Sussidi didattici per il corso di
PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI
Prof. Ing. Francesco Zanghì
FONDAZIONI - III
AGGIORNAMENTO 12/12/2014
Corso di PROGETTAZIONE, COSTRUZIONI E IMPIANTI
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Progetto strutturale di una trave rovescia
Alle travi di fondazioni continue viene richiesta un’elevata rigidezza in modo tale che le loro
deformazioni elastiche siano molto piccole. Piccole deformazioni implicano cedimenti differenziali
limitati tra un pilastro e l’altro e, inoltre, tensioni sul terreno distribuite in maniera pressoché lineare.
Le travi rovesce sono sicuramente fondazioni con caratteristiche di rigidezza superiore a quelle dei
plinti isolati. In secondo luogo sono in grado di ripartire le sollecitazioni su superfici di terreno più ampie.
Una trave rovescia rigida può essere calcolata come una trave continua su n appoggi, dove n è il
numero dei pilastri, e caricata, dal basso verso l’alto, dalla reazione del terreno.
Affinché la trave possa essere considerata molto più rigida delle travi di elevazione è necessario che
sia soddisfatta la seguente relazione:
≥ In questo modo, inoltre, l’eventuale momento flettente, generato da un cedimento delle fondazioni, viene
assorbito dalla trave di fondazione e non da quelle di elevazione.
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ESEMPIO N°5
Con riferimento all’edificio di cui all’ESEMPIO n°3 della dispensa “Cemento Armato I”, progettare la fondazione
continua a trave rovescia corrispondente alla travata 1-7-14. Il terreno è costituito da Sabbia sciolta asciutta,
caratterizzata da i seguenti parametri geotecnici: γ1, γ2 = 18 KN/m ; φ =35°; c =0 KPa. La profondità del piano
d’imposta è di -1.50 m dal p.c.
Scarichi di progetto alla base di ogni pilastro:
N1=997 kN; N2=1074 kN; N3=874 kN
In corrispondenza dei pilastri di estremità la trave viene prolungata mediante uno sbalzo di 1.50 m per conferire una
migliore distribuzione dei carichi.
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Caratteristiche dei materiali
o Calcestruzzo C25/30
fck
25
= 0.85
= 14.11 MPa
1.50
1.50
Resistenza di progetto a compressione:
fcd = 0.85
Resistenza media a trazione:
2
fctm = 0.30 ⋅ 3 f ck
= 0.30 ⋅ 3 252 = 2.55 MPa
o Acciaio B450C
f yd =
Tensione di progetto allo snervamento:
f yk
450
=
= 391.3 MPa
1.15 1.15
Calcolo dei coefficienti di Terzaghi
Trattandosi di terreno sciolto, dall’abaco in corrispondenza dell’angolo di 35° ricaviamo i coefficienti di capacità portante:
N’c = 25
N’q = 15
In questo caso, per fondazione nastriforme: vc = vq = vγ = 1
5
N’γ = 12
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Stima preliminare del carico limite
Assumendo, in prima ipotesi B=1.00 m, la formula di Terzaghi, trascurando il termine coesivo, fornisce:
q = v ∙ γ ∙ D ∙ N′ + v ∙ γ ∙
B
1
∙ N′ = 1 ∙ 18 ∙ 1.5 ∙ 15 + 1 ∙ 18 ∙ ∙ 12 = 405 + 108 = 513kPa
2
2
/.
La resistenza di progetto del terreno è: σ)* = +,- =
= 223012
..
..
Dimensionamento della larghezza B
Assumiamo per il peso proprio: G=10%(ΣN)=0.1(997 + 1074 + 874)=0.1(2945)=295 kN.
Nell’ipotesi di trave infinitamente rigida e trascurando l’eventuale eccentricità del carico, la larghezza B della fondazione
deve essere:
B≥
∑N+G
2945 + 295
3240
=
=
= 1.10;
σ)* ∙ L9:9 223 ∙ 13.20 2944.2
Il valore ottenuto deve essere aumentato del 15 % per tenere in considerazione l’effettiva flessibilità della trave reale e il
non perfetto centramento dei carichi verticali. Si assume quindi B = 1.10 x 1.15 ~ 1.30 m.
