Grandezze Fisiche dirette
Una grandezza fisica ha significato se e solo se è
possibile misurarla.
Pertanto occorre definire:
„ un campione
„ un metodo di misura per confrontare la grandezza con
il campione.
Inoltre il campione deve essere:
„ Riproducibile ed invariabile
„ Nel 1960 fu istituito il Sistema Internazionale SI
1
Sistema Internazionale SI
„
„
7 grandezze fondamentali
„ Lunghezza [L]
„ Massa
[M]
„ Tempo [T],
„ Corrente elettrica
„ Temperatura
„ Intensità luminosa
„ Quantità di materia
Più due supplementari
„ Angolo
„ Angolo solido
metri (m)
kilogrammi (kg)
secondi (s)
ampere (A)
kelvin (K)
candele (cd)
moli (mol)
radianti (rad)
steradianti (sr)
2
SI multipli e sottomultipli
„
„
„
„
„
„
„
„
deca
hetto
kilo
Mega
Giga
Tera
Peta
Esa
10
100
103
106
109
1012
1015
1018
da
h
k
M
G
T
P
E
„
„
„
„
„
„
„
„
deci
centi
milli
micro
nano
pico
femto
atto
10-1
10-2
10-3
10-6
10-9
10-12
10-15
10-18
d
c
m
μ
n
p
f
a
3
Unità di misura della lunghezza
„
„
Il metro ha cambiato diverse volta definizione nel corso
della sua esistenza
Rivoluzione francese (nascita)
„
„
1889
„
„
1 m = distanza tra due tacche di una sbarra di platino-iridio
1960
„
„
1 m = 1/40’000’000 parte del meridiano terrestre passante per Parigi
1 m =1’650’763.73 lunghezze d’onda della luce rossa arancione
emessa da una lampada di 86Kr
1983
„
1 m = distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di
tempo pari a 1/(299’792’458) secondi
4
Unità di misura della masse e del tempo
Tempo: il secondo Æ 1 s = 1/86400 del giorno solare medio
ƒ Prima del 1960 il campione tempo era definito in termini del giorno
solare medio in riferimento all’anno 1900.
ƒ 1967 utilizzando un orologio atomico il secondo è ridefinito come il
tempo richiesto ad un atomo di cesio-133 per compiere:
9’192’631’770 oscillazioni
Massa: il chilogrammo
ƒ Il campione del kg è conservato all’International Bureau di Pesi e
Misure di Servres: costituito da un cilindro di platino iridio e
mantenuto ad una temperatura di 0 °C.
5
Grandezze Fisiche indirette
„
„
Le unità di misura di tutte le altre grandezze fisiche sono derivate
da quelle fondamentali attraverso “relazioni” che legano ciascuna
grandezza a quelle fondamentali.
Per esempio la relazione che lega la velocità allo spazio percorso
ed al tempo impiegato è data da
d
v=
Δt
„
„
¾
„
L’unità di misura della velocità sarà (SI): m/s
La scelta tra grandezza fondamentale o derivata è ARBITRARIA
equazione dimensionale [v]=[d][Δt]-1 =[L][T]-1
È sempre utile effettuare l’analisi dimensionale dell’espressione
ottenuta!!!
6
Altre grandezze derivate
„
aree
Triangolo: 1/2 base x altezza
„ Parallelogramma: base x altezza
„ Cerchio: p x raggio al quadrato
Le dimensioni
[S] = [L2]
L’unità di misura il m2.
Il campione: un quadrato di lato 1 m.
„
„
„
„
„
Volumi
Parallelepipedo:Area di base x altezza
„ Sfera: 4/3 p x raggio al cubo
Le dimensioni
[V] = [L3]
L’unità di misura il m3.
Il campione: un cubo di spigolo 1 m.
