Corso di fisica generale con elementi
di fisica tecnica
Aniello (Daniele) Mennella
Dipartimento di Fisica
Secondo modulo – Parte seconda
(fondamenti dei fenomeni di trasporto del calore)
Lezione 5
Calore e energia termica
Aniello Mennella
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A.A. 2013-2014
Sommario
●
Calore e temperatura
●
Calori specifici
●
Trasferimento di energia termica
●
Principio di conservazione dell'energia
●
Bilanci energetici (condizioni statiche e
flusso stazionario)
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Calore e energia termica
Calore e temperatura
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Brevissima storia del concetto di calore
●
●
●
Aniello Mennella
Il calore è una realtà fisica che l'uomo
ha da sempre imparato a conoscere
per esperienza diretta, associandolo
alla sensazione di caldo o freddo che il
nostro corpo avverte in determinate
condizioni
L'esperienza ci insegna che ci possono
essere sorgenti di calore (come il sole
o il fuoco) e che il calore si può
propagare, trasferire da un corpo a un
altro
Prima di discutere dei fenomeni di
trasporto del calore affrontiamo le
seguenti domande: cos'è il calore?
Cos'è la temperatura? Sono la stessa
cosa?
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Brevissima storia del concetto di calore
●
●
●
●
Aniello Mennella
Nel XVIII secolo Antoine Lavoisier formula una
teoria (detta calorica) secondo la quale il calore
è una sostanza incolore, inodore e senza
massa che fluisce da un corpo a un altro.
Questa sostanza, denominata calorico, sarebbe
stata presente in tutte le sostanze in
concentrazione diversa. La concentrazione di
calorico sarebbe quindi responsabile della
temperatura dei corpi.
Quando due corpi con diversa concentrazione di
calorico vengono a contatto la sostanza passa
dal corpo con maggior concentrazione a quello
con concentrazione minore, portando i due corpi
alla stessa temperatura
Un corpo che non può più assumere calorico
diventa saturo. Da qui i termini vapore saturo e
liquido saturo che vengono utilizzati ancora oggi
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Brevissima storia del concetto di calore
●
●
●
●
Aniello Mennella
Nel 1798 l'americano Benjamin Thompson
dimostra che il calore può venire
continuamente creato attraverso la frizione.
La teoria di Lavoisier non può spiegare
questo fatto a meno di non supporre una
creazione continua della sostanza
A metà del 1800 l'inglese James Joule
effettua degli esperimenti sul calore
generato da un circuito elettrico,
formulando la relazione che lega potenza,
resistenza e corrente: P = V x I = R x I 2
Nel 1843 pubblica i risultati che mostrano
che il calore viene generato all'interno del
conduttore e non trasportato da una parte
a un'altra. Questo decretò la fine della
teoria calorica.
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Calore, temperatura, forme di energia termica
●
●
Il calore è una forma di energia che viene trasferita da un corpo a un
altro a causa di differenze di temperatura.
La temperatura è legata al movimento delle particelle, in particolare alla
dispersione della distribuzione delle velocità delle singole particelle. Per
un gas perfetto, monoatomico, si ha:
dove R = 8.3143 J/(mol x K) è la costante dei gas perfetti e M la massa
molare (la massa di una mole di gas, pari a una quantità di gas
composta da un numero NA = 6.022 x 1023 di molecole
●
L'energia cinetica media delle molecole di un gas a una temperatura T è
●
dove kB è la costante di Boltzmann, pari a 1.38 x 1023 J/K
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Piccolo reminder sui concetti di mole e massa molare
●
●
●
Ricordiamo che una mole di una sostanza corrisponde alla quantità di
sostanza composta da un numero di componenti elementari (es.
molecole) pari al numero di atomi presenti in 12 grammi di carbonio.
Questo numero è detto numero di Avogadro, è indicato con il simbolo NA
ed è pari a NA = 6.022 x 1023
La massa molare di una sostanza è pari alla massa di una mole della
sostanza, ovvero al prodotto del numero di Avogadro per la massa di un
costituente elementare della sostanza
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Calore, temperatura, forme di energia termica
●
●
La somma delle energie di tutte le molecole in un gas è detta energia
interna del sistema ed è indicata dalla lettera U
Trascurando l'energia potenziale delle molecole (che è trascurabile
rispetto all'energia cinetica data dal movimento delle molecole stesse)
possiamo scrivere l'energia interna di un gas come:
dove N è il numero di molecole nel gas. Poiché N = n x NA (n è il numero
delle moli), NA kB= R e
si ha che
che è una relazione valida per un gas monoatomico in cui si trascurino
l'energia potenziale e gli effetti dovuti ai movimenti rotazionali e
vibrazionali
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Esercizio
Calcolare le energie cinetica e potenziale media di un gas di idrogeno a temperatura di
