SUPERFICI CONICHE
Rappresentazione di coni e cilindri
Si definisce “CONO” la superficie che si ottiene proiettando tutti i punti di una curva, detta
“DIRETTRICE”, da un punto proprio, non appartenente al piano della direttrice, detto “VERTICE”. (Fig.1).
Questa generica definizione si riferisce a tutti i tipi di coni, sia quelli che hanno per curva direttrice una linea di
qualsiasi forma, sia ai coni circolari a cui si fa riferimento nel linguaggio comune.
Per “CONO GENERICO” si intende una superficie di
Fig.1
dimensioni indefinite considerata nella sua struttura
complessiva, che prevede una superficie doppia
separata dal vertice (“FALDA”). Infatti proiettando dal
vertice V tutti i punti della curva direttrice, si
determinano delle rette dette “GENERATRICI”, di
dimensioni illimitate, che danno luogo a due superfici
coniche contrapposte (“DUE FALDE”).
Tra le infinite coniche che si possono costruire, si
incontrano alcuni che si chiamano “CONI
QUADRICI”. Si definisce “CONO QUADRICO” quello
che ha una circonferenza come curva direttrice.
Il “cono circolare retto” è un cono quadrico che presenta la particolarità di avere il vertice sulla
perpendicolare condotta per il centro della circonferenza direttrice, mentre il “cono circolare obliquo” ha la
perpendicolare che non passa per il centro della circonferenza (Fig.2).
Si definisce “CILINDRO” la superficie che si
ottiene
proiettando
tutti i punti di una curva, detta
Fig.2
“DIRETTRICE” da un punto improprio, non
appartenente al piano della direttrice, detto
“VERTICE” (Fig.3). Quindi la definizione di cilindro
non differisce da quella di cono, se non per la diversa
natura del vertice. Il cilindro è un cono con il vertice
all’infinito. La diversa posizione del vertice, fa si che
nel cilindro le rette generatrici siano tutte parallele tra
loro, dovendo avere in comune un punto all’infinito (il
Fig.4
vertice).
Si supponga di allontanare il vertice V dal centro O
passando per le posizioni V1, V2, V3, ecc. si evidenzia
che mentre il vertice si allontana dal centro C, l’angolo
β di apertura delle generatrici con l’asse diminuisce di
ampiezza. Quando il vertice giunge alla posizione V Il
cono è divenuto “cono limite” (oppure cilindro).(fig.4)
∞
Fig.3
1
Sezioni coniche
(ad Apollonio di Perge, matematico greco del 262 a.C., si deve la prima
trattazione sulle coniche)
Le “SEZIONI CONICHE” o “CONICHE” si ottengono
sezionando opportunamente una superficie conica circolare
con un piani non passante per il vertice.
Come si genera una superficie conica:
su una circonferenza c appartenente al piano Π, innalziamo
per il centro O la perpendicolare a al piano Π. Consideriamo
un punto V, diverso da O, appartenente alla perpendicolare
a ed un punto P appartenente a C, per questi due punti
passa la retta VP. Se il punto P ruota attorno alla
circonferenza C, con la stessa rotazione VP inscriverà un
superficie: tale superficie si chiama “superficie conica” a due
falde. (fig. 5,6) Tutte le rette VP si chiamano “generatrici”, la
retta a si chiama “asse”, il punto V “vertice”.
Fig.5
UNA SUPERFICIE CONICA CIRCOLARE SI PUO’ PENSARE COME GENERATA DA UNA RETTA (VP) CHE
GIRA INTORNO AD UNA RETTA FISSA (ASSE) MENTRE SI APPOGGIA AD ESSA IN UN PUNTO FISSO
(VERTICE) SOTTO ANGOLO COSTANTE.
L’angolo costante che ogni generatrice forma con l’asse si dice
“apertura della superficie conica”. Il vertice è il punto comune
all’asse e a tutte le generatrici. Esaminiamo ora le sezioni che un
piano, non passante per il vertice, può produrre tagliando la
superficie conica, appena descritta.
