Esercizio 1
Un guscio sferico isolante di raggio R=0.1 m e spessore
trascurabile, porta una carica positiva Q=1mC distribuita
uniformemente sulla superficie. Un corpo puntiforme con
carica negativa -q=-1mC e massa m=1 mg e` vincolato a
muoversi sull’asse x. Il guscio e` fissato e il suo centro
giace sull’asse x. Trovare (a) il campo elettrico fuori e
dentro il guscio. Al tempo t=0 il corpo si trova a distanza r0
=1 m dal centro del guscio e ha velocita` v0=3 m/s diretta
verso il guscio. Arrivato alla superficie del guscio, si
suppone che il corpo penetri senza perdita di energia.
Trovare (b) il tempo che il corpo impiega a percorrere il
diametro della sfera. Il corpo poi attraversa la superficie ed
esce dal guscio, senza perdita di energia. Trovare (c) la
massima distanza raggiunta dal centro del guscio. Trovare
(d) il valore minimo di v0 per cui il corpo riesce a sfuggire
all’infinito.
• Soluzione dell’esercizio 1
•
Applicando la legge di Gauss troviamo il campo
elettrico:
E (r )  0.............................r  R
1 Q
........ 
..................R  r
2
40 r
A
•
B
M
Siccome il campo elettrico all’interno della sfera e`
nullo, qui non ci sara` forza elettrica agente sulla
particella. All’interno della sfera il moto e` quindi
rettilineo e uniforme. Per trovare il tempo di
attraversamento basta conoscere la velocita` all’entrata
in A. Questa viene determinata usando la
conservazione dell’energia:
Ei  K i  U i  E f  K A  U A
 1 1
1 2
2
K A  Ki  v A  v0  U i  U A  kqQ  
2
 r0 R 


•
Da cui troviamo la velocita:
v A  v02 
2kqQ  1 1 
  
m  R r0 
2  8.99 109 10 6 10 6  1 1 
vA  3 
   402m / s

6
10
 0.1 1 
2
•
Il tempo di attraversamento e`:
t
•
2 R 2  0.1

 4.98  10  4 s
vA
402
Per trovare la massima distanza (corrispondente al
punto M), poniamo la condizione di arresto della
particella, ovvero di azzeramento dell’energia cinetica:
Ei  K i  U i  E f  K M  U M
1 2
qQ
qQ
mv0  k
 0k
2
r0
rM
•
Da cui ricaviamo la massima distanza:
1
1
m 2

rM   
v0  
 r 0 2kqQ 
1
1
10
2

 
3   1.00m
9
6
6
 1 2  8.99  10 10 10

6
•
La velocita` limite o di fuga, relativa ad un punto, e` tale
per cui l’energia cinetica all’infinito e` nulla
Ei  K i  U i  E f  K   U 
1 2
qQ
mv0  k
0
2
r0
•
Da cui si ricava la velocita`:
v0 

2kqQ 1

m r0
2  8.99  109 10 6 10 6 1
 134m / s
6
10
1
• Esercizio 2
•
Si calcoli il valore di E e quello delle due correnti I1, I2,
nella figura seguente. Si commenti il segno della fem E.
I1
12V
3W
E
2A
2W
I2
1W
• Soluzione dell’esercizio 2
•
Scegliamo le due maglie indicate nella figura seguente e
applichiamo la 2a legge di Kirchhoff:
I1
12V
3W
E
2A
2W
I2
1W
E  12  3I1  2 I1  2 I 2  12  5I1  2 I 2
E  I 2  2 I 2  2 I 1  3 I 2  2 I1
2  I1  I 2
•
Risolvendo, otteniamo:
I1  3.5 A
I 2  1.5 A
E  2.5V
•
Il segno negativo della fem significa che la polarita` della
batteria va in realta` invertita.
Esercizio 3
Due spire circolari di raggio R sono coassiali, sono poste a
distanza D e sono percorse, in verso concorde, dalla stessa
corrente I. Trovare (a) il valore del campo magnetico nel
punto di mezzo tra le due spire. (b) Dimostrare che questo
e` un punto di estremo relativo. Trovare (c) il valore del
campo nel punto di mezzo tra le spire per i seguenti valori:
I=2 A, R=0.1 m, D=0.3 m
D
• Soluzione dell’esercizio 3
•
Detto z l’asse delle spire, troviamo il campo magnetico
di ciascuna spira in un punto O dell’asse, mediante la
formula di Laplace. Vista la simmetria cilindrica, lungo
l’asse solo la componente z di B e` diversa da zero.
Sommiamo i contributi di tutti gli elementi infinitesimi
della spira:

dBz  dB cos 
R

r
dB

z
O
dlR
 m 0 dl  R m 0
dBz  
i 2 
i
 4 r  r 4 R 2  z 2

•

32
Il campo si ottiene integrando lungo tutta la spira:
m0
m0
R
R2
Bz 
i
dl  i
32 
2
2
4 R  z 
2 R 2  z 2 3 2
•
Detta D la distanza delle spire, il campo dovuto a
ciascuna spira vale:
Bz 
m0
R2
i
2  2 D 2 3 2
 R 

4 

Spira 1
Spira 2
O
z
D
•
I due campi si sommano e quindi in totale il campo in O
vale:
B (O )  m 0i
R2
32

 2 D 
 R 

4 

0.12
7
 4  10  2

2 32
 2 0 .3 
 0.1 

4 

 4.29  10 6 T
2
•
Scelto O come origine dell’asse z, le coordinate dei
centri delle spire sono rispettivamente -D/2 e +D/2 e il
campo puo` esprimersi, in un punto di coordinata z
dell’asse come segue:
m0
m0
R2
R2
B  Bspira1  Bspira2 
i
 i
2 32
2 32
2 
2


D

D
 
2
2
R   z   
R    z  
2  

2
 


•
•
Per dimostrare che il punto O in mezzo alle due spire e`
un estremo, si puo` derivare l’espressione precedente
rispetto a z e verificare che si annulla in O. Un metodo
piu` rapido consiste nell’osservare che il campo B totale
e` simmetrico rispetto al punto O e quindi qui non puo`
essere ne’ crescente, ne’ decrescente, ma solo
stazionario.
L’estremo puo` essere un massimo o un minimo a
seconda dei valori relativi di R e D. Si puo` dimostrare
che per D<R e` un massimo, per D>R e` un minimo e
per D=R non e` ne’ massimo ne’ minimo. Quest’ultima
e` la condizione realizzata nelle bobine di Helmholtz, in
cui viene ottimizzata l’uniformita` del campo B
nell’intorno del punto O.
• Esercizio 4
•
•
•
Un circuito LCR serie e` collegato ad una sorgente di
fem alternata del tipo E  E0 sin t
La corrente risultante e` data da I  I 0 sin t   
Si trovi (a) la potenza istantanea erogata dal
generatore. Facendo uso dell’identita` trigonometrica
sin      sin  cos   cos  sin 
•
si trovi (b) l’espressione della potenza media su un
periodo e (c) la si calcoli numericamente nel caso
seguente: E0=10 V, I0=3 mA, f =15o. Si trovi (d) quanto
vale l’impedenza del circuito in quest’ultimo caso.
• Soluzione dell’esercizio 4
•
La potenza e` uguale al prodotto di fem e corrente:
P  Ei  E0i0 sin t sin t   

 E0i0 sin 2 t  cos   sin t  cost sin 
•
La potenza media (nel tempo) e` data da:

P  E0i0 sin 2 t  cos   sin t  cost  sin 
•


Ove la media temporale e` stata indicata con le
parentesi angolate:
T
•
1
f   f (t )dt
T0
Si dimostra facilmente che il valor medio del seno vale
½ e il valor medio del prodotto tra seno e coseno vale
0, otteniamo quindi:
 
1
1
P  E0i0 cos    3 10 3 10  cos 15o  14.5mW
2
2
•
L’impedenza e` caratterizzata da un modulo e una
fase. La fase e` nota, il modulo e` uguale al rapporto
tra i moduli di fem e corrente:
Z
E0
10

 3.33kW
3
i0 3 10