300 K e alla quota di 100 m s.l.m.
●
L'energia cinetica media è data da
●
L'energia potenziale media è data da
che risulta essere più di 1000 volte inferiore all'energia cinetica
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Calore, temperatura, forme di energia termica
●
●
●
●
Quando forniamo dell'energia a un sistema in una certa fase (ad
esempio a un solido) questa energia può superare l'energia di legame
fra le molecole, determinando un cambio di fase (per esempio da
solido a liquido)
L'energia acquisita (o persa) da un sistema durante un cambio di fase
è detta energia latente o calore latente
In un fluido in movimento la densità di energia (cioè l'energia per unità
di massa, che indichiamo con lettere minuscole) connessa al moto
del fluido stesso è data dal prodotto della pressione applicata sul
fluido, P, per il volume specifico (cioè per unità di massa), v.
In questo caso la densità di energia totale è detta entalpia, h, ed è
data dalla somma dell'energia interna, u, con il termine P v
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Calore e energia termica
Calori specifici
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Calori specifici
●
T=
2
m = 0 °C
2 kg
●
●
50 kJ
T=
3
m = 0 °C
2 kg
●
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Immaginiamo di avere un solido della
massa di 2 kg alla temperatura di 20°C
Supponiamo di fornire una certa quantità
di energia, ad esempio 50 kJ, e che la
temperatura del solido aumenti di 10 °C
Definiamo calore specifico la quantità di
energia per unità di massa necessaria a
fare aumentare la temperatura del corpo di
1 grado
Nel nostro esempio il calore specifico del
solido è: c = 50 x 103 J / (10 °C x 2 kg) =
2.5 kJ / (°C kg)
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Calori specifici: nota bene!
●
●
●
Generalmente il calore specifico è indicato con la lettera “c” minuscola,
mentre la lettera “C” maiuscola viene utilizzata per la capacità termica.
Noi utilizziamo questa convenzione
In alcuni testi (come ad esempio nel Cengel) si utilizza la lettera
maiuscola per il calore specifico, quindi attenzione a non fare
confusione!
Calore specifico e capacità termica sono di fatto grandezze che
esprimono lo stesso concetto, ovvero la quantità di energia necessaria
per aumentare la temperatura di un sistema. Il calore specifico è riferito
sia all'unità di temperatura che all'unità di massa, mentre la capacità
termica sono all'unità di temperatura
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Calori specifici
●
●
●
Vi sono due tipi diversi di calori specifici, a seconda di come avviene il
processo: il calore specifico a pressione costante, cp, utilizzato nei
processi che avvengono a pressione costante, e il calore specifico a
volume costante, cv, utilizzato nei processi che avvengono a volume
costante.
Se la pressione viene mantenuta costante questo implica che fornendo
energia al sistema si consente al volume di aumentare. Una parte
dell'energia, in questo caso, verrà utilizzata dal sistema per espandersi,
per cui l'aumento di temperatura, a parità di massa e energia fornita,
sarà inferiore. Questo implica che cp > cv
Per un gas ideale la relazione che esiste fra cp e cv può essere scritta
come:
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Calori specifici
●
●
●
●
I calori specifici non sono costanti, ma dipendono, in generale, da
temperatura e pressione. Nel caso di un gas ideale (come anche nei
gas reali a bassa pressione), la dipendenza dalla pressione scompare,
così che il calore specifico dipende solo dalla temperatura.
Il calore specifico è legato alla variazione di energia interna e
dell'entalpia di un sistema. In particolare, per un gas ideale, si ha:
La prima relazione deriva direttamente dalla definizione di calore
specifico
Dimostriamo la seconda relazione. Se scriviamo l'entalpia come
h = u + Pv = u + RT abbiamo che
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Calori specifici
●
Se abbiamo una variazione di temperatura non infinitesima, ΔT, allora
possiamo approssimare le variazioni di energia interna e di entalpia
come
dove cv,ave e cp,ave rappresentano il valore medio di cp e cv nell'intervallo
di temperatura considerato
●
●
Se una sostanza non varia apprezzabilmente il suo volume con la
temperatura allora la sostanza viene detta incomprimibile (solidi e
liquidi in condizioni normali possono essere considerati incomprimibili)
Per sostanze incomprimibili si ha che i calori specifici a volume e
pressione costante coincidono:
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Calore e energia termica
Trasferimento di energia termica
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Trasferimento di energia termica (calore)
●
●
●
●
●
In un sistema formato da due masse a temperatura diversa, l'energia
termica viene trasferita dalla massa a temperatura maggiore a quella
a temperatura minore.
