Lo strato limite
200/287
Equazioni di Navier Stokes in un flusso incomprimibile
∇·V =0 ,
(363)
DV
ρ
+ ∇p = µ∇2V .
(364)
Dt
In forma scalare, in regime stazionario su una lastra piana bidimensionale (x > 0, y = 0) ad incidenza nulla (α = 0):
∂u ∂v
+
= 0,
∂x ∂y
� 2
�
∂u
∂u 1 ∂p
∂ u
∂ 2u
u +v
+
= ν
+ 2 ,
2
∂x
∂y ρ ∂x
∂x
∂y
� 2
2 �
∂v
∂v 1 ∂p
∂ v ∂ v
u +v +
= ν
+ 2 .
2
∂x
∂y ρ ∂y
∂x
∂y
(365)
(366)
(367)
��
��
�
�
Back
Close
La viscosità
µ si misura in Kg/(m s); ν = µ/ρ si misura in m2/s.
201/287
• La viscosità è una funzione di stato (dipende solo dal punto) ed è
essenzialmente funzione di temperatura e pressione.
• La viscosità aumenta sempre con la pressione.
• Nei liquidi la viscosità diminuisce rapidamente con la temperatura.
• Nei gas rarefatti aumenta con la temperatura.
Per l’aria (legge di Sutherland):
µ
=
µ0
�
T
T0
�3/2
T0 = 288K, µ0 = 1.79 × 10−5 Kg
.
ms
T0 + 110
,
T + 110
(368)
��
��
�
�
Back
Close
Derivazione delle equazioni dello strato limite
• Nel modello di flusso ideale la velocità sul corpo impermeabile è
tangente ad esso, ma finita.
• L’esperienza mostra che, in un flusso reale, sul corpo è V = 0: deve
esistere una regione (adiacente al corpo), di spessore piccolo
δ rispetto alla dimensione caratteristica L, in cui la velocità
passa da valori finiti a 0.
• In questa regione ∆u/V∞ ≈ O(1), ∂u/∂y ≈ ∆u/δ.
• Se δ è piccolo allora µ∂u/∂y non è trascurabile anche se µ � 1.
• In questa regione (strato limite) occorre utilizzare un’altra scala
di lunghezze (δ) per adimensionalizzare le equazioni.
• Nello strato limite la velocità normale alla parete (v) è piccola
(rispetto a u) occorre adimensionalizzare anche v con una diversa
scala delle velocità.
• Prandtl ricava le equazioni dello strato limite ipotizzando a
priori che, nello strato limite, i termini convettivi e diffusivi
(dissipativi) siano dello stesso ordine di grandezza.
202/287
��
��
�
�
Back
Close
Adimensionalizzazione
x
y
y
∗
x = ,
y =
=
;
L
δ
�L
u
v
p
u∗ =
, v∗ =
, p∗ =
.
2
V∞
βV∞
ρV∞
∗
(369)
203/287
(370)
Continuità:
∂u∗ β ∂v ∗
+
=0.
∗
∗
∂x
� ∂y
Quantità di moto lungo x:
∗ ∂u
∗
∗
∗
β ∗ ∂u
∂p
1
u
+ v
+ ∗=
∗
∗
∂x
� ∂y
∂x
Re∞
�
2 ∗
(371)
2 ∗�
∂ u
1∂ u
+ 2 ∗2
2
∗
∂x
� ∂y
.
(372)
Quantità di moto lungo y:
∗ ∂v
∗
∗
∗
β ∗ ∂v
1 ∂p
1
u
+ v
+
=
∗
∗
∗
∂x
� ∂y
β� ∂y
Re∞
�
2 ∗
2 ∗�
∂ v
1∂ v
+ 2 ∗2
2
∗
∂x
� ∂y
.
(373)
��
��
�
�
Back
Close
Dalla continuità risulta
β=�,
(374)
la scala delle velocità normali e dello strato limite coincidono.
Dalla quantità di moto lungo x, imponendo che termini convettivi e
diffusivi dissipativi siano dello stesso ordine, si ottiene:
1
δ
1
Re∞� = 1 ⇒ � = √
;
=√
.
Re∞ L
Re∞
2
204/287
(375)
Le equazioni diventano:
∂u∗ ∂v ∗
+ ∗ =0;
∗
∂x
∂y
∗
∗
∂p∗ ∂ 2u∗
∗ ∂u
∗ ∂u
2
u
+
v
+
=
+
O(�
);
2
∗
∗
∗
∗
∂x
∂y
∂x
∂y
∂p∗
2
=
O(�
).
∗
∂y
(376)
(377)
(378)
��
��
�
�
Back
Close
Equazioni di Prandtl (dimensionali)
∂u ∂v
+
= 0,
∂x ∂y
∂u
∂u 1 ∂p
∂ 2u
u +v
+
= ν 2 ,
∂x
∂y ρ ∂x
∂y
∂p
= 0.
∂y
205/287
(379)
(380)
(381)
Condizioni al contorno
u(x, 0) = v(x, 0) = 0 ;
lim u(x, y) = V∞ ;
y→∞
p = p(x) = p∞.
(382)
(383)
(384)
Occorre inoltre conoscere il profilo di velocità u = u(y) ad x = 0.
��
��
�
�
Back
Close
Risultati fondamentali della teoria
206/287
• In flussi ad elevato numero di Reynolds (Re∞ � 1) esiste,
in √
prossimità del corpo, una regione sottile di spessore δ/L ≈
1/ Re∞ (lo strato limite) in cui la viscosità non può più essere
trascurata.
• Ad una data stazione x, la pressione è costante lungo y: nello
strato limite p = p(x).
• La pressione è data dal campo di moto ideale!
• Nello strato limite si genera un’elevata vorticità ζ ≈ ∂u/∂y che, in
base al teorema di Stokes, giustifica la circolazione presente intorno
a corpi bidimensionali portanti.
��
��
�
�
Back
Close
Equazioni di Prandtl per un corpo generico
Le equazioni di Prandtl sono state appena ricavate nel caso di lastra
piana. Si dimostra che le stesse equazioni sono valide per un corpo
bidimensionale generico (per esempio un profilo alare) con le seguenti
ipotesi e definizioni:
207/287
• x indica l’ascissa curvilinea lungo il corpo. In genere l’origine viene
posta nel punto di ristagno anteriore.