„
„
„
„
7
Richiami di trigonometria
l
θ=
r
y
senθ =
r
x
cosθ =
r
y senθ
tan θ = =
x cosθ
y
r
θ
x
l
8
Relazioni trigonometriche
sen 2 θ + cos2 θ = 1
sen(α ± β ) = senα cosβ ± cosα senβ
cos(α ± β ) = cosα cosβ m senα senβ
Meno utilizzate:
α
2 α
−
sen
cos(2α ) = cos2 α − sen 2 α
2
2
⇒
α
α
sen(2α ) = 2senα cosα
senα = 2sen cos
2
2
α +β
α−β
senα + sen β = 2sen
cos
2
2
α−β
α+β
senα − sen β = 2sen
cos
2
2
cosα = cos
2
Formule di
bisezione
Formule di
prostaferesi
9
Sistema di Riferimento
Def. di Punto Materiale: punto geometrico dotato di massa
Per lo studio del moto di un punto materiale è necessario
„
poter localizzare il punto nello spazio e nel tempo, ossia misurare le
posizioni assunte in istanti successivi di tempo.
„
Occorre definire: una unità di misura per le lunghezze o distanze, un
istante, anch’esso convenzionale, rispetto al quale misurare i tempi e
l’unità di misura.
10
Sistema di Riferimento su una retta
Per individuare la posizione di un punto P su una retta occorre fissare:
„
Un punto di riferimento: l’origine O
„
Un verso di percorrenza: retta orientata
„
Unità di misura delle lunghezze
¾ La posizione x di P sarà data dalla distanza P dall’origine O con il
segno + se il verso di percorrenza del segmento OP è concorde al verso
fissato; con il segno – se il verso è opposto.
¾ Corrispondenza biunivoca e continua fra i punti della retta e l’insieme
dei numeri reali relativi
x= PO
x= - P’O
P’
O
P
11
Moto rettilineo del punto materiale
Descriviamo il moto di corpo lanciato verso l’alto con velocità iniziale v0 = 2 m/s da una
altezza di 1 m. :
„
fissiamo il sistema l’asse y) di riferimento: ossia l’origine, il verso e l’unità di
misura.
„
Utilizziamo un orologio ed una scala graduata per misurare la posizione occupata dal
corpo ad intervalli di tempo successivi
Y
1m
O
Ts
Posizione
m
21
21,39
1
2,95
23
21,08
3
6,56
25
20,38
5
9,78
27
19,28
7
12,60
29
17,79
9
15,03
31
15,91
11
17,07
33
13,64
13
18,72
35
10,98
15
19,98
37
7,92
17
20,84
39
4,47
19
21,31
41
0,63
12
Diagramma e legge orario
Diagramma orario:
Riportiamo i tempi sull’asse delle ascisse ed
i valori di y sull’asse delle ordinate
I punti rappresentano le misure
2000
y cm
Il grafico orario può essere rappresentato
mediante una espressione matematica
2500
1500
1000
500
0
0
10
20
30
40
50
TEMPO s
y = a + bt + ct 2 = 1 + 2t −
1
9,8t 2
2
y in cm
t in s
La curva è solo un’interpolazione!!
13
Spostamento e percorso effettuato
Consideriamo l’istante t iniziale e t finale
Δy = y finale – y iniziale
¾ spostamento totale
¾ percorso effettuato è invece la lunghezza del tratto effettivamente percorso.
2500
2000
y finale
Δy
y iniziale
Δy < 0 Æ il moto
avviene nella direzione
negativa dell’asse y
y cm
Δy > 0 Æ il moto
avviene nella direzione
positiva dell’asse y
1500
1000
500
0
0
10
20
30
40
50
TEMPO s
t iniziale
t finale
14
Velocità media
Definiamo velocità media: nell’intervallo Δt
vm =
spostamentoΔy y2 − y1
=
Δt
t 2 − t1
m/s
¾ Non dipende dal particolare percorso
seguito
2500
¾ può essere sia negativa che positiva a
seconda del segno dello spostamento
y finale
¾ è la pendenza della retta che congiunge
P inziale a Pfinale
y iniziale
¾ la
descrizione
del
moto
è
insoddisfacente Æ vedi la posizione
occupata in t intermedio!!
y cm
2000
1500
1000
500
0
0
10
20
30
40
50
TEMPO s
t iniziale t intermedio
t finale
15
Velocità istantanea
2500
Vorremmo definire la velocità di un punto
materiale ad un certo istante t1 in P:
y cm
2000
1500
1000
P
¾ Riduciamo gli intervalli di tempo Δt scelti
per calcolare la velocità media.
¾ Quanto più si riduce l’ampiezza degli
intervalli di tempo tanto migliore è la
descrizione del moto!
