Geometria piana
Veronica Gavagna
E
Albachiara Trapanese
http://online.scuola.zanichelli.it/bergamini-files/Biennio/Schedelavoro/bergamini_scheda_lavoro_triangoli.pdf
Disegna un triangolo. Quante e quali
informazioni relative ai suoi elementi (angoli e
lati) devi mandare in un SMS a un amico
perché possa disegnare un triangolo
congruente al tuo?
Le misure di due soli elementi sono sufficienti
per disegnare un triangolo congruente a quello
dato? Proviamo con
Due soli
elementi non
a) Due lati
bastano.
Provate a
b) Un lato e un angolo
trovare un
controesempio
c) Due angoli
per ognuno dei
tre casi.
E tre elementi bastano?
d) Due lati e l’angolo compreso
e) Due lati e uno degli angoli
non compreso
f) Un lato e due angoli adiacenti
g) Un lato e due angoli, uno adiacente e
uno no
Attenzione! Potrebbe
sembrare che ci si possa
ricondurre banalmente al
caso precedente, ma non è
proprio così
k
e) Tre lati
f) Tre angoli
In conclusione, sono nei casi d) f) e)
possiamo costruire un triangolo congruente
a quello dato. Questi equivalgono ai tre
criteri di congruenza
1. Se due triangoli hanno due lati uguali e
l’angolo tra di esse compreso, allora i
triangoli sono congruenti
2. Se due triangoli hanno un lato uguale e
gli angoli ad esso adiacenti, allora sono
congruenti
3. Se due triangoli hanno i tre lati uguali
allora sono congruenti
Vediamo la versione
degli Elementi di
O.Byrne (1847) «in
which coloured diagrams
and symbols are used
instead of letters for the
greater ease of learners»
consultabile
http://www.math.ubc.ca/
~cass/Euclid/byrne.html
Scaricabile e
consultabile
http://archive.org/details/
firstsixbooksofe00byrn
Il primo criterio
di congruenza
è la
proposizione 4
del libro I degli
Elementi di
Euclide.
Come possiamo definire un
poligono?
Secondo voi, quali tra le
regioni piane visualizzate
in figura sono poligoni e
quali no?
In realtà, potremmo dare una definizione
che li possa comprendere tutti, ma
potrebbe rivelarsi «inopportuno dare
definizioni troppo generali di poligono (o di
qualsiasi altro ente matematico) se si
prevede di farne uso solo in casi molto
particolari» (Villani 2006, p.244)
Potrebbe andare bene definire il poligono
come una regione limitata del piano il cui
bordo è formato da una spezzata chiusa
non intrecciata.
Un poligono si dice regolare se ha tutti gli
angoli e i lati uguali.
E dunque un poligono è non regolare
(irregolare) quando ha
a) Tutti i lati e gli angoli tra loro disuguali
b) Tutti gli angoli uguali ma i lati disuguali
c) Almeno una coppia di lati disuguali e
almeno una coppia di angoli disuguali
d) Almeno una coppia di lati disuguali
oppure almeno una coppia di angoli
disuguali
La risposta giusta è la d)
Se un poligono ha tutti i lati uguali, ha
necessariamente anche tutti gli angoli
uguali?
No, si veda ad esempio il rombo
E se ha tutti gli angoli uguali, ha
necessariamente anche tutti i lati uguali?
No, si veda ad esempio il rettangolo
Quanto misurano gli angoli dei poligoni regolari?
Cominciamo a considerare un poligono qualsiasi
Se consideriamo un poligono di n lati e un punto P
interno al poligono, possiamo congiungere P con i
vertici del poligono e ottenere tanti triangoli
quanti sono i lati n. Dato che la somma degli
angoli interni di un triangolo è pari a un angolo
piatto (𝜋), se moltiplichiamo 𝜋 per n otteniamo la
somma degli angoli interni di un poligono più un
angolo giro in P (2 𝜋),
Quindi
La somma angoli interni di un poligono è
𝑛𝜋 − 2𝜋 = 𝜋 𝑛 − 2
Se il poligono è regolare, i suoi n angoli sono
uguali e allora, detta 𝛼𝑛 l’ampiezza di uno di
questi, si avrà
𝜋(𝑛 − 2)
𝛼𝑛 =
𝑛
Se misuriamo in gradi
180°(𝑛 − 2)
𝛼𝑛 =
𝑛
Quanto misurano gli angoli di un triangolo
equilatero (𝛼3 )?
