Capitolo 9
Strato limite compressibile
Dopo aver derivato le equazioni di Navier-Stokes nel Cap. 1 e con l’eccezione
di quanto visto nel §5.9, si è sempre considerato il caso di un fluido ideale,
governato quindi dalle equazioni di Eulero o, nel caso di flusso irrotazionale,
dall’equazione del potenziale. L’adozione del modello semplificato di fluido
non viscoso e non conducente è dovuta al fatto che la maggior parte dei fluidi
ha viscosità e conducibilità molto piccole. Inoltre, mentre la soluzione del
sistema completo delle equazioni di Navier-Stokes può essere ottenuta solo per
via numerica, il modello semplificato consente di ottenere soluzioni con metodi
semplici ed a volte anche in forma chiusa.
Sorge tuttavia il problema di valutare in che misura le soluzioni ottenute
con il modello semplificato approssimino le soluzioni delle equazioni di NavierStokes e siano quindi di utilità nella determinazione delle caratteristiche di
un flusso (ad esempio la portanza e la resistenza di un profilo alare). E’ noto
infatti che la soluzione che si ottiene trascurando la viscosità nelle equazioni non
necessariamente coincide con quella ottenuta risolvendo le equazioni complete
e facendo poi tendere a zero la viscosità nella soluzione. E’ anche noto che nel
passaggio dalle equazioni di Navier-Stokes a quelle di Eulero si abbassa l’ordine
del sistema e non si può più imporre la condizione al contorno di aderenza alla
parete che deve essere sostituita da quella di tangenza alla parete, la quale
però non rispecchia la realtà fisica.
Malgrado queste incongruenze, l’assunzione di fluido non viscoso in molti
casi fornisce risultati in buon accordo con i dati sperimentali, in particolare per
quanto riguarda la distribuzione della pressione sulla superficie di un corpo. La
formulazione euleriana consente quindi di calcolare la portanza e la resistenza
di pressione (o resistenza di forma) ma non consente evidentemente di determinare la resistenza di attrito. Quest’ultima può essere ottenuta solo includendo
nelle equazioni i termini viscosi. Tuttavia, rispetto alla soluzione delle equazioni di Navier-Stokes, il problema può essere semplificato dall’osservazione
155
156
Capitolo 9
che gli effetti viscosi non sono importanti in tutto il campo ma solo in regioni
limitate quali gli strati di mescolamento o la zona in prossimità della parete
di un corpo, cioè lo strato limite cinematico. Il fatto che lo strato limite sia di
piccolo spessore è una diretta conseguenza del fatto che la viscosità della maggior parte dei fluidi è molto piccola. Infatti lo sforzo viscoso in prossimità di
una parete è dato da τ = µ∂u/∂y (essendo y la direzione normale alla parete).
Poichè µ è molto piccola, lo sforzo può essere grande (e quindi non trascurabile
rispetto ai termini convettivi) solo se è grande il gradiente di velocità. Affinchè
quest’ultimo sia grande deve essere piccola la distanza δ attraverso la quale la
velocità passa dal valore esterno ue al valore nullo in corrispondenza alla parete, cioè deve essere piccolo lo spessore dello strato limite. L’introduzione del
concetto di strato limite consente di ridurre il problema della soluzione di un
flusso viscoso a due sottoproblemi: i) la soluzione del flusso esterno nel quale
gli effetti viscosi sono trascurabili e le equazioni si riducono a quelle di Eulero;
ii) la soluzione dello strato limite cinematico nel quale le equazioni possono
essere semplificate tenendo conto del fatto che lo strato limite è sottile.
Considerazioni del tutto analoghe alle precedenti si possono fare per quanto
riguarda il problema della soluzione del campo termico e della determinazione
dello scambio di calore fra un corpo ed il fluido circostante.
Consideriamo un corpo immerso in un fluido che abbia, ad esempio, una
temperatura inferiore a quella del corpo stesso. Se il fluido è in quiete, l’influenza del corpo caldo, ovvero il campo di temperatura, si estende uniformemente
in tutte le direzioni e si ha un flusso di calore dal corpo verso il fluido per
effetto della sola conduzione termica. Se invece il fluido è in moto, la corrente
trasporta verso il corpo l’energia interna della corrente indisturbata e la temperatura in ogni punto deriva dal bilancio fra il flusso di calore convettivo e
quello diffusivo. La regione influenzata dalla temperatura del corpo si riduce
ad uno strato in prossimità della parete ed alla scia dietro al corpo (Fig. 9.1).
