L’accelerazione di gravità
Il rapporto fra G e g
Come e perché varia g sulla Terra
Antonio Rivetti
I.N.RI.M.
Esistono due parametri con un simbolo simile che fanno riferimento alla gravità ma che hanno
significati profondamente diversi:
G (leggi: “G” grande), la costante di gravitazione universale;
g (si può leggere semplicemente g, ovvero g piccolo per distinguerlo da G), l’accelerazione
di gravità locale.
G, è certamente la più nobile perché appartiene alla schiatta delle Costanti Fondamentali, di lei si
sono occupati grandi scienziati come Newton e Cavendish, e ancor oggi è oggetto di studi ed
esperimenti finalizzati alla riduzione dell’incertezza ancora troppo grande con cui essa è nota.
g, pur se meno nobile, è tuttavia molto usata e di fondamentale importanza tutte le volte che si ha a
che fare con il peso e con la massa; anche se spesso nei calcoli si adotta un valore convenzionale
(9,81 m/s2), g non è una costante e varia da luogo a luogo. Essa è oggetto di campagne di
misura effettuate sia con strumenti terrestri sia con appositi satelliti per fornire una mappa
aggiornata del suo valore in ogni punto del nostro pianeta.
Il concetto di accelerazione di gravità locale (g) deriva direttamente dalla legge di gravitazione
universale formulata da Newton:
F = G⋅
m1 ⋅ m2
r2
(1)
che afferma che due corpi rispettivamente di massa m1 e m2 si attraggono reciprocamente con una
forza proporzionale direttamente al prodotto delle due masse e inversamente al quadrato della loro
distanza: il coefficiente di proporzionalità è appunto G.
Consideriamo ora che uno dei due corpi sia la Terra e l’altro sia un oggetto qualsiasi appoggiato
sulla superficie terrestre; sarà dunque m1 la massa della Terra e r il raggio della Terra, ambedue
praticamente costanti in un determinato luogo; ma anche G è per definizione una costante (la
costante di gravitazione universale).
Prendiamo allora la decisione di raggruppare e chiamare con un solo nome il gruppo di costanti, che
chiameremo appunto g :
G⋅
m1
=g
r2
(2)
E inoltre chiameremo più semplicemente m (anziché m2 ) la massa dell’oggetto appoggiato sulla
superficie terrestre. In tal modo la (1) diverrà:
F = m⋅ g
(3)
dove F rappresenta la forza con cui la Terra e l’oggetto appoggiato sulla sua superficie si attraggono
reciprocamente: in altri termini, F rappresenta il peso dell’oggetto.
Se scriviamo la (3) vicino alla 2a legge della dinamica:
F = m⋅ g
F = m⋅a
ci accorgiamo che g ha le dimensioni di un’accelerazione: per tale ragione essa viene abitualmente
chiamata accelerazione di gravità: peraltro questo appellativo ha anche una sua ragione più
profonda: infatti, se trascuriamo l’effetto frenante dell’atmosfera, un oggetto abbandonato a sé
stesso cade verso terra con un’accelerazione pari a g.
Quando non è richiesta una elevata precisione, si adotta per g il valore di 9,81 m/s2: si tratta di un
valore medio convenzionale utilizzabile nella maggior parte dei calcoli.
Perché g non è una costante?
La definizione di g così come appare dalla (2) presuppone che la Terra sia una sfera perfetta,
omogenea, immobile e infinitamente lontana da altre grandi masse: in tal caso effettivamente g
sarebbe costante in ogni punto della sua superficie.
In realtà la Terra solo a prima vista è una sfera e tutt’altro che perfetta (è schiacciata ai poli), non è
per nulla omogenea, ruota su sé stessa con una discreta velocità angolare, possiede un satellite di
massa non trascurabile (la Luna) e infine è essa stessa satellite di una stella di media grandezza (il
Sole). Ciò comporta che:
la distanza r della superficie terrestre dal centro della Terra dipende dalla sua posizione sul
globo (ai Poli sarà minore che all’Equatore) e dalla orografia locale (sulla cima dell’Everest
sarà maggiore che al livello del mare);
la disomogeneità nella distribuzione delle masse fa sì che g risulti maggiore in prossimità di
zone a densità maggiore;
l’accelerazione di gravità in corrispondenza dell’equatore apparirà meno intensa di quella
che si ha ai poli perché ad essa si sottrae l’accelerazione centrifuga dovuta alla rotazione
terrestre: alle altre latitudini l’effetto è intermedio;
la rivoluzione della Luna intorno alla Terra e quella della Terra intorno al Sole comportano
infine variazioni periodiche dell’accelerazione di gravità locale di cui va tenuto conto
quando si effettuano misure di elevata precisione.
Sull’importanza di g
La conoscenza del valore dell’accelerazione di gravità locale ha assunto negli ultimi decenni una
notevole importanza in diversi campi:
in campo militare, in relazione allo sviluppo di accurati programmi di puntamento e guida
dei missili balistici;
in campo tecnico-scientifico, per la misura accurata della massa mediante l’impiego di
bilance elettroniche a compensazione elettromagnetica: in queste bilance il valore della
massa è ricavato moltiplicando il valore misurato della forza peso per l’accelerazione di
gravità;
in campo economico: è relativamente recente la tecnica di ricerca di giacimenti petroliferi o
di gas naturale attraverso l’analisi delle distorsioni del campo gravitazionale.
Sulla base di queste esigenze è stata effettuata una mappatura di g a livello planetario mediante
campagne di misura effettuate con l’impiego di gravimetri assoluti e relativi. Più recentemente la
maglia della mappatura è stata addensata utilizzando satelliti geodetici in orbita polare bassa: il
satellite si muove naturalmente intorno alla Terra su una superficie equipotenziale (cioè a g
costante), ed è sufficiente misurarne in ogni istante con precisione la quota (tramite telemetria laser)
per ottenere accurati valori di g lungo la traiettoria del satellite.