BILATERE e TRILATERE
● Chiameremo bilatera la sequenza
di due lati consecutivi facenti parte di
un indefinito perimetro e caratterizzati dall’angolo tra essi compreso.
α
● Chiameremo trilatera la sequenza di tre lati consecutivi
facenti parte di un indefinito
perimetro e caratterizzati dai due
angoli tra essi compresi e dalla
lunghezza del lato centrale.
β
a
α
Le singole operazioni di frazionamento delle aree non riguardano l’intera
particella originaria, ma piuttosto una parte di essa, delimitata da una dividente e
da una parte del confine originario (perlopiù una bilatera o una trilatera).
2
LE DIVIDENTI
Le dividenti sono segmenti rettilinei (più raramente spezzate) con le quali
vengono frazionate le superfici degli appezzamenti di terreno. Per la loro
definizione è necessario determinare le posizioni degli estremi e le loro lunghezze.
Le dividenti (convenzionalmente disegnate in colore rosso) sono quasi sempre
vincolate da due diverse condizioni geometriche:
1. dividenti passanti per un punto (sul confine, interno o esterno
all’appezzamento);
2. dividenti con direzione assegnata (perlopiù parallele o normali a una
data direzione).
2)
1)
3
1
2
1
2
3
3
BILATERA CON VERTICE IN A
Problema: staccare le aree s1, s2, s3… con dividenti uscenti da P sul confine.
2 s1
x1 = ------------d · sen α
P
2 (s1+ s2)
x2 = -------------d · sen α
2 (s1+ s2+ s3)
d
s1
A
α
x1
x3 = ---------------d · sen α
h
s2
1
2
x2
x3
Triangoli con stessa altezza h
s3
3
x2
x1
--------- = --(s1+ s2)
s1
x3
x1
------------- = --(s1+ s2+ s3) s1
(s1+ s2)
x2 = --------- x1
s1
(s1+ s2 + s3)
x3 = -------------- x1
s1
4
TRILATERA CON VERTICI IN A E B
Problema: staccare le aree s1, s2, s3… con dividenti uscenti da P sul confine.
m2 + a2 – d2
β’=arccos -------------2ma
m= √ d 2 + a 2 – 2 ad cos α
SABP = ½ d · a · sen α
P
d
s3
s1 +
s1
s2 -
s2
α
A
Se s1 < SABP
1 è su AB
3
x3
SA
2
BP
m
β”
x2
β’ β
x1
1
a
B
Se s1+ s2 > SABP
2 è dopo B
2 s1
x1 = ------------d · sen α
2(s1+ s2 – SABP)
x2 = ------------------m · sen β”
in alternativa:
2(s1+ s2 )=da sen α + ax2 sen β – dx2 sen (α+β)
2(s1+ s2+ s3 – SABP )
x3 = ------------------------m · sen β”
55
TRILATERA CON VERTICI IN A E B
Problema: staccare le aree s1, s2, s3 … con dividenti uscenti da P interno al confine.
m2 + a2 – d2
β’=arccos -------------2ma
m= √ d 2 + a 2 – 2 ad cos α’
SABP = ½ d · a · sen α’
3
2 s1
Se s1 < SABP
1 è su AB
s3
P
d
A
s1 +
s1
m
α’
x3
2
s2 - S
A BP
s2
β”
x2
β’ β
x1
1
a
B
x1 = ------------d · sen α’
Se s1+ s2 > SABP
2 è dopo B
2(s1+ s2 – SABP )
x2 = ------------------m · sen β”
in alternativa:
2(s1+s2 )=da sen α’ + ax2 sen β – dx2 sen (α’+β)
2(s1+ s2+ s3 – SABP )
x3 = ------------------------m · sen β”
66
BILATERA CON VERTICE IN A
PROBLEMA GENERALE: staccare un’area S con dividente uscente da P interno al confine.
• Si adotta un sistema cartesiano obliquo (α ≠ 90°) con
origine in A e assi (che indicheremo con V e U ) coincidenti
con i lati della bilatera.
V
• Indichiamo con m e n le coordinate oblique di P (note).
H
S ±√ S2 – 2 S · m · n · sen α
v = -----------------------------------m · sen α
v
m
A
α
s
P
2S
u = -----------v · sen α
n
u
G
U
• Il problema presenta 1 soluzione se: S2 =2 S ·m ·n·sen α
• Il problema presenta 2 soluzioni se: S2 >2 S ·m ·n·sen α
• Il problema non presenta soluzioni se: S2 <2 S ·m ·n·sen α
7
7
DETERMINAZIONE DELLE COORDINATE OBLIQUE M, N
V
Note le coordinate
polari di P
V
Note le coordinate
cartesiane di P
H
H
N
Y
α
ϑ1
m
n
α’
A α ϑ2
m
P
δ
d
n
G
U
A
n
α
m
xP
α’ = ϑ2 – ϑ1
δ = 200C – [α’ +(200C – α)]
d sen α’
m = -----------sen α
P
d sen δ
n = -----------sen α
yP
n = --------sen α
α
yP
G U=X
m = xP – yP cotg α
88
BILATERA CON VERTICE IN A: SOLUZIONE DELLA “FALSA POSIZIONE”
Problema: staccare un’area s con dividente uscente da P interno al confine.
