Le equazioni di II grado
ITIS Feltrinelli – anno scolastico 2007-2008
R. Folgieri 2007-2008
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Equazioni di II grado
Hanno la forma canonica generale ax2 + bx + c = 0 (con a e b
coefficienti dell’incognita e c termine noto)
Un’equazione di II grado si dice
• completa quando tutti i coefficienti sono diversi da 0
• incompleta quando il coefficiente b o il coefficiente c o
entrambi sono uguali a 0
–
in particolare si dice:
• pura se b=0
• spuria se c=0
• monomia se b=0 e c=0
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Metodi di soluzione
b = 0 equazione pura: la soluzione è x = ±√(-ca)
ax2 + bx +c = 0
c = 0 equazione spuria: due soluzioni x1 = 0 e x2 = -b/a
b = c = 0 equazione monomia: hanno solo la soluzione x = 0
a,b,c ≠ o equazione completa: la soluzione è (–b± √b2-4ac)/2a
Esempi
x2 – 9 = 0 equazione pura. Soluzione x2 = 9 ; x
= ±√9 ; x = ± 3
x2 – 5x = 0 equazione spuria. Soluzione x(x-5);
soluzioni x=0 e x=5
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Soluzione della forma completa
Abbiamo l’equazione completa ax2 + bx + c = 0
La formula risolutiva è
-b ±√b2-4ac
2a
Otterrò così due soluzioni, x1 e x2, prendendo la formula scritta sopra una volta con
il segno + e una volta con il segno –
Siccome siamo nell’insieme R, un’equazione di secondo grado ha soluzione
solo se b2-4ac è uguale a 0 oppure è un numero positivo. Da questa quantità
dipendono dunque sia l’esistenza delle soluzioni, sia il loro numero. Per questo
motivo l’espressione si chiama discriminante dell’equazione e si indica con il
simbolo Δ (lettera greca delta maiuscola)
Possiamo avere tre casi:
Δ > 0 → l’equazione ha due soluzioni distinte
Δ = 0 → l’equazione ha due soluzioni reali e coincidenti x1 = x2 = - b/2a
Δ < 0 → l’equazione non ha soluzioni nell’insieme R e quindi si dice impossibile
x2 – 5x + 4 = 0 si ha Δ = 9 > 0 e applicando la formula risolutiva si hanno le due
radici x1 = 4 e x2 = 1
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Equazioni di II grado letterali
Se nell’equazione di secondo grado sono presenti anche lettere, queste
prendono il nome di parametri. I parametri possono essere presenti in tutti i
coefficienti e quindi quando si applica la formula risolutiva, sono quasi
sempre presenti nel discriminante. Bisogna allora discutere l’equazione
rispetto ai parametri.
Vediamo come:
– Se il coefficiente della x2 contiene il parametro, bisogna imporre che sia
diverso da 0, altrimenti l’equazione diventa di primo grado. In questo caso
bisogna però anche stabilire qual è la soluzione se il coefficiente è uguale a
zero.
– Se nel discriminante è presente il parametro, bisogna trovare quali sono le
soluzioni nei casi Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0.
– Se i paramentri sono nei denominatori, occorre imporre che i denominatori
siano diversi da zero.
– Se l’equazione è anche frazionaria, bisogna imporre le condizioni di
accettabilità sul denominatore.
Esempio: x2 – ax -6a = 0
Il coefficiente della x2 è ≠ 0 e quindi posso scrivere x = a ± a2 + 24a2
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Il discriminante Δ = 25a2 e quindi so che sicuramente è sempre Δ ≥ 0 perché 25a2 è
un quadrato. Allora bisogna dire che:
se Δ = 0 si ha a = 0 e la soluzione è 0/2, quindi x1=x2 = 0
se Δ > 0 cioè a≠0, le soluzioni sono date da x = (a± 5a)/2 e quindi x1= 3a e x2 = -2a
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Soluzioni e coefficienti
Ma che relazione sussiste tra soluzioni e coefficienti?
Vi sono due relazioni che legano le soluzioni x1 e x2 ai coefficienti a, b e c
dell’equazione in forma canonica:
x1 + x2 = -b/a
x1 · x2 = c/a
Possiamo utilizzare queste relazioni per risolvere alcuni problemi particolari,
cioé possiamo utilizzarle quando è richiesto di:
1) Determinare per tentativi le soluzioni di un’equazione di secondo grado
2) Trovare due numeri di cui si conoscono la somma e il prodotto
3) Scrivere l’equazione che ha per soluzioni due numeri dati
… provate da soli ad utilizzare le relazioni scritte sopra per i tre casi
elencati!
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Scomposizione trinomio II grado
Di solito si deve ricorrere alla regola di Ruffini, ma in alcuni casi possiamo
usare le seguenti regole:
Se l’equazione ax2 + bx + c = 0 corrispondente al trinomio ha:
Δ > 0 e quindi due soluzioni x1 e x2 (distinte), il polinomio si può scomporre secondo
la formula: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x-x2)
Δ = 0 e quindi due soluzioni x1 e x2 coincidenti, il polinomio si può scomporre
secondo la formula: ax2 + bx + c = a(x – x1)2
Δ < 0 il polinomio non si può scomporre nell’insieme R
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