Questo strato, che prende il nome di strato limite termico, è tanto più sottile
quanto più è grande la velocità e può essere definito come la regione nella quale
i termini diffusivi sono dello stesso ordine di grandezza di quelli convettivi.
T
V
Tw
Figura 9.1:
Come nel caso dello strato limite cinematico, si può dedurre che lo strato
157
Capitolo 9
limite termico è sottile in conseguenza del fatto che la maggior parte dei fluidi di
interesse (gas e liquidi) hanno una conducibilità termica molto piccola. Infatti
il flusso di calore di conduzione in direzione normale alla parete è dato da
q = −k∂T /∂y e, se la conduttività termica è molto piccola, esso potrà essere
grande solo in presenza di forti gradienti della temperatura. Valutando il
termine conduttivo come q = −k(T∞ − Tw )/δT , si deduce che il flusso di calore
di conduzione può essere grande, e quindi dello stesso ordine di grandezza del
flusso di calore per convezione, solo se è molto piccolo lo spessore δT dello
strato limite termico attraverso il quale la temperatura passa dal valore Tw al
corpo al valore T∞ che si ha nel fluido indisturbato.
Analogamente al caso del campo fluidodinamico, il campo di temperatura
può essere suddiviso in due zone: i) il campo esterno nel quale il flusso di calore
è dovuto solo al trasporto convettivo e la conduzione è trascurabile; ii) lo strato
limite termico all’interno del quale i termini conduttivi non possono essere
trascurati ma l’equazione di conservazione dell’energia può essere semplificata
in base al fatto che lo spessore è piccolo.
9.1
Accoppiamento tra campo cinematico e campo
termico
Le soluzioni del campo termico e di quello cinematico non sono in generale
fra loro indipendenti. La conoscenza del campo di velocità è infatti sempre
indispensabile per determinare il flusso di calore convettivo e quindi il campo
termico. Viceversa non sempre la soluzione del campo cinematico dipende da
quella del campo termico.
Per comprendere meglio il problema, riprendiamo le equazioni di NavierStokes (1.31), (1.32) e (1.34) tenendo conto anche della forza gravitazionale
ρ
Dρ
+ ρ∇ · V = 0
Dt
(9.1)
DV
+ ∇p = µ∇2 V + (λ + µ)∇(∇ · V) + ρg
Dt
(9.2)
ρCp
Dp
DT
−
= k∇2 T + µφ
Dt
Dt
(9.3)
In condizioni di equilibrio idrostatico (V = 0) l’equazione di conservazione
della quantità di moto si riduce a
∇ps = ρ∞ g
(9.4)
158
Capitolo 9
Sottraendo quest’ultima alla (9.2) si ha
ρ
DV
+ ∇p′ = µ∇2 V + (λ + µ)∇(∇ · V) + (ρ − ρ∞ )g
Dt
(9.5)
essendo p′ la differenza fra la pressione e la pressione idrostatica ps .
Per valutare l’importanza relativa dei diversi termini che compaiono nelle
equazioni di bilancio, è opportuno riscriverle in forma adimensionale. Introduciamo le variabili adimensionali
x̃ =
x
,
l
t̃ =
V∞
t,
l
Ṽ =
V
,
V∞
ρ̃ =
ρ
,
ρ∞
p̃ =
p′
,
2
ρ ∞ V∞
T̃ =
T
∆T0
essendo l una dimensione caratteristica del corpo. Si osservi che la temperatura
viene in genere adimensionalizzata non rispetto alla temperatura del fluido
indisturbato ma rispetto ad una differenza di temperatura (in genere quella
fra fluido e corpo).
