Esercitazione 1 - Scienza delle Finanze
Giuseppe Piroli
Esercizio 1 - Puro scambio e scatola di Edgeworth
Esercizio 2 - Perdita netta di monopolio
1 Puro scambio e scatola di Edgeworth
Si consideri un'economia di puro scambio dove esistono solo due consumatori, denominati A e B. Le loro funzioni di utilità sono: Ua D 2xa ya e Ub D xb yb . La dotazione iniziale
di A è .xa D 20, ya D 4/ e quella di B è .xb D 4, yb D 16/.
1)Si ricavi l'equazione della curva dei contratti.
2)Si de nisca, date le dotazioni iniziali A e B, il cosiddetto nucleo dell'economia.
3)Si ricavi un vettore dei prezzi che garantisca l'equilibrio concorrenziale di Walras.
4)Si determini l'allocazione ottimale per i due consumatori.
Soluzione
1) La curva dei contratti è il luogo dei punti di tangenza delle curve di indifferenza dei due consumatori.
Per trovare l'equazione della curva dei contratti si risolve il seguente sistema in tre equazioni:
8
>
>
S M Sa D S M Sb
>
<
xa C xb D X
>
>
>
: y Cy DY
a
b
La prima equazione impone che le curve di indifferenza dei due consumatori siano tangenti tra loro.
Le altre due equazioni assicurano che le quantità totali dei beni disponibili nell'economia siano uguali
alla somma delle dotazioni dei due individui. Risolvendo il sistema per i nostri dati si ha:
8
8
8
yb
ya xb
ya
>
>
>
>
>
D
yb D
> ya xb D yb xa
>
>
>
>
>
xb
xa
<
<
< xa
!
!
xa C xb D 24
xa C xb D 24
xa C xb D 24 !
>
>
>
>
>
>
>
>
>
: y C y D 20
>
>
:
: ya C yb D 20
a
b
ya C yb D 20
1
8
8
>
< xb D 24 xa
< xa C xb D 24
! ya xa C ya .24
!
y
x
a b
: y x C y x D 20x
>
D 20
: ya C
a a
a b
a
xa
20
ya xa C 24ya ya xa D 20xa ! 24ya D 20xa ! ya D xa
24
xa / D 20xa !
La curva dei contratti è:
ya D
20
xa ! ya D 0.83xa
24
Si osservi che l'allocazione iniziale dei beni dei due individui non giace sulla curva dei contratti.
Difatti, per l'individuo A, si ha che: 4 6D 0.83 20.
2) Il nucleo dell'economia è il tratto della curva dei contratti compreso tra le curve di indifferenza
passanti per le dotazione iniziali dei due consumatori.
Il valore dell'utilità della dotazione iniziale di A è di Ua D 2xa ya D 2 20 4 D 160, quindi, per
trovare il punto che si trova sia sulla curva di indifferenza iniziale di A e sia sulla curva dei contratti, si
imposta il seguente sistema in due equazioni:
8
< 160 D 2xa ya
: y D 0.83x
a
a
Risolvendo il sistema si ha xa D 9.79. Dalla curva dei contratti, poi, si ricava ya D 8.16.
L'intersezione tra la curva dei contratti e la curva di indifferenza passante per la dotazione iniziale
di A è rappresentata dal punto N di coordinate .xa D 9.79, ya D 8.16/.
Il livello di utilità della dotazione iniziale di B è Ub D xb yb D 4 16 D 64. Poichè xa C xb D 24, si
ha xb D 24
xa . Ugualmente, poichè ya C yb D 20, si ha che yb D 20
ya . Per trovare l'ntersezione tra
la curva di indifferenza iniziale di B e la curva dei contratti si può, quindi, scrivere:
8
8
8
< 64 D xb yb
< 64 D .24 xa / .20 ya /
< 64 D .24 xa / .20 ya /
!
!
!
: y D 0.83x
: y D 0.83x
: y D 0.83x
a
a
8
< 64 D 480 24ya
: y D 0.83x
a
0 D 416
a
24 0.83xa
a
20xa C xa ya
a
a
8
< 0 D 416 24ya
!
: y D 0.83x
a
20xa C xa ya
a
20xa C xa 0.83xa ! 0 D 416
2
a
20xa
!
20xa C 0.83xa2 !
0.83xa2
40xa C 416 D 0 ! xa D
40
p
2
4 0.83 416
1.6
8
< x 0 D 32.76
a
D
: x D 15.23
a
La prima delle due soluzioni è incompatibile con la disponibilità del bene X , quindi si sceglie la
seconda. Poichè xa D 15.23, utilizzando la curva dei contratti, si ottiene ya D 12.67. Chiamiamo M il
punto di coordinate .xa D 15.23, ya D 12.67/.
