Decima Lezione
Il campo magnetico di solenoidi, toroidi, bobine; il
potenziale vettore; legge di induzione di Faraday
Riassunto della lezione precedente






Alcune proprietà degli operatori
teorema di Stokes
Teorema di Helmholtz
Energia elettrica e magnetica
Il vettore H e l’interazione con la materia:
polarizzazione magnetica e permeabilità
magnetica
Alcuni esercizi
Campo magnetico in un solenoide
“lungo”

Ipotesi: solenoide molto lungo: campo uniforme all’interno e nullo
all’esterno

Applichiamo il th di Ampère in forma integrale ad abcd

Unico contributo non nullo sul lato ab

Campo uniforme: circuitazione=Bh

Corrente intercettata da abcd: Itot=inh, se n numero spire unità di lunghezza

Uguagliando:


B  Bu z  0 In
Campo magnetico in un toroide



Se applichiamo Ampère ad una circonferenza
interna all’anello, non ci sono correnti racchiuse:
circuitazione nulla
Se applichiamo Ampère ad una circonferenza
esterna, la somma delle correnti concatenate è
nulla: circuitazione nulla
Applichiamo Ampère ad una circonferenza tra le
spire:il campo magnetico lungo la circonferenza
è uniforme, orientato come la circonferenza
 
 B  d l  2rB  0 NI


 0 NI 
B  Bu 
u
2r
Bobine di Helmholtz



Obiettivo:creare un campo uniforme
Struttura di due bobine di raggio a poste a distanza a
Nella lezione precedente avevamo ricavato come esercizio il campo
prodotto sull’asse da una spira circolare
z
  0 Ia 2
B
2

a

uz
2
h

3
2 2
h
Se si hanno n spire di filo sufficientemente sottile
 n 0 Ia 2
B
2

R

uz

3
a2  h2 2
I dl
Bobine di Helmholtz

Se ne mettiamo due a distanza a, il campo sull’asse è la somma
dei campi; ponendo l’origine tra le due bobine


2
  0 Ia 2
 0 Ia
uz
uz
B

3
3
2
2
a 22
a 22
 2
 2
a  (h  2 ) 
a  (h  2 ) 




Coppia di Helmholtz
0.6
Singola bobina
0.4
0.2
Coppia
alimentata in
antifase
0
0.2
0.4
2
1
0
1
2
Bobine di Helmholtz
Campo sull’asse della spira per grandi distanze

Se h>>a
  0 Ia 2
B
2


sull’asse (=0)

uz



3
a2  h2 2

 0 Ia 2 u z
2
h3

Avevamo visto per il dipolo elettrico
sull’asse (=0)
4 0 r 3
E( r ,  ) 
2 cosu r  sinu 

p
E( r ) 
2 0 r 3
p
ur 
2 0 r 3
p
uz

 0μ
 0 IA u z


3
2 h
2h 3
Il potenziale vettore


Abbiamo visto che
B  0 

Per cui è sempre possibile scrivere B    A

Dove A si definisce potenziale vettore
Così come il potenziale scalare era definito a meno di
una costante, il potenziale vettore non è unico

Abbiamo molti gradi di libertà: se sostituiamo

B non cambia, poiché il rotore del gradiente è nullo


 
A'  A  
La magnetostatica è completamente determinata dalla
condizione di divergenza nulla (conglobata nella
definizione di A) e dalla legge di Ampère
Il potenziale vettore

Inserendo la nostra scelta nella legge di Ampère


  B  0 J




    A  0 J
Vale però l’identità (che utilizzeremo spesso)





2
 A    A   A
Possiamo sfruttare la nostra discrezionalità nella scelta
di A imponendo che la divergenza sia “comoda”, per
esempio nulla (Gauge di Coulomb); il primo termine
sparisce e la legge di Ampère per il potenziale diventa


2
 A   0 J

Somiglia all’equazione di Poisson: di fatto corrisponde
a 3 equazioni di Poisson, ma nulla di nuovo!
Il potenziale vettore



cioè
 2 Ax    0 J x

2

 Ay    0 J y
 2
 Az    0 J z
In più A è orientato come la corrente: semplificazione
importante!
Conosciamo (almeno in teoria) la soluzione di una equazione di
Poisson per il potenziale elettrico, che è il potenziale
 di una

