Elettrodinamica 1 30 settembre 2015 Esperienze di Faraday Legge di Faraday-Neumann Fem dinamica, corrente indotta Legge di Lenz e conservazione dell’energia Moto di un conduttore in un campo B Lavoro della forza Spira in moto in un campo B Fem dinamica e variazione del flusso di B Applicazioni dell’induzione Faraday (1831) • Studia situazioni sperimentali diverse – Moto di un circuito in un campo B fisso – Moto di un campo B rispetto a un circuito fisso – Variazione d’intensita` del campo B • Arriva alla conclusione che una variazione del flusso del campo B concatenato con il circuito induce una fem nel circuito • Il flusso concatenato è il flusso attraverso una qualunque superficie che appoggia sul circuito 2 Faraday • Scoperta di una nuova legge • La fem è attribuita all’esistenza di un nuovo tipo di campo E, dinamico o indotto • Anche una variazione geometrica del circuito nel campo B produce una fem – Variazione di dimensioni – Variazione di orientazione 3 Legge di Faraday-Neumann • 2a eq. dell’e.m. nella sua forma completa d B E E dl dt C • Il segno negativo ha a che fare con il verso della fem (legge di Lenz) • I campi E statici sono conservativi: l’integrale di linea di E su un cammino chiuso e` nullo • I campi E indotti non sono conservativi: l’integrale e` uguale alla fem 4 Circuito a più spire • Se il circuito è formato da più spire, bisogna sommare il contributo di ogni spira • Se ci sono N spire tutte uguali in un campo B in totale avremo N volte il flusso, e la fem, di una spira 5 Corrente indotta • Se il circuito è chiuso ed è resistivo, la fem genera una corrente, detta corrente indotta, data da E i R • Ove R è la resistenza totale del circuito 6 fem indotta • La fem è presente anche se il circuito non è chiuso • Finora la fem era localizzata (es. tra i morsetti di una batteria) • La fem indotta da un flusso magnetico variabile si può invece considerare distribuita in tutto il circuito • La fem può anzi essere attribuita allo spazio in cui è presente il campo B variabile: ai capi del circuito è presente una fem in quanto esso occupa uno spazio in cui è presente una fem 7 Legge di Lenz • Prescrive il segno negativo davanti alla variazione del flusso magnetico • La fem indotta e la corrente indotta hanno verso tale da opporsi alla variazione che le genera • Questo segno garantisce l’accordo con la conservazione dell’energia 8 Legge di Lenz: magnete che si avvicina ad una spira 2 1 S N 1 S N 2 • Il campo B del magnete è rivolto verso destra • Orientiamo la spira concordemente al campo B • Il flusso del campo è positivo 0 t Scelta arbitraria 9 Legge di Lenz: magnete che si avvicina ad una spira 2 1 S N 1 S N 2 0 t • All’avvicinarsi del magnete, il flusso aumenta (diviene ancora più positivo), quindi la fem e la corrente indotte nella spira devono essere negative, cioè generare un campo indotto B il cui flusso sia opposto (in questo caso negativo) 10 Legge di Lenz: circuiti affacciati percorsi da correnti variabili C1 C2 A C1 C2 A • I1 crescente, flusso di B1 attraverso C2 crescente → I2 negativo, flusso di B2 attraverso C2 negativo • I1 decrescente, flusso di B1 attraverso C2 decrescente → I2 positivo, flusso di B2 attraverso C2 positivo 11 Moto di un conduttore in campo B B • Sbarra conduttrice inizialmente f qv B ferma, è posta in moto perpendicolarmente alla sua lunghezza (l) e a un campo B • Supponiamo che la velocità finale v sia costante • Gli elettroni della sbarra B risentono della forza di Lorentz e vengono spinti lungo il conduttore verso l’estremità lontana + v - v 12 Fem e campo elettrico dinamici • Il lavoro eseguito dalla forza su una carica q trasportata (lungo una linea C) entro il conduttore in moto con velocità v è L f dl qv B dl C C • Il lavoro per unità di carica è la fem dinamica L 1 E f dl v B dl vBl q q C C • e v B si puo` considerare elettrico un campo dinamico: Ed v B 13 Stato di moto transitorio • Poiché gli elettroni non possono fuoriuscire dalla sbarra, si accumulano all’estremità lontana • All’estremità vicina avremo un eccesso di carica positiva B - v + 14 Campo statico. Equilibrio • La separazione di carica genera un campo elettrico statico all’interno e all’esterno della sbarra • Questo campo si oppone con una forza ad un ulteriore accumulo di elettroni f s qE s • Lo stato di moto transitorio ha termine e si giunge all’equilibrio quando le due forze si annullano a vicenda qEs qv B 0 • In questa situazione i due campi soddisfano: B - f qv B