• y indica la coordinata pependicolare, per ogni x al corpo.
• u e v sono rispettivamente le componenti di velocità in ogni punto
dello strato limite in direzione tangente e perpendicolare al corpo.
• Il raggio di curvatura del corpo r(x) è tale che L/r = O(�) � 1
e dr/dx = O(�) � 1. La curvatura del corpo è piccola e non
varia bruscamente.
In queste ipotesi le equazioni (379), (380) e (381) sono ancora valide anche
√ se l’equazione di continuità è ora approssimata (a meno
√ di
O(1/ Re∞) e la quantità di moto lungo y vale a meno di O(1/ Re∞)
(invece di O(1/Re∞)).
��
��
�
�
Back
Close
208/287
Condizioni al contorno
u(x, 0) = v(x, 0) = 0 ;
lim u(x, y) = Ue(x) ;
y→∞
(385)
(386)
dp
dUe
= −ρUe
.
(387)
dx
dx
• Ue(x) è la velocità sul corpo determinata risolvendo il flusso ideale,
influenza della forma del corpo sullo strato limite.
• Due problemi indipendenti: sul ventre e sul dorso del profilo a
partire da condizioni iniziali note nel punto di ristagno.
��
��
�
�
Back
Close
Il coefficiente di attrito
In un flusso incomprimibile:
�
∂Vj ∂Vi
τij = −pδij + µ
+
∂xi ∂xj
�
209/287
(388)
Tenendo conto che ∂/∂y ≈ O(1/δ) e v ≈ O(δV∞), nell’ipotesi di
strato limite il termine fondamentale della parte dissipativa del tensore
degli sforzi (τ ) è
∂u
τ ≈µ
.
(389)
∂y
τ valutato alla parete y = 0 fornisce lo sforzo di attrito alla parete:
� �
∂u
τw = µ
.
(390)
∂y y=0
Nel caso di una lastra piana di lunghezza L si ottiene quindi la resistenza per unità di lunghezza:
d=
�
L
τw dx .
0
(391)
��
��
�
�
Back
Close
Coefficiente di attrito:
τw
Cf (x) = 1 2 .
ρUe
2
(392)
210/287
Coefficiente di resistenza di una lastra piana di lunghezza L:
d
Cd = 1 2 =
ρV∞L
2
�
1
Cf
0
� �
x
L
� �
x
d
L
.
(393)
Lo spessore dello strato limite
Definizione:
u[x, δ(x)] = Ue(x) .
(394)
• La condizione al contorno per y → ∞ indica che questa condizione
è esattamente verificata solo all’infinito.
• Non esiste una definizione senza ambiguità dello spessore dello
strato limite.
• Definizione pratica (convenzionale): u[x, δ(x)] = 0.99 Ue(x).
��
��
�
�
Back
Close
Lo spessore di spostamento
211/287
�
∞
�
�
u(x, y)
δ (x) =
1−
dy .
(395)
Ue(x)
0
• δ ∗ è univocamente determinato (non ci sono ambiguità).
• La portata di massa che attraversa lo strato limite ad una data stazione x si ottiene supponendo il flusso ideale (u(x, y) =
Ue(x)) ed ispessendo il corpo di una quantità δ ∗(x):
∗
y→∞:
ρ
�
y
0
u dy = ρUe (y − δ ∗) .
(396)
��
��
�
�
Back
Close
Velocità normale al bordo dello strato limite
212/287
Conservazione della massa:
ρV∞δ =
Da cui si ottiene:
δ∗ =
�
x
0
�
δ
ρu dy +
�
x
ρvδ (x) dx .
(397)
vδ (x)
vδ (x) dδ ∗
dx ⇒
=
.
V∞
V∞
dx
(398)
0
0
��
��
�
�
Back
Close
• La lastra piana si comporta come un corpo di geometria yc =
δ ∗(x) immerso in una corrente a potenziale (non viscosa).
Infatti la condizione di tangenza della corrente ideale per y = δ ∗ è:
v
v
dyc dδ ∗
≈
=
=
.
(399)
u V∞
dx
dx
Nel caso di corpo generico si ottiene, in modo analogo:
dδ ∗
vδ (x) = Ue(x)
.
(400)
dx
È possibile risolvere il campo di moto nel seguente modo iterativo:
1. calcolare il campo di moto ideale (non viscoso) con la condizione sul corpo di velocità del fluido tangente al corpo stesso;
2. calcolare lo strato limite sul ventre e sul dorso del corpo partendo dal punto di ristagno anteriore;
3. correggere la geometria del corpo con lo spessore di spostamento calcolato;
4. reiterare il procedimento a paetire dal punto 1.
213/287
��
��
�
�
Back
Close
Spessore di quantità di moto
�
∞
�
�
u(x, y) u(x, y)
θ(x) =
1−
dy .
(401)
Ue(x) Ue(x)
0
Bilancio di quantità di moto in direzione x per una lastra piana:
d=
�
h
0
ρV∞2 dy −
�
δ
ρu2 dy .
214/287
(402)
0
��
��
�
�
Back
Close
Per la conservazione della massa:
�
Quindi:
d=
h
0
�
ρV∞2 dy = V∞
δ
0
�
δ
ρu dy .
(403)
215/287
0
(ρV∞u − ρu2) dy = ρV∞2 θ .
(404)
θ(x)
Cd(x) = 2
.
(405)
x
• Lo spessore di quantità di moto è indice della resistenza (viscosa)
della lastra piana.
• Il risultato è valido anche per un profilo alare (con θ valutato nella
scia del profilo).
��
��
�
�
Back
Close
Fattore di forma dello strato limite
δ∗
H(x) =
(406)
θ
• H caratterizza la forma del profilo di velocità u = u(y) all’interno
dello strato limite.
216/287
Prob. n. 19: Calcolare H per un profilo di velocità
triangolare
u
y
y≤δ:
= ;
Ue δ
u
y>δ:
=1.