 ( r ' )dV '
distribuzione continua di cariche
V (r )  
V

 
40 r  r '
La soluzione generale per il potenziale vettore sarà analoga,
dove invece di di /0 avremo 0J

 0 J x dV '
Ax (r )  
  eccetera
V 4 r  r '
Esempio

Proviamo a ricavarci la legge di Biot-Savart con il potenziale vettore: in
questo caso abbiamo solo una componente di corrente, poniamo lungo z,
e la densità di corrente è (se il filo ha sezione a)
Jz 

I
a 2
Quindi dobbiamo risolvere “solo”
 Az    0
2

I
a 2
La geometria è analoga al caso elettrostatico di un filo uniformemente
carico, il cui potenziale fu determinato alla fine della 4a lezione

V (r )  
ln( r )
2
Qui  era la carica per unità di lunghezza: se il filo
ha sezione a2 e densità di carica di volume , 
deve essere  a2
Dovendo rimpiazzare / 0= /0 a2) con 0J, sostituiremo in quella
espressione 


0
  0 Ja 2   0 I
Esempio


Per cui
0 I
Az  
ln( r )
2
B lo calcoliamo valutando il rotore; lo facciamo direttamente in coordinate
cilindriche; sulle tabelle vediamo che
  1 Fz F    Fr Fz  
1   rF  Fz  
F  



u r  
u z
u  
z 
r 
r  r
 
 z
 r 

L’unico termine non nullo è la derivata della componente z rispetto ad r


  0 I

0 I 
B   A   
ln( r ) u 
u
r  2
2r

Le esperienze di Faraday
Evidenze sperimentali (1831):
Muovendo un magnete rispetto ad una spira (o
viceversa) si genera una corrente. La direzione
della corrente dipende dalla direzione del moto e
dall’orientamento del magnete


Facendo scorrere corrente in una spira, una spira
posta vicino registra una corrente solo
all’accensione e allo spegnimento
Michael Faraday 1791-1867
Legge di Faraday
La variazione di flusso concatenato induce una forza elettromotrice (f.e.m):
 
un campo elettrico
Definendo la f.e.m. come fem  E  d l

l
Ovvero come una forza per unità di carica (E) integrata lungo il
percorso del filo, si ottiene
d
fem  
cioè
B
dt
 
  
Legge di Faraday
l E  d l   t S B  nds
Notate che la fem è formalmente definita come il potenziale (a meno
di un segno); tuttavia ora il risultato dell’integrazione DIPENDE DAL
PERCORSO l, che racchiude la superficie S
Legge di Lenz
Se la spira è chiusa, il campo elettrico produce una corrente elettrica
fem
1 d B
I

R
R dt
La corrente produce un campo di induzione magnetica
La legge di Lenz stabilisce che il segno della corrente è tale che il campo
magnetico indotto produce una forza si oppone al moto:
Legge di Lenz=la natura non concede pasti gratis….
Qualche nota
Vi sarete accorti che nella slide precedente abbiamo assunto la legge di
Ohm così come scritta in forma integrale, intercambiando fem e ddp...
In realtà in condizioni dinamiche il concetto di potenziale va rivisto
(circuitazione di E non nulla…): chi ci assicura che la relazione di
prima è corretta?
Quello che sappiamo per certo è che vale la legge di Ohm nella forma
E  J
Consideriamo il filo con sezione infinitesima, o l’integrale di linea
richiederà attenzioni maggiori, così che la corrente su una sezione A sia
semplicemente
I/ A J
Allora calcolando la fem avremo
 
fem   E  d l  I
l
 dl
l
A
 IR
A destra i segni vettoriali sono
scomparsi visto che corrente e dl
sono nello stesso verso
cioè quel che volevamo verificare
Un magnete in moto rispetto ad una spira
Il campo magnetico di un piccolo magnete permanente in moto
in prossimità di una spira...
Legge di Faraday in forma differenziale

Applichiamo il teorema di Stokes alla legge di Faraday
in forma integrale


 
 
  
 E  d l     E  nds   t  B  nds
l
S
S

Dovendo essere vero per qualunque superficie S

 
E   B
t



Legge di Faraday in forma
differenziale
Possiamo ancora definire una tensione tra due punti?
Si’, ma ora il risultato non coinciderà con la differenza di
potenziale, dovendo dipendere dal percorso dell’integrale di
linea
Alcune riflessioni….



