Brevi cenni alle parametrizzazioni
Sia A un sottoinsieme di Rm . Un’applicazione differenziabile f : A → Rn si dice
parametrizzazione di f (A) ⊂ Rn se è un diffeomorfismo su f (A) (cioè se è
iniettiva con f −1 : f (A) → A differenziabile).
L’immagine f (A) di una tale parametrizzazione è quella che a volte viene
detta sottovarietà elementare di dimensione m. Una sottovarietà, in generale,
è ricoperta da parametrizzazioni tra loro “compatibili”.
Diamo solo degli esempi.
f : {t ∈ R: −π < t < π} → R2 ,
x2
a2
2
+ yb2 − 1 = 0 meno un punto
f (t) = a cos(t), b sin(t)
• Parametrizzazione dell’ellisse di equazione
• Parametrizzazioni dei due rami dell’iperbole di equazione
f± : R → R2 ,
x2
a2
f± (t) = ± a cosh(t), b sinh(t)
2
− yb2 − 1 = 0
• L’applicazione f da {θ ∈ R: −π < θ < π} × {ϕ ∈ R: − π2 < ϕ <
tale che
f (θ, ϕ) = (cos ϕ cos θ, cos ϕ sin θ, sin ϕ)
π
2}
a R3
è una parametrizzazione della sfera di centro 0 e raggio 1 privata di un
meridiano. La sua inversa è l’applicazione che a un punto sulla sfera
associa le sue coordinate longitudine e latitudine.
• La seguente è una parametrizzazione della sfera di centro 0 e raggio 1,
S2 = {x ∈ R3 : kxk = 1}, meno il polo nord P = (0, 0, 1):
f : R2 → S2 \ {P },
f (s, t) =
1
(2s, 2t, 1 − s2 − t2 ).
1 + s2 + t2
La sua inversa è la proiezione stereografica (dal polo nord) sul piano che
contiene l’equatore:
x
y
g: S2 \ {P } → R2 ,
g(x, y, z) =
,
.
1−z 1−z
• Sia A ⊂ Rm e f : A → Rn un’applicazione differenziabile, l’applicazione
φ: A → Rm+n , φ(x) = (x, f (x)), è una parametrizzazione del grafico di f .
• Superfici di rotazione. Sia A ⊂ R e f una parametrizzazione di f (A)
inclusa nel semipiano {(x, z) ∈ R2 : x > 0}. L’applicazione
φ: A × {t ∈ R: −π < t < π} → R3 ,
φ(s, t) = f1 (s)cos(t), f1 (s)sin(t), f2 (s) ,
è una parametrizzazione della superficie ottenuta ruotando la curva f (A)
intorno all’asse z (meno una curva).
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Sia f una parametrizzazione come sopra. Sia P ∈ A. Lo spazio tangente
a f (A) in f (P ), Tf (P ) f (A), è il sottospazio vettoriale di Rn generato dai vettori
∂f
∂f
(P ), . . . ,
(P ).
∂t1
∂tm
Poiché f è un diffeomorfismo sulla sua immagine, tali vettori sono linearmente
indipendenti e formano quindi una base di Tf (P ) f (A).
Esempi.
• L’ellisse.
f (t) = a cos(t), b sin(t) .
d
f (t) = − a sin(t), b cos(t) .
dt
Ad esempio, nel punto P di coordinate f (π/4), lo spazio
(in
√
√ tangente
questo caso di dimensione 1) è generato dal vettore (−a/ 2, b/ 2).
• La sfera.
f (θ, ϕ) = (cos ϕ cos θ, cos ϕ sin θ, sin ϕ).
∂
f (θ, ϕ) = (−cos ϕ sin θ, cos ϕ cos θ, 0).
∂θ
∂
f (θ, ϕ) = (−sin ϕ cos θ, −sin ϕ sin θ, cos ϕ).
∂ϕ
Ad esempio, nel punto P di coordinate f (π/4, π/4), lo spazio tangente
(in questo caso di√dimensione 2) è generato dai vettori (−1/2, 1/2, 0) e
(−1/2, −1/2, 1/ 2).
Funzione implicita. Consideriamo il luogo degli zeri di una funzione differenziabile F (x1 , . . . , xn ). Assumiamo che in un punto Q ∈ Rn con F (Q) = 0 si
abbia gradiente,
∂F
∂F
(Q), . . . ,
(Q) ∈ Rn ,
∂x1
∂xn
non nullo. In questo caso il punto si dice non singolare. Allora si può dimostrare
che esiste una parametrizzazione di un intorno di Q, f : A → Rn (A ⊆ Rn−1 e
f (A) intorno di Q). Se P ∈ A, con f (P ) = Q, lo spazio tangente nel punto Q è
uguale al sottospazio dei vettori ortogonali al gradiente di F in Q.
Infatti, per ogni j ≤ n − 1,
n
X ∂F
∂F ◦ f
∂fi
(P ) =
(f (P ))
(P ) = 0
∂tj
∂xi
∂tj
i=1
poiché F f (t1 , . . . , tn−1 ) = 0 in un intorno di P .
Esercizio: verificare esplicitamente la predetta ortogonalità nelle parametrizzazioni date sopra per l’ellisse e la sfera.
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La stessa cosa si generalizza anche agli zeri di più funzioni F1 , . . . , Fm differenziabili, dove i gradienti sono linearmente indipendenti. Esiste una parametrizzazione di un intorno, f : A → Rn , e lo spazio tangente è uguale al sottospazio
dei vettori ortogonali simultaneamente a tutti i gradienti delle F1 , . . . , Fm .
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