Sostituendo le variabili adimensionali nelle (9.1), (9.5) e (9.3) si ha
Dρ̃
+ ρ̃∇ · Ṽ = 0
Dt̃
(9.6)
1
D Ṽ
λ
1
+ ∇p̃ =
ρ̃
(ρ̃ − 1) j
∇2 Ṽ + 1 +
∇ ∇ · Ṽ +
Re
µ
F r2
Dt̃
(9.7)
1
D T̃
D p̃ Ec
=
+
∇2 T̃ + Ec
ϕ̃
(9.8)
P rRe
Re
D t̃
D t̃
nelle quali j rappresenta il versore della direzione della forza gravitazionale ed
i numeri adimensionali sono definiti come
ρ̃
V∞ l
ν
numero di Reynolds
Re =
numero di Froude
V∞
Fr = √
gl
numero di Prandtl
Pr =
µCp
k
numero di Eckert
Ec =
2
V∞
Cp ∆T0
Il numero di Reynolds rappresenta il rapporto fra le forze d’inerzia e le
forze viscose ed il numero di Froude quello fra le forze d’inerzia e la forza
159
Capitolo 9
gravitazionale (o forza di galleggiamento). Il numero di Prandtl invece dipende
unicamente dalla natura del fluido. Per quanto riguarda il numero di Eckert
esso può essere espresso come il rapporto fra due differenze di temperatura
caratteristiche. Ricordando infatti la definizione di temperatura di ristagno
V2
si ha
T0 = T +
2Cp
2
V∞
= 2 (T0∞ − T∞ ) = 2∆Ta
Cp
essendo ∆Ta l’incremento di temperatura in una compressione adiabatica.
Il numero di Eckert può allora scriversi
∆Ta
(9.9)
∆T0
Esprimiamo ora le variazioni di densità in funzione delle variazioni di
temperatura e pressione
Ec = 2
ρ = ρ∞ +
Valutando
bato, si ha
∂ρ
∂ρ
(T − T∞ ) +
(p − p∞ )
∂T
∂p
(9.10)
∂ρ
∂ρ
e
in corrispondenza delle condizioni di fluido indistur∂T
∂p
∂ρ
1
= 2
∂p
a∞
∂ρ
= ρ∞ β
∂T
essendo β il coefficiente di espansione termica. In termini delle variabili adimensionali, la (9.10) risulta
2
(p̃ − p̃∞ )
ρ̃ = 1 + β∆T0 T̃ − T̃∞ + M∞
(9.11)
Consideriamo ora le diverse situazioni che si verificano al variare della
velocità V∞ .
Convezione naturale
E’ questo il caso in cui il fluido non è dotato di una velocità propria
(V∞ = 0) ed il moto è originato dalla forza di galleggiamento conseguente
alle differenze di densità.
Non essendoci una velocità caratteristica del flusso, si assume come velocità
di adimensionalizzazione
ν
V∞ =
l
160
Capitolo 9
e di conseguenza
Re = 1
ν
Fr = p 3
gl
Ec =
ν2
l2 Cp ∆T0
(9.12)
Ricordando che ν = 1.5 · 10−5 m2 /sec per l’aria e ν = 10−6 m2 /sec per l’acqua, è immediato verificare che M∞ è molto piccolo e la (9.11) mostra che la
densità può essere ritenuta indipendente dalla pressione (ipotesi di incomprimibilità). Inoltre, essendo β ≃ 10−3 ÷ 10−4 ◦ K −1 , la (9.11) mostra che sono
molto piccole anche le variazioni di densità dovute alle variazioni di temperatura, a meno che queste ultime non siano molto grandi. Nella maggior parte
dei casi di interesse pratico si può quindi assumere che la densità sia costante
ρ̃ = 1. Ciò però non vale per il termine di galleggiamento in quanto (ρ̃ − 1) che
è piccolo è diviso per F r 2 che è a sua volta molto piccolo come si rileva dalle
(9.12). Infine, poichè anche il numero di Eckert è molto piccolo, gli ultimi due
termini della (9.8) possono essere trascurati.
Le equazioni che governano un flusso a convezione naturale possono quindi
scriversi
∇ · Ṽ = 0
(9.13)
D Ṽ
+ ∇p̃ = ∇2 Ṽ + Gr T̃ − T̃∞ j
D t̃
(9.14)
1 2
D T̃
=
∇ T̃
Pr
Dt̃
avendo introdotto il numero di Grashof
Gr =
(9.15)
β∆T0 gl3
ν2
Dall’esame del sistema di equazioni si vede che il campo cinematico dipende
da quello termico tramite il termine di galleggiamento e pertanto nel caso della
convezione naturale le equazioni sono tutte accoppiate tra di loro e devono
essere risolte contemporaneamente.
