Indice 1 Le proprietà dei gas 1.1 L’equazione di stato dei gas ideali e le unità di misura . . . . . 1.2 L’equazione di van der Waals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Le equazioni di Redlich-Kwong (RK) e di Peng-Robinson (PR) 1.4 L’uso di un’equazione di stato cubica . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 La legge degli stati corrispondenti . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Il secondo coefficiente del viriale . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Il potenziale di Lennard-Jones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Le forze di dispersione di London . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Il secondo coefficiente del viriale: alcuni casi particolari . . . . 1.10 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.1 Esercizio 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.2 Esercizio 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.3 Esercizio 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.4 Esercizio 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10.5 Esercizio 1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 5 7 8 11 13 16 18 20 23 23 23 24 24 25 2 Le derivate parziali in termodinamica 2.1 La derivata di funzioni ad una variabile . . . . . . . . . . . 2.2 La derivata di funzioni a più variabili . . . . . . . . . . . . . 2.3 Deriviamo la legge dei gas ideali . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Differenziali esatti e inesatti in termodinamica . . . . . . . 2.5 Differenziali di funzioni a variabili dipendenti e indipendenti 2.6 Riassunto delle formule fondamentali . . . . . . . . . . . . . 2.7 Qualche esempio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.1 Esempio I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Esempio II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.3 Esempio III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 26 26 27 28 31 32 34 34 34 34 3 Il primo principio della termodinamica 3.1 Lavoro, calore e concetto di funzione di stato . . . . . . . . . . . . . 3.2 Il primo principio della termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Variazioni di energia per un gas ideale e concetto di capacità termica 3.4 Le trasformazioni adiabatiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Le espansioni adiabatiche reversibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Alcuni concetti basilari di termodinamica statistica . . . . . . . . . . 3.7 Interpretazione molecolare dei concetti di lavoro e calore . . . . . . . 3.8 Il concetto di entalpia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Approfondimenti sul concetto di capacità termica . . . . . . . . . . . 3.10 Il concetto di entalpia relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11 Variazione di entalpia ed equazioni chimiche . . . . . . . . . . . . . . 3.11.1 Esempio I: reazioni esotermiche ed endotermiche . . . . . . . 3.11.2 Esempio II: applicazione della proprietà additiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 36 38 40 40 42 43 44 45 46 46 47 48 49 i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.11.3 Esempio III: applicazione della legge di Hess . 3.12 Il calore di reazione a partire dal calore di formazione 3.13 Variazione di entalpia e temperatura . . . . . . . . . . 3.14 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14.1 Esercizio I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14.2 Esercizio II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14.3 Esercizio III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14.4 Esercizio IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14.5 Esercizio V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14.6 Esercizio VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.14.7 Esercizio VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 49 52 53 53 54 54 55 55 56 56 4 L’entropia e il secondo principio della termodinamica 4.1 Processi spontanei e limite del primo principio della termodinamica . . . 4.2 Sistemi isolati non in equilibrio e concetto di disordine . . . . . . . . . . 4.3 L’entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Il secondo principio della termodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Variazioni di entropia e trasformazioni reversibili . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Espansione isoterma reversibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Espansione isoterma irrreversibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.3 Entropia di miscelamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.4 Aumento di entropia dovuta a passaggio di calore . . . . . . . . . 