9 Al limite per Δt Æ 0 la pendenza della retta
congiungente Pfinale-Piniziale approssima la
tangente la curva in P
Æ Si def. Velocità istantanea in P
500
0
0
10
20
30
40
50
TEMPO s
Δt
t1
v y (t1 ) = lim Δ t → 0
y (t1 + Δ t ) − y (t1 )
Δt
16
Velocità istantanea
v y (t1 ) = lim Δ t → 0
y (t1 + Δ t ) − y (t1 )
Δt
Rapporto incrementale
Corrisponde al valore della derivata rispetto a t della funzione y(t) all’istante t1
v y (t1 ) = lim Δ t → 0
y (t1 + Δ t ) − y (t1 ) dy
=
Δt
dt
t1
Ripetendo l’operazione per tutti gli istanti di tempo nell’intervallo considerato
v y (t ) =
dy( t )
dt
derivata rispetto al tempo della funzione y(t)
17
Velocità istantanea
250
Nel moto che stiamo trattando
¾ costruiamo il grafico della velocità
¾ decresce linearmente con il tempo
150
100
v cm/s
¾ la pendenza del grafico orario, e quindi la
velocità, non è costante;
200
50
0
-50 0
10
20
30
40
50
-100
-150
-200
-250
TEMPO s
¾ t = 0 v = v0
¾ v > 0 il punto si muove nella direzione y
positiva;
¾ v = 0 Æ y massima
¾ v < 0 si muove nella direzione y negativa
18
Accelerazione media ed istantanea
Se la velocità del corpo varia ci si può chiedere con che rapidità varia:
¾ accelerazione media nell’intervallo di tempo t finale – t iniziale:
a ym =
Δv y
Δt
=
v yfinale − v yiniziale
t finale − tiniziale
¾ l’accelerazione istantanea:
a y (t1 ) = lim Δt →0
¾ ricordando la definizione di derivata
[L][T] -2 m/s2
v y (t1 + Δt ) − v y (t1 )
Δv
= lim Δt →0
Δt
Δt
a y (t1 ) =
dv y (t )
dt
t =t1
19
Accelerazione istantanea
Ripetendo l’operazione di limite per tutti gli istanti di tempo si determina la funzione
accelerazione.
dv y (t )
dt
¾ costante negativa
0
10
20
30
40
50
-2
-4
a cm/s2
a y (t ) =
0
-6
-8
-10
-12
TEMPO s
In generale
¾ a > 0 Æ la velocità cresce nella direzione positiva delle y positive
¾ a = 0 quando la velocità è massima
¾ a < 0 quando la velocità nella direzione delle y positive decresce
20
Riassumendo…
„
Conoscendo la legge oraria:
x(t)
„
Possiamo calcolarci la velocità:
vx(t)
la posizione in funzione del tempo
la velocità in funzione del tempo
dx(t)
v x (t) =
dt
„
E quindi l’accelerazione:
ax(t)
l’accelerazione in funzione del tempo
dv x (t)
a x (t) =
dt
„
Combinando le due espressioni:
dv x (t) d ⎛ dx(t) ⎞ d 2x(t)
=
a x (t) =
=
⎝
⎠
dt dt
dt
dt 2
L’accelerazione è la derivata seconda
della funzione x(t) rispetto al tempo
21
Moto unidimensionale con a costante
a ym = a y =
Δv y
Δt
=
v yfinale − v yiniziale
Prendiamo: ti = 0 e tf = t
t finale − tiniziale
vi = v0 e vf = v
ay =
v − v0
t
v = v0 + a yt
Se v funzione lineare di t
vm =
vm =
y finale − yiniziale
vm =
t finale − tiniziale
y − y0 =
v0 + v
2
y − y0
t
1
(v 0 + v ) = v 0t + 1 at 2
2
2
22
Grandezze scalari e vettoriali
„
„
„
„
„
„
„
„
Massa
Tempo
Temperatura
Pressione
Posizione lungo un asse
(linea)
Volume
Lavoro
Energia
„
„
„
„
„
„
„
„
Posizione nel piano
Posizione nello spazio
Velocità
Accelerazione
Forza
Quantità di moto
Impulso
Momento della quantità di
moto
23