Flussi a bassa velocità
Consideriamo i flussi aventi M∞ < .3, il che corrisponde grosso modo ad
una velocità V∞ < 100m/sec. Anche in questo caso si può trascurare la dipendenza della densità sia dalla pressione che dalla temperatura tenendo conto
che tipicamente ∆T0 è dell’ordine della decina di gradi. In questo caso però
il numero di Froude è grande e si può quindi trascurare l’effetto della forza
161
Capitolo 9
di galleggiamento. Poichè per V∞ = 100m/sec. si ha ∆Ta ≃ 5◦ K, il numero
di Eckert è in generale sufficientemente piccolo da poter trascurare nell’equazione dell’energia sia il termine di dissipazione che quello di compressione. Le
equazioni che governano il problema risultano pertanto
∇ · Ṽ = 0
(9.16)
1 2
DṼ
+ ∇p̃ =
∇ Ṽ
Re
D t̃
(9.17)
1
D T̃
=
∇2 T̃
P rRe
Dt̃
(9.18)
Come si vede in questo caso le equazioni di conservazione della massa e
della quantità di moto non dipendono da T̃ ed il campo cinematico può quindi
essere risolto indipendentemente da quello termico.
Flussi a velocità intermedie
Con questa denominazione intendiamo i flussi aventi .3 < M∞ < 1, anche
se naturalmente i valori che delimitano i diversi tipi di flusso hanno carattere
puramente indicativo.
In questo caso non è più possibile adottare l’ipotesi di incomprimibilità
ma è ancora lecito trascurare la dipendenza della densità dalla temperatura.
Infatti per V∞ = 300m/sec. si ha ∆Ta ≃ 50◦ K, che rappresenta la massima
differenza di temperatura all’interno del campo, ed il termine β∆T0 (T̃ − T̃∞ )
nella (9.11) risulta pertanto trascurabile.
Il numero di Eckert risulta ora di ordine uno ed il termine di compressione
nella (9.8) non può più essere trascurato, mentre è ancora trascurabile il termine dissipativo in quanto è diviso per Re che è di ordine 107 . Le equazioni
che governano il problema risultano
Dρ̃
+ ρ̃∇ · Ṽ = 0
D t̃
(9.19)
D Ṽ
1
λ
ρ̃
+ ∇p̃ =
∇2 Ṽ + 1 +
∇ ∇ · Ṽ
Re
µ
Dt̃
ρ̃
1
D p̃
DT̃
=
∇2 T̃ + Ec
P rRe
Dt̃
Dt̃
(9.20)
(9.21)
Anche in questo caso il campo cinematico non dipende da quello termico
che può essere risolto separatamente.
162
Capitolo 9
Flussi ad alta velocità
All’aumentare di M∞ il valore di ∆Ta cresce molto rapidamente e le variazioni di temperatura all’interno del campo diventano così grandi da non poter
più trascurare le variazioni di densità che ne conseguono. Inoltre anche i coefficienti di viscosità e di conducibilità termica non possono più essere considerati
costanti in quanto si deve tener conto della loro variabilità con la temperatura.
Il campo cinematico dipende pertanto da quello termico ed il sistema (9.6),
(9.7), (9.8), completato dall’equazione di stato e dalle leggi µ(T ) e k(T ), deve
essere risolto simultaneamente. Naturalmente nella (9.7) può essere trascurato
il termine di galleggiamento, essendo grande il numero di Froude.
9.2
Semplificazione dell’equazione dell’energia nell’ipotesi di strato limite
Come già accennato in precedenza, l’equazione di conservazione dell’energia
può essere semplificata in base al fatto che sia lo spessore dello strato limite
cinematico δ sia quello dello strato limite termico δT sono piccoli rispetto alla
dimensione caratteristica del corpo l, ovvero
δ̃ ≪ 1
,
(9.22)
δ̃T ≪ 1
Consideriamo per semplicità l’equazione (9.8) nel caso bidimensionale e
stazionario, non tenendo conto per ora della variabilità di µ e k
∂ T̃
∂ T̃
+ ṽ
ρ̃ ũ
∂ x̃
∂ ỹ
1·1
δ̃ ·
!