4.5.5 Aumento di entropia dovuta a passaggio di calore: caso generale 4.6 La conversione del calore in lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Esercizi svolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1 Esercizio I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Esercizio II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Esercizio III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.4 Esercizio IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 57 57 59 60 64 64 65 65 66 67 68 69 69 70 70 71 ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Capitolo 4 L’entropia e il secondo principio della termodinamica Punto centrale di questo capitolo sarà l’entropia, una funzione di stato termodinamica che fornisce una misura quantitativa del disordine del sistema. Vedremo come non bastino semplici considerazioni energetiche per prevedere la spontaneità di un processo o di una reazione chimica, e dimostreremo che i sistemi isolati non in equilibrio evolvono nella direzione in cui aumenta il disordine. Il secondo principio della termodinamica regola la direzione nella quale i sistemi evolvono verso i loro stati di equilibrio e afferma che l’entropia di un sistema isolato aumenta per effetto di una qualsiasi trasformazione spontanea irreversibile. 4.1 Processi spontanei e limite del primo principio della termodinamica In passato si credeva che i processi spontanei fossero i processi esotermici (quelli che liberano energia). Questa convinzione era motivata dal fatto che i prodotti di una reazione esotermica si trovano ad un’energia (o entalpia) inferiore rispetto ai reagenti e che in meccanica o elettromagnetismo il sistema evolve spontaneamente verso le situazioni di energia inferiore (la pietra rotola verso il basso, diminuendo la sua energia potenziale; due particelle cariche di segno opposto si avvicinano, per diminuire l’energia del sistema). Facciamo alcuni esempi per dimostrare che questa convinzione non risponde in generale alla realtà. Consideriamo un bulbo contenente un gas ad una pressione sufficientemente bassa da poterlo considerare ideale e uno nel quale è stato fatto il vuoto (vedi figura 4.1). Quando i due bulbi vengono messi in comunicazione (si apre il rubinetto), il gas si espande all’interno del bulbo vuoto fino al raggiungimento dell’equilibrio che si avrà quando la pressione del gas nei due bulbi sarà uguale. Un’accurata determinazione dei processi termici di un tale esperimento mostrerebbe che ∆U e ∆H sono entrambe nulle. Si ha quindi un processo spontaneo non favorito dalla diminuzione di energia. Il processo inverso, senza un intervento esterno non è mai stato osservato; i gas non occupano spontaneamente solo una parte di un contenitore, lasciando l’altra parte vuota, anche se non c’è perdita di energia del sistema. Un altro esempio è quello della fusione del ghiaccio in acqua (H2 O(s) → H2 O(l)) che si ha per T > 0. Questo è un processo endotermico (il ghiaccio assorbe energia per staccare le molecole), spontaneo. Gli esempi citati indicano che i processi spontanei non possono essere spiegati solo attraverso considerazioni energetiche, e quindi facendo ricorso al solo primo principio della temperatura. Ovviamente i processi descritti obbediscono al primo principio, ma questo non basta. Dobbiamo quindi supporre che la tendenza a raggiungere la minima energia non sia l’unica “forza” che regola la direzione di evoluzione del nostro sistema. 4.2 Sistemi isolati non in equilibrio e concetto di disordine Se esaminiamo l’esempio riportato nel paragrafo precedente dal punto di vista microscopico o molecolare, registriamo un incremento del disordine (o casualità) del sistema. Infatti, le molecole di gas nello stato finale si 57 Figura 4.1: Due bulbi connessi da un rubinetto. Inizialmente, un bulbo contiene un gas e l’altro è vuoto. All’apertura del rubinetto, i due bulbi vengono messi in comunicazione. Il gas occuperà entrambi i bulbi con pressione uniforme. muovono in un volume che è grande il doppio rispetto allo stato iniziale. Possiamo quindi dire che l’incertezza nella localizzazione di una molecola nello stato finale è doppia rispetto a quella dello stato iniziale. Una simile argomentazione può essere applicata al processo di miscelazione di due gas; non solo ogni molecola dei due gas avrà a disposizione un volume più grande, ma esse saranno anche intimamente mescolate tra loro. Ovviamente lo stato finale (miscelato) sarà più disordinato dello stato iniziale (separato). Citiamo un ultimo esempio: un solido consiste in un reticolo ordinato di atomi o molecole mentre in un liquido la disposizione delle particelle è più casuale. La fusione implica quindi un incremento di disordine (si pensi, ad esempio, alla fusione del ghiaccio in acqua). Questi esempi suggeriscono che i sistemi cercano di evolvere spontaneamente nella direzione di minima energia ma allo stesso tempo cercano di aumentare il disordine; i due processi sono in competizione. Nei casi in cui il disordine non è un elemento importante, come in un sistema meccanico, l’energia