Definizione di Lavoro
Caso di Forza di intensità costante che agisce
lungo una retta:
G G
L = F • s = Fs
Caso di Forza di intensità e direzione variabile:
L =
s
∫
G
G
F • ds =
0
s
∫ F (s)ds
0
F(s) componente della forza lungo s.
Nel caso di Forza di intensità costante che agisce lungo una retta:
Nel caso di Forza di intensità costante che agisce lungo una retta:
F ( se)direzione variabile
Caso di Forza di intensità e direzione variabile Caso di Forza di intensità
L
0
L
s
0
s
1
Definizione di Energia Potenziale
Il Lavoro non è una forma di energia, ma “energia di transito”.
Il lavoro è compiuto da una forza e fornisce una misura di quanta energia passa da una forza all’altra.
L’energia accumulata da un corpo a comportamento elastico lineare è detta potenziale elastica “V”.
V = − L m o lla =
s
∫
0
kxdx =
1
ks 2
2
F
L m o lla = −
V=
s
1
k s 2 = −V
2
1
ks 2
2
x
2
Definizione di Energia Potenziale
V = Ph
LAB
3
Energia Potenziale
4
Energia di Deformazione
Si consideri un’asta soggetta ad un carico assiale P che cresce lentamente. Si definisce
energia (o lavoro) di deformazione il lavoro compiuto da P nel processo di carico.
P
Ψ
Ψ=
Energia
complementare
di deformazione
P1
1
Ψ =
x1
∫
P ( x)dx
0
Ψ =
x1
∫
P ( x)dx =
0
1
k x 12
2
k
Energia di deformazione
Nel caso
caso in
in cui
cui ilil corpo
corpo ha
ha
Nel
comportamento elastico
elastico lineare
lineare
comportamento
l’energia di
di deformazione
deformazione coincide
coincide con
con
l’energia
quella potenziale
potenziale elastica.
elastica.
quella
Energia di
deformazione
x1 x
Energia complementare
di deformazione
Ψ
∗
=
1
P1 2 / k
2
Energia di Deformazione
Si consideri un’asta soggetta ad un carico assiale P che cresce lentamente. Si definisce densità
di energia (o specifica) di deformazione ψ, l’energia di deformazione per volume unitario.
Ψ
=
ψ=
AL
x1
∫
0
Rottura
x
1
P dx
=∫σ dε
A L
0
Energia
dissipata
+
Modulo di
tenacita’
Rottura
Modulo di
resilienza
Energia
specifica di
deformazione
Materiale fragile
Materiale duttile
Rottura
Rottura
Energia
recuperabile
6
Energia di Deformazione
Confronto tra
tra diagramma
diagramma prove
prove sperimentali
sperimentali ee schematizzazioni
schematizzazioni semplificate
semplificate
Confronto
Energia specifica
dissipata
Modello elastoperfettamente plastico
Modello elasto-plastico con
incrudimento lineare
Modello rigido plastico
Modello elastoplastico perfetto
Modello elastoplastico incrudente
7
Energia dissipata per carichi ciclici
Nelcaso
casodi
dicarichi
carichiciclici
ciclicise
sesisisupera
superailillimite
limiteelastico
elasticodel
del
Nel
materialeun’inversione
un’inversionedel
delsegno
segnodel
delcarico
caricoproduce
produceun
unritorno
ritorno
materiale
campoelastico
elasticolineare
lineareseguendo
seguendouna
unaretta
rettaparallela
parallelaaaquella
quella
inincampo
dellafase
faseiniziale
inizialeelastica.
elastica.
della
σs
εE
ψ
ψ
−σ s
ψ
ψ energia specifica dissipata in un ciclo di carico detta anche
"energia specifica dissipata per isteresi del materiale"
8
Lavoro virtuale e di deformazione
lavorovirtuale
virtualevavacalcolato
calcolatoininuna
unadata
dataconfigurazione
configurazionecinematicamente
cinematicamentee/o
e/o
IlIllavoro
staticamenteammissibile.
ammissibile.