Ue
(407)
��
��
�
�
Back
Close
Soluzione delle equazioni di Prandtl per la lastra piana
Equazioni (adimensionali):
217/287
∂u ∂v
+
= 0,
∂x ∂y
∂u
∂u
∂ 2u
u +v
=
.
2
∂x
∂y
∂y
(408)
(409)
Condizioni al contorno:
u(x, 0) = v(x, 0) = 0 ;
lim u(x, y) = 1 .
y→∞
(410)
(411)
• Si deve risolvere un sistema di equazioni a derivate parziali non
lineare!
Introducendo la funzione di corrente ψ(x, y) l’equazione di continuità (408) è automaticamente soddisfatta.
��
��
�
�
Back
Close
Si cercheranno soluzioni simili, cioè nella forma
ψ(x, y) = X(x)f (η) ,
(412)
218/287
dove η = y/g(x).
Essendo
∂η
g �(x)
=−
η ;
∂x
g(x)
∂η
1
=
∂y g(x)
(413)
si ottiene
∂ψ X(x) �
u =
=
f (η) ,
∂y
g(x)
�
∂ψ
g
(x) �
�
v = −
= −X (x)f (η) + X(x)
ηf (η) ,
∂x
g(x)
∂u
X �(x) �
g �(x)
[ηf ��(η) + f �(η)] ,
=
f (η) − X(x) 2
∂x
g(x)
g (x)
∂u X(x) ��
= 2 f (η) ,
∂y g (x)
∂ 2u X(x) ���
= 3 f (η) .
2
∂y
g (x)
(414)
(415)
(416)
(417)
��
��
�
�
Back
Close
Sostituendo nella (409) si ottiene:
f ��� + X �(x)g(x)f f �� + [X(x)g �(x) − X �(x)g(x)] f �2 = 0 .
(418)
219/287
Affinchè f = f (η), l’equazione (418) deve essere ordinaria in η e non
dipendere da x, cioè:
X �(x)g(x) = k1 ,
X(x)g �(x) = k2 ,
(419)
con k1 e k2 costanti arbitrarie.
Ponendo k1 = k2 = 1/2, dalle (419) si ottiene
x + C1
[X(x)g(x)] = 1 ⇒ X =
.
g(x)
�
(420)
Si può porre, senza perdere di generalità, C1 = 0. Sostituendo l’espressione di X(x) nella seconda delle (419) ed integrando:
√
g(x) = C2 x ,
(421)
dove si può porre, ancora una volta, C2 = 1.
In definitiva:
√
√
g(x) = x ;
X(x) = x .
(422)
��
��
�
�
Back
Close
L’equazione (418) si riduce alla equazione di Blasius:
1
f + f f �� = 0 ,
2
���
(423)
220/287
con condizioni al contorno (ai limiti):
f �(0) = 0 , f (0) = 0 , lim f �(η) = 1 .
η→+∞
(424)
Questo problema può essere risolto numericamente in modo abbastanza semplice.
Prob. n.
Blasius
20: Risolvere al calcolatore il problema di
��
��
�
�
Back
Close
221/287
Valori della funzione di Blasius f e delle sue derivate.
��
��
�
�
Back
Close
Risultati della soluzione lastra piana
η = ydim
�
V∞
,
νx
u = f �(η) .
222/287
(425)
• Il profilo di velocità è simile: al variare√di x è sempre lo stesso in
η mentre in ydim risulta solo scalato di x.
1
(426)
v = √ [ηf �(η) − f (η)] .
2 x
• Nello strato limite esiste√una (piccola) componente di velocità normale che varia come 1/ x.
�
νx
• u = 0.99 → η = 5.0 ⇒ δ99% = 5.0
: lo spessore dello strato
V∞ �
�
δ99%
5.00 5
√
limite varia parabolicamente con x.
≈
x
Rex
�
�
νx
νx
∗
• δ = 1.721
,
θ = 0.664
,
H=2.59.
V∞
V∞
5
Rex è il numero di Reynolds in cui si è usato x come lunghezza di riferimento.
��
��
�
�
Back
Close
223/287
Profilo di velocità nello strato limite sulla lastra piana, confronto tra soluzione di Blasius ed
esperimenti.
τw = µV∞
�
V∞ ��
0.664
��
f (0) , f (0) = 0.332 , Cf = √
. (427)
νx
Rex
��
��
�
�
Back
Close
224/287
θ(L)
1.328
√
Cd(L) = 2
=
.
L
ReL
(428)
��
��
�
�
Back
Close
Flussi con gradiente di pressione, punto di separazione
Bilancio di quantità di moto lungo x valutato per y = 0:
�
2
∂ u
µ
∂y 2
�
y=0
∂p
=
.
∂x
225/287
(429)
• La curvatura del profilo di velocità alla parete è direttamente collegata al gradiente di pressione.
∂p
∂x
< 0 (favorevole)
∂p
∂x
> 0 (sfavorevole)
��
��
�
�
Back
Close
Definizione del punto di separazione:
xs :
.
�
∂u
∂y
�
=0
226/287
y=0
∂p
• Strati limite con gradienti sfavorevoli di pressione ( ∂x
> 0) possono
portare alla separazione della vena fluida.
• Il punto di separazione dipende solo dal gradiente di pressione (e
non dal numero di Reynolds).
• La separazione è un punto di singolarità delle equazioni di Prandtl che cessano di essere valide: negli strati limite separati la
pressione sul corpo non è più indipendente dalla viscosità.
��
��
�
�
Back
Close
La turbolenza
227/287
L’esperienza di Reynolds
L’esperimento di Reynolds ha messo in luce l’esistenza di due regimi di
moto in un condotto profondamente diversi, il passaggio da un regime
all’altro è identificato da un numero di Reynolds critico Recr ≈ 2200
(basato sulla velocità media e sul diametro del condotto).
• Re < Recr : il flusso è stabile regime laminare;
• Re > Recr : regime turbolento (il flusso è instabile).
��
��
�
�
Strato limite turbolento su lastra piana
Back
Close
Strato limite turbolento su lastra piana
228/287
Visualizzazione mediante fumi di un flusso d’aria su una lastra piana
(V∞ = 3.3 m/s), transizione a Rex ≈ 2 × 105:
(a) vista dall’alto; (b) vista laterale.
