Liceo Scientifico Tito Lucrezio Caro
Napoli
I problemi di scelta
PLS Matematica 2014/2015
Workshop finale 12/05/2015
Università degli Studi di Napoli Federico II
Perché il PLS
 Ci ha fatto entrare in contatto con il mondo universitario
 Ci ha permesso di comprendere come la matematica può
essere applicata alla vita reale, alla nostra quotidianità
 Ci ha aperto la mente in quanto ci ha dimostrato che
esistono numerose vie per risolvere una stessa tipologia di
problema
 Ci ha sfidato ad analizzare le cose con maggiore
consapevolezza!
Il nostro percorso PLS di matematica
 Infiniti e infinitesimi
 Proff.sse L. Migliaccio, L. Biacino
 4 incontri
e poi…?
Quale tema scegliere
per il workshop?
A caccia di problemi di ottimizzazione…
Il tema che presenteremo non si collega in
senso stretto ai casi trattati negli incontri in
presenza ma è stato proprio in questi
incontri che ci siamo entusiasmati e abbiamo
cominciato a cercare esempi tratti dalla
realtà che potessero essere formalizzati con
problemi legati alla ricerca di soluzioni di
massimo e minimo.
Cosa sono i problemi di scelta?
La programmazione lineare è uno dei metodi utilizzati dalla ricerca
operativa, ossia quella ricerca che trasforma i problemi reali in problemi
matematici classificati come “problemi di scelta” (in quanto
richiedono il compimento di una scelta), che si occupa della loro
risoluzione e che cerca quindi di determinarne la soluzione ottimale.
In cosa consiste un problema di
programmazione lineare in 2
variabili?
Modello matematico composto da:
 una funzione obiettivo lineare z(x,y) in 2
variabili (variabili di decisione), la quale
di solito esprime un costo (da
minimizzare) o un guadagno (da
massimizzare)
 un sistema di vincoli, detti tecnologici,
espressi da equazioni o disequazioni
lineari nelle 2 variabili
 un sistema di vincoli di segno volti ad
esprimere la non-negatività delle
variabili
Come si risolve questo genere di problema?
Quando le variabili di decisione sono
due (ad esempio x e y), si può ricorrere
al metodo grafico.
I vincoli imposti dal problema
individuano nel piano cartesiano un
poligono convesso o una regione
illimitata, detta regione ammissibile.
I punti di minimo o massimo si trovano
sul bordo di tale regione.
Infatti vale…
Il teorema fondamentale della
programmazione lineare (TFPL)
Il massimo ed il minimo di una
funzione lineare di un numero
qualsiasi di variabili soggetta a
vincoli espressi da equazioni e/o
disequazioni lineari, se esistono, si
trovano sul contorno o sui vertici
della regione ammissibile, e non
al suo interno.
Quale la soluzione allora?
Se la regione ammissibile è un poligono convesso, la soluzione
ottima del problema si trova nei vertici del poligono (Teorema di
Weierstrass + TFPL).
In corrispondenza di ogni vertice del poligono si calcola il valore
della funzione obiettivo e si sceglie la coppia di numeri reali che
rende ottima la funzione stessa.
Un caso reale
Una industria vuole
commercializzare un prodotto
dietetico che contiene due
sostanze S1 ed S2 che forniscano
una giusta quantità di vitamine
con il minimo costo.
Il modello
La rappresentazione grafica
Calcoliamo la spesa z=0,50x+0,35y
per i 3 punti della frontiera, vertici del poligono
P1=(0; 15)
P2=(5; 20/3)
P3=(25/2; 0)
Si ha:
z1=0,35*15=5,25
z2=0,50*5+0,35*20/3=4,83
z3=0,50*25/2=6,25
4,83 € è la minima spesa
totale, ottenuta combinando
x=5 hg della prima miscela con
y=20/3 hg della seconda in
corrispondenza dei quali si ha il
minimo.
Quindi la spesa minima per
ettogrammo della miscela
è:
4,83:(5+20/3)=0,414 €/hg
L’Università Federico II:
Prof. Marco Lapegna, coordinatore del progetto
Prof.sse L. Migliaccio e L. Biacino
Il liceo T.L.Caro e le prof.sse:
M. Arcella, A. Carcavallo, M. Castellano, M. Di Benedetto, R. Esposito, A. Ragosta,
A. Varlese
A voi tutti…
Gli studenti del
liceo scientifico Tito Lucrezio Caro




5G: Ludovica Adamo, Emanuela D’Amuri,Claudia
Morgese
5M: Valeria Cappuccino, Elena Fortuna, Raffaella
Lenzi, Maria Paola Santos, Alessia Stornaiuolo
4B: Dario Colacurci, Luca de Laurentiis
4G: Luca Adamo, Matteo Grasso, Ilaria Viscardi,
Marianicole Volpicelli