In questo caso parliamo di trasferimento di calore, o flusso di calore,
ricordando che il termine calore (che indichiamo con la lettera Q) è, a
tutti gli effetti, sinonimo di energia termica.
Come già accennato l'energia termica non è altro che l'energia
cinetica associata al movimento delle particelle elementari che
costituiscono il sistema considerato
Quando abbiamo un trasferimento di calore nel tempo da un corpo a
un altro siamo interessati alla variazione di calore nel tempo, detta
anche potenza termica, e indicata con il simbolo
Le unità di misura di
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sono, naturalmente, quelle di una potenza:
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Trasferimento di energia termica (calore)
●
●
●
Se conosciamo la potenza termica è possibile calcolare il calore
trasferito da un sistema a un altro in un tempo Δt:
Nel caso particolare di potenza costante,
, si ha che
In un dato sistema in cui si abbia trasferimento di calore attraverso
una superficie, A, il flusso di calore,
[W/m2], è dato dalla
potenza termica per unità di superficie:
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Esercizio
Una sfera di rame di 10 cm di diametro viene scaldata dalla temperatura di 100°C alla
temperatura di 150 °C in 30 minuti. Considerando una densità media del rame a questa
temperatura pari a ρ = 8950 kg/m3 e Cp = 0.395 kJ / kg • °C determinare: (a) la quantità di
calore trasferita alla sfera di rame, (b) la potenza termica media trasferita alla sfera e (c) il
flusso medio di calore
●
●
●
Aniello Mennella
Il volume della sfera è dato da
V = 4/3 π r 3 = 4/3 π 1.25 10-4 m3 =
5.24 10-4 m3
La massa della sfera è m = ρ V =
= 8950 kg/m3 5.24 10-4 m3 = 4.69 kg
La quantità di calore trasferita è
Q = Cp • m • ΔT = 0.395 kJ / (kg • °C)
• 4.69 kg • 50 °C = 92.55 kJ
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Esercizio
Una sfera di rame di 10 cm di diametro viene scaldata dalla temperatura di 100°C alla
temperatura di 150 °C in 30 minuti. Considerando una densità media del rame a questa
temperatura pari a ρ = 8950 kg/m3 e Cp = 0.395 kJ / kg • °C determinare: (a) la quantità di
calore trasferita alla sfera di rame, (b) la potenza termica media trasferita alla sfera e (c) il
flusso medio di calore
●
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La potenza termica è data,
semplicemente, da:
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Esercizio
Una sfera di rame di 10 cm di diametro viene scaldata dalla temperatura di 100°C alla
temperatura di 150 °C in 30 minuti. Considerando una densità media del rame a questa
temperatura pari a ρ = 8950 kg/m3 e Cp = 0.395 kJ / kg • °C determinare: (a) la quantità di
calore trasferita alla sfera di rame, (b) la potenza termica media trasferita alla sfera e (c) il
flusso medio di calore
●
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Il flusso di calore è dato dalla potenza
termica per unità di superficie, ovvero:
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Calore e energia termica
Principio di conservazione dell'energia
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Principio di conservazione dell'energia
Questo principio, conosciuto anche come primo principio della
termodinamica afferma che l'energia non può essere né creata né
distrutta ma può solo cambiare forma.
●
Quindi, se abbiamo un sistema sottoposto a una trasformazione si ha
la seguente relazione:
●
(
)(
Energia fornita
al sistema
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)(
Energia uscente
dal sistema
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)
Variazione di
energia interna
del sistema
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Principio di conservazione dell'energia
●
Possiamo esprimere matematicamente questo principio in vari modi:
ad esempio come bilancio energetico
[J]
Trasferimento netto
di energia (lavoro,
calore, massa)
●
Variazione dell'energia
interna (cinetica,
potenziale, ecc)
oppure come bilancio di potenza
[W]
Variazione fra la
potenza in entrata e
in uscita dal sistema
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Variazione nel tempo
dell'energia interna del
sistema
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Conservazione dell'energia in sistemi chiusi
●
●
Se il sistema è chiuso (cioè con massa costante), la differenza fra
l'energia fornita al sistema e restituita da sistema coincide con la
variazione di energia interna.
Quando la trasformazione coinvolge solo cambiamenti di temperatura
allora la variazione di energia interna corrisponde al calore fornito al
sistema (se il sistema si riscalda) o restituito dal sistema (se il
sistema si raffredda).