1
δ̃T
1 1
=
P r Re
δ̃ 2
∂ 2 T̃
∂ 2 T̃
+
2
∂ x̃
∂ ỹ 2
1
1
δ̃T2
!
1
∂ p̃
∂ p̃
+
+ Ec ũ
+ ṽ
Ec φ̃
∂ x̃
∂ ỹ
Re
1·1
δ̃ · δ̃
δ̃ 2
1
δ̃ 2
(9.23)
Ricordiamo che in base alla teoria dello strato limite cinematico si ha
ṽ = 0(δ̃), ∂ p̃/∂ ỹ = 0(δ̃), Re = 0(1/δ̃2 ) e che all’interno dello strato limite
cinematico y = 0(δ̃), mentre all’interno di quello termico y = 0(δ̃T ).
Dal confronto degli ordini di grandezza riportati sotto ognuno dei termini
della (9.23), si rileva che nel termine conduttivo ∂ 2 T̃ /∂ x̃2 è trascurabile rispetto
a ∂ 2 T̃ /∂ ỹ 2 e nel termine di compressione ṽ∂ p̃/∂ ỹ è trascurabile rispetto a
ũ∂ p̃/∂ x̃. Per quanto riguarda il termine dissipativo φ̃, che è costituito dalla
somma dei quadrati delle diverse derivate delle componenti di velocità, tutti i
termini sono trascurabili rispetto a (∂ ũ/∂ ỹ)2 che è di ordine 1/δ̃2 . Il termine
dissipativo ed il termine di compressione risultano quindi di ordine di grandezza
163
Capitolo 9
comparabile con gli altri termini solo se Ec = 0(1). Poichè poi all’interno dello
strato limite termico il termine conduttivo deve essere dello stesso ordine di
grandezza dei termini convettivi, nel caso in cui δ̃/δ̃T ≪ 1 il termine convettivo
dominante è quello in x e quindi dovrà essere
δ̃
δ̃T
!2
1
= 0(1)
Pr
√
δ̃
= 0( P r)
δ̃T
ovvero
(9.24)
relazione che è verificata quando P r ≪ 1 il che accade per i metalli liquidi
(ad esempio il sodio liquido usato come refrigerante nei reattori nucleari ha
P r = .005).
Invece nel caso in cui δ̃/δ̃T ≫ 1 il termine convettivo dominante è quello
in y e dovrà aversi
δ̃
δ̃T
!2
!
δ̃
1
=0
Pr
δ̃T
δ̃
= 0(P r)
δ̃T
ovvero
(9.25)
Questa relazione vale quando il fluido ha P r ≫ 1 come nel caso dei liquidi
(l’acqua ha P r = 7 mentre per gli oli si ha P r = 103 ÷ 104 ).
Infine nel caso dei gas che hanno P r ≃ 1 (l’aria ha P r = .7) lo strato
limite cinematico e quello termico hanno lo stesso ordine di grandezza ed i due
termini convettivi hanno pari importanza.
La dipendenza del rapporto δ/δT dal numero di Prandtl ha anche una
spiegazione fisica. Il numero di Prandtl può infatti essere espresso come
Pr =
ν
α
con
α=
k
ρCp
ovvero come il rapporto fra la diffusività di quantità di moto ν e la diffusività
termica α. Se P r > 1, il frenamento dovuto alla parete (ovvero la distruzione di
quantità di moto) diffonde nel fluido più di quanto non diffonda la temperatura
e quindi l’effetto sul campo cinematico si risente ad una distanza dalla parete
maggiore di quella a cui si risente l’effetto della diversa temperatura di parete.
Con le semplificazioni effettuate e tornando alle variabili dimensionali, le
equazioni che governano lo strato limite nel caso stazionario, bidimensionale,
compressibile risultano
∂(ρu) ∂(ρv)
+
=0
∂x
∂y
∂u
∂u
+v
ρ u
∂x
∂y
ρCp u
∂T
∂T
+v
∂x
∂y
=
∂
∂u
=
µ
∂y
∂y
∂
∂T
k
∂y
∂y
(9.26)
+u
−
dp
dx
(9.27)
∂u
dp
+µ
dx
∂y
2
(9.28)
164
Capitolo 9
dove si è anche tenuto conto della variabilità di µ e k. Si osservi che la pressione
non è un’incognita ma è da ritenersi nota in base alla soluzione del campo
esterno e che essendo all’interno dello strato limite ∂p/∂y = 0 la pressione
dipende unicamente da x.