E di un quadrato (𝛼4 )?
E di un pentagono (𝛼5 )?
E di un esagono (𝛼6 )?
Studio degli angoli:leTassellature
http://www.matematita.it/materiale/index.php?p=cat&sc=270,576
Quali
poligoni
regolari
possiamo
usare per ricoprire
un pavimento
senza buchi?
Tassellatura con
poligoni regolari
Se vogliamo tassellare il piano con un solo
poligono regolare, per evitare che si formino
buchi, è necessario che la misura di uno dei
suoi angoli (tutti uguali!!) sia un divisore di
360°.
Quindi avremo:
60° - Triangolo equilatero
90° - Quadrato
120°- Esagono regolare
Tassellature con più di un
poligono regolare
Esagono regolare + triangolo equilatero
Quadrato +
triangolo equilatero
Esagono + triangolo equilatero + quadrato
Tabelle riassuntive
Tassellature con figure quasiasi
E’ possibile tassellare il piano con figure
qualsiasi?
Non sempre: vedremo come tassellare il piano
con triangoli e quadrilateri dopo aver parlato di
simmetria.
Questo argomento presenta molti legami con
l’architettura e l’arte in genere: basta vedere le
immagini in
http://www.matematita.it/materiale/?p=cat&sc=270,576
Per un’attività didattica realizzata in I media (ma attuabile
anche nella classe V della primaria) si veda il primo articolo
di
http://www.mathenjeans.it/dossier/XlaTangente_21.pdf
Esempi di tassellature
L’Alhambra
L’alveare
Escher
La Certosa di
Calci
A proposito di equiscomposizione.
Il Tangram
Le regole del gioco sono
queste:
Dovete usare tutti i 7
pezzi per formare
un’immagine.
I pezzi si devono toccare
ma non sovrapporre!!
Gioco interattivo con il tangram
http://www.math.it/tangram/tangram.htm
Iniziamo a
costruirlo
COSTRUZIONE DEL TANGRAM
Il tangram si costruisce a partire da un foglio quadrato
(dimensioni: mezzo DIN A4), da piegare e tagliare lungo la
diagonale, formando due triangoli rettangoli isosceli
Il primo dei due rettangoli viene piegato e tagliato lungo la
mediana principale formando due triangoli isosceli rettangoli (le
figure 1 e 2 del tangram).
Tali figure possono essere analizzate e classificate.
L'altro triangolo viene piegato e tagliato per la parallela
all'ipotenusa passante per i punti medi dei cateti: si ottiene un
triangolo rettangolo isoscele (figura 3 del tangram) e un trapezio
isoscele.
Il trapezio viene piegato e diviso lungo la mediana, a formare due
trapezi rettangoli congruenti.
Il primo trapezio viene diviso a fomare un quadrato (figura 4 del
tangram) e un piccolo triangolo isoscele rettangolo (figura 6 del
tangram).
Il secondo trapezio viene piegato e diviso a formare un
parallelogrammo (figura 5 del tangram) e un piccolo triangolo
isoscele rettangolo (figura 7 del tangram).
Cosa possiamo dire?
Le figure sono formate dagli stessi «PEZZI»
Definizione: Due poligoni si dicono EQUISCOMPONIBILI se
possono essere scomposti nello stesso numero finito di poligoni tra
loro congruenti
Ma allora cosa hanno in comune?
Hanno la stessa….
ESTENSIONE
Definizione: Due poligoni si dicono EQUIESTESI (o
EQUIVALENTI) se sono equiscomponibili
Se due poligoni sono equiestesi allora sono congruenti?
NO!
Sono equiestesi ma non congruenti
Se due poligoni sono congruenti allora sono equiestesi?
CONGRUENTI
EQUIESTESI
EQUIESTESI
CONGRUENTI
SI!
Le due figure qui riprodotte sono equiscomponibili ?
Contiamo i quadretti …..
Le due figure non sono per niente equiscomponibili (come sembrava). In
realtà, se proviamo a scomporre il quadrato e quindi a ricomporlo per
formare il rettangolo, compare una sottile fessura a forma di
parallelogramma avente l’area esattamente di un quadretto!
In geometria occorre …..
dimostrare
I due triangoli
sembrano
equiscomponibili
ma non equistesi…
Possibile??