��
��
�
�
Back
Close
Getto assialsimmetrico
229/287
Fluorescenza indotta da laser, ReD ≈ 2300.
��
��
�
�
Back
Close
Proprietà di un flusso turbolento
1. Fluttuazioni di pressione e velocità (anche di temperatura se c’è
flusso termico). Le fluttuazioni di velocità sono in tutte e 3 le
direzioni (anche in caso di fenomeno laminare 2D); le fluttuazioni
sono intorno ad un valore medio.
230/287
2. Vortici (Eddies) di diverse dimensioni (da 40mm a 0.05mm nell’esperimento della fotografia precedente).
3. Variazioni casuali delle proprietà del fluido; non è possibile prevederle deterministicamente ad un dato istante in un dato punto.
4. Moto autosostenibile. Una volta innescato, il flusso turbolento
è in grado di mantenersi da solo producendo nuovi vortici che
sostituiscono quelli persi per effetto della dissipazione.
5. Il mescolamento è molto più forte che nel caso laminare (in cui
è dovuto esclusivamente ad azioni molecolari). I vortici turbolenti
si muovono in 3 dimensioni e causano una rapida diffusione di
massa, quantità di moto ed energia. Attrito e flusso termico sono
molto più elevati del caso laminare. Il mescolamento turbolento
è proporzionale al gradiente del flusso medio.
��
��
�
�
Back
Close
Medie e fluttuazioni
u = u + u� ,
1
u=
T
�
t0 +T
u dt .
(430)
231/287
t0
� = 0, per misurare le fluttuazioni si
• Per definizione
di
media
u
√
utilizza u�2.
Lastra piana.
��
��
�
�
Back
Close
• Anche se il flusso è 2D in media esistono fluttuazioni di V in tutte
le direzioni.
• Le fluttuazioni scompaiono alla parete (sottostrato laminare).
232/287
• Il profilo di velocità medio turbolento è più panciuto del corrispondente laminare: a parità di numero di Reynolds, in uno strato
limite turbolento gli sforzi di attrito sono molto più grandi.
• Lo spessore di uno strato limite turbolento è maggiore.
• Allontanandosi dalla parete le fluttuazioni di velocità diventano
uguali: la turbolenza diventa isotropa.
��
��
�
�
Back
Close
233/287
Lastra piana, Cf = Cf (Rex).
��
��
�
�
Back
Close
Equazioni di Navier-Stokes mediate alla Reynolds
Equazioni di Navier-Stokes per un flusso incomprimibile:
∇·V = 0 ;
DV
ρ
= −∇p + µ∇2V .
Dt
234/287
(431)
con V = (u, v, w)T . Si assuma
u = u + u� , v = v + v � , w = w + w � ,
p = p + p� , T = T + T � .
L’equazione di continuità mediata nel tempo diventa:
∇·V = 0 .
(432)
��
��
�
�
Back
Close
L’equazione di quantità di motodiventa:
Du
ρ
= −px + µ∇2u − ρ[(u�u�)x + (v �u�)y + (w�u�)z ],
Dt
Dv
ρ
= −py + µ∇2v − ρ[(u�v �)x + (v �v �)y + (w�v �)z ], (433)
Dt
Dw
ρ
= −pz + µ∇2w − ρ[(u�w�)x + (v �w�)y + (w�w�)z ],
Dt
235/287
(il pedice indica derivazione parziale rispetto alla corrispondente variabile).
• τ R = σi(−ρu�iu�j )σj: tensore di Reynolds.
��
��
�
�
Back
Close
Posto
�
∂V i ∂V j
τij = µ
+
∂xj
∂xi
�
− ρu�iu�j ,
(434)
236/287
Il bilancio di quantità di moto diventa:
DV
ρ
= −∇p + ∇ · τ .
Dt
(435)
• È formalmente identico al caso laminare avendo sostituito le grandezze con la loro media ed aggiunto il tensore di Reynolds al tensore
“laminare” degli sforzi.
• L’introduzione di altre 6 incognite (le componenti del tensore di
Reynolds) rende il sistema indeterminato, a meno che non si trovi
una legge (od almeno un modello accurato) che definisca il tensore
di Reynolds (Problema della chiusura delle equazioni di NavierStokes mediate alla Reynolds).
��
��
�
�
Back
Close
Strato limite turbolento
L’analisi dimensionale delle equazioni di Reynolds nei flussi di strato
limite mette in evidenza che le equazioni possono essere approssimate
ad una forma equivalente alle equazioni di Prandtl posto τ ≈ µ ∂u
−
∂y
ρu�v �.
237/287
La viscosità turbolenta (eddy viscosity)
Nel 1877 Boussinesq formulò la seguente ipotesi:
−
ρu�v �
=
−ρu�v �
∂u
= µt
,
∂y
(436)
dove µt è la viscosità turbolenta (eddy viscosity).
• Le equazioni dello strato limite turbolento diventano formalmente
identiche a quelle dello strato limite laminare previa sostituzione
di u e v con i valor medi e la viscosità µ con µtot = µ + µt.
Quanto vale µt?
��
��
�
�
Back
Close
• L’ipotesi (intelligente) consiste nell’assumere che il meccanismo
di scambio di quantità di moto dovuto al ricircolo caotico della
turbolenza avvenga in maniera perfettamente analoga a quello a
livello molecolare in un fluido newtoniano (µ).
238/287
• Per la maggioranza dei flussi la correlazione u�v � < 0.
• Quindi, come per la viscosità molecolare, µt > 0: lo sforzo turbolento tende ad accelerare la particella adiacente mediamente
più lenta.
• Se µt fosse una funzione di stato come la viscosità molecolare (µ =
µ(p, T )) le equazioni di Reynolds sarebbero chiuse, ma purtroppo
non è cosı̀, l’esperienza ha messo in luce che la viscosità turbolenta
dipende dalla geometria e dal tipo di flusso.
• Oggi vengono utilizzati dei modelli di turbolenza che, su base
semi-empirica, propongono delle espressioni chiuse per la viscosità
turbolenta, o più in generale, per tutte le componenti del tensore
di Reynolds.