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Conservazione dell'energia in condizioni stazionarie
●
Se internamente al sistema non vi sono variazioni nel tempo
dell'energia (stato stazionario) si ha che dEsystem / dt = 0 e, quindi,
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Bilancio di energia in condizioni di flusso stazionario
●
●
●
●
In molti sistemi di utilizzo comune si hanno condizioni di flusso
stazionario (ad esempio l'acqua che circola in un termosifone)
In condizioni di flusso stazionario la massa contenuta in un
qualunque volume di controllo si conserva, ovvero la massa che
entra è uguale alla massa che esce dal volume.
La quantità di massa che fluisce attraverso una sezione qualunque
della condotta in cui avviene il flusso si chiama portata di massa, e
si indica con il simbolo
La portata di massa è proporzionale alla sezione della condotta, A,
alla densità del fluido, ρ, e alla velocità media del flusso, v. Si ha,
quindi:
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Bilancio di energia in condizioni di flusso stazionario
Termosifone
Area, A
v = dx / dt
In condizioni di flusso stazionario min = mout,
La massa nel volumetto è m = ρ A dx, per cui la
portata di massa è
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La velocità del flusso non è costante lungo la sezione
●
La velocità lungo la sezione della condotta non è costante, ma è
massima al centro e si annulla ai bordi.
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La velocità del flusso non è costante lungo la sezione
●
●
La velocità lungo la sezione della condotta non è costante, ma è
massima al centro e si annulla ai bordi.
In molte situazioni è sufficiente considerare la velocità media lungo la
sezione della condotta.
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Portata volumetrica
●
●
Ricordando che la massa è definita come il prodotto della densità per
il volume, possiamo definire la portata volumetrica (ovvero il volume
di fluido che attraversa una sezione arbitraria della condotta in
funzione del tempo) come:
Notiamo che in condizioni stazionarie la portata volumetrica non è
necessariamente costante, a meno che lo sia la densità. Quindi
possiamo riassumere così le condizioni di flusso stazionario:
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Flusso stazionario con variazione di
temperatura
●
Se abbiamo un flusso stazionario in condizioni di temperatura
variabile lungo la condotta allora la variazione di energia in un
qualunque volume di controllo è data dalla variazione di entalpia, Δh,
per la portata di massa
Volume di controllo
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Bilancio energetico superficiale
●
●
In alcuni casi è importante considerare lo scambio energetico che avviene in
prossimità di una superficie che divide due sistemi fra i quali ci sia
trasferimento di energia.
Si pensi, ad esempio, alla superficie di un muro che separa un locale
dall'esterno
●
Poiché la superficie è bidimensionale
non vi è alcuna massa o energia
Superficie di
associata
controllo
Muro
Conduzione
●
nto
e
iam
g
g
Irra
●
Co
nve
zio
ne
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Possiamo quindi considerarla come un
sistema fittizio per il quale l'energia viene
sempre conservata
Nell'esempio, quindi, possiamo scrivere
che la potenza entrante la superficie dal
muro per conduzione deve essere
bilanciato dalla potenza uscente per
convezione e irraggiamento:
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Esercizio – scaldare un bollitore
Abbiamo 1.2 kg di acqua a 15°C in un bollitore elettrico di 0.5 kg e vogliamo scaldarla a
95 °C. La potenza distribuita dalla resistenza elettrica è 1.2 kW. Il calore specifico medio del
bollitore è di 0.7 kJ / kg • °C. Calcolare quanto tempo ci vuole a scaldare l'acqua,
considerando che il calore specifico dell'acqua è di 4.18 kJ / kg • °C. Trascurare le perdite di
calore dal bollitore
●
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La variazione di energia del sistema
corrisponde alla variazione di energia interna
dovuta al riscaldamento del bollitore e
dell'acqua:
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Esercizio – scaldare un bollitore
Abbiamo 1.2 kg di acqua a 15°C in un bollitore elettrico di 0.5 kg e vogliamo scaldarla a
95 °C. La potenza distribuita dalla resistenza elettrica è 1.2 kW. Il calore specifico medio del
bollitore è di 0.7 kJ / kg • °C. Calcolare quanto tempo ci vuole a scaldare l'acqua,
considerando che il calore specifico dell'acqua è di 4.18 kJ / kg • °C. Trascurare le perdite di
