Capitolo 22
Valutazione
delle opzioni
Corso di Finanza Avanzata - Prof. M. Mustilli
Argomenti trattati
 Metodo binomiale
 Modello di Black e Scholes
 Modello di Black e Scholes e modello binomiale
 Il mercato delle opzioni in Italia
 Problemi di valutazione nelle opzioni
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Opzioni

Un’opzione call sul titolo BMAS ha un prezzo di esercizio
di € 80 e scade tra un anno. Il titolo BMAS quota
correntemente a € 80.
Caso 1
Caso 2
L’azione scende a € 60
L’azione sale a € 106.67
Payoff dell’opzione = € 0
Payoff dell’opzione = € 26,67
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Opzioni

Assumete di acquistare 4/7 dell’azione BMAS e di
prendere a prestito 32,65 dalla vostra banca (al tasso
del 5% annuo).
Caso 1
Caso 2
L’azione scende a € 60
L’azione sale a € 106,67
Valore del portafoglio =
= 4/7  60 – 32,65 (1.,05) = 0
Valore del portafoglio =
= 4/7  106,67 – 32,65(1,05) = 26,67
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Delta dell’opzione

Il valore della call è:
Call = 4/7  80 – 32,65 = 13,06
Delta dell'opzione
Differenza tra i possibili prezzi dell'opzione

Differenza tra i possibili prezzi dell'azione
26.67  0
26.67 4



106.67  60 46.67 7
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Neutralità al rischio

In un mondo di neutralità al rischio il ritorno atteso
sull’azione sarebbe uguale al tasso risk-free, ossia 5%.
Possiamo determinare le probabilità di aumento e
diminuzione del prezzo dell’azione.
Rendimento atteso   pup  33.34%   1  pup   (25%) 
Rendimento atteso  0.05
 pup  51.42%
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Valore delle opzioni

L’opzione su BMAS può allora essere valutata come:
 pup  26.67   1  pup   0 


Valore call 
1  rf
(0.5142  26.67)  (0.4858  0)

1.05
 13.06
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Pricing binomiale
(a - d )
Probabilità di aumento = p =
(u - d )
Probabilità di diminuzione = 1 - p
a  e rh
d e
 h
u  e h
h  t  intervallo di tempo espresso come % dell' anno
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Metodo binomiale
Esempio
Prezzo = 36
s = 0,40 t = 90/365 D t = 30/365
Prezzo di esercizio = 40
r = 10%
a = 1,0083
u = 1,1215
d = 0,8917
Pu = 0,5075
Pd = 0,4925
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Metodo binomiale
40,37
P0 × U =
36 × 1,1215 = PU 140,37
36
32,10
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Metodo binomiale
40,37
36
32,10
P0 × U = PU 1
36 × 1,1215 = 40,37
P0 × D = PD 1
36 × 0, 8917 = 32,.10
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Metodo binomiale
45,28
50,78 = prezzo
Pt  U  Pt 1
40,37
36
40,37
36
32,10
32,10
28,62
25,52
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Metodo binomiale
45,28
50,78 = prezzo
10,78 = valore intrinseco
40,37
40,37
36
0,37
36
32,10
32,10
28,62
0
25,52
0
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Metodo binomiale
45,28
Il maggiore tra
50,78 = prezzo
10,78 = valore intrinseco
5,60
40,37
40,37
36
0,37
36
32,10
32,10
28,62
Ou  Pu   U d  Pd   e 
 rt
0
25,52
0
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Metodo binomiale
45,28
5,60
40,37
40,37
0,37
2,91
36
1,51
50,78 = prezzo
10,78 = valore intrinseco
36
0,19
32,10
0,10
32,10
0
28,62
0
 Ou  Pu   U d  Pd   e rt 
25,52
0
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Valutazione binomiale
Possibili variazioni di prezzo per l’azione Unicredit nell’ipotesi che
l’azione possa muoversi una sola volta verso l’alto o verso il basso ogni 4
mesi (a), due volte ogni 2 mesi (b) o 17 volte ogni settimana (c).
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Modello di Black e Scholes
Dati componenti il prezzo dell’opzione
1. Prezzo corrente dell’attività sottostante
2. Prezzo di esercizio
3. Scarto quadratico medio del tasso di rendimento all’azione
(capitalizzato nel continuo)
4. Durata dell’opzione
5. Tasso di interesse annuo
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Modello di Black e Scholes
OC = [N(d1)x P] – [N(d2) x (EX) e-rt]
dove
log[ P / VA( EX )] v t
d1 

2
v t
d 2  d1  v t
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Modello di Black e Scholes
OC = Prezzo della call
P = Prezzo dell’azione
N(d1) = Funzione di probabilità cumulata normale di (d1)
EX = Prezzo di esercizio
N(d2) = Funzione di probabilità cumulata normale di (d2)
r = tasso di interesse (tasso a 90 giorni effettivi e titoli negoziabili
o tasso privo di rischio)
t = durata dell’opzione (come % annua)
v = Scarto quadratico medio del tasso di rendimento all’azione
(capitalizzato nel continuo)
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Modello di Black e Scholes
Esempio
Considerati i seguenti valori, qual è il prezzo della call option?
P = 36
r = 10%
v = 0,40
S = 40
t = 90 giorni / 365
d1 
ln(
P
EX
)  (r  )t
v2
2
d1  0,3070
v t
N (d1 )  1  0,6206  0,3794
d 2  d1  v t
d 2  0,5056
N (d 2 )  1  0,6935  0,3065
[N (d 2 ) × (EX )e rt ]
= [0,3794 × 36] [0,3065 × (40)e (0 ,10 )( 0 ,2466 ) ]
OC = [N (d 1 ) × P ]
OC
OC = $1,70
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Binomiale vs. Black Scholes
Esempio
Qual è il prezzo di un’opzione call con le seguenti caratteristiche?
P = 36
r = 10%
v = 0,40
S = 40
t = 90 gg / 365
Binomiale = € 1,51
Black Scholes = € 1,70
Il numero limitato di nodi presi in considerazione dal nostro esempio
produce questa differenza. All’aumentare dei nodi, il prezzo ottenuto con
il metodo binomiale converge verso il prezzo ottenuto con la formula di
Black Scholes.
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Binomiale vs. Black Scholes
 Il modello binomiale converge al prezzo prodotto dalla
formula di B&S quando il numero di stadi tende ad
infinito.
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Il mercato delle opzioni in Italia
Trattate su:


IDEM (dal 1995) prevalentemente per operatori
specializzati
MTA e SeDeX (dal 1998), covered warrant,
prevalentemente per i piccoli investitori
Esistono opzioni su:


Azioni, quotate in €, prevista la consegna fisica del
sottostante
Indici, quotate in punti indice, prevista la liquidazione
in contanti
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