dalle frazioni ai numeri decimali
PREMESSA
Una frazione rappresenta un numero razionale che è il quoziente fra due numeri naturali:
• il numeratore rappresenta il dividendo; • il denominatore rappresenta il divisore
Una frazione è irriducibile quando ... è già ridotta ai minimi termini (cioè non la posso semplificare ulteriormente). Es. 5/7; 13/2 ...
COMPITO DI APPRENDIMENTO: DALLE FRAZIONI AI NUMERI DECIMALI
1.
a
b
c
Usando la calcolatrice, calcola il valore delle seguenti frazioni (cioè il loro quoziente):
Frazione Quoziente
Com'è la frazione? * Com'è il quoziente? **
6/3
2 apparente num. naturale 35/5
7 apparente num. naturale 12/5
2,4 ordinaria irriduc.
decimale limitato 4/10
0,4 ordinaria riducib.
decimale limitato 15/2
7,5 ordinaria irriduc.
decimale limitato 7/20
0,35 ordinaria irriduc.
decimale limitato 7/12
0,5833333.... ordinaria irriduc. decimale illimitato
8/3
2,66666....... ordinaria irriduc. decimale illimitato 5/27
0,185185.... ordinaria irriduc. decimale illimitato *­ frazione apparente
­ frazione ordinaria irriducibile o riducibile (sia propria che impropria)
**­ numero naturale ­ numero decimale limitato (con poche cifre dopo la virgola)
­ numero decimale illimitato (con infinite cifre dopo la virgola)
Osserva la terza e quarta colonna: trovi che c’è una relazione tra il tipo di frazione e il relativo quoziente? Se sì esprimila con le tue parole: 1
dalle frazioni ai numeri decimali
1^ regola:
ogni frazione si può trasformare, dividendo il
numeratore per il denominatore, in un numero che sarà:
• naturale, se la frazione è apparente
• decimale, limitato o illimitato, se la frazione non è
apparente (cioè è ordinaria)
NUMERO RAZIONALE
FRAZIONE APPARENTE
NUMERI NATURALI
FRAZIONE ORDINARIA
NUMERI DECIMALI
2. Adesso approfondiamo il caso b) della tabella precedente (e cioè lo studio delle frazioni ordinarie irriducibili):
Frazione
Com'è il Quoziente Che caratteristica ha quoziente? **
la frazione?*
8,4 decimale decimale limitato
52/100
0,52 decimale decimale limitato 2/1000
0,002 decimale decimale limitato d 84/10
*­ frazione apparente
­ frazione ordinaria irriducibile o riducibile (sia propria che impropria) ­ frazione decimale (ha per denominatore 10 o una sua potenza)
**­ numero naturale ­ numero decimale limitato (con poche cifre dopo la virgola)
­ numero decimale illimitato (con infinite cifre dopo la virgola)
Osserva le ultime 2 colonne: trovi che c’è una relazione tra il tipo di frazione e il relativo quoziente? Se sì esprimila con le tue parole: Com'è il Quali fattori Frazione Quoziente Che caratteristica primi contiene il quoziente?**
ha la denominatore?
frazione?*
e
0,225 ordinaria irriduc.
23/25
0,92 ordinaria irriduc. 5 7/8
0,875 ordinaria irriduc. 23 9/40
23 x 5 2
*­ frazione apparente
­ frazione ordinaria irriducibile o riducibile (sia propria che impropria) ­ frazione decimale (ha per denominatore 10 o una sua potenza)
decimale limitato **­ numero naturale ­ numero decimale limitato
decimale limitato (con poche cifre dopo la virgola)
­ numero decimale illimitato decimale limitato (con infinite cifre dopo la virgola)
Osserva le ultime 3 colonne: trovi che c’è una relazione tra il tipo di frazione, i fattori primi del denominatore e il relativo quoziente? Se sì esprimila con le tue parole: 2
dalle frazioni ai numeri decimali
2^ regola:
Una frazione decimale si trasforma sempre in un numero
decimale limitato.
Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un
numero decimale limitato solo se il suo denominatore,
scomposto in fattori primi, contiene solo i fattori 2 o 5
o entrambi.
FRAZIONE APPARENTE
NUMERO RAZIONALE
NUMERI NATURALI
LIMITATI (il denom. contiene 2, 5 o entrambi)
FRAZIONE ORDINARIA
NUMERI DECIMALI
perché non ho inserito la frazione
decimale nello schema?
Mettiamoci alla prova:
Stabilisci quali delle seguenti frazioni si possono trasformare in numeri decimali limitati ed esegui, quando è possibile, tale trasformazione.
9
6
7
33
11
18
40
50
5
12
35
15
51
20
5
11
10
55
7
4
9
12
1^ cosa da fare: semplificare le frazioni riducibili riducendole ai minimi termini:
3
2
7
33
11
18
4
5
5
12
7
3
51
20
5
11
2
11
7
4
3
4
2^ cosa da fare: scomporre i denominatori in fattori primi:
33 = 3x11
12 = 22x3
4 = 22
18 = 2x32
20 = 22x5
3^ cosa da fare: evidenziare solo le frazioni il cui denominatore contiene i fattori 2 o 5 o entrambi
3
2
7
33
11
18
4
5
5
12
7
3
51
20
5
11
2
11
7
4
3
4
4^ cosa da fare: calcolare il quoziente delle frazioni evidenziate:
3:2 = 1,5
40:50 = 4:5 = 0,8
51:20 = 2,55
7:4 = 1,75
9:12 = 3:4 = 0,75
3
dalle frazioni ai numeri decimali
Mettiamoci alla prova 2:
Nei seguenti esercizi metti un denominatore tale che la frazione possa essere trasformata in un numero decimale limitato
(ricorda quali devono essere i fattori primi del denominatore)
27
15
5
23
37
8
17
PREMESSA
12,3
parte intera , parte decimale
ricordiamo ...
numeri decimali illimitati
periodici semplici
13,444444… si scrive periodici misti
37,4555555555… si scrive 25,45454545… si scrive periodo
antiperiodo
4
dalle frazioni ai numeri decimali
3. Adesso approfondiamo il caso c) della prima tabella considerando delle frazioni ordinarie il cui quoziente è un numero decimale illimitato: Com'è il Frazione Quoziente Quali fattori primi contiene il quoziente?
denominatore?
f 5/3
1,666.... 3 20/11
1,8181.... 11 22/37
0,594594...