Il nucleo dell'economia è il tratto della curva dei contratti ya D 0.83xa de nito dai valori di xa
compresi nell'intervallo 9.79
xa
15.23.
3) Un vettore di prezzi per il mercato concorreziale (walrasiano) deve assicurare l'equilibrio su tutti
i mercati. Secondo la legge di Walras, se tutti i mercati sono in equilibrio tranne uno, anche questo
ultimo mercato deve essere in equilibrio. Poichè in questo caso ci sono solo due mercati, quello del
bene X e quello del bene Y , è suf ciente cercare i prezzi di equilibrio per un solo mercato. Af nchè un
mercato, ad esempio quello di X , sia in equilibrio, la somma delle domande dei due consumatori deve
essere uguale alla somma delle loro dotazioni del bene stesso (eccesso di domanda nullo). Ricaviamo,
quindi, la domanda di ciascun consumatore per il bene X . Per il consumatore A si ha:
8
p
>
< S M Sa D x
py
>
: px xa C p y ya D Ra
Dove il reddito di A è uguale al valore della sua dotazione iniziale Ra D 20 px C 4 p y . Per cui,
risolvendo il sistema, si ottiene la domanda di A:
8
p
y
>
< a D x
20 px C 4 p y
xa
py
! xad D
>
2 px
: px xa C p y ya D 20 px C 4 p y
Nella stessa maniera si ricava la domanda di B:
8
y
p
>
< bD x
4 px C 16 p y
xb
py
! xbd D
>
2 px
: px xb C p y yb D 4 px C 16 p y
La quantità di X disponibile sul mercato è pari alla somma delle dotazioni iniziali dei due consumatori: X D 20 C 4 D 24. La somma delle domande di A e B deve uguagliare la diponibilità totale di X
sul mercato xad C xbd D X :
3
20 px C 4 p y 4 px C 16 p y
px 20 5
C
D 24 ! 24 px C20 p y D 48 px ! 24 px D 20 p y !
D
D
2 px
2 px
p y 24 6
Un vettore di prezzi capace di assicurare l'equilibrio walrasiano è, quindi, px D 5 e p y D 6.
4) Per ottenere le scelte ottime di A e B è suf ciente sostituire i prezzi di equilibrio nelle rispettive
funzioni del bene X e ricavare1 quelle del bene Y .
20 px C 4 p y
2 px
4 px C 16 p y
xbd D
2 px
20 px C 4 p y
yad D
2 px
20 px C 4 p y
ybd D
2 px
xad D
20 px C 4 p y
2 px
4 px C 16 p y
! xb? D
2 px
20 px C 4 p y
! ya? D
2 py
20 px C 4 p y
! yb? D
2 py
! xa? D
D 12.4
D 11.6
D 10.3
D 9.6
L'utilità di A per il paniere di scelta ottima è 256.2667 e quella di B è 112.13, ovviamente entrambi
superiori a quelle delle dotazioni iniziali. Nella Figura 1 sono indicati il punto D delle dotazioni iniziali
dei due consumatori ed il punto D 0 delle loro scelte ottime.
1 Nel caso della funzione di utilità Cobb-Douglas è possibile sfruttare le sue proprietà per ricavare direttamente le funzioni
di domanda di x e y. Per la generica funzione di utilità U D Ax y , le rispettive funzioni di domanda sono: x d D
R
, dove R è il reddito del consumatore. Difatti,
C py
consumatore utilizza per acquistare ciascun bene.
e yd D
4
e
C
R
px
rappresentano la quota relativa di reddito che il
B
Y
M
D'
N
D
A
X
Figura 1 - Scatola di Edgeworth
5
2 Perdita netta di monopolio
Sia X D 100
P la funzione di domanda di mercato per il bene X e C T D 20X il suo costo totale di
produzione. Si calcoli la perdita sociale netta causata dalla presenza di un monopolista su tale mercato.
Soluzione
Si calcola prima l'equilibrio per il mercato concorrenziale utilizzando la nota condizione prezzo D costo
marginale .P D C M/.
Il C M si ottiene derivando2 la funzione del costo totale rispetto a X :
CM D
@C T
D 20
@X
(1)
Sostituiamo il valore del costo marginale nella funzione di domanda di mercato ed si ottiene la
quantità X di equilibrio per il mercato concorrenziale:
X D 100
20 D 80
(2)
Nella Figura 2, per disegnare la curva di domanda di mercato in un piano cartesiano, si misurano P
e C M sull'asse delle ordinata e X su quello delle ascisse.
