Geometria solida. Gli angoloidi.
In Geometria solida un poliedro è un solido delimitato da poligoni, situati su piani diversi e disposti
in modo che ognuno dei lati sia comune a due di essi. Tra i poliedri più noti ci sono i cinque solidi
regolari, detti anche solidi platonici. Un poliedro si dice regolare se ha tutti gli angoloidi
congruenti e per facce tutte figure piane regolari e congruenti tra esse. Dimostreremo che
esistono soltanto cinque poliedri regolari ai quali in passato venivano associati i cinque elementi
dell'universo: aria, acqua, terra, fuoco ed etere; prima di ciò diamo alcune definizioni ed
enunciamo alcuni teoremi.
Definizione[Rette sghembe]: Due rette nello spazio si dicono sghembe se non sono né incidenti né
parallele, per cui non appartengono ad uno stesso piano.
Definizione[Angoloide convesso]: Date un certo numero di semirette n aventi la stessa origine, a
tre a tre non complanari e tali che il piano individuato da due semirette consecutive lasci tutte le
altre da una stessa parte, prende il nome di angoloide convesso, l'intersezione degli n semispazi
che hanno per origine quei piani e che contengono le n-2 semirette restanti.
Da ora in poi scriveremo semplicemente angoloide per intendere un angoloide convesso.
Siano date quattro semirette a, b, c, d di origine comune V, prese nell'ordine nel quale le abbiamo
scritte e tali che il piano di due semirette consecutive non contenga le restanti e le lasci tutte dalla
medesima parte. Ciascuno di quei piani individua un semispazio;i punti comuni a quei semispazi
costituiscono, nel loro insieme, una figura detta angoloide, le cui rette prendono il nome di spigoli
e V.
Definizione[Triedro]: Un angoloide con tre lati prende il nome di triedro.
Definizione[Facce e spigoli di un angoloide]: Le facce di un angoloide sono gli angoli convessi
definiti da due semirette consecutive uscenti dal vertice, e tali semirette prendono il nome di
spigoli o lati.
Le proprietà delle facce di un angoloide. I diedri. I poliedri.
Enunciamo, senza dimostrare alcuni teoremi di Geometria solida:
Teorema: La somma delle facce di un triedro è sempre minore di un angolo giro.
Teorema: La somma delle facce di un angoloide è sempre minore di un angolo giro.
Teorema: Ogni faccia di un angoloide è sempre minore della somma di tutte le altre.
Esempio: Si calcoli la somma delle facce del triedro della figura sottostante e dire, eventualmente,
se esiste.
Soluzione: Sommiamo gli angoli 60°+45°+30°=135°, essendo minore di 360° tale triedro esiste.
Definizione[Diedro]: Due semipiani aventi la stessa retta d'origine (asse) dividono lo spazio in due
parti, ciascuna delle quali si chiama angolo diedro o, semplicemente, diedro.
Definizione[Angolo solido]: Si dice angolo solido di vertice V il semispazio delimitato dalle infinite
semirette uscenti da V che formano una superficie (rigata). L'unità di misura dell'angolo solido è lo
steradiante.
La differenza principale tra un diedro e un angoloide consiste nel fatto che un angolo solido ha un
vertice mentre un diedro un asse.
Definizione[Poliedro, spigoli e facce]: Un poliedro convesso è un solido delimitato da poligoni,
detti facce, situati su piani diversi e disposti in modo che ognuno dei lati, chiamati spigoli, sia
comune a due di essi. I punti comuni ad almeno tre spigoli si dicono vertici.
Esistono definizioni equivalenti per i poliedri, come ad esempio l'intersezione di almeno due diedri
con assi distinti. Analogamente, la piramide si può definire come l'intersezione di un angoloide con
un qualsiasi piano non contente il vertice.
Concludiamo enunciando un noto principio di Geometria solida.
Teorema[Principio di Cavalieri]: Se due solidi hanno uguale altezza e se le sezioni, generate da
piani paralleli alle basi e ugualmente distanti da queste, stanno sempre in un dato rapporto, anche
i volumi godono della stessa proporzionalità.
Teorema dei solidi platonici. Formula di Eulero.
Definizione[Poliedro regolare]: Un poliedro si dice regolare se ha come facce tutti poligoni
regolari uguali tra loro, e tale che in ogni suo vertice concorra uno stesso numero di facce.
Teorema[dei solidi platonici]: I poliedri regolari convessi o platonici sono soltanto cinque:
tetraedro, dodecaedro, ottaedro, esaedro o cubo e icosaedro.
Dim. Esistono infiniti tipi di poligoni regolari, ovvero poligoni i cui lati e gli angoli sono tutti
congruenti tra loro. Ricordiamo che ∑n indica la somma degli angoli interni di un poligono con n lati
e che si dimostra che ∑n =180°∙n-360°, inoltre se il poligono è regolare un singolo angolo è ampio
σn=∑n/n. Il ragionamento, per dimostrare l’ esistenza dei poliedri regolari si basa sul fatto che le
facce di ogni angoloide di un poliedro sono almeno tre e che la loro somma è minore di 360°,
pertanto:
Tipo delle facce
concorrenti in
ciascun vertice
Ampiezza faccia
dell’angoloide
Somma facce
dell’angoloide
(per esistere deve
essere minore di 360)
Possibilità di
esistenza
eventuale
nome
σ3=180°/3= 60°
σ3=180°/3= 60°
σ3=180°/3= 60°
σ3=180°/3= 60°
σ4=360°/4= 90°
Numero
facce
concorrenti
in un
vertice
3
4
5
6 o più
3
Triangolo equilatero
Triangolo equilatero
Triangolo equilatero
Triangolo equilatero
Quadrato
60°∙3=180°
60°∙4=240°
60°∙5=300°
60°∙6=360°
90°∙3=270°
σ4=360°/4= 90°
σ5=540°/5= 108°
σ5=540°/5= 108°
σ5=720°/6= 120°
4 o più
3
4 o più
3
90°∙4=360°
108°∙3=316°
108°∙4=416°
120°∙3=360°
Si Tetraedro
Si Ottaedro
Si Dodecaedro
No
Si Esaedro o
Cubo
No
Si Icosaedro
No
No
Quadrato
Pentagono regolare
Pentagono regolare
Esagono regolare
Il nome di ciascun solido platonico deriva dal greco prendendo considerando il numero delle facce
che lo compone. Si vedano la seguente tabella che indica per ogni solido il nome, il numero dei
vertici, degli spigoli e delle facce e le immagini sottostanti:
Nome
Tetraedro
Ottaedro
Icosaedro
Esaedro o Cubo
Dodecaedro
Vertici
4
6
12
8
20
Spigoli
6
12
30
12
30
Facce
4
8
20
6
12
Esiste un legame tra il numero dei vertici, spigoli e facce di un solido regolare. Tale legge viene
chiamata formula di Eulero per i poliedri, la cui dimostrazione rigorosa fu fatta da Cauchy,
matematico francese nato nella seconda metà ‘700, a soli venti anni.
Formula di Eulero per i poliedri: In un poliedro regolare siano v, s e f, rispettivamente, il numero
dei vertici, degli spigoli e delle facce, allora risulta vera la seguente relazione:
f+v=s+2
Prof. Alessandro Adami