calore dal bollitore
●
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I due termini sono dati, rispettivamente, da:
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Esercizio – scaldare un bollitore
Abbiamo 1.2 kg di acqua a 15°C in un bollitore elettrico di 0.5 kg e vogliamo scaldarla a
95 °C. La potenza distribuita dalla resistenza elettrica è 1.2 kW. Il calore specifico medio del
bollitore è di 0.7 kJ / kg • °C. Calcolare quanto tempo ci vuole a scaldare l'acqua,
considerando che il calore specifico dell'acqua è di 4.18 kJ / kg • °C. Trascurare le perdite di
calore dal bollitore
●
●
●
Aniello Mennella
Quindi la variazione totale di energia è:
Ricordiamo che la potenza corrisponde alla
variazione di energia rispetto al tempo, cioè:
Si ha quindi che il tempo necessario a fornire
429.28 kJ con una potenza di 1.2 kW è
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Esercizio – dispersione di calore
In una condotta a sezione rettangolare di un impianto di riscaldamento ad aria una parte
passa in una zona non riscaldata. La sezione del tubo è 20 cm x 25 cm. L'aria calda entra
nella sezione con una pressione di 100 kPa e una temperatura di 60 °C a una velocità
media di 5 m/s. La temperatura dell'aria scende lungo il tratto a 54 °C a causa delle perdite
termiche. Calcolare la potenza termica dissipata in condizioni stazionarie. Calcolare il costo
orario di questa perdita nel caso in cui la casa sia riscaldata a gas da una caldaia con
l'efficienza dell'80% assumendo un costo di 1 Euro per 100000 kJ. Si assumano i valori di
calore specifico nella tabella
CP
Cv
kJ/kg.K kJ/kg.K
-23.15 1.003 0.716
26.85 1.005 0.718
76.85 1.008 0.721
126.85 1.013 0.726
176.85
1.02 0.733
226.85 1.029 0.742
276.85
1.04 0.753
T(°C)
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Rs(aria) = 287 J /kg • K
Consideriamo
Cp = 1.007 kJ/kg • K
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Esercizio – dispersione di calore
●
●
La perdita di calore sarà data da:
Dobbiamo calcolare la massa di aria nel tratto di condotta e il calore
specifico a pressione costante. Poiché la temperatura varia abbiamo che
anche la densità dell'aria varierà. La pressione possiamo considerarla
costante, in quanto gli effetti del cambio di densità e temperatura si
compensano. Assumendo che l'aria si comporti come un gas ideale
calcoliamo la densità all'ingresso della condotta mediante la relazione
dove Rs è la costante specifica del gas data da Rs = 287.058 J / kg • K
notiamo che 1 Pa = 1 J/m3
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Esercizio – dispersione di calore
●
Nota 1: ricordiamo che la pressione è definita come forza per unità di
superficie. In questo senso l'unità di misura della pressione, il Pascal, è
equivalente a 1 N / m2. D'altra parte sappiamo anche che l'energia è definita
come forza per spostamento, per cui l'unità di misura dell'energia, il Joule, è
equivalente a 1 N • m. Da qui vediamo che 1 N / m2 è equivalente a 1 J / m3.
In altre parole la pressione possiamo anche vederla come densità
volumetrica di energia. Quindi:
1 Pa = 1 N / m2 = 1 J / m3
●
Nota 2: è importante ricordare che in tutte le relazioni della termodinamica
che coinvolgono la temperatura assoluta questa va espressa in Kelvin e non
in gradi centigradi.
T(K) = T(°C) + 273.15 °C
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Esercizio – dispersione di calore
●
●
●
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Ci domandiamo ora se possiamo
considerare costante la densità anche se
sappiamo che la temperatura varia.
Dal grafico che riporta l'andamento della
densità dell'aria in funzione della
temperatura osserviamo che la
variazione, δρ, nell'intervallo [55-60] °C è
dell'ordine di 0.02 kg/m3.
Se consideriamo, pertanto, la densità
costante con il valore calcolato
precedentemente (1.046 kg/m3)
commetteremo un errore dell'ordine
dell'1 – 2%
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Esercizio – dispersione di calore
●
●
●
●
●
La portata di massa dell'aria sarà data,
pertanto, da:
La potenza dissipata sarà, quindi:
In un'ora verrà dissipata un'energia pari a E = 1.57 kW * 3600 s = 5655.3 kJ.
Tenendo conto anche del fatto che l'efficienza della caldaia è dell'80%
l'energia oraria totale dissipata è di Etot = E / 0.8 = 7069.1 kJ
Il costo orario della perdita sarà, quindi dato da Etot * 1 € / 105 = 0.07 €
(ricordiamo che il costo è di 1 € per 105 kJ
Se assumiamo 2000 ore di funzionamento all'anno della caldaia, il costo
annuale della perdita ammonterà a circa 141 €
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