In relazione alla posizione che il piano sezionante (che
chiameremo α) assume rispetto all’asse e alle generatrici della
superficie conica avremo tre tipi di sezioni:
Fig.6
1) ELLISSE: si ottiene sezionando la superficie con
un piano α che interseca l’asse e tutte le
generatrici. Si forma una linea chiusa i cui
punti si trovano tutti in una stessa falda. (fig.7)
Se il piani secante passa per il vertice o è
perpendicolare all’asse, l’ellisse degenera o in
un punto o in una circonferenza.
Fig.7
2
2) PARABOLA: si ottiene sezionando la superficie con un
piano α parallelo ad una generatrice. Si forma una
curva illimitata ed aperta i cui punti si trovano tutti in
una stessa falda. (fig.8)
Il piano α è parallelo alla generatrice VD; quindi tutte
le generatrici sono intersecate nel campo proprio, ad
eccezione di VD. Infatti sul piano α si determina una
parabola costituita da tutti punti propri ad eccezione
del punto D1∞ corrispondente di D. siccome la
generatrice VD è parallela al piano α il
corrispondente di D si troverà all’infinito (D1∞).
Se il piano α secante la superficie conica passa il
vertice della parabola degenera in una retta.
Se il piano α risulta tangente alla circonferenza
direttrice la parabola degenera in un punto.
3) IPERBOLE: si ottiene sezionando la superficie con un
piano α parallelo a due generatrici. Si formano due
curve illimitate ed aperte costituite da punti situati
sulle due falde del cono (fig.9).
Il piano α è disposto in modo da risultare parallelo a
due generatrici VD e VF; in questo caso l’intersezione
tra il piano α e le generatrici VD e VF da luogo a due
punti impropri D1∞ e F1∞, tutti gli altri punti dei due
rami dell’iperbole sono propri. N.B.
L’iperbole si può anche ottenere sezionando il cono
con un piano α parallelo all’asse che quindi taglia
tutte le generatrici, si ottiene una sezione formata da
due rami distinti, ognuno dei quali costituito da una
curva illimitata ed aperta come si aveva nel caso
precedente. L’unica differenza è che in questo caso le
due curve sono simmetriche in quanto il piano taglia
le due falde del cono allo stesso modo. Si può quindi
operare su una sola falda e disegnare mezza
iperbole.
Fig.8
Fig.9
Per riuscire ad identificare le varie sezioni coniche è
necessario tener conto della posizione del piano secante, il
quale può passare per il vertice o non.
Quando il piano passa per il vertice si determinano le “coniche degeneri” (sono chiamate così perché si
ottengono come degenerazione delle coniche proprie in quanto il piano secante passa per il vertice,
determinando le coniche limite).
Quando il piano non passa per il vertice si determinano le “coniche proprie”.
3
Le “coniche degeneri” si distinguono per i seguenti tre casi:
1.
Il piano α passante per il vertice V è esterno al cono; in
tal caso individua rette immaginarie, la retta f comune ad
α e π è esterna alla circonferenza direttrice c, e può
essere propria o impropria a seconda che il piano α
interseca π o sia parallelo. La retta f si chiama “retta
limite” perché ottenuta come intersezione del piano π che
passa per il vertice. (fig. 10)
N.B. quando il piano α è parallelo
a π la retta limite f comune diventa impropria f∞
2. Il piano α passante per il vertice V è tangente il cono; in
tal caso individua una retta (due coincidenti) e la retta
limite f comune a α e π è tangente alla circonferenza
direttrice. (fig. 11)
3. Il piano α passante per il vertice V è secante il cono; in
tal caso individua due rette distinte e la retta limite f
comune a α e π è secante la circonferenza direttrice.
(fig. 12)
Fig.10
Fig.11
Fig.12
4
Le “coniche proprie” ottenute sezionando il cono con un piano non passante per il vertice si possono
riguardare come immagine della circonferenza direttrice proiettata dal vertice V sul piano α.
Ciò significa che tra la circonferenza direttrice e la conica formata sul piano α intercorre un’OMOLOGIA di
centro V; asse di omologia, la retta intersezione tra α e π e punti corrispondenti quelli che si trovano sul piano
π e quelli che si trovano sul piano secante α . a seconda della posizione del piano secante rispetto alle
generatrici del cono, si determinano tre classi di coniche che sono: CLASSI DELLE ELLISSI, DELLE
PARABOLE, DELLE IPERBOLI.