f s qE s + E s E d v B 15 v Flusso di corrente • Se la sbarra fa parte di un circuito è possibile che l’equilibrio non venga mai raggiunto e si abbia un flusso di corrente dovuto alla presenza della fem B v v Velocità degli elettroni fL q vd ve s B X • Consideriamo una situazione in cui gli elettroni si muovano lungo il conduttore • La loro velocità ve è la somma della velocità v della sbarra e della componente vd associata al moto lungo la sbarra ve v vd • ve determina una forza di Lorentz fL, agente sugli elettroni, perpendicolare a ve 17 fd Forza vincolare v q vd fL ve s fv B X • vd determina una forza di Lorentz fd sugli elettroni, perpendicolare alla sbarra, in verso opposto al moto • La risultante di tutte queste forze fd è una forza che agisce sulla sbarra, anch’essa in verso opposto al moto • Il vincolo (la superficie della sbarra) reagisce con una forza fv = -fd su ogni elettrone • NB: Le cariche rimangono contenute nella sbarra 18 v Lavoro della forza f f • Calcoliamo illavoro fatto dalla forza totale f f L f v agente su un elettrone f L q ve s fv B X b f f L sin q qve B sin q qvB L f ds f s fs cosq fl qvBl • oppure L S S f ds f L f v ds f L ds f v ds S 0 f v s f v s sin q f v b S S • Com’è noto, la forza di Lorentz fa lavoro nullo, quindi il lavoro è dovuto tutto alla reazione vincolare • Nota: ovviamente i due risultati sono identici: fl f v b 19 l Generatore di fem • Abbiamo visto che è presente una forza che si oppone al moto della sbarra • Ne segue che affinché la sbarra si muova di moto non ritardato è necessario che ci sia una forza esterna, ovvero una sorgente esterna di energia (p.e. meccanica) • L’energia che fa circolare la corrente non proviene dal campo B: esso solo converte l’energia meccanica (esterna) in energia elettrodinamica 20 Spira in moto in un campo B • Spira di dimensioni b e h • Scegliamo k come verso positivo di percorrenza della spira • Campo uniforme: gli elettroni su ciascun lato sentono la stessa forza • Risultato: c’è accumulo di carica sui lati vicino e lontano B --------- B v +++++++++ • La fem totale sulla spira è nulla: – sui lati vicino e lontano la forza è perpendicolare allo spostamento – La forza è uguale sui lati destro e sinistro, percorsi in verso opposto E v B dl 0 C 21 Spira in moto in un campo B • Campo non uniforme: gli elettroni sul lato sinistro e destro sentono le forze f1 qv B1 B1 f1 B2 f2 v f 2 qv B2 • Poiche’ f1>f2 gli elettroni circoleranno in senso orario (e quindi la corrente associata in senso antiorario) • La fem lungo la spira e` E v B dl v B1 dl v B2 dl C Ls vB1h vB2 h vB1 B2 h Ld 22 Relazione tra fem e variazione di flusso B1 B2 • Nel tempo dt il circuito si sposta di vdt • Il flusso diminuisce a sinistra e aumenta a v dt destra risp. di B2hvdt B1hvdt • La variazione di d B1 B2 hvdt flusso totale è quindi • Confrontando con d E B1 B2 hv l’espressione dt precedente della fem 23 Legge di Lenz e forza su una spira • La fem fa fluire corrente nel circuito in verso antiorario B1 F1 B2 F2 v • Se c’è resistenza, un po’ di energia viene dissipata in calore • I lati della spira sono sottoposti a forze: F2 per il lato a destra e F1 per il lato a sinistra • F1 è maggiore di F2 e la forza risultante si oppone al moto • Per mantenere la spira a velocità costante ci vuole un agente esterno che fornisca energia • Questa energia si ritrova alla fine come calore nel filo • Se la spira accelera, l’agente esterno deve anche fornire energia cinetica 24 Legge di Lenz e conservazione dell’energia • Se fosse vero l’opposto della legge di Lenz, la forza agente sulla spira ne farebbe aumentare la velocità • Questo porterebbe ad un aumento della forza acceleratrice, creando una situazione a feedback positivo • Come conseguenza l’energia non si conserverebbe, ma aumenterebbe 25 Applicazioni dell’induzione • • • • • • • Correnti di Foucault Forno a induzione Freno elettromagnetico Alternatore Misura del campo B Betatrone Disco di Faraday (ruota di Barlow) 26 Esercizio • Una spira, immersa in un campo B uniforme, si muove con velocita` v C v B A • Determinare la fem indotta nella spira • Determinare la fem indotta tra i punti A e C 27 Esercizio • Un filo conduttore AC, immerso in un campo B uniforme, si muove con velocita` v C v B A • Determinare la fem indotta tra i punti A e C – Usando la forza di Lorentz – Usando la legge di Faraday 28 Esercizio • Trovare la fem indotta tra centro e circonferenza di un disco di Faraday (o ruota di Barlow) 29