
utilizziamo la (analoga) formula
𝑎 𝑦
𝑆𝑀𝑆!,! = ∙
𝑏 𝑥
dove a è l’esponente del bene x, mentre b è l’esponente del bene y nella funzione di tipo CobbDouglas. Avremo allora che:
1/3 𝑦 1 𝑦
𝑆𝑀𝑆!,! =
∙ = ∙
2/3 𝑥 2 𝑥
e quindi la condizione di tangenza sarà:
𝑝! 1 𝑦 1
𝑆𝑀𝑆!,! =
→ ∙ =
𝑝! 2 𝑥 2
da cui
𝑦=𝑥
questo significa che qualsiasi paniere ottimale deve essere tale che il consumatore scelga un’uguale
quantità dei due beni. Quante unità si potrà permettere di acquistare dipenderà dal suo livello di
reddito; è infatti sostituendo la condizione di tangenza nel vincolo di bilancio che otteniamo la
quantità ottimale:
48 = 4 · 𝑥 + 8 · 𝑥 → 48 = 12 · 𝑥 → 𝑥 ∗ = 4 e il paniere di equilibrio è quindi (4,4). Sostituendo le quantità di equilibrio nella funzione di utilità
otteniamo
!
!
! !
𝑈(4, 4) = 4! ∙ 4! = 4!!! = 4 Punto 2
16
Un qualsiasi altro livello di utilità z sarebbe quindi raggiungibile solo potendo consumare un
paniere (z, z). Questo significa che il reddito dell’individuo dovrebbe essere almeno pari a
𝑀′ = 4 · 𝑧 + 8 · 𝑧 → 𝑀′ = 12 · 𝑧 a titolo di esempio, un’utilità pari a 5 (z=5) sarebbe raggiungibile con un reddito pari a 60 (euro).
Esercizio 9
Si consideri un consumatore con funzione di utilità del tipo:
𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑥 ∙ 𝑦 I prezzi dei beni sono 𝑝! = 4 e 𝑝! = 2, mentre il reddito del consumatore é pari a 40 euro.
1) Si scriva il vincolo di bilancio e si determini il paniere di equilibrio.
2) Mantenendo fissi il prezzo del bene y e il reddito si scriva la curva di domanda individuale per
il bene x.
3) Si scriva la curva reddito-consumo del bene y.
Svolgimento
Punto 1
La risoluzione del punto (1) dell’esercizio è identica a quella del corrispondente punto dell’esercizio
precedente e il paniere d’equilibrio è (5,10).
Punto 2
Per quanto riguarda il punto (2) è necessario osservare che la curva di domanda individuale del bene
x è funzione unicamente di 𝑝! . Dobbiamo allora ripetere la procedura dell’esercizio precedente
lasciando come incognita il prezzo del bene x. Nel nostro caso la condizione di tangenza è
𝑝! 𝑦 𝑝!
𝑆𝑀𝑆!,! =
→ =
𝑝! 𝑥
2
da cui
𝑦=
𝑝! ∙ 𝑥
2
avremo che il vincolo di bilancio è rappresentabile come
40 = 𝑝! · 𝑥 + 2 · 𝑦 → 40 = 𝑝! · 𝑥 + 2 ·
𝑝! ∙ 𝑥
→ 40 = 2 · 𝑝! · 𝑥
2
quest’ultima uguaglianza ricaviamo
𝑥=
40
20
=
2 · 𝑝! 𝑝!
che è appunto la domanda individuale del bene x.
Punto 3
Per scrivere la curva reddito-consumo relativa al bene y è necessario risolvere il problema del
17
consumatore lasciando come incognita il reddito (M). Ricordiamo che la condizione di tangenza
(dove ora abbiamo sostituito tutti e due i livelli di prezzo) è:
𝑦 =2∙𝑥
mentre il vincolo di bilancio è
𝑀 =4·𝑥+2·𝑦
sostituendo la prima nella seconda abbiamo
𝑴 𝑴
𝑦=2∙𝑥
𝒚=𝟐∙ =
𝟖
𝟒
→
→
→
𝑴 →
𝑀
𝒙=
𝑀=4·𝑥+2·𝑦
𝑴=𝟒·𝒙+𝟐·𝟐∙𝒙
𝟖∙𝒙=𝑴
𝑥=
𝟖
8
!
