LA CONVEZIONE
Caratteri della convezione
Ci si riferisce fondamentalmente allo
scambio di calore tra un solido ed
un fluido in moto rispetto ad esso.
Tp
T ≠ Tp
Se il fluido fosse fermo:
k
q  Tp  T 
L
x
y
Con il fluido in moto:
L
Nusselt (1882-1957)
Nu 
qconvezione
qconduzione

q  h Tp  T
 T 

 
hL
 y  y  0


Tp  T
k
L

 T 

 k
 y  y  0
ADERENZA
DELLE
PARTICELLE FLUIDE
ALLA PARETE
CLASSIFICAZIONE
Origine del moto
Forzata
Naturale
Geometria del solido
Deflusso interno
Deflusso esterno
r

m
V
y
x
D
x
CLASSIFICAZIONE
Carattere del moto
Laminare
Turbolento
STRATI LIMITE
Velocità
u
y
(x)
x=0
Le particelle a contatto con la parete si arrestano e rallentano quelle sovrastanti
Lo spessore dello strato limite d = d(x) è il valore di y per cui u=0,99u
Si denomina coefficiente
d’attrito il valore:
Cf 
s
2

u

2
con τs sforzo tangenziale alla
parete
STRATI LIMITE
Termico
u
T , u
(x)
 t (x)
T  T
Parete riscaldata
Strato limite termico
Le particelle a contatto con la lastra si portano in equilibrio termico con essa e
scambiano energia con quelle sovrastanti
Lo spessore dello strato limite dt = dt(x) è il valore di y per cui:
In generale:
dt ≠ d
Tp  T
T p  T
 0,99
Se Tp-T non varia con x, ne segue che dT cresce, diminuendo il
gradiente di temperatura e quindi il calore scambiato
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 1/12
VELOCITA’
y
dy
 v 
v 
dy
y

V  V u, v 
Ipotesi di flusso bidimensionale
Conservazione della massa nel volume di controllo:

m 
 me  mu

  u 
u 
dx
x
u

udy  vdx
v
dx
x
dxdy

u  
v  






u

dx
dy


v

dy  dx



dx
dy



z
Lasciando cadere l’ipotesi di bidimensionalità, l’equazione si estende come segue:
 u  v  w



0

x
y
z
notazione
vettoriale
 
D
   V  0
D

V  u, v, w
D





u v w
D 
x
y
z
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 2/12
VELOCITA’
 u  v  w



0

x
y
z
se r = cost
u v w
 
0
x y z
vr vr 1 v v z
 

0
r
r r  z
In coordinate cilindriche:
II Legge di Newton nel volume di controllo:



M
MuMe
F
t

Forze esterne
DI MASSA
(ad es. campo
gravitazionale o
elettromagnetico)
Quantità di moto
DI SUPERFICIE
Flussi della quantità di moto
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 3/12
VELOCITA’
Rappresentazione delle forze di superficie
y
 yy 

 yy dy
y

 yx 
dy
 xx
 dy
y

   dx
x
yx
xy
 xy
x, y
 yx
 xx 
s = sforzo normale; t = sforzo tangenziale
xy
1° pedice: orientamento della superficie su
cui agisce lo sforzo
2° pedice: direzione della componente
dello sforzo

 xx dx
x
 yy
dx
x
z
Fs , x
  xx p  yx 
dxdy
 


x
y 
 x
Fs , y
  yy p  xy
 


y
y
 y

dxdy

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 4/12
VELOCITA’
y
La portata in massa nel piano y-z è:
v u   v u dy
y
dy
u u
x, y
udy  1
u u   u u dx
x
vu
(altezza unitaria)
Il flusso della q.d.m. è pertanto:
u udy
Analogamente, nel piano x-z:
vudx
Il flusso netto nella direzione x è dunque:
dx
z
x
u u 
v u 
xy  
y x 
x
y

u dxdy
L’incremento temporale della quantità di moto nel volume di controllo è:

Operando le dovute sostituzioni nella II legge di Newton si ottiene, lungo x:
Forza di
volume
 xx p  yx u  u u  v u 
X





x
x
y

x
y
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 5/12
VELOCITA’
Per La semplificazione delle equazioni del moto si ipotizza un comportamento newtoniano del fluido:
GLI SFORZI VISCOSI SONO DIRETTAMENTE PROPORZIONALI AI GRADIENTI DI VELOCITA’
Introducendo la viscosità m, le equazioni che esprimono tale dipendenza sono:
 xx
u 2  u v 
 2
    
x 3  x y 
 yy
v  u v 
v 2  u v 
  







 2
     xy
yx
y  y x 
y 3  x y 
La sostituzione delle relazioni citate nella II legge di Newton prima ricavata, si
ottengono le equazioni di NAVIER (1785-1836) – STOKES (1819-1903)


 
trasposta
 ( V )
  V   V T    F
    V V    p  

 
 
t
 

L’espressione si semplifica notevolmente per fluidi incomprimibili e con viscosità costante

Du
p

  2 u  X
D
x

Dv
p

  2 v  Y
D
y
Ovvero in
notazione
vettoriale


 
DV
2

   P   V  F
D
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 6/12
TEMPERATURA
Si vuole descrivere l’andamento della temperatura all’interno dello strato limite termico
EQUAZIONE DELL’ENERGIA
Evc  Econv  Esc  Esi  Lvc
volume di controllo
sorgenti interne
convezione per l’ingresso del fluido
E vc 

e dxdy

superficie di controllo
e = energia cinetica + energia potenziale




E conv, x  uedy   ue  ue dx  dy   ue dxdy
x
x


E conv, y  

T   T  
  T 
 T 
E sc, x   k
 k
dy   k
dx  dy   k
dxdy

x

x

x

x

x

x



 



solo convezione, si trascura l’irraggiamento
E sc, y 

vedydx
y
  T 
k
dydx
y  y 
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 7/12
TEMPERATURA

E si  q dxdy
Lvc , x   Xudxdy 

 p   xx u dxdy    yxu dxdy
x
y
Lvc , y  Yvdxdy 



 p   yy v dydx    xy v dydx
y
x
Sostituendo nell’equazione dell’energia:


e    ue   ve    k T     k T   q  Xu  Yv    u    v     xxu   xy v     yy v   xy u 
y
x
y
x  x  y  y 
x
y
x
y
Ricordando la definizione di entalpia per unità di massa del fluido:
iu 
L’equazione dell’energia, sfruttando l’equazione di continuità, diventa:

i
i
i   T    T   p
p
p 
    u  v     q

 u  v   k
   k

x
y x  x  y  y   
x
y 
dove:
2

 u  2  v  2  2  u v  2 
 u v 

       2          
y x 
 x 
 y   3  x y  



p

EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 8/12
TEMPERATURA
Ricordando l’espressione dell’operatore D:
D





u v w
D 
x
y
z
si ottiene:

Di
Dp

   kT  
   q
D
D
Dalla definizione di entalpia per una sostanza pura monofase:

 1


1

di  c p dT    T 
 T





 
 
  dp  c dT  1 1  T dp
p
 

 
p
L’equazione si trasforma come segue:
Se il fluido è un gas ideale (bT=1):
Se il fluido è incomprimibile (b = 0):
con

1   


  T  p
coeff.
di dilatazione
termica

DT    
Dp
c p
   k  T    T
   q
D
D



DT     Dp
c p
   k  T  
   q
D
D




DT    
c p
   k  T     q
D


EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 9/12
TEMPERATURA
Se la conducibilità termica del fluido è costante con la temperatura, non c’è generazione
interna di calore ed è trascurabile la comprimibilità, insieme alla dissipazione viscosa m:
DT
c p
 k 2T
D
ovvero:
  2T  2T  2T 
 T
T
T
T 
c p 
u
v
 w   k  2  2  2 
x
y
z 
y
z 
 
 x
o in coordinate cilindriche:
 1   T  1  2T  2T 
T v T
T 
 T
c p 
 vr

 vz
 2
  k
r
 2
2
r
r 
z 
z 
 
 r r  r  r 
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 10/12
Condizioni particolari
• Regime stazionario;
• proprietà fisiche del fluido (k, m, cp, …) costanti;
• fluido incomprimibile;
• forze di massa trascurabili (X = Y = 0);
• assenza di generazione interna di calore;
u >> v
u
u v v