Ripartizione dei carichi
Si ammette che il carico trasmesso da ogni pilastro si ripartisca uniformemente sulla metà delle due campate adiacenti:
p =
=>
@.@@
./?
A
=
BBC
D.C/
= 233.20E/;
=A
p = @.@@
G.H@
?
A
A
=
ICD
/.I
6
= 210.60E/;
=
p. = G.H@ K
A
?./
=
LCD
..L/
= 228.50E/;
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Il carico gravante su ogni campata si assume pari alla media dei sue carichi adiacenti:
q = p = 233.20E/;
q =
> ?A
=
...?I.M
q. =
A ?K
=
I.M?L./
= 219.60E/;
qD = p. = 228.50E/;
= 2220E/;
Schema statico:
Calcolo delle sollecitazioni
In alternativa al calcolo tradizionale della trave continua, effettuiamo un’analisi approssimata speditiva, trascurando il peso
proprio della trave e calcolando i momenti agli appoggi considerando la singola campata come semincastrata agli estremi.
Come momento all’appoggio assumiamo il valore maggiore fra quello relativo alla campata destra e quello relativo alla
campata di sinistra.
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Il valore dei momenti è fortemente condizionato dal grado di semincastro. Possiamo suggerire il seguente criterio:
• per campate intermedie o per campate di estremità con prolungamento:
M = −
• per campate di estremità prive di prolungamento:
P∙Q A
L
;
M = −
M = −
P∙Q A
;
M = −
P∙Q A
I
Nel nostro caso, essendo le travi rovesce prolungate di 1.50 m oltre il filo del pilastro esterno:
> ∙./IA A ∙/.//A
MR = max U
MRZ = −
W = max U
...∙./IA ∙/.//A
,
W = maxX262.35, 569.85Y = 569.850E;
1
∙ 222 ∙ 5.55 = −427.38kNm
16
MZ = max U
MZ[ = −
,
A ∙/.//A K ∙D.M/A
,
∙/.//A B.M∙D.M/A
W = max U
,
W = maxX569.85, 395.69Y = 569.850E;
1
∙ 219.6 ∙ 4.65 = −296.77kNm
16
K ∙D.M/A G ∙./IA
M[ = max U
,
B.M∙D.M/A L./∙./IA
W = max U
,
W = maxX395.69, 257.06Y = 395.690E;
8
P∙Q A
M
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Il taglio agli appoggi si valuta mediante le seguenti relazioni:
T
?
]^ _],
= −U
`
+
P∙`
W
Nel nostro caso:
T?d = 0 ;
T _ R = 233.2 ∙ 1.5 = 349.8kN
T?R = − U
]e _]f
/.//
+
∙/.//
+
B.M∙D.M/
/MB.L/_/MB.L/
W = −U
/.//
T _ Z = 222 ∙ 5.55 − 616.05 = 616.05kN
]g _]e
T?Z = − U
D.M/
W = −U
+
.B/.MB_/MB.L/
D.M/
T _ [ = 219.6 ∙ 4.65 − 473.12 = 548.02kN
..I
+
W = −616.05kN
I.D
W = −473.12kN
T ? [ = −228.5 ∙ 1.50 = −342.75kN
9
T
_
a
= q ∙ L + T
?
xI =
bc ,
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Dimensionamento dell’altezza della trave
Calcoliamo l’altezza utile necessaria per assorbire il massimo momento flettente, con riferimento alla sola anima della trave,
a sezione rettangolare. Assumiamo inoltre b=30+10+10=50 cm:
d=i
]jk
I.L/C∙lmk ∙n
=i
/MBL/
I.L/C∙.D∙/I
= 66o; pertanto, posto c=4 cm, h=66+4=70 cm.
Le due mensole laterali avranno lunghezza: (B-b)/2 = (1.30-0.50)/2=0.40 m
Analogamente a quanto fatto per i plinti elastici, valutiamo l’altezza della mensola
ipotizzando un angolo medio di diffusione dei carichi pari a 40°.
tan 40°
XR_nY
= 0.84 ∙ 0.40 = 0.336;
si assume h=35 cm.
Posto il copriferro c= 4 cm, la trave avrà dunque un’altezza totale pari a:
H=4+66+0.35 = 1.05 m.