staticamente
lavorodidideformazione,
deformazione,⇔Energia
Energia( (totale)
totale)didideformazione,invece
deformazione,invece ininun
unprocesso
processodidi
IlIllavoro
caricoche
cheporta
portalalastruttura
strutturadalla
dallaconfigurazione
configurazioneiniziale
iniziale C 0 aaquella
quellafinale
finale C f. .
carico
δ Le lavoro virtuale forze esterne;
l
l
δ Li lavoro virtuale forze interne;
δ Le = ∫ f (x)δU(x)dx =∫Q (x)δ q(x)dx = δ Li
T
T
0
δU vettore caratteristiche dello spostamento virtuali;
δ q vettore caratteristiche della deformazione virtuali.
0
δ f vettore delle forze virtuali;
l
l
* δ Q vettore delle caratteristiche della sollecitazione virtuali;
i δ L*e lavoro virtuale esterno complementare;
δ L = ∫δ f (x)U(x)dx =∫δQ (x)q(x)dx =δ L
*
e
T
0
T
0
δ L*i lavoro virtuale interno complementare.
9
Lavoro virtuale e di deformazione
lavorovirtuale
virtualevavacalcolato
calcolatoininuna
unadata
dataconfigurazione
configurazionestaticamente
staticamentee/o
e/o
IlIllavoro
cinematicamenteammissibile.
ammissibile.
cinematicamente
lavorodidideformazione,
deformazione,⇔Energia
Energia( (totale)
totale)didideformazione,invece
deformazione,invece ininun
unprocesso
processodidi
IlIllavoro
caricoche
cheporta
portalalastruttura
strutturadalla
dallaconfigurazione
configurazioneiniziale
iniziale C 0 aaquella
quellafinale
finale C f. .
carico
Le =
Cf
Cf
Cf
Cf
C0
C0
C0
C0
∫ δ Le ; Li =
∗
δ
L
;
L
∫ i e =
∗
∗
δ
L
;
L
∫ e i =
∗
δ
L
∫ i;
C
0
L lavoro totale di deform azione;
L∗ lavoro totale di deform azione com plem entare.
Incremento della densità di energia di deformazione nel
processo di carico infinitesimo da: q 6 q + dq
l ⎡q f
l
⎡q f T
⎤
⎤
1 T
T
Li = Ψ = ∫ ⎢ ∫ Q (q)dq⎥dx = ∫ ⎢ ∫ q Kdq⎥dx = ∫ qf Kqf dx
2
⎥⎦
⎥⎦
0⎢
0⎢
0
⎣0
⎣0
C
f
l
10
Energia Potenziale di Travi Elastiche
Energia potenziale elastica di una molla di rigidezza k
∆
∆
∆
1 2 P
Le ≡ Li ≡ Ψ = ∫ P(u)du = ∫ kudu = k∆
2
0
0
P
Cf
P = ku
Energia potenziale elastica della trave di lunghezza l con
ψ (q f )
matrice di rigidezza K
dψ ( q )
Q = Kq
l ⎡qf
l
⎡qf T
⎤
⎤
1 T
T
Ψ = ∫ ⎢ ∫ Q ( q )dq ⎥dx = ∫ ⎢ ∫ q Kdq ⎥dx = ∫ q f ( x) Kq f ( x)dx
2
⎥⎦
⎥⎦
0 ⎢
0 ⎢
0
⎣0
⎣0
l
ψ densità di energia di deformazione
(dimensioni per la trave elastica [ Ψ L ]).
l
(
)
Ψ = ∫ψ x, q f dx
0
qf
11
Potenziale Elastico ed Elastico Complementare per le
Travi Elastiche
Per la trave elastica la densità di energia di deformazione o
energia specifica di deformazione è anche detta potenziale
elastico .
In particolare se con ψ e ψ* si definisce il potenziale elastico
rispettivamente nello spazio delle caratteristiche di
deformazione e di sollecitazione. ψ* è detto potenziale elastico
complementare.