1. Si traccia l’allineamento arbitrario MN passante per il
punto P.
2. Si misurano direttamente le distanze a, b, p, q che
determinano sia l’allineamento MN sia il punto P su esso.
3. L’allineamento MN rispetta la condizione geometrica, ma
stacca l’area SAMN e non quella richiesta S.
N
N’
δ
q
a
ω
A
α
s
b
4. Risolvendo il triangolo AMN si ricava l’area SAMN e
gli angoli α, δ, ϑ.
5. Si confronta S con SAMN: supponiamo S < SAMN
6. Si ruota l’allineamento provvisorio MN intorno a P di un
angolo ω ricavabile dalla seguente espressione:
P
ω
ϑ
M
p2
q2
2(SAMN–S) = ------------------- − ------------------cotg ω+cotg ϑ’ cotg ω+cotg δ
p
M’
7. Con ω si possono risolvere i due triangoli
PMM’ e PNN’ per ricavare MM’ e NN’,
quindi fissare la dividente definitiva
partendo dalla falsa posizione MN.
99
POLILATERA CON VERTICI IN A, B, C, D…
Problema: staccare le aree s1, s2, s3… con dividenti uscenti da P su un lato della polilatera.
A
n
SPBC=½ m BC sen β
P
SPCD=½PC DC sen γ”
m
β
S3
–S P
2
+S
S1
B
(S
1+
S2 +
S1
S2
M
γ’
γ
C
supponiamo S1< SPBC
S3 )
–S
PB
CD
Q
BC
x
ε”
ε’ E
γ”
y
SPDE=½PD DE sen δ”
δ’ δ
N
δ”
z
D
x = 2S1 / m sen β
supponiamo S1+S2 >SPBC e S1+S2 >SPBCD
y = 2(S1+S2 –SPBC )/ PC sen γ”
supponiamo S1+S2+S3 >SPBCD e S1+S2+S3 >SPBCDE
z = 2(S1+S2 +S3–SPBCD )/ PD sen δ ”
1010
BILATERA CON VERTICE IN A
Problema: staccare le aree s1, s2, s3 con dividenti formanti un angolo ϕ con un lato
della bilatera.
x1=√ 2 s1 (cotg α + cotg ϕ)
2 s1 sen (α + ϕ)
x1=√ ------------------sen α sen ϕ
2(s1+s2) sen (α+ϕ)
x2=√ ----------------------sen α sen ϕ
2(s1+s2+s3) sen (α+ϕ)
y1
A
α
x1
s3
s2
s1
x3= √ -------------------------sen α sen ϕ
ϕ
1
2
x2
x3
ϕ
3
2 s1
y1 = ----------x1 sen α
2 (s1+ s2)
y2 = -----------x2 sen α
2 (s1+s2+s3)
y3= --------------x3 sen α
TRIANGOLI SIMILI
s1
x12
s1+ s2
--------- = ---x2 = x1 √ ------2
(s1+ s2)
x2
s1
s1
x12
------------ = ---(s1+s2+s3) x32
s1+ s2+ s3
x3 = x1√ -----------s1
1111
TRILATERA CON VERTICI IN A E B
Problema: staccare le aree s1, s2 con dividenti formanti un angolo ϕ con un lato
della trilatera.
x1=√ 2 (s1+∆) (cotg ω + cotg ϕ)
2 (s1+∆) sen (ω+ϕ)
x1=√ ------------------------- − q
sen ω sen ϕ
2 (s1+∆)
y1 = ------------ − r
x1 sen ω
y1
2(s1+s2+∆) sen (ω +ϕ)
s2
B β
r
O
ω
∆
q
a
s1
α
A
ω = α + β – 200
C
x2=√ ---------------------------- − q
sen ω sen ϕ
2 (s1+ s2 +∆)
y2 = --------------- − r
x2 sen ω
ϕ
x1
ϕ
1
x2
a sen β
q = ---------sen ω
ϕ
NOTA
La dividente 2 dell’area S2 (di forma
trapezia) potrebbe essere determinata
con una diversa procedura…
a sen α
r = ---------sen ω
∆ =½ q r sen ω
2
12
12
PROBLEMA DEL TRAPEZIO
Problema: staccare da una trilatera un’area S con dividente parallela al lato
mediano della trilatera.