Se X D 0 ! P D 100 e se P D 0 ! X D 100. Il segmento che congiunge i due punti appena
individuati è la funzione di domanda.
Il costo marginale è una retta parallella all'asse delle X per C M D 20. Il costo marginale interseca
la curva di domanda nel punto C, che rappresenta l'equilibrio del mercato concorrenziale. Il surplus del
consumatore in concorrenza .SC c /, l'area tratteggiata orizzontalmente, è il triangolo di vertici ABC:
SC c D
.A
B/ C
.100
D
2
20/ .80/
D 3200
2
(3)
Si ricordi che il surplus del consumatore è la differenza tra la disponibiltà a pagare del consumatore
(il suo prezzo di riserva) e il prezzo che egli effettivamente paga per aquistare il bene.
Riassumendo, l'equilibrio del mercato concorrenziale è: P c D 20, X c D 80, SC c D 3200.
2 In questo caso il costo marginale è uguale al costo medio, infatti: C Medio D C T D 20X D 20.
X
X
6
P, CM
A=100
C
B=20
80
CM
100
X
Figura 2 - Equilibrio del mercato concorrenziale
Adesso si analizzi l'equilibrio di mercato in presenza di un monopolista. La condizione di massimizzazione del pro tto del monopolista è data da ricavo marginale D costo marginale .R M D C M/ .Per
ottenere il ricavo totale .RT /, si inverte la funzione di domanda per avere quella inversa:
X D 100
P ! P D 100
X
(4)
Poichè RT D P X , si può sostituire P con la parte destra della funzione di domanda inversa:
RT D P X D .100
X / X D 100X
7
X2
(5)
Il ricavo marginale è la derivata del ricavo totale rispetto a X :
RM D
@ RT
D 100
@X
2X
(6)
Nella Figura 3 si aggiunge il ricavo marginale, misurato sull'ordinata, congiungendo i seguenti punti
100
individuati sugli assi cartesiani: se R M D 0 allora 0 D 100 2X ! X D
D 50 e se X D 0 allora
2
R M D 100 2 0 ! R M D 100.
P, CM, RM
A=100
E
F=60
B=20
C
CM
D
40
50
80
100
X
Figura 3 - Equilibrio di monopolio e perdita netta
Imponendo R M D C M, che si intersecano nel punto D, si ottiene la quantità di X offerta dal
monopolista:
8
100
2X D 20 ! X D
20/
.100
2
D 40
(7)
sostituendo X D 40 nella funzione di domanda inversa si ricava il prezzo a cui vende il monopolista:
P D 100
X D 100
40 D 60
(8)
Il pro tto . / del monopolista è dato dal ricavo totale meno il costo totale:
D RT
C T D .60 40/
.20 40/ D 2400
(9)
Il surplus del consumatore nel caso di monopolio è limitato all'area del triangolo AF E:
SC m D
.100
60/ 40
D 800
2
(10)
La perdita di surplus per i consumatori è pari al trapezio F BC D:
Perdita totale .P T / D
.F E C BC/ .F B/ .40 C 80/ .60
D
2
2
20/
D 2400
(11)
Una parte di questa perdita, l'area del quadrato F B D E, viene ceduta al monopolista sotto forma di
pro tti. La rimanente parte, l'area del triangolo E DC, rappresenta una perdita netta, poichè è il valore
della quantità del bene X , che non viene prodotta, sebbene esistano dei consumatori che sarebbero
disposti a pagare, per quei beni, un prezzo superiore al costo marginale di produzione.
La perdita netta .P N /,tratteggiata verticalmente, è:
PN D
1P 1Q
E D DC
.60
D
D
2
2
20/ .80
2
40/
D 800
(12)
Ovviamente si ha:
D SC c
PT D P N C
SC m
Riassumendo, nel caso di monopoli, si ha: P m D 60, X m D 40,
(13)
D 1600, SC m D 800, P N D 800.
Si noti che, in questo caso, la presenza del monopolista implica solo inef cienza allocativa, ma non
inef cienza produttiva. Difatti la non ef ciente allocazione delle risorse determina una perdita netta, ma
9
nessuna con gurazione di mercato potrebbe operare a costi marginali inferiori. Il monopolista vende
ad un prezzo maggiore del costo marginale, ma per produrre impiega lo stesso costo marginale delle
imprese del mercato concorrenziale. Se, invece, i costi marginali fossero crescenti, allora il monopolio
causerebbe anche inef cienza produttiva, perchè un numero maggiore di imprese opererebbe ad un costo
marginale inferiore.
10