Potete vedere la soluzione (in forma di
laboratorio
per la I media) in Un quadretto in più o in meno
http://www.mathenjeans.it/dossier/XlaTange
nte_21.pdf
Dimostriamo che il parallelogramma ABDC è equiesteso al rettangolo EGDC
Teorema. Ogni parallelogramma è equiesteso ad un rettangolo avente la stessa
base e la stessa altezza.
Come sono il triangolo ABC e il rettangolo AEDB?
Sono EQUIESTESI
Dimostriamolo…
Teorema. Ogni triangolo è equiesteso ad un rettangolo di ugual base e metà
altezza
Come sono i triangoli in figura?
Teorema. Ogni trapezio è equiesteso ad un triangolo che ha per base la
somma delle basi del trapezio e per altezza la stessa altezza
Teorema. Un poligono circoscritto ad una circonferenza è equiesteso ad
un triangolo che ha per base il perimetro del poligono e per altezza il
raggio della circonferenza.
Dimostrazione
Teorema. Ogni poligono di n lati è equiesteso ad un poligono di n-1
lati.
𝑛=6
𝑛=5
Sono equiestesi?
Dimostriamolo..
Un poligono con 6 lati
È equiesteso
Un poligono con 5 lati
Un poligono con 5 lati
Un poligono con 4 lati
Un poligono con 4 lati
Un poligono con 3 lati
Ma ogni triangolo è equiesteso ad un…..
Teorema. Ogni poligono è equiesteso ad un rettangolo.
Il (cosiddetto) Primo Teorema di Euclide
Teorema. In ogni triangolo
rettangolo il quadrato costruito su
un cateto è equiesteso al rettangolo
che ha per lati l’ipotenusa e la
proiezione del cateto stesso
sull’ipotenusa.
Dimostriamolo…
Traduzione dalla Geometria all’Algebra
Teorema. In ogni triangolo
rettangolo il quadrato costruito su
un cateto è equiesteso al rettangolo
che ha per lati l’ipotenusa e la
proiezione del cateto stesso
sull’ipotenusa.
𝑨𝑪𝟐 = 𝑨𝑯 ∙ 𝑨𝑩
Il teorema di Pitagora
Posso affermare, senza tema di smentita, che la legge di
Pitagora esprime una verità eterna. Ancor prima che il
sole splendesse nel firmamento, ancor prima che ci fosse
aria da respirare, il quadrato dell’ipotenusa era uguale
alla somma dei quadrati degli altri due lati.
Malba Tahan, Una perla pericolosa, in L’uomo che sapeva
contare. Una raccolta di avventure matematiche, Salani, 1996.
Il teorema di Pitagora
è di Pitagora ?
Pitagora
(Samo 575 a.C.–
Metaponto 495 a.C)
Acusmatici: discepoli che ascoltavano le lezioni del
maestro, venendo così a conoscenza dei soli precetti
pratici della dottrina
Matematici: discepoli iniziati alle dottrine segrete
Il teorema di Pitagora
è di Pitagora ?
• Non esiste alcuna testimonianza anteriore al I
sec. a.C. di un’attività scientifica (e matematica
in particolare) di Pitagora
• Unica eccezione parrebbe il distico di
Apollodoro
Come quando Pitagora scoprì la famosa figura
Per la quale offrì un glorioso sacrificio ai buoi
Altra testimonianza importante è il seguente
passo di Proclo:
Proclo Diadoco (V sec)
In primum Euclidis Elementorum libri commentarii
Se si crede a coloro che vogliono indagare gli
avvenimenti antichi, si potrà anche trovare
qualcuno che attribuisce il teorema a Pitagora e
che assicura che egli abbia sacrificato un bue
dopo la scoperta. Quanto a me, seppure sia
meravigliato di coloro che per primi hanno
riconosciuto la verità del teorema, ammiro
ancora di più l’autore degli Elementi (Euclide,
NdR) non solamente per la dimostrazione che ha
provato definitivamente il teorema, ma anche
per la generalizzazione che ne ha dato nel libro
VI…
E dunque…
Il teorema di Pitagora
è di Pitagora ?
• Proclo è scettico sull’attribuzione a
Pitagora del teorema
• Attribuisce esplicitamente la
dimostrazione a Euclide
Le fonti sembrano attestare a Pitagora
o ai pitagorici una qualche scoperta
matematica, ma non sono concordi
su quale potesse essere. E’
improbabile che il teorema di
Pitagora sia ascrivibile a Pitagora…
Possiamo congetturare
un’attribuzione?