è il fattore chiave. Viceversa, nella miscelazione di due gas, il disordine è il fattore fondamentale e la direzione presa dal processo spontaneo sarà quella che massimizza il disordine. Abbiamo quindi bisogno di una funzione di stato, come l’energia, che ci descriva l’evolvere del disordine del sistema in esame. Cerchiamo una funzione di stato in modo che essa sia una grandezza caratteristica del sistema, non dipendente dalla sua storia. Partiamo col considerare il calore associato ad una piccola variazione reversibile di temperatura e di volume di un gas ideale. Per il primo principio si ha che nRT dV (4.1) V che sappiamo non essere una funzione di stato (dipende da come facciamo il cammino). Come abbiamo visto, questo significa che il membro di destra della (4.1) non è un differenziale esatto ossia non è possibile scriverlo come derivata di una funzione di T e V . Se dividiamo la (4.1) per T , otteniamo δqrev = dU − δwrev = CV (T )dT + P dV = CV (T )dT + CV (T )dT nR δqrev = + dV T T V Notiamo ora che il secondo membro si può scrivere come Z h Z C (T ) i dV V d dT + nR + costante T V (4.2) (4.3) che ci dice che δqrev /T è il differenziale di una funzione di stato dipendente da T e da V (infatti il valore numerico dei due integrali dipenderà solo dal valore iniziale e finale). Se indichiamo con S questa funzione di stato si ha δqrev (4.4) dS = T (che chiamiamo entropia). Dal momento che l’entropia è una funzione di stato, si ha che per una trasformazione ciclica (stato finale = stato iniziale) ∆S = 0. Matematicamente, questo si indica come I dS = 0 (4.5) Usando la (4.4) possiamo scrivere δqrev =0 T che è un enunciato del fatto che δqrev /T è il differenziale di una funzione di stato. I 58 (4.6) Figura 4.2: Illustrazione di tre diversi percorsi (A, B+C, D+E) dallo stato iniziale P1 , V1 , T1 allo stato finale P2 , V2 , T1 di un gas ideale. Il cammino A rappresenta un’espansione isoterma reversibile da P1 , V1 a P2 , V2 . Il cammino B+C rappresenta un’espansione adiabatica reversibile (B) da P1 , V1 , T1 a P3 , V2 , T2 seguita da un riscaldamento reversibile del gas a volume costante (C) da P3 , V2 , T2 a P2 , V2 , T1 . Il cammino D+E rappresenta un’espansione reversibile a pressione costante (D) da P1 , V1 , T1 a P1 , V2 , T3 seguita da un raffredamento reversibile a volume costante (E) da P1 , V2 , T3 a P2 , V2 , T1 . 4.3 L’entropia Nel capitolo precedente, abbiamo calcolato il lavoro e il calore reversibili per le trasformazioni isoterme ed adiabatiche (come in figura 4.2). La prima trasformazione del nostro gas ideale partiva da P1 , V1 , T1 per arrivare a P2 , V2 , T1 (cammino A). Per questo processo si ha (vedi equazioni (3.24) e (3.25)) δqrev,A = nRT1 dV V (4.7) e quindi V2 (4.8) V1 L’espansione adiabatica reversibile del gas ideale partiva da P1 , V1 , T1 per arrivare a P3 , V2 , T2 (cammino B) seguita poi da un riscaldamento reversibile a volume costante da P3 , V2 , T2 a P2 , V2 , T1 (cammino C). Per questi processi si aveva (vedi equazioni (3.28), (3.30) e (3.31)) qrev,A = nRT1 ln δqrev,B = 0 (per definizione); δqrev,C = CV (T )dT (lungo C il lavoro e′ nullo) e qrev,B+C = Z (4.9) (4.10) T1 CV (T )dT (4.11) T2 Come già noto dal capitolo precedente, qrev è diversa lungo i due percorsi, A e B+C. Calcoliamo ora la variazione di entropia 2 δqrev T 1 per i cammini A e B+C. Per A, da P1 , V1 , T1 a P2 , V2 , T1 usando la (4.7) si ha Z V2 Z V2 Z 2 1 nRT1 dV V2 δqrev,A = dV = nR = nRln ∆SA = T T V V V 1 1 1 V1 V1 1 ∆S = Z 59 (4.12) (4.13) È importante notare che il risultato (4.13) in questo caso può essere ottenuto da (4.8) dividendo per T1 ; ma in generale non è cosı̀: devo partire dalla formula differenziale (4.7), dividere per T (4.12) e poi integrare. Per il cammino B si ha (4.9) ∆SB = Z 2 1 δqrev,C = T 1 δqrev,B =0 T (funzione integranda nulla) (4.14) e per C (4.10) ∆SC = Z 2 Z T1 T2 CV (T ) dT = − T Z T2 T1 CV (T ) dT T (4.15) Dobbiamo stabilire ora un nesso tra la (4.13) e la (4.15). Per il tratto B (vedi equazione (3.41)) si ha Z T2 V2 CV (T ) dT = −nRln T V1 T1 (4.16) Per il tratto C, si ha dU = δq ossia Z T1 CV (T )dT = (4.17) Z T1 δq (4.18) T2 T2 Dividendo per T ottengo Z T1 T2 CV (T ) dT = ∆SC T (4.19) Ma il primo membro della (4.19) è uguale al primo membro della (4.16); quindi devono essere uguali anche i secondi membri, ossia V2 ∆SC = nRln (4.20) V1 quindi ∆SB+C = ∆SB + ∆SC = 0 + nRln V2 V2 = nRln V1 V1 (4.21) Abbiamo quindi trovato che ∆SA = ∆SB+C e che il valore di ∆S non dipende dal percorso. L’entropia è legata al disordine di un sistema. Se viene somministrata energia ad un sistema sotto forma di calore, la sua entropia aumenta in seguito all’incremento del disordine termico. Inoltre, essendo dS = δqrev /T , l’energia fornita sotto forma di calore a bassa temperatura contribuisce di più all’aumento di entropia rispetto a quella fornita ad alta temperatura. Questo perchè più bassa è la temperatura, minore è il disordine (e quindi possiamo dire che l’energia trasmessa sotto forma di calore a bassa T ha più ordine da “convertire” in disordine). 