!
dunque 𝑦 = ! è la curva reddito consumo relativa al bene y (mentre 𝑥 = ! è quella relativa al bene
x).
𝑦=2∙𝑥
𝑦=2∙𝑥
𝑦=2∙𝑥
Esercizio 10
La funzione di utilità di Aldo è la seguente:
𝑈 (𝑥, 𝑦) = 3𝑥 + 5𝑦 Sapendo che il reddito di Aldo é pari a 60 euro e che 𝑝! = 12 e 𝑝! = 6,
1) Determinate il paniere di equilibrio;
2) Come varia il paniere di equilibrio se Aldo subisce una riduzione del reddito pari al 20%?
3) Supponete che, dato il nuovo reddito, i prezzi di mercato varino, in modo che i nuovi prezzi
siano 𝑝! = 4 e 𝑝! = 10. In corrispondenza del vecchio paniere di equilibrio (punto (2)), Aldo
otteneva un’utilità superiore, pari o inferiore a quella che ottiene in corrispondenza del nuovo?
Svolgimento
Punto 1
Si osservi che data la forma della funzione di utilità le curve di indifferenza saranno delle rette e
quindi, nel caso in cui la pendenza di queste sia diversa da quella del vincolo di bilancio, avremo
una soluzione d’angolo, ovvero il paniere d’equilibrio sarà necessariamente un paniere con o x o y
uguali a zero. Nel nostro caso il saggio marginale di sostituzione è pari a
𝑆𝑀𝑆!,! =
!
mentre il rapporto tra i prezzi è !! =
!
!"
!
3
5
= 2. Le curve di indifferenza sono quindi meno inclinate
del vincolo di bilancio e il paniere di equilibrio é in corrispondenza di 10 unità di y e 0 di x, ovvero
l’intercetta verticale del vincolo di bilancio
60 = 12 · 𝑥 + 6 · 𝑦
18
y
10"
(x*, y*) = (0,10)
#3/5"
#2"
5"
x
Punto 2
Una riduzione del reddito del 20% non cambia la pendenza del vincolo di bilancio e quindi
determina una variazione quantitativa del paniere di equilibrio ma non qualitativa (sarà sempre la
soluzione d’angolo sull’asse delle ordinate); avremo che 𝑀′ = 𝑀 · 0, 8 = 60 · 0,8 = 48 e il
!"
paniere di equilibrio sarà in corrispondenza di 𝑦 = ! = 8.
Possiamo ricavare l’utilità che Aldo ottiene in corrispondenza di questo paniere sostituendo le
quantità di equilibrio nella sua funzione di utilità. avremo quindi che
𝑈 (0, 8) = 3 · 0 + 5 · 8 = 40 Punto 3
Nel caso del punto (3) avremo invece un equilibrio in corrispondenza della soluzione d’angolo
opposta (sull’asse delle ascisse) dato che il rapporto tra i prezzi è adesso inferiore rispetto
all’inclinazione delle curve di indifferenza. Il paniere di equilibrio sarà in corrispondenza di (12,0) e
l’utilità che Aldo ne deriva pari a
𝑈 (12, 0) = 3 · 12 + 5 · 0 = 36 inferiore al caso precedentemente illustrato.
Esercizio 11
Per Armando X e Y sono beni perfettamente sostituibili; in particolare, egli è sempre disposto a
scambiare 3 unità di X con 2 unità di Y. Il prezzo unitario di X è 5 euro, quello di Y è di 8 euro e il
reddito di Armando è di 40 euro.
1) Tracciate la mappa delle curva di indifferenza di Armando e il suo vincolo di bilancio;
2) Supponete che il prezzo unitario di X salga a 6 euro e tutto il resto rimanga invariato; quante
unità di X consumerà ora Armando?
19
Svolgimento
Punti 1 e 2
La funzione di utilità dovrà dare curve di indifferenza lineari dato che il rapporto di sostituibilità tra
i beni è costante per il consumatore. Inoltre, se il consumatore è sempre disposto a scambiare 3
unità di x con 2 di y il suo SMS sarà pari a 2/3. Questo implica che le curve di indifferenza saranno
più inclinate del vincolo di bilancio (che ha pendenza uguale a 5/8) nel caso (1) e meno nel caso (2).