Le equazioni (9.26)–(9.28) assieme all’equazione di stato ed alle leggi
µ = µ(T )
k = k(T )
(9.29)
costituiscono un sistema di 5 equazioni nelle incognite u, v, ρ, T, µ, k.
9.3
L’analogia termica
Consideriamo un flusso uniforme, caratterizzato da una velocità V∞ e da una
temperatura T∞ , lungo una lastra piana avente temperatura uniforme Tw .
Assumiamo l’asse x in direzione parallela alla lastra e l’asse y normale ad essa.
Consideriamo poi il caso in cui V∞ sia sufficientemente piccola, cosicchè il
flusso sia governato dalle equazioni (9.16, 17, 18), ed assumiamo P r = 1, il che
rappresenta con buona approssimazione il caso di un gas.
Poichè nel flusso esterno allo strato limite si ha ∂p/∂x = 0 ed all’interno
dello strato limite ∂p/∂y = 0, la pressione è uniforme in tutto il campo, ovvero
∇p = 0.
Le equazioni (9.17) e (9.18) risultano pertanto identiche, salvo il diverso
significato della variabile dipendente.
Se poi assumiamo la temperatura adimensionale come
T̃ =
T − Tw
T∞ − Tw
anche le condizioni al contorno cui deve soddisfare T̃ diventano identiche a
quelle cui deve soddisfare la componente di velocità ũ lungo la lastra piana. Si
ha infatti
y=0
y=∞
T̃ = 0, ũ = 0
T̃ = 1, ũ = 1
Pertanto la soluzione T̃ è identica alla soluzione ũ, ovvero
T =
u
(T∞ − Tw ) + Tw
V∞
(9.30)
Il campo termico è quindi completamente noto, una volta che sia noto il
campo cinematico. Tuttavia nella pratica ciò che interessa non è tanto l’andamento di u e T all’interno del campo, quanto i valori dello sforzo e dello
scambio termico alla parete che sono dati rispettivamente da
165
Capitolo 9
∂u
τ =µ
∂y
q = −k
(9.31)
y=0
∂T
∂y
(9.32)
y=0
Utilizzando le (9.30) e (9.31) il flusso di calore può scriversi
q=k
(Tw − T∞ ) τ
V∞
µ
(9.33)
Lo sforzo τ può anche essere espresso in funzione del coefficiente di attrito
cf
τ=
1
2
ρ∞ V∞
cf
2
(9.34)
ed il flusso di calore in funzione del coefficiente di adduzione h
(9.35)
q = h(Tw − T∞ )
Introducendo infine il numero di Nusselt locale ed il numero di Reynolds
locale
N ux =
hx
k
Rex =
ρ∞ V∞ x
µ
(9.36)
la (9.33) risulta
1
N ux = cf Rex
2
(9.37)
che è nota come l’analogia di Reynolds e che permette di ottenere il coefficiente
di adduzione e quindi il flusso di calore una volta noto cf .
Nel caso della lastra piana si ha
.664
cf = √
Rex
e quindi
p
N ux = .332 Rex
166
Capitolo 9
Talvolta risulta più conveniente definire il flusso di calore, anzichè mediante
il numero di Nusselt, utilizzando il numero di Stanton
St =
h
Nu
=
ρ∞ Cp V∞
ReP r
(9.38)
Essendo P r = 1, l’analogia di Reynolds può allora scriversi
1
St = cf
2
9.4
(9.39)
Scambio termico su lastra piana
Consideriamo nuovamente lo strato limite lungo una lastra piana già esaminato
nel paragrafo precedente, nel caso in cui la velocità del flusso sia così alta
da non poter trascurare il termine dissipativo nell’equazione di conservazione
dell’energia.
Il problema è quindi retto dalle equazioni (9.26, 27, 28) nelle quali
dp/dx = 0.
