I vettori
R. Gallerini - I vettori
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Unità didattiche
V1- Grandezze scalari e vettoriali..........................................................................................................................................................................................4
V2- Le direzioni......................................................................................................................................................................................................................7
V3- Rappresentazione di un vettore........................................................................................................................................................................................9
V4- Le operazioni sui vettori – il prodotto di uno scalare per un vettore.............................................................................................................................12
V5- Il vettore velocità..........................................................................................................................................................................................................14
V6- Le operazioni sui vettori – la composizione di vettori paralleli....................................................................................................................................16
V7- Le operazioni sui vettori – la composizione di vettori non paralleli.............................................................................................................................19
V8- La composizione delle velocità.....................................................................................................................................................................................22
V9- Le operazioni sui vettori - La scomposizione dei vettori..............................................................................................................................................24
V10- Le operazioni sui vettori – il prodotto scalare (*) ......................................................................................................................................................27
V11- Le componenti di un vettore (*) .................................................................................................................................................................................31
V12- Il prodotto di uno scalare per un vettore mediante le componenti (*) ........................................................................................................................36
V13- La composizione di vettori mediante le componenti (*) ............................................................................................................................................39
V14- Il prodotto scalare mediante le componenti (*) ..........................................................................................................................................................42
V15- Le proprietà delle operazioni vettoriali (*) ................................................................................................................................................................44
F1- Le forze..........................................................................................................................................................................................................................47
F2- La natura vettoriale delle forze.......................................................................................................................................................................................52
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V1- Grandezze scalari e vettoriali
Molte grandezze fisiche sono descritte completamente dal loro valore, ovvero da un numero più l'unità di misura: ad esempio la lunghezza della cattedra è
2m, la temperatura dell'aula è 20°C, il volume dell'acqua nella bottiglia è 0,75l.
Tuttavia esistono grandezze fisiche che non possono essere descritte completamente mediante il solo valore numerico. Facciamo un esempio.
La pergamena in figura riporta le indicazioni per trovare il tesoro del pirata Morgan, nascosto nell'Isola dei Pirati di cui abbiamo una mappa.
Le informazioni disponibili sono sufficienti a trovare il tesoro? Che cosa manca? Prova a pensarci un po'...
La pergamena di Morgan
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La mappa dell'Isola dei pirati
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Naturalmente, non possiamo trovare il tesoro perché non sappiamo in quale direzione dobbiamo muoverci. Infatti la pergamena completa e' quella riportata
qui sotto. Trovare il tesoro ora è molto facile....
La pergamena di Morgan completa
La mappa dell'Isola con il percorso verso il tesoro
Quindi uno spostamento è definito non solo da un valore (numero ed unità di misura: 200 passi, 100 passi, ...) ma anche da una direzione(*) (verso Nord,
verso Est, ...) .
Osserviamo che il valore è sempre positivo (o eventualmente nullo); questo non avviene sempre per le grandezze scalari, che possono a volte anche avere
valore negativo: ad esempio una temperatura di -5°C significa che fa freddo!
Le grandezze fisiche che si comportano come gli spostamenti, e che hanno bisogno, per essere definite completamente, non solo del valore ma anche della
direzione sono dette grandezze vettoriali, o più semplicemente vettori; il valore viene detto modulo del vettore (sempre non negativo) e la direzione viene
detta direzione del vettore.
Invece le grandezze fisiche che sono definite completamente dal solo valore, come le lunghezze, le temperature, i volumi, ecc., vengono dette grandezze
scalari o più semplicemente scalari. Esse non hanno alcuna direzione associata: non ha senso parlare della direzione di un certo volume d'acqua o della
direzione di una certa temperatura.
(*) Più precisamente, direzione orientata; vedi l'unità V2.
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Riassumendo
1.
2.
Gli scalari sono definiti da un valore (numero ed unità di misura)
I vettori sono definiti dal modulo (numero non negativo ed unità di misura) e da una direzione orientata.
Nota
Perché la lunghezza di una scrivania non è un vettore? In fondo, lo spigolo della scrivania ha una direzione ben precisa.
