Esercizio. Calcolare la distanza tra ogni coppia dei seguenti punti. (i): P = (1, 0) e Q = (0, 1). (ii): P = (1, 1, −1) e Q = (2, −3, 1). (iii): P = (1) e Q = (−4). (iv): P = (1, 2, 3, 5) e Q = (1, 1, 1, 1). n Soluzione. Dati gli elementi P = (p p1 , . . . , pn ) e Q = (q1 , . . . , qn ) di R , la distanza 2 2 dist(P, Q) di P da Qpè kP − Qk = (p1 − q1 ) + · · · + (pn − qn ) . √ (i) : dist(P, Q) = p(1 − 0)2 + (0 − 1)2 = 2. √ √ (ii) : dist(P, Q) = p(1 − 2)2 + (1 − (−3))2 + (−1 − 1)2 = 1 + 16 + 4 = 21. √ (iii) : dist(P, Q) = p(1 − (−4))2 = 25 = 5. √ 2 2 2 2 √ (iv) : dist(P, Q) = (1 − 1) + (1 − 2) + (1 − 3) + (1 − 4) = 1 + 4 + 9 = 14. Esercizio. Sia r la retta di equazioni parametriche x = 2t − 1 y = −t r: z = t+2 e P i punto di coordinate (−1, 0, 0) di R3 . (i): Trovare l’equazione del piano π contenente r e P . (ii): Calcolare la distanza dist(r, P ) tra P e r. Soluzione. (i): Risolviamo questa parte dell’esercizio in due modi diversi. Primo Modo. Iniziamo con il notare che P ∈ / r (verificarlo!). Per la scelta t = 0 e t = −2 troviamo i punti Q = (−1, 0, 2) e T = (−5, 2, 0) di r. Ora per P, Q e T esiste un unico piano π : {ax + by + cz + d = 0: se un piano contiene due punti di una retta allora contiene tutti i punti della retta. Imponendo P ∈ π, troviamo −a + d = 0 e quindi d = a. Imponendo Q ∈ p, troviamo −a + 2c + d = 0 e quindi c = 0. Infine, imponendo T ∈ π, troviamo −5a + 2b + d = 0 e quindi 2b = 4a e b = 2a. Prendendo a = 1 (perché lo posso fare?) troviamo π : {x + 2y + 1 = 0. Secondo Modo. Iniziamo a trovare l’equazione di tutti i piani contenenti la retta r. Per fare questo passiamo alle equazioni cartesiane di r. x+1 2 −y z−2 = t = t = t r := x + 2y + 1 x − 2z + 5 = 0 = 0 Quindi il piano cercato avrá equazioni π : {a(x + 2y + 1) + b(x − 2z + 5) = 0 per qualche scelta di (a, b) ∈ R2 \ {(0, 0)}. Ora imponiamo che P ∈ π. Otteniamo a(−1 + 1) + b(−1 + 5) = 0, ossia 5b = 0 e b = 0. Quindi il piano cercato è π : {x + 2y + 1 = 0 (perché ho potuto scegliere a = 1?). (ii) : Per definizione dist(r, P ) è la minima distanza tra un punto di r e P . Risolviamo questa parte in due modi. Primo Modo. Prendiamo un punto p generico Qt = (2t − 1, −t, t + 2) di r. La dis(2t − 1 − (−1))2 + (−t − 0)2 + (t + 2 − 0)2 = tanza di Qt da P è dist(Q√ t, P ) = √ 2 2 2 2 4t + t + t + 4t + 4 = 6t + 4t + 4. La funzione definita da t 7→ 6t2 + 4t + 4 1 2 p determina una parabola che p ha minimo 10/3 assunto per t = −1/3 (verificarlo!). Quindi dist(r, P ) = 10/3 e il punto di minima distanza tra P e r è (−5/3, 1/3, 5/3). Secondo Modo. La distanza di r da P è determinato dal punto Q di r per cui il vettore direttore di r é perpendicolare al vettore direttore della retta per P e Q. Il vettore direttore di r è R = (2, −1, 1). Sia Qt = (2t − 1, −t, t + 2). Ora il vettore direttore della retta tra P e Qt è Vt = Qt − P = (2t, −t, t + 2). Ora R è perpendicolare a Vt se 0 = R · Vt = 4t + t + t + 2 = 6t + 2, ossia per t = −1/3. Quindi il punto di minima distanza tra P e r è Q−1/3 = (−5/3, 1/3, 5/3). Ora p p dist(r, P ) = dist(Q−1/3 , P ) = (−5/3 − (−1))2 + (1/3)2 + (5/3)2 = 10/3. Esercizio. La distanza della retta r con equazioni parametriche X = P + tA dal punto Q è s ((P − Q) · A)2 . kP − Qk2 − kAk2 Soluzione. Troviamo il punto Y di r per cui Y − Q sia perpendicolare ad A: per tale punto abbiamo dist(r, Q) = dist(Y, Q). Ora Y − Q = (P − Q) + tA. Inoltre, Y − Q è perpendicolare ad A se 0 = (Y − Q) · A = (P − Q) · A + t(A · A). Visto che A 6= 0, abbiamo A · A 6= 0 e quindi t = − (P −Q)·A . Quindi il punto di minima A·A distanza di Q da r è (P − Q) · A A. Y =P − A·A Infine dist(r, Q) = dist(Y, Q) = kY − Qk = k(P − Q) − (P −Q)·A Ak. Abbiamo A·A (P − Q) · A (P − Q) · A (Y − Q) · (Y − Q) = (P − Q) − A · (P − Q) − A A·A A·A 2 (P − Q) · A (P − Q) · A = (P − Q) · (P − Q) − 2 (A · (P − Q)) + A·A A·A A·A ((P − Q) · A)2 ((P − Q) · A)2 = kP − Qk2 − 2 + A·A A·A ((P − Q) · A)2 2 = kP − Qk − . kAk2 Esercizio. Sia r la retta di equazioni parametriche x = t+1 y = −t r: z = t+2 e Q il punto di coordinate (1, 0, 0) di R3 . Calcolare dist(r, Q). Proof. Applichiamo la formula vista nell’esercizio precedente. Abbiamo Q = (1, 0, 0), A = (1, −1, 1), P = (1, 0, 2), P − Q = (0, 0, 2), kP − Qk2 = 4, kAk2 = 3 (P − Q) · A = 2 e r 4 p dist(r, Q) = 4 − = 8/3. 