Carlo Sintini
Satelliti artificiali
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1. SATELLITI ARTIFICIALI
Carlo Sintini
1. IL MOTO DEI SATELLITI
Il 4 ottobre 1957 venne lanciato il primo satellite artificiale intorno alla terra, ebbe
inizio l'era spaziale e l'opinione pubblica cominciò a conoscere dai mass media i
concetti fondamentali della navigazione spaziale ed i termini ad essa relativi, come
velocità di fuga, orbita terrestre, satellite geostazionario, ecc.
Quanti però conoscono realmente il significato fisico e matematico che si nasconde
dietro tali termini ?
Supponiamo di trovarci su un'alta montagna
come mostrato nella figura a fianco, e di lanciare
un corpo in direzione orizzontale verso la pianura
sottostante.
Effettuando diversi lanci a velocità crescente
potremo notare che il corpo cadrà sempre più
lontano secondo un'orbita che sappiamo essere
una parabola con asse verticale e concavità verso
il basso.
Con maggiore precisione possiamo affermare (e
lo proveremo), che si tratta in realtà di una
ellisse fortemente eccentrica: lo scostamento
dalla parabola, inizialmente insensibile, diverrà
sempre più evidente man mano che la gittata
aumenta e non sarà più possibile ritenere
parallele fra loro le verticali nel punto di partenza e nel punto di arrivo.
La traiettoria ellittica ha un fuoco nel centro della terra e, se si scavasse una galleria
il corpo descriverebbe l'intera ellisse e tornerebbe nel punto di partenza con la
stessa velocità iniziale con cui era partito (naturalmente trascurando l'attrito con
l'aria).
Per velocità iniziali sempre più elevate la traiettoria si fa meno eccentrica fino a
quando, con una velocità di circa 28.000 Km/h il corpo percorrerebbe una traiettoria
perfettamente circolare mantenendosi sempre alla stessa quota costante ed
effettuando un giro completo intorno alla terra in circa un'ora e mezza.
Per velocità maggiori il corpo descriverà sempre una ellisse, ma la terra si troverà
nell'altro fuoco: in altre parole con una velocità iniziale minore di quella caratteristica
della circonferenza (28.000 Km/h) il punto di partenza del corpo costituirà il perigeo
dell'orbita, mentre per velocità maggiori il punto di partenza costituirà l'apogeo.
1
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2. ENERGIA POTENZIALE IN UN PUNTO
L'energia potenziale gravitazionale in funzione
della distanza x dal corpo di massa M che genera
il campo, è
U = −G
Mm
X
Infatti l'energia potenziale aumenta
all'aumentare di x, deve essere nulla
all'infinito, e perciò in tutti i punti
intermedi deve avere valore negativo.
La funzione rappresenta una iperbole
equilatera con gli asintoti coincidenti con
gli assi coordinati.
3. LA TRAIETTORIA DI UN SATELLITE
Si abbia un pianeta di massa M ed
un satellite di massa m con velocità
V, ad una distanza r dal pianeta.
Per il principio di conservazione
dell'energia, la somma della sua
energia cinetica e della sua energia
potenziale è costante
1
Mm
mV 2 − G
=E
2
r
Le due componenti della velocità V
lungo la direzione radiale e lungo la
direzione trasversale sono
dr

Vr = V cos α = dt

V = V sen α = r dϕ
 ϕ
dt
(dove
dϕ
dr
è una comune velocità mentre
è una velocità angolare).
dt
dt
Sostituendo nella relazione precedente, si ha
2
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1
Mm
=E
m(Vr2 + Vϕ2 ) − G
r
2
2
2
1  dr 
Mm
 dϕ  
m  +  r
  =E+G
2  dt 
r
 dt  
Ma il momento della quantità di moto del satellite è
dϕ
p = r ∧ q = r ⋅ mVϕ = r ⋅ m ⋅ r
dt
da cui si ricava che
r
p
dϕ
=
dt mr
e sostituendo si ottiene
2
p2 
1  dr 
Mm
m  + 2 2  = E + G
2  dt 
m r 
r
2
2
1  dr 
Mm p
m  = E + G
− 2 2
2  dt 
r
mr
p2
dr
2E 2GM
=±
+
− 2 2
dt
m
r
mr
Questa equazione differenziale si può integrare facilmente per separazione di
variabili, e si ottiene la variazione di r in funzione di t, cioè la legge oraria del moto,
ma noi intendiamo invece ricavare la traiettoria del satellite, non la legge oraria.
Dalle due relazioni
p
 dϕ
=
 dt mr 2