ψ (q)
1
2
1
2
ψ * (Q)
1
2
ψtot = qT Q = qT K q = QT DQ
Essendo q e Q i vettori delle caratteristiche della
deformazione e della sollecitazione, K e D ( ≡ Φ)le
matrici di rigidezza e deformabilità.
12
Potenziale Elastico ed Elastico Complementare-Applicazione
1
2
K ( 2η ) = 2 Kη 2 =
2
⎛ F ⎞ 1
∗
= 2 Kη ⎜
=
η
≡
Ψ
F
⎟
⎝ 4K ⎠ 2
Le ≡ Li ≡ Ψ =
η=
ρ
ρ
0
0
ρ
2
=
F
4K
Li ≡ Ψ = ∫ R(u )du = ∫ Kudu =
2
1
1 ⎛ F 2 ⎞ 1 ⎛ F2 ⎞
2
= Kρ = K ⎜
⎟
⎟ = ⎜
2
2 ⎝ K ⎠
2 ⎝ 4K ⎠
Ψ∗
Ψ
13
Teorema di CLAYPERON
l
1
Le = ∫ f(x)T U f (x)dx
20
1
Ψ ≡ Le = M 1θ1
2
U f (x)
1
Ψ ≡ Le = P1 y1
2
U f (x)
14
Teorema di BETTI
caratteristiche della distorsione
⎧εD ⎫
⎪ ⎪
qD = ⎨ γ D ⎬
⎪κ ⎪
⎩ D⎭
Equazioni costitutive
q = ΦQ + qD ;
(
)
Q = K q - qD .
15
Teorema di BETTI
Si prendono in esame due sistemi “reali”:
Il Sistema “a” ed il Sistema “b”.
f a , q Da ⇔ Q a , U a , q a
Soggetti sia a carichi meccanici che distorcenti. f
b
, q Db ⇔ Q b , U b , q b
Si assume dapprima il sistema “a” come cinematicamente
ammissibile e quello ” b” come staticamente ammissibile.
Si assume successivamente il sistema “b” come cinematicamente
ammissibile e quello ”a” come staticamente ammissibile.
Si assume che il corpo elastico (trave) abbia un
comportamento elastico lineare e
si scrive l’equazione dei lavori virtuali.
q Da ⇔ U a , q a
f
b
⇔ Qb
f
a
⇔ Qa
q Db ⇔ U b , q b
q=Φ Q+qD ;
Q = K ( q - q D ).
16
Teoremi di BETTI
a
17
Teoremi di LAND-COLONNETTI e di VOLTERRA
18
Teorema di MAXWELL
M a = 1[ Nm ]
Fb = 1[ N ]
19
Principio di sovrapposizione degli effetti:
“Se una trave elastica è soggetta a due sistemi di forze agenti uno dopo l’altro gli
effetti sono pari alla somma dei due effetti, ciascuno valutato considerando
agente una sola forza.”
u1 u2
u11
(1)
Q ( x ) = Q1 ( x ) + Q2 ( x )
u 2 = u 21 + u 22
q ( x ) = q1 ( x ) + q 2 ( x )
Q1 ( x ), q1 ( x )
u12
(2)
u21
u1 = u11 + u12
u22
Q2 ( x), q2 ( x)
20
Principio di minimo Energia Potenziale Totale:
“Tra tutte le configurazioni cinematicamente ammissibili quella di equilibrio
stabile si ha in corrispondenza del minimo relativo dell’energia potenziale totale”
P o sizio n e eq u ilib rio in stab ile:
∂V ( x )
∂ 2V (x )
=0;
<0.
∂x
∂x 2
M assim o en erg ia p o n en ziale
E n e rg ia p o te n z ia le ≡ c o n q u e lla to ta le
V (x) = P y(x)
P o sizio n e eq u ilib rio stab ile:
∂V ( x )
∂ 2V (x )
=0;
>0.
∂x
∂x 2
M in im o en erg ia p o n en ziale
P o s iz io n e e q u ilib rio in d iffe re n te :
∂V ( x )
∂ 2V (x )
=0;
=0.
∂x
∂x 2
21
Applicazione del Principio di minimo Energia Potenziale Totale:
22