, ,
y
x y x
T
T

y
x
• approssimazione di strato limite
Per gli sforzi tangenziali si ottiene:
 xy   yx
l’equazione di continuità assume la forma:
 u 
   
 y 
u v

0
x y
l’equazione della quantità di moto lungo x diventa:
l’equazione della quantità di moto lungo y diventa:
l’equazione dell’energia diventa:
u
u
1 p
 2u
u
v

 2
x
y
 x
y
p
0
y
T
T
 2T   u 
u
v
 a 2   
x
y
y
c p  y 
velocità disaccoppiata
dalla temperatura
2
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 11/12
Parametri di similitudine
L’obiettivo è di trovare equazioni rappresentative del moto in cui compaiano solo gruppi adimensionali
Si introducono le variabili adimensionali seguenti:
y
y 
L
x
x 
L
v
v 
v
u
u 
u
*
*
*
*
u
u
1 p
 u
v

 2
x
y
 x
y
2
Sostituendo nelle
u
T 
T  Tp
*
p* 
T  T p
p
u 2
T
T
 2T   u 
u
v
a 2   
x
y
c p  u 
y
Parete
si ottiene:
STRATO LIMITE DI VELOCITA’
*
u *
p *
  2u *
* u
u
v
 * 
*
*
u  L y * 2
x
y
x
*
STRATO LIMITE TERMICO
T
a T
* T

v

x*
y * u L y *2
*
u*
*
2
*
con le
condizioni
al contorno:


u * x * ,0  0 v* x* ,0  0
Corrente libera


u * x* ,   1
con le
condizioni
al contorno:
Parete




*
*
T * x * ,0  0 T x ,   1
2
EQUAZIONI DELLO STRATO LIMITE 12/12
Parametri di similitudine
Introducendo i numeri adimensionali
Re L 
u L
Pr 


a
le equazioni si trasformano come segue:
u * v *
 * 0
*
x
y
u * * u *
p*
1  2u *
u
v
 * 
x*
y*
x Re L y*2
*
T * * T *
1  2T *
u
v

x*
y * Re L Pr y *2
*
EQUAZIONI ADIMENSIONALI
Lo sforzo tangenziale alle parete è:
da cui si ricava il coefficiente di attrito:
Il numero di Nusselt si esprime come:
 u 
 u
 s       
 y  y 0  L
Cf 
s
2

Re L
 u * 
 * 
 y  y* 0
 u * 
 * 
 y  y* 0
u 2

2
hL  T * 

Nu 

k  y *  y* 0
EFFETTI DI TURBOLENZA 1/3
Si tratta di una distorsione delle linee di corrente del deflusso laminare.
Se Re è piccolo, i disturbi vengono dissipati, altrimenti si amplificano e il moto
diventa turbolento.
Il deflusso turbolento dà luogo a fluttuazioni nel tempo delle proprietà P del
moto:
La grandezza P è data, istante per istante, da:
P  P  P'
Componente fluttuante
Valore medio temporale
EFFETTI DI TURBOLENZA 2/3
Nelle ipotesi di deflusso stazionario, fluido incomprimibile a proprietà costanti,
le equazioni della conservazione della quantità di moto (lungo l’asse x) e
dell’energia diventano:
 u

u 
p   u
 v      
  u 'v' 
y 
x y  y
 x

  u
 T
   u

T 
  T
   k



v


c
v
'
T
'




c
u
'
v
'
p
p

 y
 y  y


x

y

y






c p  u
 u

Lo sforzo tangenziale si esprime
pertanto come segue:
 tot      u'v' 
 y

e il flusso termico totale:


T
qtot    k
 c p v'T ' 
y


Uno dei modelli più semplici
per la spiegazione della
turbolenza chiama in causa
i vortici
Si
intensificano
i
trasferimenti
di
quantità di moto e di
energia al fluido
Porzioni del fluido in moto
nello strato limite prima di
dissolversi nella matrice
fluida
EFFETTI DI TURBOLENZA 3/3
u
   u 'v'
y
Si introduce la viscosità turbolenta eM come:
 M
e la diffusività termica turbolenta eH come:
T
H
 vT ' '
y
 tot      M 
u
y
qtot   c p a   H 
T
y
La maggiore intensità di mescolamento rende i profili di velocità più uniformi nel moto turbolento
il gradiente di velocità
(quindi gli sforzi alle
pareti) e il gradiente di
temperatura (quindi il
flusso termico) risultano
superiori
nel
moto
turbolento rispetto al
moto laminare