2
 dr = ± 2E + 2GM − p
 dt
m
r
m2r 2
occorre quindi eliminare il parametro t. Si dovrà ottenere una funzione del tipo
ϕ = f (r ) .
Dividendo membro a membro e semplificando, si ottiene
dϕ
1
= 2
dr r
dϕ
1
= 2
dr r
±1
2Em 2GMm 2
1
+
− 2
2
2
p
rp
r
±1
p2
2Em 
GMm
− 2  − 1 −
+
p 
Er
2Emr 2



In questa espressione poniamo ora
p2
−
= b2
2Em
e
−
GMm
= 2a
E
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dove a e b hanno entrambe le dimensioni di una lunghezza e sono entrambe positive
(come vedremo in seguito rappresentano i semiassi della ellisse descritta dal
satellite).
Sostituendo si ha
dϕ =
dr
r2
±1
1
b2
dr
dϕ = 2
r
2a b 2 

−
+
− 2
1

r
r 

±b
2a b 2
−1+
− 2
r
r
Integriamo i due membri con tre sostituzioni successive:
1° SOSTITUZIONE
Ponendo t = 1/r
(10) otteniamo
si ha
dt/dr = -1/r2
dϕ =
2° SOSTITUZIONE
Ponendo s = b2t-a
si ha
dr = -r2 dt
e sostituendo nella
∓ bdt
− 1 + 2at − b 2 t 2
t = (s + a)/b2
dt = ds/b2
e sostituendo si
ottiene
dϕ =
∓ ds
a 2 − b2 − s 2
3° SOSTITUZIONE
Ponendo z =
s
a −b
2
2
e sostituendo si ottiene infine
dϕ =
∓ dz a 2 − b 2
a 2 − b 2 − z 2 (a 2 − b 2 )
=
∓ dz
1 − z2
che è un integrale immediato e fornisce
ϕ = arccos z + ϕ 0
dove la costante di integrazione φ può essere posta uguale a zero con una opportuna
0
scelta della misura dell'angolo φ, e il doppio segno sparisce perché cosz = cos(-z).
Si ha quindi, sostituendo al contrario fino a tornare alla variabile iniziale z
b2
−a
s
b2t − a
r
ϕ = arccos z = arccos 2
= arccos 2
= arccos 2
a − b2
a − b2
a − b2
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b2
−a
r
cos ϕ =
a 2 − b2
 b2


−a 

ϕ = arccos r
 2
2 
a
b
−




che è appunto la funzione del tipo ϕ = f (r ) che volevamo ottenere.
4. L'ELLISSE IN COORDINATE POLARI
Data una ellisse con
semiassi a e b e semi
distanza
focale
c = a2 − b2
immaginiamo che un
pianeta, per esempio la
terra, si trovi nel fuoco
F e un satellite si trovi
1
invece in un generico
punto P dell'ellisse.
Si ha (applicando il
teorema di Carnot)
F1 P = r

F2 P = r 2 + 4c 2 − 4rc cos ϕ
Ma deve anche essere F1 P + F2 P = 2a e perciò
r + r 2 + 4c 2 − 4rc cos ϕ = 2a
isolando il radicale, elevando al quadrato e semplificando si ottiene
b2
= a − c ⋅ cos ϕ
r
che è facile constatare come sia perfettamente identica alla ultima relazione
incorniciata del paragrafo precedente.
Quindi la traiettoria descritta da un satellite avente velocità V è una ellisse i cui
parametri a b e c possono essere calcolati ricorrendo alle formule precedenti.
5
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Domandiamoci
però
come avremmo dovuto
cambiare
il
procedimento
se
il
pianeta si fosse trovato
nel fuoco F invece che
2
nel fuoco F .
1
Dalla figura si può
vedere che con un
procedimento analogo si
ottiene
F1 P = r 2 + 4c 2 − 4rc cos(π − ϕ ) = r 2 + 4c 2 + 4rc cos ϕ