• Questi modelli vengono utilizzati con successo per problemi in cui
la fisica è chiara a priori.
��
��
�
�
Back
Close
Lo strato limite sui profili alari ad elevato numero di
Reynolds
Strato limite sul dorso e sul ventre del profilo a partire dal punto di
ristagno anteriore
239/287
��
��
�
�
Back
Close
1. Punto di ristagno; nell’intorno del punto di ristagno lo spessore
dello strato limite è finito.
2. Strato limite laminare.
3. (Eventuale) separazione laminare xsl : può avvenire se si incontra
un forte gradiente sfavorevole di pressione prima della transizione
a flusso turbolento (profili sottili); si forma quindi una bolla di
separazione laminare, nella bolla il flusso transisce a turbolento e,
generalmente, riattacca.
4. (Eventuale) punto di transizione a flusso turbolento; dipende da
diversi parametri, i più importanti sono: numero di Reynolds, gradiente di pressione, turbolenza iniziale della corrente, rugosità della
superficie, numero di Mach.
5. (Eventuale) strato limite turbolento.
6. (Eventuale) separazione turbolenta: può avvenire se si incontra un
forte gradiente sfavorevole di pressione; in condizioni di crociera in
genere i profili lavorano senza separazione.
7. Scia, di spessore piccolo se non c’è separazione o questa è molto
vicina al bordo d’uscita.
240/287
��
��
�
�
Back
Close
La resistenza dei profili alari in subsonico
• In campo subsonico la resistenza totale che agisce su un profilo (2D)
è solo di origine viscosa ed è indicata come resistenza di profilo
(dp).
241/287
• La resistenza di profilo può essere distinta nei seguenti contributi:
1. resistenza di attrito (df ), dovuta all’azione diretta degli sforzi tangenziali che si esercitano sulle pareti, sia nella regione
laminare che in quella turbolenta;
2. resistenza di scia o di forma (dwake), che deriva dal mancato
recupero di pressione conseguente a (eventuali) separazioni ed
alla formazione della scia.
dp = df + dwake .
(437)
��
��
�
�
Back
Close
La resistenza di scia
Dovuta a due effetti concomitanti:
242/287
1. variazione delle distribuzioni di pressione rispetto a quella valutata
con il modello di flusso ideale sulle superfici del corpo;
2. sensibile diminuzione del livello di pressione sulla base ddelle geometrie con coda tronca.
• Se la pressione sul corpo fosse perfettamente identica a quella del
modello ideale la resistenza di scia sarebbe nulla.
• La resistenza di scia è tanto maggiore quanto più estesa è la zona
di flusso separato.
• Nei corpi aerodinamici è dominante la resistenza di attrito.
• Nei corpi tozzi è dominante la resistenza di scia.
Si consideri, a parità di Re, una lastra piana ad α = 0o ed una ad
α = 90o:
Cd90o ≈ 100Cd0o
(438)
��
��
�
�
Back
Close
243/287
Flusso intorno al cilindro, Cd = Cd(ReD ).
��
��
�
�
Back
Close
Perchè il coefficiente di resistenza diminuisce quando il flusso transisce a turbolento?
o
• In caso di flusso laminare la separazione avviene a θ ≈ 100 .
244/287
• In caso di flusso turbolento la separazione avviene a θ ≈ 80o.
• Per flusso turbolento il recupero di pressione è maggiore e quindi
diminuisce sensibilmente la resistenza di scia.
��
��
�
�
Back
Close
I profili laminari
Nel caso di corpi aerodinamici la resistenza si riduce in modo significativo se il flusso si mantiene lungo il corpo il più possibile laminare.
245/287
• I profili laminari sono caratterizzati dalla presenza di una estesa
zona di flusso laminare a partire dal bordo d’attacco in crociera.
• L’obiettivo è raggiunto spostando il più possibile indietro il punto
in cui inizia la ricompressione (dp/dx > 0) e lo strato limite diventa
instabile.
• In condizioni portanti il picco di pressione può essere mantenuto
verso poppa progettando una opportuna linea media caratterizzata
da carico basico costante.
��
��
�
�
Back
Close
246/287
��
��
�
�
Back
Close
247/287
Caratteristiche del profilo NACA 651 − 212
��
��
�
�
Back
Close
• Le polari dei profili laminari sono caratterizzate dalla presenza della
tipica sacca laminare nell’intorno dell’angolo di attacco ideale in
cui il coefficiente di resistenza è notevolmente più basso.
248/287
• Lontano dall’incidenza ideale, per effetto del carico addizionale, lo
strato limite transisce a turbolento molto prima, come nei profili
convenzionali (la sacca scompare).
• Fuori sacca le prestazioni di un profilo laminare sono, in genere,
più scadenti di un corrispondente profilo convenzionale.
• Per effetto della contaminazione è molto delicato mantenere le
condizioni di flusso laminare.
��
��
�
�
Back
Close
Superfici portanti
Oltre all’ala principale, un’aeromobile convenzionale possiede altre superfici portanti:
249/287
piano orizzontale: consente il controllo e garantisce la stabilità
intorno all’asse di beccheggio.
piano verticale o deriva: consente il controllo e garantisce la
stabilità intorno all’asse di imbardata.
• Il controllo intorno all’asse di rollio è consentito dagli alettoni.
��
��
�
�
Back
Close
Sistemi di ipersostentazione
Hanno il compito di aumentare CLmax e di ridurre la velocità minima
di sostentamento.
250/287
Classificazione:
1. sistemi meccanici (flaps);
2. sistemi di controllo dello strato limite;
3. sistemi gettosostentati (jet flaps).
SI discutono brevemente qui solo i sistemi meccanici.
��
��
�
�
Back
Close
Tipi di flap:
251/287
��
��
�
�
Back
Close
Alettone semplice
• Una cerniera consente la rotazione della parte posteriore del profilo,
la conseguente variazione della curvatura comporta una variazione
di αzl e quindi del Cl a parità di incidenza.
252/287
• In genere l’angolo di stallo diminuisce.
Curva Cl = Cl (α) per un profilo con alettone al variare dell’inclinazione dell’alettone δ.
��
��
�
�
Back
Close
Alettone con uno o più slot
253/287
Profilo NACA 653 − 118, alettone con doppio slot (0.309c).
