Eulero
Princeps Mathematicorum
Ritratto a pastello di J. E. Handmann, 1753
Leonhard Euler nasce a Basilea il 15 aprile 1707
Da ragazzo studiò
filosofia e si
iscrisse alla facoltà
di teologia, ma
l’abbandonò per
dedicarsi
completamente alla
matematica.
Allievo di Johann
Bernoulli,
all’età di 20 anni
lasciò Basilea per
andare a lavorare
a San Pietroburgo,
dove ottenne le
cattedre di
medicina e fisica e
poi quella di
matematica
Gli studi
• Calcolo delle variazioni (a 18 anni)
• A 19 anni completò il dottorato sulla propagazione del
suono e concorse alla cattedra di fisica, ma gli fu negata
forse a causa della sua giovane età.
• Vinse per dodici volte il grand prix dell’Accademia delle
Scienze di Parigi.
• Teoria dei grafi
• Topologia
• La formula per i poliedri
• Equazioni differenziali
• Teoria dei numeri
• Calcolo combinatorio
• Analisi
• Meccanica
Il calcolo delle variazioni
A 18 anni Eulero scrisse Constructio linearum
isochronarum in medio quocumque resistente.
Nello stesso periodo cominciò a studiare problemi
relativi al campo della matematica che in seguito sarà
chiamato calcolo delle variazioni, che si
occupa della ricerca dei massimi e dei minimi di funzioni
definite su un insieme di funzioni e che ha avuto
innumerevoli applicazioni, oltre che in fisica, anche in
economia
I ponti di Kӧnigsberg
Kӧnigsberg, già facente parte della Prussia Orientale, è una città che attualmente si
chiama Kaliningrad e che si trova in Russia. Oltre ad aver dato i natali a Immanuel Kant, il
22 aprile del 1724, è famosa per il problema dei sette ponti.
La città è attraversata dal fiume Pregel e
dai suoi affluenti, che la dividono in quattro
zone che al tempo di Eulero erano collegate
tra loro da sette ponti.
Il problema consisteva nel capire se
era possibile partire da un punto delle
quattro zone e tornare al punto di
partenza percorrendo una e una sola
volta tutti i ponti.
La teoria dei grafi
La storia dei ponti permise a Eulero di gettare le basi di quella che sarebbe
diventata la teoria dei grafi. Capì che la possibilità di trovare un percorsosoluzione non dipendeva dalla capacità umana di trovarlo o dalla distanza
tra i punti o dagli angoli tra le linee, ma dalle caratteristiche geometriche
del percorso stesso. Schematizzò la situazione con una rappresentazione
che utilizzava solo punti, o nodi, e linee. Un nodo può essere pari o dispari
a seconda che sia pari o dispari il numero delle linee che vi convergono.
Eulero notò che un qualsiasi grafo è percorribile passando sulle linee
una sola volta se e soltanto se ha tutti i nodi di ordine pari o se solo due
di essi sono dispari; per percorrere un grafo di questo tipo è necessario
partire da uno di questi nodi dispari e terminare il percorso nell’altro
nodo dispari. Il problema dei ponti, di cui qui sotto sono rappresentate
schematizzazioni equivalenti, ha 4 connessioni dispari,
quindi non ha soluzione.
Questo grafo ha 3 nodi pari e
due dispari, quindi è
percorribile passando sulle
linee una sola volta
Questo grafo
ha 4 nodi
dispari e uno
pari, quindi
non è
percorribile
passando
sulle linee
una sola volta
Topologia
Eulero notò che i grafi hanno un’altra caratteristica, oltre
ai nodi e alle linee, che resta inalterata per deformazioni
e torsioni: il numero delle facce di un grafo, compresa
quella che circonda il grafo, più il numero dei vertici
meno il numero delle linee è sempre 2, sia che il grafo
sia rappresentato su un foglio che su una superficie
ottenuta piegando in qualsiasi modo il foglio.