4.4 Il secondo principio della termodinamica Vogliamo ora capire il ruolo assunto dall’entropia nel processo spontaneo costituito dal passaggio di calore da una regione ad alta temperatura ad una a bassa temperatura. Consideriamo il sistema riportato in figura 4.3 dove le parti A e B sono sistemi macroscopici ad un componente. Entrambi si trovano all’equilibrio, ma non sono in equilibrio tra loro. Siano TA , VA e TB , VB le loro rispettive temperature e volumi. I due sistemi sono separati da una parete rigida e conduttrice di calore in modo che l’energia sotto forma di calore possa fluire da un sistema all’altro, ma il sistema complessivo a due scomparti sia isolato. Dire che un sistema è isolato significa che esso è separato da ciò che lo circonda per mezzo di pareti rigide che impediscono il passaggio di materia o di calore. Immediate conseguenze di questa definizione sono che il sistema non può compiere lavoro, nè si può compiere lavoro sul sistema e non ci può essere scambio di calore con l’ambiente circostante. Il sistema a due scomparti è descritto dalle seguenti equazioni: UA + UB = costante; 60 (4.22) Figura 4.3: Un sistema a due scomparti in cui A e B sono sistemi macroscopici e ad un componente. Ognuno dei due sistemi si trova in equilibrio, ma non in equilibrio con l’altro; essi sono separati da una parete rigida conduttrice di calore. Il sistema totale a due scomparti è isolato. VA = costante; (4.23) VB = costante; (4.24) S = SA + SB . (4.25) Per la (4.23) e la (4.24), si ha che dUA = δqrev,A + δwA = TA dSA (dVA = 0) (4.26) dUB = δqrev,B + δwB = TB dSB (dVB = 0) (4.27) (dove abbiamo anche usato la (4.4): δqrev = T dS) mentre la variazione totale di entropia del sistema sarà data da dUA dUB dS = dSA + dSB = + (4.28) TA TB Ma il sistema a due scomparti è isolato, quindi dUA = −dUB e allora dS = dUB 1 1 − TB TA (4.29) (4.30) Esaminando la (4.30) si ha che: 1) se TB > TA , allora dUB < 0 (il sistema B perde energia cedendola al sistema A) e dalla 4.30 dS > 0; 2) se TB < TA , allora dUB > 0 e dS > 0; si noti che in entrambi questi casi, ∆S > 0; 3) se TB = TA , dS = 0 e il sistema a due scomparti è in equilibrio. Questo risultato può essere interpretato dicendo che il flusso spontaneo di calore da un corpo con una temperatura più alta ad uno con una temperatura più bassa comporta una variazione di entropia dS > 0. Cerchiamo ora di generalizzare questo risultato, esaminando il ruolo giocato dall’entropia nel governare la direzione di un processo spontaneo. Per fare questo, consideriamo una variazione spontanea infinitesima che avviene in un sistema isolato. È importante che sia verificata la condizione di sistema isolato perché in questo modo l’energia rimane costante e questo ci permette di separare l’effetto dovuto alla variazione di energia da 61 Figura 4.4: Grafico schematico dell’entropia in funzione del tempo per un sistema isolato. L’entropia aumenta (dS > 0) fino all’esaurimento dei processi spontanei; allora il sistema si trova in equilibrio e dS = 0. quello dovuto alla variazione di entropia. Quindi, dal momento che l’energia rimane costante, l’andamento del processo spontaneo sarà guidato dall’aumento di entropia, ossia si avrà che dS > 0. Abbiamo detto che il sistema è isolato, quindi questo aumento di entropia avrà luogo all’interno del sistema stesso. A differenza dell’energia, l’entropia può anche non conservarsi; al contrario, essa aumenta al verificarsi di un processo spontaneo. Infatti, l’entropia di un sistema isolato continuerà ad aumentare fino all’esaurimento dei processi spontanei cioè fino al raggiungimento dell’equilibrio (vedi figura 4.4). Per quanto detto finora, si ha che l’entropia di un sistema isolato è massima quando il sistema si trova all’equilibrio e si avrà che dS = 0. Inoltre, si avrà che dS = 0 anche per un processo reversibile che ha luogo in un sistema isolato perchè, per definizione, in un processo di questo tipo, il sistema rimane in equilibrio durante l’intera trasformazione. Riassumendo le conclusioni a cui siamo arrivati fino a questo punto della nostra trattazione, si ha che: 1) dS > 0 per un processo spontaneo in un sistema isolato; 2) dS = 0 per un processo reversibile in un sistema isolato. Avendo preso in esame un sistema isolato, si ha che il calore non può fluire nè all’interno nè all’esterno del sistema stesso. Ma in altri tipi di sistemi, il calore può essere trasmesso. In tali situazioni, per ogni processo spontaneo infinitesimo, è conveniente considerare dS come composta da due parti; una parte rappresenterà l’entropia prodotta dal processo irreversibile (dSprod ) e l’altra sarà l’entropia dovuta al calore scambiato tra il sistema e ciò