Armando sceglierà quindi sempre panieri d’angolo e consumerà zero unità di y nel caso (1) e zero
unità di x nel caso (2).
Esercizio 12
Un consumatore spende tutto il proprio reddito M = 100 per l’acquisto del bene x e del bene y e la
sua funzione di utilità ha forma
𝑈 (𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 2𝑦 I prezzi dei due beni sono 𝑝! = 1 e 𝑝! = 5,
1) Si calcoli e graficamente la scelta ottimale del consumatore;
2) Si calcoli e la curva di domanda del bene x.
Svolgimento
Punto 1
In questo caso la scelta ottimale sarà necessariamente in corrispondenza di (100,0) dato che il
saggio marginale di sostituzione (1/2) è superiore al rapporto tra i prezzi (1/5).
Punto 2
Finché si mantiene la condizione
𝑆𝑀𝑆!,! >
𝑝!
𝑝!
il consumatore sceglierà sempre una soluzione d’angolo di questo tipo. Questo si verifica fino a che
!
!
> !! !
ovvero fino a che
5
𝑝! < 2
!
La curva di domanda del bene x coinciderà allora con l’asse delle ordinate (ovvero x=0) per 𝑝! > !,
!
!
!""
!
!/!
per 𝑝! = ! sarà rappresentata da un punto qualsiasi compreso tra 0 e ! =
= 40 M = 100 = 40
(dato che questo caso la curva di indifferenza massima raggiungibile coincide con il vincolo di
!
!
!""
bilancio, avendo la stessa pendenza) e, infine, per 𝑝! < ! sarà 𝑝! = ! = ! (dato che in questo
!
caso vale necessariamente 𝑥 = ! ).
!
20
Esercizio 13 (Beni perfetti complementi)
Un consumatore ha la funzione di utilità data da
𝑈(𝑥, 𝑦) = 𝑚𝑖𝑛 [2𝑥; 3𝑦]
ed un reddito m=40. I prezzi dei due beni sono px=2 e py=5.
1) Si rappresentino il vincolo di bilancio e la mappa delle curve di indifferenza. In particolare si
consideri la curva di indifferenza di livello 12.
2) Si calcoli la scelta ottimale dei consumatori.
3) Si supponga che il prezzo del bene y aumenti fino a py'=7. Si calcoli e si rappresenti la nuova
scelta ottimale del consumatore.
4) Dati i nuovi prezzi, quale reddito dovrebbe avere il consumatore per potere mantenere invariata
la propria soddisfazione rispetto alla scelta iniziale?
Svolgimento
Punto 1
Il vincolo di bilancio
ha intercetta verticale
40 = 2 ∙ 𝑥 + 5 ∙ 𝑦 !
!!
= 8 e orizzontale
!
!!
= 20 , con pendenza
!!
!!
!
= !.
Le curve di
indifferenza sono a forma di L con cuspidi lungo il raggio di equazione
2
∙𝑥
3
I beni sono dunque perfetti complementi e la curva di indifferenza di livello 12 ha cuspide in
corrispondenza di 𝑥 = 12/2 = 6 e 𝑦 = 12/3 = 4.
𝑦=
Punto 2
La scelta ottima del consumatore si trova intersecando il raggio lungo il quale giacciono le cuspidi
delle curve di indifferenza ed il vincolo di bilancio. Il sistema è dunque
2
𝑦= ∙𝑥
3
40 = 2 ∙ 𝑥 + 5 ∙ 𝑦
e la soluzione è 𝑥 ∗ = 15/2 e 𝑦 ∗ = 5. La curva di indifferenza corrispondente è di livello 15.
21
y
y=
2
⋅x
3
8#
U = 15
15/2#
$2/5#
5#
20#
x
Punto 3
Il nuovo vincolo ha intercetta verticale 40/7. Il sistema da risolvere è adesso
2
∙𝑥
3
40 = 2 ∙ 𝑥 + 7 ∙ 𝑦
𝑦=
e la soluzione è 𝑥 ∗ = 6 e 𝑦 ∗ = 4. per una utilità di 12.
Punto 4
Per raggiungere nuovamente la curva di livello 15 il consumatore deve potere ottenere x=15/2 e
y=5. La spesa complessiva sarà allora
𝑀! = 2 ∙
22
15
+ 7 ∙ 5 = 50 2