Magnetostatica 3
12 ottobre 2012
Momento agente su un ago magnetico
Forza agente su una spira
Momento di forza agente su una spira
Momento magnetico di dipolo
Energia potenziale di una spira
Teorema di equivalenza di Ampère
Flusso del campo B
Sorgenti del campo B
Momento agente su un ago in un
campo B
• Abbiamo visto che un ago magnetico in un campo B è
soggetto ad una coppia il cui momento può essere
misurato
• Abbiamo introdotto il momento magnetico m dell’ago
• m è tale che quando l’ago è posto in un campo B, la
coppia risultante ha momento meccanico
 
  m B

• E l’energia dell’ago nel campo esterno è, analogamente
al caso elettrico,


E  m  B
• Vediamo ora cosa accade per un a spira percorsa da
corrente
2
Forza agente su una spira in un
z
campo B uniforme
n
• Spira rettangolare (per semplicità) che
possa ruotare intorno ad un asse (x) x
perp. a B, disposto lungo z
• Lati perp. all’asse di rotazione:
– Sul lato AD
 (lunghezza h) agisce la forza
B
A
B
q
O
D
h
C
b
y
F  IhB sin  2   iˆ  Ih cos Biˆ
– Su BC la stessa forza con segno opposto
– Le forze sui due lati sono uguali ed opposte
n
• Lati paralleli all’asse:
– Sul lato AB (lunghezza b) agisce la forza
F   IbBˆj
– Su DC la stessa forza con segno opposto
– Le forze sui due lati sono uguali ed opposte
B
z
y
q
xX
3
Momento agente su una spira in un
campo B uniforme
• Lati perpendicolari all’asse di rotazione
• Possiamo considerare il momento della forza
risultante invece che il risultante dei momenti
• Le due forze sui lati AD, BC sono uguali,
opposte e hanno la stessa linea d’azione,
quindi il momento totale è nullo
z
n
B
A
B
q
O
x
D
y
b
h
C
4
Momento agente su una spira in un
campo B uniforme
• Lati paralleli all’asse di rotazione
• Di nuovo possiamo considerare il momento
della forza risultante invece che il risultante dei
momenti
• Le due forze risultanti sui lati AB, DC sono
uguali, opposte e hanno braccio h sin 
z
n
• quindi hanno momento

  IbBh sin iˆ  IAB sin iˆ 

 IAnˆ   B
B
q
y
xX
5
Momento magnetico di una spira
• Definiamo momento magnetico di una spira piana
di forma arbitraria (o momento
di
dipolo

magnetico), il vettore m  IAnˆ
– A: area della spira
– I: corrente circolante
– n: versore normale alla spira
• Il momento meccanico in un campo B può venir
espresso nella stessa formache per un ago


magnetico
  m B
6
Energia potenziale di una spira
• Scegliamo    2 come zero dell’energia
• U e` l’opposto del lavoro per andare da  2 a 
U    L 2   

  
L 2      m  B  d    mB sin d

 2
 2
 mB cos
 
U    mB cos  m  B
7
Sorgenti del campo B
• Ampère intui’ che il magnetismo di un
magnete altro non e` che l’effetto di
correnti microscopiche all’interno della
materia
• Le sorgenti del campo induzione
magnetica non sono quindi le cariche
magnetiche, ma le correnti elettriche,
macroscopiche o microscopiche che siano
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Teorema di equivalenza di Ampère
• Questa intuizione e` suffragata dal teorema di
equivalenza tra un magnete ed una spira
1) le azioni meccaniche esercitate da un campo
B su di un magnete o su di una spira di ugual
momento magnetico, sono uguali
2) a grande distanza il campo B di dipolo
generato da una spira è uguale a quello di un
magnete
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Teorema di equivalenza di Ampère
• Abbiamo dimostrato la prima parte: le azioni di un
campo esterno B su un ago e una spira sono
uguali, purché tra il momento dell’ago, la corrente
e l’area della spira valga la relazione


mspira  IAnˆ  mago
• Procediamo ora con la seconda parte
10
Teorema di equivalenza di Ampère
• Calcoliamo il campo B prodotto da una spira
(raggio R e corrente i) a grande distanza r0
mediante la formula di Laplace
 

dl  r
B  ki 3
r
r
0
r
r  r0  R
R

11
Teorema di equivalenza di Ampère
• Scriviamo le componenti cartesiane dei vettori
Rcos f 
R, dl, r0 e r


R  Rsin f 


 0 
r0



r0 sin cos


  
r0  r0 sin sin


r
cos
 0

dlsin f 


dl  dlcos f 


0


r0 sin cos  Rcos f 


r  r0 sin sin   Rsin f 


r
cos


0
R
f
dl
12
Teorema di equivalenza di Ampère
• Calcoliamo il prodotto esterno e sviluppiamo r al
denominatore al primo ordine in R/r0


r0 cos f cos


dl  r  dl
r0 sin f cos



r0 sin cos  f   R

R 

1
1 
R
1 3 sin cos  f  O2  
3 
3 
r
r0 
r0

r0 
• Posto che dl  Rd f l’integrale del campo
diviene


13
Teorema di equivalenza di Ampère
•


r0 cos f cos


1 
R
B  ki  3 1 3 sin cos  f 
r0 sin f cos
Rd f 

r0


0 r0 
r
sin
cos


f

R

 
 0


cos f cos
2 


R
R
 ki 2  1 3 sin cos  f 
sin f cos
df

r0 0 
r0


sin
cos


f

R
r



0 
2
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Teorema di equivalenza di Ampère
• Componente x:
R
Bx  ki 2
r0