• Lo slot consente il passaggio di flusso ad alta pressione del ventre sul
dorso, la separazione viene cosı̀ notevolmente ritardata e l’angolo
di stallo aumenta.
• Significativo aumento del Clmax .
��
��
�
�
Back
Close
Tipo
∆CLmax
Alettone
≈ 0.9
Flap con slot
≈ 1.5
Flap con doppio slot ≈ 1.9
254/287
Flap Fowler
È uno slotted flap che si abbassa con un moto di rototraslazione per
cui la portanza viene ulteriormente aumentata a causa dell’aumento
della corda del profilo.
��
��
�
�
Back
Close
Slat
Un’aletta con canale posta anteriormente al profilo.
Coefficienti di pressione su una sezione dell’ala del B737-100.
40o flaps, α = 8o . Confronto tra prova di volo ed analisi numerica del flusso non viscoso.
255/287
��
��
�
�
Back
Close
256/287
Effetto dello slat sul CLmax .
��
��
�
�
Back
Close
Effetti della comprimibilità
257/287
• In campi di moto comprimibili le equazioni di continuità e quantità
di moto sono accoppiate all’equazione dell’energia: il campo di
moto dipende dal campo termico.
• Nel caso di campi ideali (Re → ∞) con condizioni a monte uniformi l’equazione dell’energia ha una soluzione particolarmente semplice (H = cost) e la trattazione risulta semplificata nonchè valida
in tutto il campo di moto a parte lo strato limite.
• La fisica dei flussi con M > 1 è profondamente diversa da quella
subsonica!
��
��
�
�
Back
Close
Equazioni di Eulero in coordinate intrinseche
Flusso 2D, stazionario, ideale; equazioni di Eulero:
∇ · (ρV) = 0 ;
ρV · ∇ V + ∇p = 0 .
258/287
(439)
(440)
��
��
�
�
Back
Close
Coordinate intrinseche ξ = ξ(x, y), n = n(x, y):
ξ : V = V ξ;
n:n⊥ξ.
(441)
ξ = σ x cos θ + σ y sin θ ;
n = −σ x sin θ + σ y cos θ .
(442)
(443)
dξ = (−σ x sin θ + σ y cos θ)dθ = ndθ ;
dn = (−σ x cos θ − σ y sin θ)dθ = −ξdθ .
(444)
(445)
In particolare si ha che
∂ξ
∂ξ
=
∂θ
n
∂ξ
259/287
.
∂
∂
∇ = ξ +n
.
∂ξ
∂n
(446)
��
��
�
�
Back
Close
Continuità:
1 ∂V
1 ∂ρ ∂θ
+
+
=0.
(447)
V ∂ξ
ρ ∂ξ ∂n
Oppure, applicando il bilancio integrale tra 2 linee di corrente:
∂(ρV A)
=0.
∂ξ
(448)
∂V
∂p
∂p
2 ∂θ
ρV
ξ + ρV
n+ ξ+
n=0.
∂ξ
∂ξ
∂ξ
∂n
(449)
260/287
Quantità di moto:
Poichè |∂θ/∂ξ| = |1/R|, dove R è il raggio di curvatura e proiettando
nelle direzioni ξ e n si ottiene:
∂V
∂p
ρV
+
= 0;
∂ξ
∂ξ
V 2 ∂p
ρ +
= 0.
R
∂n
(450)
(451)
��
��
�
�
Back
Close
1. Affinchè la velocità possa variare lungo la linea di corrente è necessaria, lungo la stessa una variazione di pressione di segno opposto.
2. Se la linea di corrente è curva è necessario un gradiente di pressione
normale per bilanciare la forza centrifuga.
261/287
Ricaviamo una relazione tra variazione di V e variazione di A lungo
la linea di corrente.
Continuità:
1 ∂V
1 ∂ρ 1 ∂A
+
+
=0.
(452)
V ∂ξ
ρ ∂ξ A ∂ξ
Essendo il flusso ideale (isoentropico):
∂p
2 ∂ρ
=a
.
∂ξ
∂ξ
(453)
Dalla quantità di moto lungo ξ:
1 ∂ρ
V ∂V
=− 2
.
ρ ∂ξ
a ∂ξ
(454)
��
��
�
�
Back
Close
Dalla continuità:
Inoltre
1 ∂A
2 1 ∂V
= −(1 − M )
.
A ∂ξ
V ∂ξ
(455)
1 ∂A
1 ∂p
2
= (1 − M ) 2
.
A ∂ξ
ρV ∂ξ
(456)
262/287
• In un flusso supersonico all’aumentare della sezione del tubo
di flusso la velocità aumenta e la pressione diminuisce.
• Se il numero di Mach è uguale a 1 allora nel tubo di flusso
∂A/∂ξ = 0: il passaggio da subsonico a supersonico (o viceversa) avviene in una sezione di minimo (gola) del tubo di
flusso.
• A parità di variazione d’area, la comprimibilità esalta le variazioni di pressione.
��
��
�
�
Back
Close
Bilancio dell’energia in coordinate intrinseche:
∂H
=0.
(457)
∂ξ
L’equazione dell’energia ed il bilancio di quantità di moto lungo ξ non
sono indipendenti.
263/287
Relazioni del flusso isoentropico
1. s = cost;
2. H = cpT +
V2
2
=
γ p
γ−1 ρ
+
V2
2
= cost (il flusso è anche isoentalpico).
Ipotesi di gas piucheperfetto:
1. p = ρRT ;
2. dh = cpdT .
Dalla relazione di Gibbs dh = T ds+ ρ1 dp si ha che un flusso isoentropico
è caratterizzato dalle relazioni:
�
�γ/(γ−1) �
�γ
p
T
ρ
=
.
(458)
=
prif
Trif
ρrif
��
��
�
�
Back
Close
L’equazione dell’energia si può scrivere:
T0
γ−1 2
=1+
M ,
T
2
(459)
264/287
dove il pedice 0 indica condizioni di ristagno; per cui, in un flusso
isoentropico:
�
�
p0
γ − 1 2 γ/(γ−1)
= 1+
M
;
p
2
�
�
ρ0
γ − 1 2 1/(γ−1)
= 1+
M
.