che lo circonda (dSscam ). I due contributi tengono conto dell’intera variazione di entropia a cui il sistema è soggetto. Si ha quindi che dS = dSprod + dSscam = dSprod + δq T (4.31) La parte di scambio può essere positiva, negativa o nulla. Si potrà avere che δq = δqrev se lo scambio è reversibile e δq = δqirr se lo scambio è irreversibile. In un processo reversibile si avrà che dS = δqrev T (4.32) essendo dSprod = 0 e in accordo con la (4.4). In un processo irreversibile, o spontaneo, si ha invece che dSprod > 0 e dSscam = δqirr /T , quindi δqirr (4.33) dS > T La (4.32) e la (4.33) si possono unire nella δq dS ≥ (4.34) T 62 Figura 4.5: Trasformazione ciclica nella quale il sistema viene prima isolato e sottoposto ad una trasformazione irreversibile dallo stato 1 allo stato 2. Al sistema viene poi permesso di interagire con l’ambiente e viene riportato allo stato 1 attraverso un percorso reversibile. Dal Hmomento che l’entropia è una funzione di stato, si ha che irr rev per un processo ciclico, ∆Stot = ∆S2−1 + ∆S1−2 = dS = 0. ossia δq (4.35) T dove il segno di uguaglianza vale per un processo reversibile e il segno di disuguaglianza vale per un processo irreversibile. La (4.35) è nota con il nome di disuguaglianza di Clausius e rapprensenta un modo per esprimere il secondo principio della termodinamica. Possiamo quindi a questo punto enunciare formalmente questa legge come segue: ∆S ≥ Z “In un sistema esiste una funzione di stato termodinamica S, chiamata entropia, tale che per qualsiasi variazione dello stato termodinamico del sistema isolato, si ha dS ≥ δq T dove il segno di uguaglianza vale quando la variazione viene eseguita in modo reversibile e il segno di disuguaglianza vale quando la variazione viene eseguita in modo irreversibile ad ogni stadio.” Dimostriamo che l’entropia di un sistema isolato aumenta sempre durante una trasformazione spontanea (irreversibile), cioè che dS > 0. Consideriamo la trasformazione ciclica schematizzata in figura 4.5 nella quale un sistema isolato viene sottoposto ad una trasformazione irreversibile dallo stato 1 allo stato 2 (ramo superiore). Lasciamo che il sistema interagisca con l’ambiente circostante e che ritorni allo stato 1 attraverso un cammino reversibile. Sapppiamo che l’entropia è una funzione di stato, quindi per questo processo ciclico ∆S = 0. Sfruttando la (4.35) si ha che Z 1 Z 2 δqrev δqirr + (4.36) ∆S = 0 > T T 2 1 dove la disuguaglianza è dovuta al fatto che il processo ciclico è irreversibile da 1 a 2. Il primo integrale della (4.36) è nullo perché il sistema è isolato (δqirr =0). Il secondo integrale è per definizione uguale a S1 − S2 e quindi si ha che 0 > S1 − S2 . Dal momento che lo stato finale è lo stato 2 e quello iniziale è lo stato 1, si ha ∆S = S2 − S1 > 0 (4.37) Abbiamo scoperto quindi che l’entropia aumenta quando il sistema isolato evolve dallo stato 1 allo stato 2 lungo un generico processo irreversibile. Questo ci fa arrivare ad una importante conclusione; dal momento che l’universo può essere considerato un sistema isolato e tutti i processi che avvengono naturalmente sono irreversibili, un altro possibile enunciato della seconda legge della termodinamica afferma che l’entropia dell’universo è costantemente in crescita. Citando Clausius, possiamo enunciare le prime due leggi della termodinamica nel modo seguente: 1) l’energia dell’universo è costante; 2) l’entropia dell’universo tende ad un massimo. 63 4.5 Variazioni di entropia e trasformazioni reversibili In questo paragrafo applicheremo al caso di un gas ideale quanto imparato finora sull’entropia. Consideriamo di nuovo la situazione illustrata in figura 4.1 dove un gas ideale a T1 e V1 viene fatto espandere fino al volume finale V2 . Nonostante quello considerato non sia un processo reversibile, facciamo uso della (4.32) ricordando che l’entropia è una funzione di stato e quindi dipende dagli stati iniziale e finale ma non dal cammino tra essi. La (4.32) ci permette di calcolare la variazione di entropia ∆S integrando δqrev /R su un cammino reversibile ∆S = Z 2 1 δqrev T (4.38) a prescindere dal fatto che il processo sia realmente reversibile. Anche se la trasformazione è irreversibile e avviene in maniera adiabatica, noi usiamo un cammino reversibile per calcolare la variazione di entropia dallo stato T1 , V1 allo stato T1 , V2 . Questo cammino ovviamente non è una trasformazione adiabatica, ma questo non costituisce un problema perchè, essendo S una funzione di stato, ci interessa ottenere la variazione di entropia tra lo stato iniziale e lo stato finale in un modo qualsiasi. Per calcolare ∆S, usiamo quindi un’espansione isoterma reversibile e partiamo ricordando che δqrev = dU − δwrev (4.39) Ma per l’espansione nel vuoto di un gas ideale, si ha che dU = 0 perchè U dipende solo dalla temperatura ed è indipendente dal volume del gas ideale (U ≡ U (T )). Si