Prima di tutto dobbiamo distinguere fra
teorema e regola
Il teorema è accompagnato da una dimostrazione (e
questa è una caratteristica peculiare della
matematica greca), mentre la regola non lo è
necessariamente.
Sotto questo aspetto, la «regola di Pitagora» era
certamente nota fin da tempi molto antichi:
certamente veniva usata nella civiltà babilonese.
Abbiamo infatti alcune testimonianze:
Civiltà babilonese
Abbiamo almeno quattro tavolette riconducibili alla
«regola di Pitagora»
1. Tavoletta Yale 7289 (1900 a.C.-1600 a. C.)
2.
3.
4.
Tavoletta Plimpton 322
Tavoletta di Susa
Tavoletta Tell Dhibayi
La dimostrazione del teorema
Nel sito
http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/
si possono trovare 92 dimostrazioni del
Teorema di Pitagora
non sono «da studiare»…. ;)
Per chi non fosse ancora soddisfatto, veda
Elisha Scott Loomis,
The Pythagorean proposition (ristampa, 1968)
397 dimostrazioni
La dimostrazione del teorema
Il caso del triangolo
rettangolo isoscele
si “vede”
immediatamente
Il Menone di Platone
• Socrate. Coloro che se
intendono chiamano
questa linea diagonale
sicché, se essa ha nome
diagonale, allora dalla
diagonale, come tu dici,
o ragazzo di Menone, si
può ottenere l’area
doppia.
• Ragazzo – Certamente, o
Socrate
Il Teorema di Pitagora
Teorema. In ogni triangolo
rettangolo il quadrato costruito
sull’ipotenusa è equiesteso alla
somma dei quadrati costruiti sui
cateti.
ATTENZIONE!!
Per somma di quadrati
intendiamo la figura
formata dall’unione dei
due quadrati non
sovrapposti
Dimostriamolo con il primo Teorema di Euclide…
Byrne’s edition
Dimostrazioni con figure equiscomponibili
Dimostrazione di Henry Perigal
Altra dimostrazione
Dimostrazione del Teorema Di Pitagora
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
𝑄2
𝑇
𝑄1
𝑄3
𝑇
𝑇
𝑇
𝑄
𝑄
𝑄1
𝑄2
𝑇
𝑄3
Ma siamo proprio sicuri che
𝑄1 sia sempre un quadrato?
O dipende dagli angoli di 𝑇?
Non dovremmo
DIMOSTRARLO per esserne
davvero certi?
Formulazione algebrica del Teorema di Pitagora
In ogni triangolo rettangolo, indicata con c la lunghezza dell’ipotenusa, e
con a e b le lunghezze dei cateti si ha:
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏2
Il Teorema di Pitagora nell’arte
=
Piet Mondrain,
Composizione con rosso blu e
giallo,1930
Theo Van Doesburg,
Controcomposizione V, 1924
Pare che il Teorema (o la regola?)
di Pitagora fosse già noto anche in
Cina (1500-1000 a.C.) sotto il
nome di Teorema Kou Ku
Questo diagramma chiamato
HSUAN-THU rappresenta
quattro triangoli rettangoli
aventi i lati di lunghezza 3,4 e 5 e
un quadrato grande di lato 7.
Problemi tratti da
Pier Maria Calandri,
Aritmetica (1491)
Abbiamo visto e dimostrato che in un
triangolo rettangolo, il quadrato costruito
sull’ipotenusa è equiesteso ai quadrati
costruiti sui cateti.
E se costruissimo figure diverse dai
quadrati? Il teorema continuerebbe a
valere?
Figura tratta da A.Cerasoli, Mr
Quadrato, Sperling e Kupfer
Il teorema di Pitagora «generalizzato»
Se sui cateti di un triangolo rettangolo
costruiamo due figure simili (che si possono
ottenere l’una dall’altra con ingrandimenti o
rimpicciolimenti) e similmente poste allora la
figura simile e similmente posta che si
costruisce sull’ipotenusa è equiestesa alle due
precedenti
Su questo teorema si basano alcuni puzzle pitagorici interattivi
(dalla mostra Pitagora e il suo teorema,
http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/pitagora/primap
agina.php) che si trovano alla pagina
http://php.math.unifi.it/archimede/archimede/pitagora/giochi/p
1%20-%202/giochi.php
Il (cosiddetto) Secondo teorema
di Euclide
Teorema. In ogni triangolo rettangolo
il quadrato costruito sull’altezza
relativa all’ipotenusa è equiesteso al
rettangolo che ha come lati le proiezioni
dei due cateti sull’ipotenusa.