Controllo della rigidezza della trave
Poiché l’edificio ha 5 impalcati e le travi di elevazione hanno sezione media pari a 30x50, il momento d’inerzia totale è:
rsQst
0.30 ∙ 0.50.
=5
= 0.0156;D
12
Il momento d’inerzia baricentrico della trave a T si può calcolare mediante la relazione approssimata:
ruvwx ≈ 1.7
z{ K
= 1.7
I./∙.I/K
= 0.082 > 0.0156
la fondazione è sufficientemente rigida.
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Calcolo delle armature longitudinali dell’anima
Minimi di normativa per la flessione:
As, min = 0.26 ∙ fctm
0.255
∙ b ∙ d = 0.26 ∙
∙ 50 ∙ 101 = 7.44cmq > 0.0013 ∙ 50 ∙ 101 = 6.56cmq
fyk
45
Minimi di normativa per la zona sismica:
As, min = 0.002 ∙ b ∙ d = 0.002 ∙ 50 ∙ 101 = 10.1cmq
Armatura a flessione:
As = Msd
0.9 ∙ fyd ∙ d
La seguente tabella riassume i valori di calcolo delle armature, le barre effettivamente utilizzate e l’area di armatura
effettiva disposta.
Sezione
appoggio B
campata BC
appoggio C
campata CD
appoggio D
Msd
As
2
[kNm]
[cm ]
569.85
427.38
569.85
296.77
395.69
16.02
12.02
16.02
8.34
11.12
12
Armatura
7Φ18
5Φ18
7Φ18
4Φ18
5Φ18
As, effettiva
[cm2]
17.81
12.72
17.81
10.18
12.72
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Calcolo delle armature trasversali dell’anima
Resistenza al taglio in assenza di armature specifiche:
K
I,L∙†∙ ‡II∙ˆ> ∙lm‰ Š Š
V)* = …
m
+0,15 ∙ σ‹Œ  ∙ bŽ ∙ d ≥ 0.035‡k . ∙ f‹ ∙ bŽ ∙ d;K = 1 + i
II
*
≤ 2;ρ =
d”
n*
≤ 0.02;σŒ = 0
Ampiezza del tratto da armare:
VSd
lI =
VRd
lo
l/2
l/2 - lo
l V–* − V)*
∙
2
V–*
Passo staffe:
Adottiamo staffe Φ10 a due bracci (Asw = 158 mm2 = 1.58 cm2)
Campata
AB
BC
CD
DE
s =
I.B∙*∙l—k ∙d”˜
[cm ]
ρ1
Vrd
[kN]
verifica
17.81
17.81
17.81
12.72
0.0035
0.0035
0.0035
0.0025
180.90
180.90
180.90
161.70
NO
NO
NO
NO
l
Vsd
As
[cm]
[kN]
2
150
555
465
150
349.8
616.05
548.02
342.75
™jk
lo
s
[cm]
[cm]
72.43
196.01
155.75
79.23
16.07
9.12
10.25
16.40
Minimi di normativa:
-
Ampiezza zona critica in bassa duttilità (CD B): Secondo NTC2008 Lcr= H = 105 cm dal filo del pilastro.
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Passo minimo in zona critica in bassa duttilità (CD B):
s’=min(8Φlong. min ; 14Φstaffe ; d/4 ; 22.5 cm) = min(14.4 ; 14 ; 25.25 ; 22.5) = 14 cm
Controllo dei minimi di staffatura:
• > 3 staffe/ m
• Ast,min= >1.5b = 1.5 x 500 = 750 mm2/m = 7.50 cm2/m
• passo < 0.8d=0.8 x 101=80.8 cm
Ast
Campata
tratto
Φ
passo
[m]
[mm]
[cm]
AB
1.35
10
14
7
>3
11.29
> 7.50
BC
1.98
1.29
1.98
10
10
10
9
20
9
11
5
11
>3
>3
>3
17.56
7.90
17.56
> 7.50
> 7.50
> 7.50
CD
1.60
1.15
1.60
10
10
10
10
20
10
10
5
10
>3
>3
>3
15.80
7.90
15.80
> 7.50
> 7.50
> 7.50
DE
1.35
10
14
7
>3
11.29
> 7.50
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n°staffe/m
[cm2/m]
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Verifica delle armature dell’ala
L’ala della trave rovescia viene calcolata come una mensola, di sezione rettangolare
100x35, caricata con un carico uniformemente ripartito pari alla massima reazione che il
terreno è in grado di sopportare, cioè la resistenza di progetto:
q=1.00 x σ)* = 1.00 ∙ 223012 = 2230E/;
• Momento flettente di progetto: Msd = q ∙
A
= 223 ∙
I.DIA
= 17.84kNm
• Taglio di progetto: Vsd = q ∙ l = 223 ∙ 0.4 = 89.20kN
Assumendo c=3 cm segue d=h-c=35-3=32 cm
L’armatura longitudinale dell’ala è rappresentata dalla staffatura della trave, pertanto basta controllare che l’area delle
staffe, valutata con riferimento al passo più grande, sia superiore al valore necessario ad assorbire la flessione. La minore
densità di staffatura si ha nei tratti centrali delle due campate (vedi tabella precedente) ed è costituita da 1Φ10/20 cioè
As=5 X 0.79 = 3.95 cm2/m.