ha quindi che δqrev = −δwrev (w = −Pest dV = −P dV ) dove δqrev = P dV = nRT dV V 2 V2 (4.40) (4.41) e quindi ∆S = Z 1 δqrev = nR T Z V1 dV V2 = nRln V V1 (4.42) Essendo V2 > V1 si ha che ∆S > 0 e quindi l’entropia aumenta durante l’espansione di un gas ideale nel vuoto. L’equazione da cui eravamo partiti (la (4.32)) ci permetteva di calcolare la variazione di entropia, espandendo il gas in modo reversibile e isotermicamente da V1 a V2 ; quindi la (4.42) vale per un’espansione isoterma reversibile. Ma abbiamo detto che l’entropia è una funzione di stato, quindi ∆S ricavata dalla (4.42), assume lo stesso valore per un’espansione isoterma irreversibile da V1 a V2 . Ma allora, in che cosa differiscono le espansioni isoterme reversibili da quelle irreversibili? La risposta risiede nel valore assunto da ∆S dell’ambiente. Ricordiamo infatti che la condizione ∆S ≥ 0 si applica ad un sistema isolato e che se il sistema non è tale, ∆S ≥ 0 si applica alla somma delle variazioni di entropia del sistema e dell’ambiente, ossia all’intero universo (che è a sua volta un sistema isolato). Vediamo quindi di capire in cosa differisce la quantità ∆Samb per un’espansione isoterma reversibile e una irreversibile. 4.5.1 Espansione isoterma reversibile Per un gas ideale sottoposto ad un’espansione isoterma reversibile, si ha che ∆U = 0 e il gas assorbe una certa quantità di energia sotto forma di calore: qrev = −wrev = nRln V2 V1 (4.43) da ciò che lo circonda (dall’ambiente, quindi). L’entropia dell’ambiente, diminuisce di conseguenza secondo la seguente espressione Z V2 δqrev (4.44) = −nRln ∆Samb = − T V1 64 Figura 4.6: Due bulbi connessi da un rubinetto. Inizialmente ciascun bulbo è occupato da un gas puro (bromo e azoto). Quando si apre il rubinetto, i due bulbi entrano in comunicazione e i due gas si mescolano uniformemente. Al termine del processo, ogni bulbo conterrà la stessa miscela uniforme. e si ha che la variazione totale di entropia è data da ∆Stot = ∆Ssist + ∆Samb = nRln V2 V2 − nRln =0 V1 V1 (4.45) come deve essere, dal momento che l’intero processo viene eseguito in modo reversibile (∆S = 0). 4.5.2 Espansione isoterma irrreversibile Per un gas ideale sottoposto ad un’espansione isoterma irreversibile, si ha ancora che ∆U = 0. Si ha che Pest = 0 cosı̀ che wirr = 0 e quindi qirr = 0. L’ambiente non trasferisce calore al sistema e quindi ∆Samb = 0 (4.46) e la variazione di entropia totale è data da ∆Stot = ∆Ssist + ∆Samb = nRln V2 V2 + 0 = nRln V1 V1 (4.47) Quindi ∆Ssist > 0 come deve essere, dal momento che l’intero processo viene eseguito in modo irreversibile. Per calcolare ∆Samb , abbiamo praticamente utilizzato la condizione qirr = 0 perché non è stato compiuto lavoro durante la trasformazione. In generale, in una trasformazione isoterma in cui non viene compiuto lavoro (δw = 0), il processo consiste in un puro trasferimento di calore e si ha che dU = δq = dq, dove dq è un differenziale esatto perchè U è una funzione di stato. Quindi q non dipende dal cammino e quindi si può usare qirr per calcolare l’entropia. 4.5.3 Entropia di miscelamento Consideriamo la miscela di due gas ideali (vedi figura 4.6), dove quindi le molecole non interagiscono. Nell’espansione da Vi (iniziale) a Vf (finale), possiamo considerare ciascun gas separatamente. Usando l’equazione (4.42), per l’azoto si ottiene ∆SN2 = nN2 Rln VN2 VN2 + VBr2 = −nN2 Rln VN2 VN2 + VBr2 (4.48) VN2 + VBr2 VBr2 = −nBr2 Rln VBr2 VN2 + VBr2 (4.49) e per il bromo ∆SBr2 = nBr2 Rln La variazione di entropia totale è quindi ∆S = ∆SN2 + ∆SBr2 = −nN2 Rln VBr2 VN2 − nBr2 Rln VN2 + VBr2 VN2 + VBr2 65 (4.50) Per un gas ideale, V ∝ n quindi la (4.50) può essere riscritta come ∆S = −nN2 Rln nN 2 nBr2 − nBr2 Rln nN2 + nBr2 nN2 + nBr2 (4.51) Dividiamo ora entrambi i membri per il numero totale di moli ntotale = nN2 + nBr2 e introduciamo le frazioni molari (4.52) yN2 = nN 2 ntotale (4.53) yBr2 = nBr2 ntotale (4.54) e Questi passaggi ci permettono di scrivere la (4.51) come ∆mix S̄ = −yN2 ln(yN2 ) − yBr2 ln(yBr2 ) R (4.55) che può essere scritta in forma generica per la miscela isoterma di N gas ideali come: ∆mix S̄ = −R N X yj ln(yj ) (4.56) j=1 Dal momento che gli argomenti dei logaritmi sono minori dell’unità, ∆mix S̄ > 0 e quindi la (4.56) dimostra che ogni volta che dei gas ideali si mescolano isotermicamente, si ha un aumento di entropia. 