ρ
2
(460)
(461)
• In un flusso isoentropico, note le condizioni termodinamiche
nel punto di ristagno e noto il numero di Mach locale, è noto
lo stato termodinamico.
• In un flusso reale le condizioni di ristagno variano al variare del
punto: sono cioè a loro volta funzioni dello stato termofluidodinamico attuale della particella.
��
��
�
�
Back
Close
Il coefficiente di pressione in un flusso comprimibile
p − p∞
2
Cp = 1
=
2
2
ρ
V
γM
∞
∞
∞
2
�
p
−1
p∞
�
.
(462)
265/287
Utilizzando le relazioni del flusso isoentropico:
2
Cp =
2
γM∞
��
γ−1 2
1+
M
2
γ �
�− γ−1
γ−1 2
1+
M∞
2
γ
� γ−1
�
− 1 . (463)
Nel punto di ristagno:
2
Cp(M = 0) =
2
γM∞
��
γ−1 2
1+
M∞
2
γ
� γ−1
�
−1 .
• Nel punto di ristagno di un flusso comprimibile Cp > 1.
(464)
��
��
�
�
Back
Close
Per M = 1:
Cp∗
2
=
2
γM∞
��
γ−1
1+
2
γ �
�− γ−1
γ−1 2
1+
M∞
2
γ
� γ−1
�
−1 .
(465)
266/287
• Per una corrente caratterizzata da un dato valore di M∞ esiste un
ben preciso valore del coeffficiente di pressione (Cp∗) nel punto in
cui M = 1.
��
��
�
�
Back
Close
Effetti della comprimibilità per flussi subcritici intorno a
profili alari
Si consideri un flusso subcritico (M < 1 ovunque) intorno ad un profilo sottile a piccole incidenze (ipotesi di piccole perturbazioni). Si
dimostra che in ogni punto del campo (formula di Prandtl-Glauert):
CpM∞=0
Cp ≈ �
,
2
1 − M∞
267/287
(466)
dove CpM∞=0 indica il coefficiente di pressione nello stesso punto per il
caso dello stesso profilo alla stessa incidenza e M∞ = 0.
• Flussi ideali intorno a profili sottili a piccole incidenze in regime subcritico possono essere studiati con le tecniche sviluppate
per l’analisi incomprimibile!
�
2 il coefficiente di pressio• Basta amplificare del fattore 1/ 1 − M∞
ne.
��
��
�
�
Back
Close
Chiaramente risulta:
Cl M∞=0
Cl ≈ �
,
2
1 − M∞
(467)
268/287
dove Cl M∞=0 indica il coefficiente di portanza dello stesso profilo alla
stessa incidenza e M∞ = 0.
• In condizioni�subcritiche il coefficiente di portanza aumenta
2 rispetto al caso incomprimibile.
del fattore 1/ 1 − M∞
Essendo αzl indipendente da M∞ risulta:
Clα M∞=0
.
2
1 − M∞
Clα ≈ �
(468)
• Si dimostra, invece, che il Cd è solo debolmente influenzato da M∞
in condizioni subcritiche.
��
��
�
�
Back
Close
Calcolo approssimato del Mach critico inferiore
• Per un dato profilo in flusso ideale il Mach critico inferiore
dipende solo dall’angolo di attacco.
269/287
�
• Quando M∞ = M∞,cr
la condizione M = 1 viene raggiunta nel
punto di minima pressione.
Procedura
1. Si assegna α.
2. Si calcola il campo di pressione per M∞ = 0.
3. Si determina il valore minimo del coefficiente di pressione Cp,min.
�
2.
4. Si diagramma in funzione di M∞ la curva Cp,min/ 1 − M∞
5. Si diagrammala curva Cp∗ = Cp∗(M∞) (equazione (465)).
�
6. L’ascissa del punto di intersezione delle due curve individua M∞,cr
.
�
Prob. n. 21: Calcolare M∞,cr
per un dato profilo NACA
ad un assetto assegnato
��
��
�
�
Back
Close
Regime transonico
�
��
• Il regime transonico è caratterizzato da M∞,cr
< M∞ < M∞,cr
.
270/287
• Caratterizza la crociera della maggior parte dei velivoli civili e
militari.
• È il regime più difficile da analizzare teoricamente.
• Anche nelle ipotesi di flusso ideale e piccole perturbazioni le equazioni che governano il problema sono non lineari.
• Solo la comparsa negli anni ’70 dei calcolatori elettronici di grossa
potenza di calcolo ha consentito la soluzione con metodi numerici
di queste equazioni e quindi la determinazione dei campi transonici.
• In transonico (ed anche in supersonico) compare una nuova forma
di resistenza: la resistenza d’onda associata alla perdita di pressione di ristagno attraverso le possibili onde d’urto che si formano
nel campo.
��
��
�
�
Back
Close
• Onda d’urto: superficie di discontinuità di un flusso ideale che si
forma in regime stazionario solo se M > 1. Una particella che
attraversa un’onda d’urto subisce un salto positivo di pressione
densità e temperatura, una riduzione della velocità, ad entalpia
totale costante.
271/287
• Il processo è irreversibile e non isoentropico (la pressione di ristagno
diminuisce).
��
��
�
�
Back
Close
272/287
��
��
�
�
Back
Close
273/287
Profilo RAE 2822;
α = 2.31o, M∞ = 0.729, Re∞ = 6.5 × 106;
linee iso-Mach.
��
��
�
�
Back
Close
274/287
Profilo RAE 2822; α = 2.31o , M∞ = 0.729, Re∞ = 6.5 × 106 ;
distribuzione di pressione sul corpo.
��
��
�
�
Back
Close
275/287
• Oltre alla crescita
della resistenza con
V∞2 c’è una ripida
variazione del coefficiente di resistenza:
il muro del suono.
• MDD , Mach di divergenza della resistenza: M∞ tale che
dCd/dM∞ = 0.1.
NACA 0012-34; Cd = Cd(M∞).
��
��
�
�
Back
Close
• Il transonico è caratterizzato da una forte interazione tra strato
limite e onda d’urto
• Attraverso l’onda d’urto si ottiene un gradiente di pressione infinitamente sfavorevole.