La caratteristica di
Eulero è un invariante
topologico
La topologia è la parte della matematica
che studia le caratteristiche delle figure
che restano invariate durante questo tipo
di trasformazioni. Due figure sono
topologicamente equivalenti se si
possono deformare in modo continuo,
cioè senza tagli, l’una nell’altra. Una
faccia è equivalente a un cerchio. Un
ragionamento analogo si applica a
superfici in tre dimensioni, riconducendo
la superficie a un grafo e calcolandone la
caratteristica di Eulero, cioè il numero
delle facce più il numero dei vertici meno
il numero delle linee. In questo caso il
risultato non è sempre due, la superficie
sferica non è ad esempio equivalente a
quella di una ciambella, detta anche toro.
La formula di Eulero per i poliedri
V+F-S=2
Eulero osservò che questa formula
vale per tutti i poliedri semplicemente
connessi, cioè senza buchi.
In un cubo, ad esempio, si hanno 6 facce, 8 vertici
e 12 spigoli. In una piramide a base quadrata, che
non è un poliedro regolare, ci sono 5 facce, 5
vertici e 8 spigoli.
Il problema di Basilea
Fu proposto per la prima volta da Pietro Mengoli nel 1644 e fu
risolto da Eulero nel 1735, suscitando stupore e ammirazione.
Il problema consisteva nel determinare la somma dell’inverso di tutti i
quadrati dei numeri naturali, cioè la somma della serie infinita:
Eulero scoprì che la serie aveva
come somma pi-greco alla seconda
diviso 6:
Lettere a una principessa
Nel 1741 Eulero venne chiamato
dal re di Prussia Federico il
Grande all’Accademia delle
Scienze di Berlino. Qui rimase fino
al 1766, poi tornò a San
Pietroburgo. A Berlino dette lezioni
alla figlia del Margravio. Durante la
guerra dei Sette Anni la famiglia
della ragazza si trasferì a
Magdeburgo e Eulero continuò
l’istruzione della principessa in
fisica, matematica, filosofia e
francese scrivendole 234 lettere,
tra il 1760 e il 1762. Pur non
essendo un’opera scientifica ebbe
molto successo, grazie alla
chiarezza con la quale Eulero vi
presentò i principali temi scientifici
dell’epoca.
I diagrammi di Eulero
In una delle lettere, per spiegare alla allieva i sillogismi aristotelici,
Eulero utilizzò la rappresentazione grafica oggi conosciuta
come DIAGRAMMA DI EULERO-VENN.
L’identità di Eulero
In un sondaggio condotto nel 2004 dalla rivista
Physics World, questa equazione è risultata ai primi
posti nella classifica delle equazioni più belle di tutti i
tempi. Nella sua semplicità contiene i cinque numeri
più importanti della matematica. Si ottiene dalla
formula generale
ponendo x=p
Eulero ebbe 13 figli di cui solo 5 sopravvissero
Fu cieco per 17 anni
«Scrisse le sue famose dissertazioni con la facilità con cui uno
scrittore dall’agile penna scrive una lettera per un amico. La cecità
totale che lo afflisse durante gli ultimi diciassette anni di vita non
rallentò il ritmo della sua attività; al contrario, la perdita della vista
affinò le sue percezioni nel mondo interno della sua
immaginazione».
Eric Bell
18 settembre 1783
Il cessa de calculer et de vivre
(Jean Antoine-Nicolas de Caritat, marchese di Condorcet)
Bibliografia
Eulero – Lettere a una principessa tedesca – Bollati Boringhieri
C. B. Boyer – Storia della matematica - Mondadori
www.fondazionetonolini.org
www.wikipedia.org
http://www.math.dartmouth.edu/~euler/
http://www.euler-2007.ch/en/index.htm
www.dm.unibo.it/rsddm/it/articoli/damore/618%20Trecento%20anni%20Eulero.pdf
www.syllogismos.it/history/Bellezza.pdf
www.syllogismos.it/2007-Lugano-Euler-PDF.pdf
www.syllogismos.it/history/Euler.pdf
http://www.matematicamente.it
http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/Miscellaneous/Euler_elogium.html
http://www.pdmi.ras.ru/EIMI/2007/Euler300/
www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/DOCUMENT/.../Bottazzini%20-%20L'Analisi%20nell'et%E0%20della%20ragio...
www2.polito.it/didattica/polymath/htmlS/Interventi/DOCUMENT/.../Caparrini%20-20La%20vita%20di%20Leonhard%20Euler.p...
www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/lezioni/viareggio-2008.pdf