4.5.4 Aumento di entropia dovuta a passaggio di calore Facciamo ora un altro esempio. Vogliamo calcolare ∆S quando due pezzi uguali dello stesso metallo che si trovano a temperature diverse (Tc e Tf , dove c ed f stanno per “caldo” e “freddo”) vengono messi a contatto termico; il sistema nel suo complesso è isolato. Ovviamente, i due pezzi di metallo raggiungeranno la stessa temperatura finale Te che puó essere calcolata sapendo che il calore perso dal pezzo più caldo dovrà uguagliare il calore assorbito dal pezzo più freddo. Per il primo principio si ha che: ∆UA + ∆UB = 0 dove: ∆UA = Z Te Z Te (4.57) CV dT = CV (Te − Tc ) (4.58) CV dT = CV (Te − Tf ) (4.59) Tc e ∆UB = Tf dove si è fatta l’assunzione che CV = cost che quindi filtra attraverso il segno di integrale. Dalle precedenti si ha che CV (Te − Tc ) = −CV (Te − Tf ) = CV (Tf − Te ) (4.60) che ci permette di trovare la temperatura di equilibrio Te Te = Tc + Tf 2 (4.61) Calcoliamo ora la variazione di entropia per ognuno dei due pezzi di metallo, ricordando che possiamo considerare un cammino reversibile anche se la trasformazione è irreversibile. Partiamo quindi dalla (4.32) che riscriviamo per completezza: δqrev (4.62) dS = T 66 Dal momento che non viene compiuto lavoro, possiamo scrivere δqrev = dU = CV dT (4.63) per cui ∆S = Z T2 T1 CV dT T (4.64) T2 T1 (4.65) Essendo CV = cost possiamo scrivere ∆S = CV ln Per il pezzo inizialmente più caldo si ha quindi che T1 = Tc e T2 = (Tc + Tf )/2, quindi ∆Sc = CV ln Tc + Tf 2Tc (4.66) mentre per il pezzo inizialmente più freddo si ha che T1 = Tf e T2 = (Tc + Tf )/2, quindi ∆Sf = CV ln Tc + Tf 2Tf (4.67) La variazione di entropia totale sarà data da ∆S = ∆Sc + ∆Sf = CV ln (Tc + Tf )2 4Tc Tf (4.68) Vogliamo ora dimostrare che (Tc + Tf )2 > 4Tc Tf e che ∆S > 0. Consideriamo (Tc − Tf )2 = Tc2 − 2Tc Tf + Tf2 > 0 (4.69) e sommiamo ad entrambi i membri 4Tc Tf per ottenere: Tc2 + 2Tc Tf + Tf2 = (Tc + Tf )2 > 4Tc Tf (4.70) Quindi si ha che il valore dell’argomento del logaritmo della (4.68) è maggiore dell’unità e quindi per il processo irreversibile considerato si ha che ∆S > 0. 4.5.5 Aumento di entropia dovuta a passaggio di calore: caso generale Generalizziamo l’esempio precedente al caso di due pezzi di materiali diversi con CV c 6= CV f e nc 6= nf che vengono messi a contatto. Vogliamo calcolare la variazione di entropia ∆S per questo caso più generale. Calcoliamo la temperatura di equilibrio; per il primo principio della termodinamica (dUc = −dUf ) si avrà nc CV c (Tc − Te ) = nf CV f (Te − Tf ) (4.71) che risolta rispetto a Te fornisce la temperatura di equilibrio Te = nc CV c Tc + nf CV f Tf nc CV c + nf CV f (4.72) Calcoliamo ora la variazione di entropia per ognuno dei due pezzi di metallo, sfruttando le stesse equazioni usate nell’esempio precedente. Anche in questo caso, assumiamo che i calori specifici molari dei due blocchi non dipendano dalla temperatura. Questa assunzione ci permette di farli filtrare attraverso il segno di integrale. Per il pezzo inizialmente più caldo si ha quindi che T1 = Tc e T2 = Te , quindi ∆Sc = nc CV c ln 67 Te Tc (4.73) Figura 4.7: Illustrazione schematica di un motore termico. Il calore qc viene assorbito da un serbatoio termico ad alta temperatura Tc . Il motore compie del lavoro w e libera una certa quantità di calore qf al serbatoio termico alla temperatura più bassa Tf . mentre per il pezzo inizialmente più freddo si ha che T1 = Tf e T2 = Te , quindi ∆Sf = nf CV f ln Te Tf (4.74) La variazione di entropia totale sarà data da ∆S = ∆Sc + ∆Sf = nc CV c ln Te Te + nf CV f ln Tc Tf (4.75) Notiamo che per CV c = CV f = CV e per nc = nf ricadiamo nel caso particolare descritto in precedenza. 4.6 La conversione del calore in lavoro Il concetto di entropia e la seconda legge delle termodinamica furono sviluppati tra il 1820 e il 1830 dall’ingegnere francese Carnot durante uno studio sull’efficienza delle macchine a vapore e di altri motori termici. Una macchina a vapore lavora in maniera ciclica; in ogni ciclo riceve energia sotto forma di calore da un serbatoio termico ad alta temperatura, usa un po’ di questa energia per compiere lavoro e scarica il resto del calore ad un serbatoio termico a temperatura più bassa. Lo schema di questo funzionamento è riportato in figura 4.7. La massima quantità di calore si ottiene quando il processo ciclico viene eseguito in modo reversibile. Ovviamente nella realtà pratica non si puó ottenere la massima quantità di lavoro perché la reversibilità del processo è una idealizzazione, ma i risultati danno comunque una misura della massima efficienza che ci si può aspettare. Abbiamo detto che il processo è ciclico e reversibile, quindi si ha che, per un intero ciclo (sia U che S sono funzioni di stato): ∆Umotore = w + qrev,c + qrev,f = 0 (4.76) e ∆Smotore = δqrev,f δqrev,c + =0 Tc Tf (4.77) dove δqrev,c è l’energia che il motore termico riceve in modo reversibile sotto forma di calore dal serbatoio ad alta temperatura Tc e δqrev,f è l’energia ceduta reversibilmente sotto forma di calore al serbatoio a bassa temperatura Tf . La convenzione sul segno per il calore trasferito dice che δqrev,c è una quantità positiva mentre δqrev,f è una quantità negativa. Dalla (4.76) abbiamo che il lavoro compiuto dal motore è −w = qrev,c + qrev,f (4.78) Il lavoro fatto dal motore è una quantità negativa, quindi −w è una quantità positiva. Definiamo