276/287
• Lo strato limite separa molto facilmente.
• Lo strato limite separato si ingrossa, l’urto avanza e si indebolisce,
lo strato limite riattacca, l’urto riarretra ed aumenta in intensità e
cosı̀ via: si genera un fenomeno instazionario detto buffet.
• Il buffet è pericoloso per le ali; la barriera di buffet costituisce il
limite per la velocità massima dei velivoli da trasporto commerciale.
��
��
�
�
Back
Close
Profili supercritici
Sono profili caratterizzati da Cd accettabili anche in regime transonico
e consentono quindi di volare in crociera transonica.
277/287
��
��
�
�
Back
Close
• I profili supercritici sono caratterizzati dall’assenza in crociera di
picchi di pressione (a parte i profili peaky) per limitare i valori
massimi di Mach e quindi l’intensità delle onde d’urto.
278/287
• Per recuperare carico in crociera al fine di raggiungere il necessario
Cl spesso sono caratterizzati da forti curvature nella parte poppiera
(rear loading).
• I profili laminari in condizioni di progetto sono caratterizzati da
picchi di pressione inferiori a quelli dei NACA a 4 e 5 cifre.
• I profili laminari sono quindi caratterizzati (a parità di Cl ) da valori
�
più elevati di M∞,cr
: consentono di raggiungere velocità di crociera
più elevate allontanando l’insorgenza del drag rise.
��
��
�
�
Back
Close
L’ala a freccia
�
L’ala a freccia consente di aumentare (a parità di assetto) il M∞,cr
,
di conseguenza aumenta anche MDD e consente quindi un volo a
velocità di crociera più elevate (a parità di potenza del propulsore).
Schema di un’ala a freccia infinita.
279/287
��
��
�
�
Back
Close
• In un flusso ideale intorno ad un’ala a freccia infinita il campo di
moto è bidimensionale rispetto ad un riferimento (inerziale) che si
muove con velocità V∞ sin Λ.
280/287
• Il campo di moto intorno al profilo individuato dalla sezione AC è
quindi bidimensionale e caratterizzato da M̄∞ ≈ M∞ cos Λ.
�
• Le condizioni critiche si raggiungeranno quando M̄∞ = M̄∞,cr
�
(M̄∞,cr
è il Mach critico inferiore del profilo AC).
�
�
• Il Mach critico inferiore dell’ala è quindi M∞,cr
= M̄∞,cr
/ cos Λ.
• Le linee di corrente sono fortemente tridimensionali.
��
��
�
�
Back
Close
281/287
tan αef f
tan α
α
=
, αef f ≈
;
cos Λ
cos Λ
Vef2 f = V∞2 (sin2 α + cos2 α cos2 Λ)
= V∞2 (1 − cos2 α sin2 Λ)
≈ V∞2 cos2 Λ .
(469)
(470)
��
��
�
�
Back
Close
La portanza è indipendente dal sistema inerziale scelto:
1
1
2
CL ρ∞V∞S = CLef f ρ∞Vef2 f Sef f .
2
2
Per b → ∞:
S → bc ;
Sef f
b
→
c cos Λ = S .
cos Λ
(471)
282/287
(472)
CLV∞2 = CLef f Vef2 f ⇒ CL = CLef f cos2 Λ ;
(473)
α
CLef f = Clα αef f = Clα
;
(474)
cos Λ
α
CL = Clα
cos2 Λ = Clα cos Λα .
(475)
cos Λ
• Il coefficiente di portanza di un’ala a freccia infinita è minore
di un fattore cos Λ rispetto a quello della corrispondente ala
dritta.
��
��
�
�
Back
Close
283/287
Effetto dell’allungamento e della freccia sul CLα .
��
��
�
�
Back
Close
Altri effetti dell’ala a freccia
• Fissato lo svergolamento di un’ala, all’aumentare della freccia (positiva) il carico si sposta verso le estremità e quindi si allontana
dall’andamento ellittico con maggiori rischi di stallo all’estremità.
284/287
• Fissato lo svergolamento di un’ala, all’aumentare della freccia (negativa) il carico si sposta verso la mezzeria (soluzione preferibile
dal punto di vista aerodinamico, ma fino ad oggi praticamente non
utilizzata per problemi strutturali-aeroelastici).
• Per frecce positive tendenza al fenomeno del nose-up.
��
��
�
�
Back
Close
L’aeromobile
285/287
Le polari
CD = CD (CL, M∞, Re∞, conf igurazione, trim, motore) . (476)
Polare, curva di portanza e dei momenti per un ala di AR = 10
��
��
�
�
Back
Close
Espressione approssimata della polare
L’espressione parabolica della polare costituisce una buona approssimazione della polare reale nell’intorno della crociera del velivolo:
CL2
CD = CD0 +
πARe
286/287
(477)
CD0 = CDp + CDw : coefficiente di resistenza a portanza nulla.
CDp : coefficiente di resistenza di profilo.
CDw : coefficiente di resistenza d’onda;
e: fattore di Oswald.
Una buona approssimazione, nel caso di ala isolata in flusso iposonico
per CDp :
� +b/2
1
CDp =
Cd(y)cdy ,
(478)
SW −b/2
Cd(y): coefficiente di resistenza del profilo dell’ala alla stazione y.
��
��
�
�
Back
Close
L’aerodinamica viscosa è fortemente non lineare, comunque in avamprogetto si assume sovente:
CD0 ≈
1 �
Sw
287/287
C D k Sk ;
(479)
k
k: k-esimo componente del velivolo (ala, fusoliera, gondola motore,
deriva, piano orizzontale, etc.);
CDk : coefficiente di resistenza del k-esimo componente;
Sk : superficie di riferimento del k-esimo componente.
Errori insiti nell’approssimazione parabolica della polare:
• in generale il coefficiente di resistenza non è minimo per CL = 0;
• la resistenza di profilo e la resistenza d’onda variano al variare di
CL ;
• in condizioni di alta portanza la polare del velivolo si discosta molto
dall’andamento parabolico che addirittura non prevede lo stallo
dell’aeromobile.
��
��
�
�
Back
Close