R
 1 3 r sin cos  f cos f cosdf 
0
0
2
2
2

R 
R
 ki 2 cos  cos fdf  3 sin cos  cos  f cos fdf 
r0 
r0

0
0
2
R R
 ki 2 3 sin cos  coscos f  sin sin f cos fdf 
r0 r0
0
2
R2
R2
2
 3ki 3 sin coscos  cos fdf  3ki 3 sin coscos
r0
r0
0
• Similmente per la componente y:

R2
By  3ki 3 sin cossin 
r0
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Teorema di equivalenza di Ampère
• Componente z:
R
Bz  ki 2
r0


R
R 
 1 3 r sin cos  f sin cos  f   r df 
0
0
0
2
2

R 2 
R 
R 2
2
 ki 2  sin cos  f   df   3 sin cos   f df 
r0 0 
r0 
r0

0
2

R 
R 2
R 2 2
2
 ki 2 sin   cos  f df   df  3  sin cos   f df 
r0 
r0 0
r0 0

0
2

R 2 
R2
2
2
 ki 3 2  3sin   cos   f df  ki 3 2  3 sin 2 
r0 
r0

0
R2
 ki 3 3cos 2  1
r0
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Teorema di equivalenza di Ampère
• Posto m=iR2, momento magnetico della spira,
in coordinate cartesiane il campo risulta
3sin coscos

m 
B  k 3 3sin cossin  
r0 

2
3cos

1


• In coordinate cilindriche
3sin cos
3sin cos

 0 m 

m 
B  k 3 
0

0
3 


r0 
4

r



0
2
2
3cos  1 
3cos  1 
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Teorema di equivalenza di Ampère
• In coordinate sferiche, infine
 2 cos  
 0 m 

B
3  sin  
4 r0 

0


• Che è esattamente uguale al campo induzione
magnetica di un magnete, e che è a sua volta
uguale al campo elettrico di un dipolo elettrico a
grandi distanze
 2 cos  

1 p
E
3  sin 
4 0 r0 
 0




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Flusso del campo B
• Per il principio di sovrapposizione il campo B si
può pensare come somma dei campi dovuti ai
 N 
singoli portatori
B  bj
j 1
• Il flusso sarà



  N


  N
 B | S   B  dA    b j  dA    b j | S
S
j 1 S
j 1

• Basta quindi considerare il flusso di un singolo
portatore, il cui campo è
  qv  r
b 0
4 r 3
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Flusso del campo B
• Per quanto detto sulla legge di Gauss,
possiamo limitarci a calcolare il flusso
attraverso una sfera con centro nella carica in
  
moto

 
0 qv  r
 b | S   b  dA  
 dA
3
4 r
S
S
• Le linee di b sono tangenti alla superficie
sferica, quindi il flusso di b, e di conseguenza
quello del campo totale B sono nulli
• Cioè abbiamo la 3° equazione dell’em
 
 B  dA  0
 
S
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Sorgenti del campo B
• Se confrontiamo questo risultato con il caso
elettrico possiamo affermare che
l’annullamento del flusso di B stabilisce la non
esistenza di cariche magnetiche

( B | S )  0
int

Qtot
( E | S ) 
0
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Forma differenziale della legge di
assenza di carica magnetica
• L’annullamento del flusso e della divergenza
sono due aspetti della stessa cosa
• Applichiamo il teorema della divergenza
all’integrale del flusso
 
 
0   B  da     BdV
S
V
• Ne segue che l’integrando nell’ultimo membro
dev’essere nullo ovunque
 
 B  0
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Potenziale magnetico
• Abbiamo visto che ad un campo E si puo`
associare un potenziale scalare V
• E` possibile fare una cosa analoga per il
campo B?
• La risposta e` no
• E` invece possibile associare un
potenziale vettore A
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Potenziali e.m.
• Questo deriva formalmente dalle diverse proprieta` dei
campi
 
• Per il campo E e` sempre verificato
 E  0

• Per cui si puo` scrivere E  V
• In quanto la rotazione di un gradiente e` identicamente
nulla
 
• Per il campo B abbiamo invece   B  0
• Non si puo` esprimere B come gradiente di un campo
scalare, in quanto la divergenza di un gradiente non e`
necessariamente nulla
• E` pero` possibile esprimere B come rotazione di un
  
campo vettoriale:
B   A
• in quanto la divergenza di una rotazione e` identicamente
nulla
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Potenziali e.m.
• Verifichiamo questa affermazione
    
 B   A  0
Bx B y Bz
  Az Ay    Ax Az    Ay Ax 
  
 


 



  
x
y
z x  y
z  y  z
x  z  x
y 
2
2
 2 Az  Ay  2 Ax  2 Az  Ay  2 Ax






0
xy xz yz yx zx zy
25