l’efficienza della trasformazione attraverso il rapporto tra il lavoro svolto dal motore e la quantità di calore assorbito dal serbatoio caldo, ossia massima efficienza = qrev,c + qrev,f qrev,f −w = =1+ qrev,c qrev,c qrev,c 68 (4.79) Dalla (4.77) abbiamo che qrev,f = −qrev,c T f (4.80) Tc e quindi l’efficienza si può esprimere come massima efficienza = 1 − Tf Tc − Tf = Tc Tc (4.81) che è un risultato indipendente dal modello del motore o dalla sostanza in questione. Per esempio, per un motore termico che lavora tra 373 K e 573 K, la massima efficienza possibile è massima efficienza = 200 = 35% 573 (4.82) anche se nella pratica l’efficienza è ridotta a causa di fattori come l’attrito. La (4.81) indica che è possibile ottenere una maggiore efficienza con macchine operanti a valore più alti di Tc oppure a valori più bassi di Tf . Per concludere, si ha che l’efficienza è nulla se Tf = Tc , ossia non é possibile ricavare un lavoro netto da una trasformazione isoterma ciclica. Questa conclusione è nota come l’enunciato di Kelvin della seconda legge delle termodinamica. Un sistema chiuso che lavora in modo ciclico, non può convertire calore in lavoro senza che vi sia un cambiamento nell’ambiente che lo circonda. 4.7 4.7.1 Esercizi svolti Esercizio I Calcolare qrev e ∆S per un’espansione reversibile di un gas ideale a pressione costante P1 da (T1 , V1 ) a (T3 , V2 ) (vedi cammino D in figura 4.2) seguita da un raffreddamento reversibile del gas a volume costante V2 da (P1 , T3 ) a (P2 , T1 ) (vedi cammino E in figura 4.2). Soluzione Per il cammino D si ha δqrev,D = dUD − δwrev,D = CV (T )dT + P1 dV (1) quindi qrev,D = Z T3 CV (T )dT + P1 (V2 − V1 ) T1 Per il cammino E si ha δwrev = 0 quindi δqrev,E = dUE = CV (T )dT e qrev,E = Z (2) T1 CV (T )dT T3 Per la trasformazione completa D+E si ha qrev,D+E = qrev,D + qrev,E = P1 (V2 − V1 ) Per calcolare ∆S per il percorso D, usiamo la (1) per ottenere Z T3 Z V2 Z CV (T ) dV δqrev,D = dT + P1 ∆SD = T T T T1 V1 dove il secondo integrale può essere calcolato sfruttando la legge dei gas ideali nella forma P1 /T = nR/V che ci permette di scrivere Z T3 CV (T ) V2 dT + nRln ∆SD = T V 1 T1 69 Per il percorso E si ha δwrev = 0 e usando la (2) si ottiene Z Z T1 δqrev,E CV (T ) ∆SE = = dT T T T3 Quindi la variazione di entropia per la trasformazione completa (cammino D+E) è ∆SD+E = ∆SD + ∆SE = nRln V2 V1 che è lo stesso risultato che avevamo ottenuro per i cammini A e B+C a conferma del fatto che l’entropia è una funzione di stato. 4.7.2 Esercizio II La capacità termica molare a pressione costante di O2 (g) da 300 K a 1200 K è data da C̄P (T )/J · K−1 · mol−1 = 25.72 + (12.98 × 10−3 K−1 )T − (38.62 × 10−7 K−2 )T 2 dove T è espressa in kelvin. Calcolare il valore di ∆S̄ quando una mole di O2 (g) viene riscaldata a pressione costante da 300 K a 1200 K. Soluzione Riprendiamo l’equazione (4.4): dS = δqrev T In questo caso, δqrev = C̄P (T )dT e quindi ∆S̄ = Z T2 T1 C̄P (T ) dT T Usiamo l’espressione data per C̄P (T ) da testo e otteniamo Z 1200K Z 1200K Z 1200K 25.72 ∆S̄/J · K−1 · mol−1 = dT + (12.98 × 10−3 K−1 ) − (38.62 × 10−7 K−2 )T dT T 300K 300K 300K = 25.72 ln 4.7.3 1200 (1200K)2 − (300K)2 + (12.98 × 10−3 K−1 )(900K) − (38.62 × 10−7 K−2 ) 300 2 = 35.66 + 11.68 − 2.61 = 44.73 Esercizio III Una mole di gas ideale viene fatta espandere isotermicamente e reversibilmente a 300 K da una pressione di 10.0 bar ad una di 2.00 bar. Calcolare la variazione di entropia del sistema, dell’ambiente circostante e quella totale. Soluzione Dato che il gas è ideale (U ≡ U (T ), se T=cost allora ∆U = 0) e la trasformazione è isoterma e reversibile vale: δq = −δw = P dV . Quindi possiamo scrivere: Z Z Z P nR δqrev = dV = dV (4.83) ∆Ssis = T T V Quindi, integrando tra Vi e Vf si ottiene ∆Ssis = nR ln 70 Vf Vi (4.84) Per un gas ideale vale Pi Vi = Pf Vf , per cui: ∆Ssis = nR ln Pi = 1 mol · 8.3145 J · K−1 · mol−1 ln(5.00) = 13.4 J/K Pf (4.85) Poichè la reazione è reversibile ∆Stot = 0 quindi ∆Samb = −∆Ssis = −13.4 J/K. 4.7.4 Esercizio IV Derivare l’equazione dU = T dS − P dV . Dimostrare che dSm = CV,m dT dVm +R T Vm (4.86) per una mole di di gas ideale. Assumendo che CV,m sia indipendente dalla temperatura, far vedere che ∆Sm = CV,m ln Tf Vm,f + R ln Ti Vm,i (4.87) per la variazione da Ti ,Vm,i a Tf ,Vm,f . Soluzione Per un processo reversibile, dalla definizione di entropia δqrev = T dS, dalla definizione δwrev = −P dV e dalla prima legge della termodinamica si ha dU = δqrev + δwrev = T dS − P dV . Dividendo tutto per T e portando a primo membro dS si ha dS = P dU − dV T T (4.88) Usando la relazione dU = nCV,m dT e la legge dei gas ideali, si ricava dS = nCV,m dT dV − nR T V (4.89) dSm = CV,m dVm dT −R T Vm (4.90) o Assumendo CV,m indipendente dalla temperatura e integrando, si ottiene Z Z Z dVm dT −R dSm = CV,m T Vm infine ∆Sm = CV,m ln Tf Vm,f + R ln Ti Vm,i 71 (4.91) (4.92)