L’equazione (9.28) può essere riscritta utilizzando come variabile dipendente, al posto della temperatura, la temperatura totale
T0 = T +
u2
2Cp
(9.40)
Moltiplicando la (9.27) per u e sommandola membro a membro alla (9.28)
si ha
ρCp
"
∂
u
∂x
u2
T+
2Cp
!
∂
+v
∂y
u2
T+
2Cp
!#
∂2T
=k 2 +µ
∂y
"
∂u
∂y
2
∂2u
+u 2
∂y
#
che, con semplici passaggi analitici, si riduce a
∂T0
∂T0
+v
ρ u
∂x
∂y
"
∂ 2 (u2 /2Cp )
µ ∂ 2 T0
+
(P
r
−
1)
=
P r ∂y 2
∂y 2
#
(9.41)
Nel caso in cui P r = 1, quest’equazione risulta identica alla (9.27) in assenza di gradiente di pressione e pertanto se u è soluzione della (9.27), la (9.28)
sarà soddisfatta dalla soluzione
T0 = au + b
nella quale le costanti a, b devono essere determinate in modo da soddisfare le
167
Capitolo 9
condizioni al contorno
y=0
T0 = T = Tw ,
y=∞
u=0
T0 = T0∞ = T∞ +
2
V∞
2Cp
,
u = V∞
Si ottiene
a=
T0∞ − Tw
V∞
b = Tw
e la temperatura è quindi data da
T = Tw + (T0∞ − Tw )
u2
u
−
V∞ 2Cp
Mediante la (9.32) si può poi calcolare il flusso di calore alla parete
q|y=0 =
k
∂u
(Tw − T0∞ )
V∞
∂y
(9.42)
y=0
Poichè ∂u/∂y alla parete è positiva, il flusso di calore è diretto dalla parete
verso il fluido o viceversa a seconda che Tw sia maggiore o minore di T0∞ . Si
osservi che, mentre nel caso di bassa velocità lo scambio di calore è determinato
dalla differenza di temperatura fra il fluido e la parete, nel caso di flusso ad
alta velocità ciò che conta è la differenza fra la temperatura del corpo e la
temperatura totale del flusso. Infatti all’interno dello strato limite si ha la
trasformazione dell’energia cinetica in energia interna per effetto delle forze
viscose e pertanto nel caso stazionario (q = 0, parete adiabatica) il corpo
assume una temperatura maggiore della temperatura del fluido indisturbato e
pari proprio alla temperatura totale. E’ questo il fenomeno del riscaldamento
aerodinamico, che riveste grande importanza nei flussi ipersonici (si pensi che
per M∞ = 6 e T∞ = 273◦ k si ha ∆Ta ≃ 2000◦ k). In Fig. 9.2 sono riportati gli
y
T0
T V2 /2Cp
y
T0
T V 2 /2Cp
T T0
T T0
y=0
T
T T0
( )
( )
Tw
T0
T V 2 /2Cp
dT =0
d y y=0
dT >0
dy
δT
y
Tw
Figura 9.2:
T
( dd Ty ) < 0
y=0
Tw
T
168
Capitolo 9
andamenti qualitativi della temperatura e della temperatura totale all’interno
dello strato limite nei tre casi di Tw <
> T0∞ . Come si vede, solo nel caso di parete
adiabatica la temperatura totale si mantiene costante all’interno dello strato
limite, mentre nel caso di Tw < T0∞ l’energia all’interno dello strato limite
termico è minore di quella della corrente indisturbata, in quanto si ha cessione
di calore dal fluido alla parete.
9.5
Fattore di recupero
La soluzione per la lastra piana adiabatica, vista nel paragrafo precedente, è
valida sotto l’ipotesi P r = 1. Poichè in realtà l’aria ha un numero di Prandtl
leggermente inferiore ad uno, la soluzione vista è solo un’approssimazione della
realtà. Se P r < 1, la soluzione T0 = cost. non soddisfa più l’equazione (9.41).
In corrispondenza alla parete il primo membro della (9.41) si annulla (u = v =
0) e l’ultimo termine è negativo, cosicchè ∂ 2 T0 /∂y 2 > 0.