F2 P = r
e l'equazione dell'ellisse diviene in questo caso
b2
= a + c ⋅ cos ϕ
r
con un solo segno diverso.
5. CONCLUSIONI SULLA TRAIETTORIA
Quindi un corpo nello spazio, avente massa m e velocità V rispetto ad un pianeta di
massa M, descrive una traiettoria data dalla equazione polare
r=
a(1 − ε 2 )
1 − ε cos ϕ
dove e = c/a è l'eccentricità (<1 per l'ellisse, >1 per l'iperbole) e l'angolo
ϕ non
va confuso con l'angolo α (vedi figura seguente).
In altre parole la traiettoria è sempre una ellisse o una iperbole a seconda che
l'energia totale E (espressa dalla formula vista all'inizio) sia negativa o positiva: nel
primo caso il satellite è prigioniero del campo gravitazionale del pianeta, e descrive
ciclicamente sempre la stessa traiettoria; nel secondo caso invece il campo
gravitazionale del pianeta riesce soltanto a deviare il satellite dalla sua direzione
iniziale.
Nel caso che tale energia E sia nulla, dalla espressione ricavata dal principio di
conservazione dell'energia si ottiene (nel caso che il pianeta sia la terra e quindi
sostituendo ad M la massa della terra)
V=
2GM
=
r
2 ⋅ 6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 5,98 ⋅ 1024
= 11200 m sec = 40287 km h
6
6,37 ⋅ 10
che rappresenta la velocità di fuga, cioè la velocità che deve avere un razzo perché
riesca a liberarsi dal campo gravitazionale terrestre: per velocità minori esso diverrà
6
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un satellite terrestre, mentre per velocità maggiori esso si perderà nello spazio lungo
una traiettoria iperbolica.
Questa velocità di fuga prende anche il nome di PRIMA VELOCITA' DI FUGA.
Se nella formula poniamo invece la massa del sole, si ottiene la SECONDA
VELOCITA' DI FUGA, cioè la velocità che deve avere il razzo per sfuggire al campo
gravitazionale del sistema solare.
Infine (sostituendo ad M la massa dell'intera galassia cui apparteniamo), si può
determinare la TERZA VELOCITA' DI FUGA, necessaria per sfuggire al campo
gravitazionale della galassia.
6. SATELLITI GEOSTAZIONARI
Con riferimento alla figura a fianco, supponiamo
che la velocità V sia soltanto trasversale, cioè
supponiamo che α = 90° (sarà quindi V = 0
r
e V = V).
f
La forza di gravità agente sul satellite a causa
dell'attrazione del pianeta, deve essere
esattamente uguale e contraria alla forza
centrifuga dovuta alla rotazione del satellite.
Quindi
Mm
V2
G
=m
(r + h) 2
r+h
V=
GM
r+h
ponendo:
G = 6,67 ⋅ 10 −11
M = 6,98 ⋅ 10 24
r = 6,37 ⋅ 10 6
si ottiene, per vari valori della quota h
h=0
h = 1000 Km
h = 3000 Km
.........................
V = 28.476 Km/h
V = 26.484 Km/h
V = 23.484 Km/h
........................
Con tali velocità il satellite descrive una perfetta circonferenza.
Si può notare che all'aumentare della quota la velocità diminuisce.
Se calcoliamo anche il periodo T in funzione della quota h, si ricava il secondo grafico
della figura seguente, in cui il periodo passa dal valore iniziale di 1 ora e 25 minuti nel
caso in cui h=0 (valore teorico che non tiene conto della presenza frenante
dell'atmosfera), a valori sempre più grandi.
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La formula con cui si può calcolare il periodo in funzione della quota si ricava dalla
formula incorniciata
V2 =
GM
r+h
Sostituendo
nel
primo
membro la formula che
esprime
la
velocità
tangenziale
nel
moto
circolare uniforme, si ha
4π 2 (r + h) 2
GM
=
2
T
r+h
cioè, semplificando
4π 2
T =
(r + h) 3
GM
2
che rappresenta anche la
TERZA LEGGE DI KEPLERO. Risolvendo rispetto a T si ottiene
(r + h) 3
T = 2π
GM
e risolvendo invece rispetto ad h si ha
h=
3
T 2 GM
−r
4π 2
Ponendo T = 24 ore = 86400 sec si ottiene h = 42000 Km.
Quindi un satellite con questa velocità trasversale (α
α = 0) si muove lungo una perfetta
circonferenza e compie un giro intero in un giorno esatto.
Se poi la velocità trasversale è parallela e concorde alla velocità della terra, esso
sembrerà immobile rispetto alla terra stessa ed occuperà sempre la stessa posizione
nel cielo.
I satelliti geostazionari usati per le comunicazioni intercontinentali hanno appunto tale
caratteristica.
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