37 26/27
0,962962... 33 Soffermati sul gruppo f e osserva la terza e quarta colonna: trovi che c’è periodico semplice una relazione tra i fattori primi contenuti nel denominatore di queste periodico semplice frazioni e il relativo quoziente?
Se sì, esprimila prima con le tue parole. periodico semplice
periodico semplice 4,1666... 2 x 3
periodico misto 46/15
3,0666... 3 x 5 periodico misto 29/30
0,9666... 2 x 3 x 5 periodico misto 17/72
0,236111... g 25/6
23 x 32 periodico misto Infine, soffermati sul gruppo “g” e osserva la terza e quarta colonna: trovi che c’è una relazione tra i fattori primi contenuti nel denominatore di queste frazioni e il relativo quoziente?
Se sì, esprimila prima con le tue parole.
3^ regola:
Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un
numero decimale illimitato periodico semplice se il suo
denominatore, scomposto in fattori primi, non contiene
proprio i fattori 2 e 5.
4^ regola:
Una frazione ordinaria irriducibile si trasforma in un
numero decimale illimitato periodico misto solo se il suo
denominatore, scomposto in fattori primi, contiene i
fattori 2 o 5 o entrambi e anche altri fattori.
FRAZIONE APPARENTE
NUMERO RAZIONALE
NUMERI NATURALI
LIMITATI (il denom. contiene 2, 5 o entrambi)
FRAZIONE ORDINARIA
NUMERI DECIMALI
ILLIMITATI PERIODICI SEMPLICI (il denom. non contiene 2, 5 o entrambi)
ILLIMITATI PERIODICI MISTI
(il denom. contiene 2, 5 o entrambi più altri fattori)
5
dalle frazioni ai numeri decimali
Mettiamoci alla prova 3:
Stabilisci quali delle seguenti frazioni si possono trasformare in numeri decimali illimitati periodici semplici ed esegui, quando è possibile, tale trasformazione.
8
3
9
10
3
14
5
11
45
9
27
8
19
27
20
6
5
32
18
33
13
20
1^ cosa da fare: semplificare le frazioni riducibili riducendole ai minimi termini:
8
3
9
10
3
14
5
11
5
1
27
8
19
27
10
3
5
32
18
33
13
20
2^ cosa da fare: scomporre i denominatori in fattori primi:
10= 2x5;
14=2x7;
8=23;
27=33;
32=25;
33=3x11;
20=22x5
3^ cosa da fare: evidenziare solo le frazioni il cui denominatore NON contiene i fattori 2 o 5 o entrambi
8
3
9
10
3
14
5
11
5
27
8
19
27
10
3
5
32
18
33
13
20
4^ cosa da fare: calcolare il quoziente delle frazioni evidenziate:
8:3 = 2,6666....
5:11 = 0,454545....
19:27=0,703703703....
20:6 = 10:3 = 3,333.....
18:33 = 0,545454...
Mettiamoci alla prova 4:
Nei seguenti esercizi metti un denominatore tale che la frazione possa essere trasformata in un numero decimale illimitato periodico semplice
(ricorda quali devono essere i fattori primi del denominatore)
27
7
7
3
12
11
30
7
51
21
19
9
22
7
6
dalle frazioni ai numeri decimali
Mettiamoci alla prova 5:
Stabilisci quali delle seguenti frazioni si possono trasformare in numeri decimali illimitati periodici misti ed esegui, quando è possibile, tale trasformazione.
7
15
3
10
16
12
19
24
9
20
25
6
33
45
21
28
3
15
25
60
37
30
1^ cosa da fare: semplificare le frazioni riducibili riducendole ai minimi termini:
7
15
3
10
4
3
19
24
9
20
25
6
11
15
3
4
1
5
5
12
37
30
2^ cosa da fare: scomporre i denominatori in fattori primi:
15 = 3x5
10 = 2x5
24 = 23x3
20 = 22x5
6 = 2x3
4 = 22
12 = 22x3
30 = 2x3x5
3^ cosa da fare: evidenziare solo le frazioni il cui denominatore contiene i fattori 2 o 5 o entrambi più altri fattori
7
15
3
10
4
3
19
24
9
20
25
6
11
15
3
4
1
5
5
12
37
30
4^ cosa da fare: calcolare il quoziente delle frazioni evidenziate:
7:15 = 0,466666.....
19:24 = 0,791666....
25:6 = 4,1666....
33:45 = 11:15 = 0,7333....
25:60 = 5:12 = 0,41666...
37:30 = 1,2333.....
Mettiamoci alla prova 6:
Nei seguenti esercizi metti un denominatore tale che la frazione possa essere trasformata in un numero decimale illimitato periodico misto
(ricorda quali devono essere i fattori primi del denominatore)
6
28
10
12
18
55
25
6
14
15
38
44
20
24
7