3 3 Esercizio. Siano date le rette r, s e il punto x = 2t − 1 x y = −t y r := s := z = t+1 z P seguenti: = = = 1 t t+2 P = (1, 0, 0). (i): Verificare se il punto P appartiene alla retta r. (ii): Trovare il piano π contenente s e parallelo a r. (iii): Trovare la distanza da P a π. Soluzione. (i) : Chiaramente P ∈ / r visto che dalla seconda coordinata abbiamo che t = 0 ma per t = 0 troviamo il punto (−1, 0, 1) di r. (ii) : Troviamo i piani contenenti s. Passando alle equazioni cartesiane per s troviamo x−1 = 0 s := y − z + 2 = 0. Per cui i piani contenenti s sono π(a,b) : {a(x − 1) + b(y − z + 2) = 0, al variare di (a, b) ∈ R2 \ {(0, 0)}. Ossia π(a,b) : {ax + by − bz − a + 2b = 0. Ora bisogna imporre che π(a,b) sia parallelo a r. La retta r ha vettore direttore (2, −1, 1). Quindi bisogna imporre che (2, −1, 1) sia ortogonale a (a, b, −b). Per cui 2a − b − b = 0 e a = b. Quindi il piano cercato è π := {x + y − z + 1 = 0. (iii) : Per trovare la distanza di P da π possiamo trovare il punto Q di π per cui P − Q sia ortogonale a π: per tale punto Q abbiamo dist(P, π) = dist(P, Q). L’equazione parametrica della retta m passante per P ed ortogonale a π è x = 1+t y = t m := z = −t. Abbiamo che Q è il punto di intersezione di m con π. Il punto (1 + t, t, −t) è contenuto in π se 1 + t + t + t + 1 =p0: ossia t = −2/3.p Il punto cercato è Q = (1/3, −2/3, 2/3). Ora dist(P, Q) = 4/9 + 4/9 + 4/9 = 4/3. Esercizio. La distanza del piano π : {ax + by + cz + d = 0 da P = (x0 , y0 , z0 ) è |d + ax0 + by0 + cz0 | √ . a2 + b2 + c2 Soluzione. Scrivi V = (a, b, c). L’equazione parametrica della retta r passante per P e perpendicolare a π è x = x0 + ta y = y0 + tb r := z = z0 + tc. Ora il punto di intersezione Q di r con π è ottenuto dalla scelta di t con a(x0 + ta) + b(y0 + bt) + c(z0 + tc) + d = 0. Ossia V · P + tV · V + d = 0 e t = (−d − V · P )/(V · V ). ·P Quindi Q = P + −d−V V . Infine calcoliamo dist(P, Q) V ·V s r −d − V · P −d − V · P (d + V · P )2 |d + ax0 + by0 + cz0 | √ kP − Qk = V · V = = . V ·V V ·V V ·V a2 + b2 + c2 Esercizio. Calcolare la distanza di π : {x + y − z + 1 = 0 da P = (1, 0, 0). 4 Soluzione. Usando la formula precedente abbiamo dist(P, π) = √ 2/ 3. Esercizio. Siano date le rette r e s seguenti: x = 2t − 3 x y = −t + 1 y r: s: z = t z √ |1+1| 12 +12 +12 = = 1 = t−1 = t + 1. Calcolare la distanza di r da s. Soluzione. Inziamo osservando che, la distanza di r da s coincide con la distanza del punto P di r dal punto Q di s con P − Q perpendicolare sia a r che a s. Il vettore direttore di r è Ar = (2, −1, 1), il vettore direttore di s è As = (0, 1, 1). Prendiamo ora un punto generico Pt = (2t − 3, −t + 1, t) di r ed un punto generico Qv = (1, v − 1, v + 1) di s. Imponiamo che Pt − Qv = (2t − 4, −t − v + 2, t − v − 1) sia perpendicolare sia a Ar che a As . Quindi 0 = Ar · (Pt − Qv ) = 2(2t − 4) − (−t − v + 2) + (t − v − 1) e 0 = As · (Pt − Qv ) = (−t − v + 2) + (t − v − 1) = 0. Dalla prima equazione troviamo t = 11/6, e dalla sencoda equazione troviamo v = 1/2. Quindi il punto di r cercato è P = (2/3, −5/6, 11/6), e il punto di s cercato è Ps = (1, −1/2, 3/2). p √ Infine dist(r, s) = dist(P, Q) = 1/9 + 1/9 + 1/9 = 1/ 3.