Poniamo di ripetere l’esperimento della spira e della calamita in
moto relativo
Uno di voi è solidale con la calamita e descrive l’esperimento: “la
spira si muove, i suoi elettroni si muovono nel mio campo
magnetico, subiscono una forza di Lorentz e iniziano a
percorrere la spira”: morale il suo campo magnetico spiega tutto
Un altro di voi è solidale con la spira e descrive “la calamita si
muove, il flusso del campo concatenato con la mia spira cambia,
nasce un campo elettrico che imprime un moto agli elettroni della
mia spira, altrimenti fermi”: morale deve introdurre il campo
elettrico indotto dalla variazione del campo magnetico per
spiegare il fenomeno
Alcune riflessioni….



Questo apparente rompicapo è una volta di più indizio che
campo elettrico e campo magnetico sono facce di una stessa
medaglia
Campo elettrico e magnetico non sono singolarmente invarianti,
ovvero indipendenti dallo stato di moto, ma è invariante il campo
elettromagnetico
Einstein scrisse:
”L’influenza del decisivo esperimento di Michelson e Morley [invarianza
velocità della luce ndt] su miei sforzi è stata piuttosto indiretta. Li conobbi
attraverso il decisivo lavoro di Lorentz sull’elettrodinamica dei corpi in
movimento (1895), con cui avevo familiarità prima di sviluppare la teoria
della relatività speciale […] Ciò che, più o meno direttamente, mi portò alla
teoria della relatività fu la convinzione che le forze elettromotrice che agisce
su un corpo in movimento in un campo magnetico altro non fosse che un
campo elettrico
Esercizio
Una spira piana di superficie S= 35 cm2 e resistenza R=2 W è immersa in un
campo magnetico uniforme la cui direzione forma un angolo di /6 radianti con
la normale alla superficie della spira. L’induzione magnetica varia nel tempo
secondo la legge B(t)=Bo cos(wt) con Bo=0.5 Wb/m2 e w=200 rad/s. Si calcoli
l’intensità della corrente che percorre la spira ad un generico istante t.
Calcoliamo il flusso di B attraverso la spira ed usiamo la legge di Faraday in
forma integrale per valutare la fem indotta
 

d  
d
fem   E  d l    (B)    B  nds
dt S
dt
d
  BS cos   B0w sin wt S cos   0.3sin wt  V
dt
Usiamo la legge di Ohm per calcolare la corrente
fem
I
 0.15 sin wt  A
R
B
I
n
Esercizio
Una spira quadrata di lato d= 50 cm , posta come mostrato in figura
1, è immersa in un campo di induzione magnetica B(t). Si calcoli la
fem indotta ai capi della spira, considerando il sistema nel vuoto.
y
B(t )  20  xy  cos(1000t )yˆ  100  x  sin( 1000t )zˆ  Wb/m 2
x
0.5m 0.5m
Il flusso è dato da :
0
Spira
2
2 x
 100 xdxdy  sin(1000 t ) 100Wb/m  2
0
0.5m 0.5m
 sin(1000 t ) 
   ( Bx xˆ  B y yˆ  Bz zˆ )  zˆ dxdy  
0
 Bz dxdy
0
0.5m
0.5m
y0
 6.25  sin(1000 t ) Wb
0
Per la legge di Faraday la fem indotta è data dalla derivata temporale
del flusso appena calcolato:
fem  
d
  6250  cos(1000 t ) V
dt
Esercizio
Un foglio di carica uniforme con densità superficiale s=1/(6) nC/m2 è
posto in x=0; un secondo foglio con carica uguale ma segno opposto è
in x=20 m. Trovare Vab, Vbc e Vac se A(10m, 0, 0), B(3m, 0,0) e
C(0,0,0).
Applicando la legge di Gauss in forma integrale al
parallelepipedo con area di base S, sappiamo che

Q s
 (E)  E x S  
S

Per cui:

++
+
s
Ex 
 6V / m

S
+ + Ex
In generale avremo, vista l’uniformità di E
V   Ex  x
--
ovvero
Vab  610  3  42V
Vbc  63  18V
Vac  610  60V
0
x