Centro di massa
Consideriamo un sistema di due punti materiali di masse m1 e
m2 che possono muoversi in una dimensione lungo un asse x
m1
x1
Centro di massa:
m2
xc
x2
x
m1 x1  m 2 x 2 m1 x1  m 2 x 2
xc 

m1  m 2
M
 Il centro di massa è in una posizione intermedia tra x1 e x2
 Il centro di massa è più vicino al corpo di massa maggiore
Caso particolare: se m1=0 è xc=x2 (se m2=0 è xc=x1 )
Centro di massa di un sistema di punti
Per un sistema di n punti materiali in una dimensione si pone:
m1 x1  m2 x2  ...  mn xn
1 n
xc 

mi x i

m1  m2  ...  mn
M i 1
In 3 dimensioni, la posizione del centro di massa è definita da:



 m1 r1  m2 r2  ...  mn rn

1 n
rc 

mi ri

m1  m2  ...  mn
M i 1
1
xc 
M
n
1
m i x i yc 

M
i 1
n
1
m i yi zc 

M
i 1
n
m z
i 1
i i
Il centro di massa è un punto geometrico che si muove come
se in esso fosse concentrata tutta la massa del sistema
Moto del centro di massa




M rc  m1 r1  m2 r2  ...  mn rn




M ac  m1a1  m2 a2  ...  mnan




M ac  F1  F2  ...  Fn


Fext  M ac
Nella somma delle forze vanno considerate sia le forze
interne (interazioni tra i punti del sistema) che quelle esterne
(dovute all’azione di agenti esterni al sistema)
Per la terza legge di Newton, le forze interne sono a due a
due uguali e opposte, quindi non contribuiscono alla somma
a secondo membro, dove rimane la risultante delle sole forze
esterne
Forze interne e forze esterne
f23
f21
f13
m3
f31
m1
Fext,3
Fext,1
m2
Fext,2
f32
f12
La risultante delle forze interne è sempre nulla perchè sono a
due a due uguali in modulo e dirette in verso opposto
Quantità di moto
Per una particella si definisce il vettore quantità di moto:


p  mv
Derivando rispetto al tempo la quantità di moto si ha:






dp
dv
dp
m
 ma  F  F 
dt
dt
dt
L’equazione precedente è una formulazione più generale
della seconda legge di Newton in quanto tiene conto della
possibilità che la massa della particella possa variare nel
tempo
Quantità di moto di un sistema
Si definisce la quantità di moto di un sistema di punti materiali
come somma delle singole quantità di moto:
  

P  p1  p2  ...  pn




Centro di massa: M rc  m1 r1  m2 r2  ...  mn rn




M vc  m1v1  m2 v 2  ...  mn v n
La quantità di moto del sistema è pari alla quantità di moto
che avrebbe il centro di massa se in esso fosse concentrata
tutta la massa del sistema
Equazione del moto del centro di massa:

Fext





dvc dP
dP
 M ac  M

 Fext 
dt
dt
dt
Teorema dell’impulso
Consideriamo un punto materiale su cui agisce una forza molto
intensa per un breve intervallo di tempo Δt tra t1 e t2 (situazione
tipica in un urto):




dp
F(t) 
 dp  F(t)dt
dt
t2







 dp   F(t)dt  p2  p1   F(t)dt  Δp  J
t2
t2
t1
t1
Impulso:

J 
t1


 F(t)dt  F Δt
t2
t1
La variazione della quantità di moto è pari all’impulso
Conservazione della quantità di moto
 Sistema chiuso = nessuna particella può entrare o uscire dal
sistema
 Sistema isolato = sistema di punti materiali in cui la risultante
delle forze esterne è nulla

Fext


dP
0
 0  P  costante
dt
 In un sistema chiuso e isolato la quantità di moto del sistema
si conserva (ma possono variare le quantità di moto delle
singole particelle!)
 Se è nulla una sola componente della risultante delle forze
esterne (es. Fext,x ) allora si conserva la corrispondente
componente della quantità di moto (Px )
Urto tra due punti materiali
 Processo di urto tra due punti materiali:
 l’interazione tra i due punti è di breve durata (da potersi ritenere
istantanea) rispetto al tempo di osservazione del sistema
 durante l’urto, l’intensità delle forze esterne è trascurabile
rispetto a quella delle forze di interazione tra i due corpi
 Affinchè si verifichi un processo di urto, non è necessario che
ci sia il contatto tra le due particelle

Negli esperimenti di fisica subnucleare, si verificano urti tra
particelle elementari senza che queste vengano a contatto
 In un processo di urto si conserva la quantità di moto del
sistema:




p1,i  p2,i  p1, f  p2, f
 il moto del centro di massa del sistema non risente dell’urto
Urto completamente anelastico (1)
In urto completamente anelastico, le due particelle, dopo l’urto,
restano attaccate.
Conservazione della quantità di moto:
m1v1  m2 v2  (m1  m2 )V
m1v1  m 2 v 2
V
m1  m 2
La velocità finale dei due corpi è pari alla velocità del centro
di massa del sistema, che resta inalterata dall’urto
Urto completamente anelastico (2)
In questo esempio, la particella di
massa m2 è inizialmente ferma (v2=0):
m1v1
V
m1  m 2
Pendolo balistico
Il pendolo balistico è usato per
misurare la velocità dei proiettili
Il proiettile penetra nel blocco di legno
(urto completamente anelastico):
mv
V
M m
Il sistema blocco+proiettile oscilla,
conservando la sua energia meccanica:
1
(M  m)V 2  (M  m)gh
2
Ricavando V dalla seconda equazione e sostiuendo nella prima:
M m
v
2gh
m
Urto elastico
In un urto elastico si conserva l’energia cinetica del sistema
Conservazione della quantità di moto:
m1v1  m2 v2  m1V1  m2V2
Conservazione dell’energia cinetica:
1
1
1
1
2
2
2
m1v 1  m 2 v 2  m1V1  m 2V22
2
2
2
2
V1

m1  m 2  v 1  2m 2 v 2

V2

m 2  m1  v 2  2m 1v 1

Velocità finali:
m1  m 2
m1  m 2
Se m1=m2 allora V1=v2 e V2=v1 (i corpi si scambiano le velocità)
Urto elastico con bersaglio fisso
In questo caso v2=0 e le formule per le velocità finali diventano:
m1  m 2
V1 
v1
m1  m 2
2m1
V2 
v1
m1  m 2
 Se m1=m2 :V1 = 0 e V2 = v1 (i corpi si scambiano le velocità)
 Se m2>>m1 : V1 ≈ -v1 e V2 ≈ 0 (il proiettile rimbalza sul
bersaglio e torna indietro con velocità in modulo uguale a
quella iniziale)
 Se m2<<m1 : V1 ≈ v1 e V2 ≈ 2v1 (il proiettile prosegue il suo
moto indisturbato e il bersaglio schizza via con velocità pari
al doppio della velocità iniziale del proiettile)