D
x /sen α
C
M
x /sen β
N
A
α
x
x
S
x
β
a
B
x
x
x
x
2S = a ------- sen α + a ------- sen β − ------- ------- sen (α+β)
sen α
sen β
sen α sen β
sen (α+β)
2S = a x + a x − x2 -------------sen α sen β
sen (α+β)
x2 -------------- − 2a x + 2S = 0
sen α sen β
x2 (cotg α + cotg β) − 2a x + 2S = 0
NOTE
• L’equazione di 2° grado fornisce
due soluzioni x1 e x2.
• Se una di esse è negativa viene
scartata.
• Se sono entrambe positive viene
adottata quella che più si avvicina
al rapporto S/a.
13
13
ESEMPIO
Problema: staccare le aree s1, s2, s3… con dividenti ortogonali al lato AB (ϕ=90°).
y /sen δ”
x /sen δ”
N
D
d
∆
α
A
d cos α
c
s2
x
90°
M
y
a
0
x2 (cotg δ” + cotg 90°) − 2m x + 2 (s1–∆ )= 0
MN = m + x cos δ”
0
2
y (cotg δ” + cotg 90°) − 2MN y + 2s2 = 0
PQ = MN+ y cos δ ”
b
s3
s1–∆
A’
γ
y
x
90°
C
δ”
δ”
m=d sen α
δ’
P
β
Q
B
x quindi AM = d cos α + x; DN = x / sen δ”
y quindi AQ = AM+y; PD = DN + y / sen δ”
deve essere: PD ≤ c
1414
ESEMPIO
Problema: staccare le aree s1, s2, s3 con dividenti parallele al lato AB.
E
F
Q
D
P
y
δ’
δ
S2
D’
N
S2 – SDD’CH – SMNCD’
λ
H
SDD’CH
γ
SMNCD’
C
M
x
α
S1
β
A
poniamo: S1<SABCD’
SMNCD’ = SABCD’ – S1
AB+CD’ BC
SABCD’= ---------- ------2
sen β
B
x2 (cotg α + cotg β) − 2AB x + 2S1= 0
da cui x quindi BM; MC; MN; AN; ND’; D’D…
poniamo: S1 +S1 >SADHCB
y2 (cotg δ’ + cotg λ) − 2HD y + 2(S2– SDD’CH – SMNCD’)= 0
da cui y quindi DQ; PH; PQ…
1515
ESEMPIO (METODO DELLA FALSA POSIZIONE)
Problema: staccare l’area S con dividente uscente dal punto P interno all’appezzamento.
A
1. Si traccia l’allineamento arbitrario HK
passante per P misurando in campagna le lunghezze m, n, p, q.
α
H
2. Nel poligono HBCDK si calcola l’area
∆=SHBCDK e gli angoli λ e ϕ.
λ
M
m
p
B
ω
β
∆ S
ε
P
ω
n
ϕ
q
δ
γ
C
ϕ’
D
K
N
3. Supponiamo l’area ∆>S
E
4. Ruotiamo l’allineamento HK attorno
a P di un angolo ω.
5. L’allineamento MN definisce l’area S
da staccare; l angolo incognito ω
viene determinato con la seguente
relazione:
S = ∆ – SPHM + SPNK
m2
n2
2(S–∆) = − ----------------- + -----------------cotg ω+cotg λ cotg ω+cotg ϕ’
ricavando y = cotg ω si ottiene ω = arctg (1/y)
1616
ESEMPIO (METODO DELLA FALSA POSIZIONE)
Problema: staccare l’area S con dividente uscente dal punto P interno all’appezzamento.
A
P
α
ω
n
M
λ
Hλ
2. Nel poligono HBCDK si calcola l’area
∆=SHBCDK e gli angoli λ e ϕ.
p
B
1. Si traccia l’allineamento arbitrario HK
passante per P misurando in
campagna le lunghezze m, n, p, q.
m
(S
P
NK
–S
P
ε
MK
β
ϕ
C
E 4.
N
)
∆ S
γ
3. Supponiamo l’area ∆<S.
ϕ’
δ q
D
K
Ruotiamo l’allineamento HK attorno
a P di un angolo ω.
5. L’allineamento MN definisce l’area S
da staccare; l’angolo incognito ω
viene determinato con la seguente
relazione:
S = ∆ +(SPNK –SPMH)
(m+n)2
n2
2(S–∆) = ------------------ − -----------------cotgω+cotgϕ’
cotg ω+cotg
λ
Da cui cotg ω = y quindi ω = arctg (1/y)
1717