Inoltre, essendo la parete adiabatica, (∂T0 /∂y)y=0 = 0 ed il valore medio
di T0 all’interno dello strato limite deve essere uguale a T0∞ , in quanto il fluido
non cede nè riceve calore dalla parete. Pertanto l’andamento di T0 all’interno
dello strato limite dovrà essere del tipo indicato il Fig. 9.3, tale che le due aree
tratteggiate siano fra loro equivalenti.
y
T0
T
T0
T
Taw
T
Figura 9.3:
Di conseguenza la temperatura adiabatica di parete Taw risulta minore di
T0∞ .
Tale differenza può essere quantificata introducendo il fattore di recupero
r=
Taw − T∞
T0∞ − T∞
(9.43)
che rappresenta il rapporto fra l’aumento di temperatura dovuto all’attrito e
169
Capitolo 9
quello dovuto ad una compressione adiabatica. Per P r = 1 si ha evidentemente
r = 1, mentre nel caso più generale di P r 6= 1 è stato mostrato che si ha
r=
√
(9.44)
Pr
2 ) ed utilizzando
Esprimendo la temperatura totale come T0∞ = T∞ (1+δM∞
le (9.43) e (9.44), la temperatura adiabatica di parete risulta
√
2
Taw = T∞ 1 + δ P rM∞
9.6
(9.45)
Strato limite cinematico compressibile
Come già detto, nel caso di flussi ad alta velocità la soluzione dello strato limite
cinematico richiede la contemporanea soluzione di quello termico. Il problema
può però essere notevolmente semplificato nel caso di lastra piana adiabatica
con P r = 1. In questo caso infatti la pressione è costante e l’equazione di
conservazione dell’energia si riduce alla condizione che la temperatura totale
sia costante, ovvero
T+
V2
u2
= T∞ + ∞
2Cp
2Cp
che può anche scriversi
T
2
= 1 + δM∞
(1 − ũ2 )
T∞
(9.46)
Poichè la pressione è costante si ha
ρ
=
ρ∞
T
T∞
−1
(9.47)
mentre la variabilità della viscosità con la temperatura può essere espressa
nella forma
µ
=
µ∞
T
T∞
α
(9.48)
ove α è un coefficiente variabile fra .5 e 1 a seconda del campo di temperatura.
Alle basse temperature si ha circa α = 1.
170
Capitolo 9
Sostituendo nelle (9.26) e (9.27) le (9.47) e (9.48) ed in queste ultime la
(9.46) si perviene al seguente sistema di equazioni delle sole incognite ũ e ṽ
B
∂ ũ
B ∂ ũ ∂ṽ
1 + 2 ũ2
+ 2 ũṽ
+
=0
A
∂ x̃
A ∂ ỹ
∂ ỹ
"
∂ ũ
∂ ũ
1
∂ ũ
∂ 2 ũ
ũ
+ ṽ
=
Aα+1 2 − 2αBAα ũ
∂ x̃
∂ ỹ
Re
∂ ỹ
∂ ỹ
2 #
=0
nelle quali
2
A = 1 + B − B ũ2 e B = δM∞
Tranne che per l’espressione dei coefficienti, queste equazioni non differiscono sostanzialmente da quelle per il caso incompressibile e possono essere
risolte numericamente in modo analogo. La soluzione per il caso di α = 1,
dovuta a Crocco, è illustrata nella figura 9.4 dove sono riportate gli andamenti di u′ = u/V∞ e di T ′ = T /T∞ in funzione della variabile adimensionale
yp
Rex per diversi valori del numero Mach.
η=
x
η
20
20
15
15
η
10
M=5
10
M=5
M=4
M=4
M=3
5
0
0
0.25
0.5
0.75
M=3
5
M=2
M=1
M=0
M=2
M=1
1
0
1
2
3
4
u’
T’
a)
b)
5
6
Figura 9.4:
Si osserva che, al crescere del numero di Mach, la distribuzione della velocità
all’interno dello strato limite tende a diventare sempre più rettilinea e che lo
spessore dello strato limite aumenta (per M∞ = 5 è circa 4 volte più spesso
che nel caso incompressibile). Ciò è dovuto alla diminuzione della densità
in conseguenza dell’aumento della temperatura all’interno dello strato limite
(Fig. 9.4b).