𝑄2
𝑄2
𝑄1
𝑄3
𝑄3
𝑅
𝑄2 = 𝑄1 + 𝑄3
𝑄2 = 𝑄3 + 𝑅
𝑄1 = 𝑄2 − 𝑄3
𝑅 = 𝑄2 − 𝑄3
𝑄1 è equiesteso ad 𝑅
Formulazione algebrica del Secondo Teorema di Euclide
Teorema. In ogni triangolo rettangolo
il quadrato costruito sull’altezza
relativa all’ipotenusa è equiesteso al
rettangolo che ha come lati le proiezioni
dei due cateti sull’ipotenusa.
𝑪𝑯𝟐 = 𝑨𝑯 ∙ 𝑯𝑩
Dal Rettangolo al quadrato
Il primo Teorema di Euclide permette di costruire, dato un rettangolo, un
quadrato ad esso equiesteso.
𝑨𝑳𝟐 = 𝑨𝑫 ∙ 𝑨𝑩
Ogni rettangolo è
equiesteso ad un
quadrato
Ogni poligono è
Ogni rettangolo
Ogni poligono è
equiesteso ad un
è equiesteso ad
equiesteso ad un
rettangolo
un quadrato
quadrato
Definizione. L’ AREA di un poligono coincide con l’area del quadrato ad
esso equiesteso
• L’AREA è un numero reale positivo.
• Tutti i poligoni equiestesi hanno la stessa area.
Ritroviamo le vecchie formule…
•
•
•
•
dell’area di un triangolo
- dell’area di un parallelogramma
- dell’area di un trapezio
- dell’area di un poligono regolare di n lati.
Esercizi
Si consideri un triangolo A i cui lati
misurano 3 cm, 2 cm e 10 cm e un triangolo B
i cui lati misurano 4 cm, 5 cm e 3 cm.
• Quale dei due triangoli non è costruibile e
per quale motivo?
• Siano A, B, C i vertici del triangolo
costruibile, che ora chiameremo ABC. Si
può affermare con sicurezza che ABC è un
triangolo rettangolo? Perché?
Esercizi
In un quadrato ABCD di lato 10 cm è inscritto un quadrato
LMNO. I segmenti DO, CN, BM e AL sono uguali fra loro e
ciascuno di essi misura 2 cm. Quanto misura l’area del
quadrato LMNO?
• Il segmento OM divide il quadrato ABCD in due parti
uguali? Perché?
• Che tipo di quadrilatero è AMOD? Quanto misura la sua
area?
Esercizi
Qual è l’ampiezza di un angolo interno di un
poligono regolare di dodici lati (dodecagono)?
E’ possibile tassellare un piano usando dolo
piastrelle a forma di dodecagono regolare? In
caso negativo, si costruisca una tassellatura
usando dodecagoni regolari e un altro (o
altri) poligoni regolari.
Esercizi
In figura è rappresentato il rettangolo ABCD con
le sue diagonali. Qual è il rapporto tra il triangolo
grigio e l’intero rettangolo?
Siano 1 cm e 3 cm le lunghezze dei lati del
rettangolo: qual è la lunghezza della diagonale?
Che tipo di numero è quello che rappresenta la
lunghezza della diagonale? Può essere espresso in
forma frazionaria? In che modo?
Materiale per l’insegnamento
1. Un sito molto interessante è Matematita
http://www.matematita.it/index.php?NL=en
In particolare, viene proposto un laboratorio sulle
forme geometriche per la scuola primaria
http://specchi.mat.unimi.it/matematica/forme1.html
2. UMI - Matematica 2001. Nucleo: Lo spazio e le
figure. Schede con attività per la scuola primaria
http://umi.dm.unibo.it/old/italiano/Matematica2001/seconda/spazio
/elementari.pdf
Riferimenti bibliografici
Vinicio Villani, Cominciamo dal punto, Bologna ,
Pitagora 2006
R. Zan, Dispense geometria 14 maggio 2008
http://www.dm.unipi.it/~zan/SCIENZE%20DELLA%20FO
RMAZIONE%20POLO%20DI%20LIVORNO/MATEMATICA
/Dispense_geometria_14maggio08.pdf