As = Poiché:
Verifica a taglio:
œ = 1 + i
II
x
]–*
I.B∙lš*∙*
=1+i
=
II
.I
CLD
I.B∙.B.∙.
= 1.58cm < 3.95cm
= 1.79 ≤ 2OK; ρ =
d”
n*
=
..B/žŸA
II∙.
VERIFICA POSITIVA
= 0.00123 ≤ 0.02 œ¡¢ = 0
Resistenza della sezione priva di armatura specifica a taglio:
£¤x = K
I,L∙.CB∙ √II∙I.II.∙/
./
∙ 1000 ∙ 320 =≈ 1000E > £¦x = 89.2
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VERIFICA POSITIVA
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Disegno delle armature:
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Tabella tondini da Cemento Armato
Diametro
mm
1
2
3
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
25
26
28
30
32
0,28
0,50
0,79
1,13
1,54
2,01
2,54
3,14
3,80
4,52
4,91
5,31
6,16
7,07
8,04
0,57
1,01
1,57
2,26
3,08
4,02
5,09
6,28
7,60
9,05
9,82
10,62
12,32
14,14
16,08
0,85
1,51
2,36
3,39
4,62
6,03
7,63
9,42
11,40
13,57
14,73
15,93
18,47
21,21
21,13
1,13
2,01
3,14
4,52
6,16
8,04
10,18
12,57
15,21
18,10
19,63
21,24
24,63
28,27
32,17
Numero barre
5
6
7
sezione [cm²]
1,41
2,51
3,93
5,65
7,70
10,05
12,72
15,71
19,01
22,62
24,54
26,55
30,79
35,34
40,21
18
1,70
3,02
4,71
6,79
9,24
12,06
15,27
18,85
22,81
27,14
29,45
31,86
36,95
42,41
48,25
1,98
3,52
5,50
7,92
10,78
14,07
17,81
21,99
26,61
31,67
34,36
37,17
43,10
49,48
56,30
8
9
10
12
2,26
4,02
6,28
9,05
12,32
16,08
20,36
25,13
30,41
36,19
39,27
42,47
49,26
56,55
64,34
2,54
4,52
7,07
10,18
13,85
18,10
22,90
28,27
34,21
40,72
44,18
47,78
55,42
63,62
72,38
2,83
5,03
7,85
11,31
15,39
20,11
25,45
31,42
38,01
45,24
49,09
53,09
61,58
70,69
80,42
3,39
6,03
9,42
13,57
18,47
24,13
30,54
37,70
45,62
54,29
58,90
63,71
73,89
84,82
96,51
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Fonti
•
•
•
•
D. M. Infrastrutture Trasporti 14 gennaio 2008 (G.U. 4 febbraio 2008 n. 29 - Suppl. Ord.)
Norme tecniche per le Costruzioni”
Circolare 2 febbraio 2009 n. 617 del Ministero delle Infrastrutture e dei Trasporti (G.U. 26 febbraio 2009 n. 27 –
Suppl. Ord.)
“Istruzioni per l'applicazione delle 'Norme Tecniche delle Costruzioni' di cui al D.M. 14 gennaio 2008”.
Software Edilus – ACCA
U.Alasia, M.Pugno – Corso di Costruzioni 5 - SEI
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