Tagliando un cono circolare con un piano π1// π otteniamo
un’OMOTETIA con le circonferenze c1// c simili (fig.I3). Infatti il
centro V è reale, così pure i punti corrispondenti mentre l’asse è
all’infinito in quanto le rette corrispondenti sono parallele tra di loro.
Essendo π1// π, il piano α proiettante la r da V determina su la π1
retta r1//r perché piani paralleli tra loro tagliati da un piano
trasversale determinano rette parallele. Se r1//r i cateti AO ed A1O1
dei triangoli AOV e A1O1V sono pure paralleli. I due triangoli sono in
rapporto di similitudine.
Ellisse ed iperbole hanno un centro proprio.
La parabola ha il centro in un punto improprio.
Nell’ellisse e nell’iperbole vi è un centro di simmetria .
Nella parabola non vi è alcun centro di simmetria, essendo
il centro di essa un punto improprio.
L’ ellisse ed iperbole si dicono CONICHE A CENTRO
La parabola è detta PRIVA DI CENTRO
Fig.13
Definizioni e nomenclatura
ELLISSE : E’ il luogo geometrico dei punti del piano tali che la
somma delle loro distanze da due punti fissi, detti fuochi, è
costante (fig.14)
Fig.14
F1; F2 fuochi
A,B,C,D
vertici dell’ellisse
F1O=OF2
per definizione
O
centro dell’ellisse
L’ellisse è simmetrica rispetto agli assi X,Y e al centro O
PARABOLA : E’ il luogo geometrico dei punti del piano tali che le loro
distanze da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta
direttrice, sono eguali (fig.15).
F
fuoco
O
vertice della parabola
OD=OF per definizione
Se P≡(x,y)
PF=PH
Nel caso della figura l’asse X si chiama asse della parabola ed è anche
asse di simmetria
Fig.15
5
IPERBOLE : E’ il luogo geometrico dei punti del piano
tali che le loro distanze da due punti fissi, detti fuochi,
hanno differenza costante (fig.16).
F1; F2
A1; A2
OF1=OF2
A1O=OA2;
Fig.16
fuochi
vertici dell’iperbole
raggio della circonferenza focale “c”
FIO=OF2
L’iperbole è simmetrica rispetto all’asse x, all’asse y ed al
centro O.
Il rettangolo avente per mediane A1A2 e B1B2 si chiama “rettangolo asintotico”.
Le rette che contengono le diagonali del rettangolo asintotico si chiamano “asintoti” dell’iperbole; oppure si
dice asintoto la retta la cui distanza dai punti della curva diminuisce progressivamente e tende a zero quando i
punti si trovano all’infinito.
6
Trasformate omologiche
Dato un cerchio L , un asse o, il centro O ed una coppia di elementi omologhi (punti, rette), costruire un’ellisse
L’ quale figura omologica di L.
Per definizione abbiamo:
α
piano secante;
α
piano parallelo al piano secante passante per il vertice
α//α
α
piano limite
a
asse dell’omologia esterno al cerchio; f retta limite esterna al cerchio
7
Si parte con due rette r ed s perpendicolari tra loro. Conducendo dal centro O la parallele ad r e s si
ottengono sulla retta limite i punti limite F
I punti dell’ellisse vanno trovati proiettando i punti del cerchio da O e intercettando la retta corrispondente.
8
Dato un cerchio L , un asse o, il centro O ed una coppia di elementi omologhi (punti, rette), costruire una
parabola L’ quale figura omologica di L.
Per definizione abbiamo:
α
piano parallelo ad una direttrice
α
piano parallelo al piano parallelo passante per il vertice
α//α
α
piano limite
a
asse dell’omologia tangente il cerchio
f
retta limite tangente il cerchio
9
10
Dato un cerchio L , un asse o, il centro O ed una coppia di elementi omologhi (punti, rette), costruire un’
iperbole L’ quale figura omologica di L.
Per definizione abbiamo:
α
piano parallelo ad due direttrici
α
piano parallelo al piano parallelo passante per il vertice
α//α
α
piano limite
a
asse dell’omologia secante il cerchio
f
retta limite secante il cerchio
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