E' uno scalare: infatti se ruoto la scrivania la sua lunghezza non cambia, anche se cambia la direzione dello spigolo. Si dice che gli scalari sono “invarianti”,
cioè non cambiano, a causa di una rotazione.
Domande, esercizi e problemi
V1-1
Quali delle seguenti grandezze fisiche sono scalari (S) e quali vettoriali (V)?
S V
S V
Volume
Massa
Spostamento
Distanza
Velocità
Temperatura
V1-2
Una nave, partendo dal porto di Startharbour, si sposta di 20 km verso Est; quindi, per evitare degli scogli, vira dirigendosi verso Nord.
O
Dopo 10 km vira di nuovo, dirigendosi ancora verso Est, e prosegue ancora per 5 km, arrivando all'isolotto di Endisland.
N
A) Disegna su un fogli a quadretti il percorso della nave, in una scala conveniente.
B) Trova (aiutandoti con il righello) la distanza tra Startharbour ed Endisland.
C) Trova la lunghezza del percorso della nave.
D) I risultati trovati in B e C sono uguali? Perché?
S
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E
V2- Le direzioni
Nell'unità V1 si è parlato di direzioni. Ma cos'è esattamente una direzione e come si rappresenta?
Un modo molto comodo e molto usato per dare una direzione è quello di dare l'angolo tra la direzione ed una direzione
di riferimento.
Un esempio e' quello che abbiamo visto nel caso del tesoro del pirata Morgan: la direzione Est significa una direzione a
90° rispetto al Nord (la direzione di riferimento), misurata nel senso Nord-Est-Sud-Ovest. Infatti la rotta di una nave,
ovvero la direzione in cui naviga la nave, viene data come angolo rispetto al Nord: rotta 169 (leggi: rotta uno-sei-nove)
significa 169° da Nord, sempre nel senso Nord-Est-Sud-Ovest.
Per definire la direzione di movimento di una nave, che si muove su di una superficie, è sufficiente un solo angolo, la rotta.
Invece per definire la direzione di movimento di un aeroplano, che si muove nelle tre dimensioni, occorre, oltre alla rotta,
anche l'angolo di salita, cioè l'angolo che la direzione di movimento dell'aereo forma con l'orizzontale (che dà una seconda
direzione di riferimento): un angolo di salita di 30° significa che l'aereo sale con angolo di 30° rispetto all'orizzontale; una
salita di -15° significa che l'aereo scende con un angolo di 15° rispetto all'orizzontale.
Noi lavoreremo sempre nel piano, per cui un solo angolo sarà sempre sufficiente a definire una
direzione.
Matematicamente, possiamo dire che due o più rette parallele hanno la stessa direzione: quindi una
direzione può anche essere definita, geometricamente, dall'insieme (o meglio fascio) di rette
parallele ad una retta data .
Tuttavia una retta può essere percorsa in due versi: occorre quindi distinguere tra direzione non
orientata e direzione orientata (ovvero la direzione non orientata della retta più il verso). Dalla figura
vediamo che l'angolo definisce la direzione orientata: cambiando il verso l'angolo cambia di 180°. Per
definire un vettore occorre la direzione orientata: se cambiamo di verso, anziché verso Nord
muoveremmo verso Sud, e non è la stessa cosa!
Occorre anche conoscere il senso in cui misura l'angolo: di solito si usa il senso anti-orario, come
nella figura; ma non è sempre vero: ad esempio le rotte si misurano in senso Nord-Est-Sud-Ovest.
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Riassumendo
1.
2.
I vettori sono definiti da un valore (numero ed unità di misura) e da una direzione orientata (cioè direzione e verso).
Una direzione orientata è definita dall'angolo che forma con una direzione orientata di riferimento.
Domande, esercizi e problemi
V2-1
Una nave, partendo dal porto di Startharbour, si sposta di 20 km con rotta 90° (ovvero verso Est); quindi, per evitare degli scogli, vira di un angolo di 30°
(in senso antiorario) rispetto alla rotta precedente. Dopo 15 km vira di nuovo di un angolo di 300° rispetto alla direzione precedente e prosegue ancora per
30 km, arrivando all'isola di Anotherisland.
A) Disegna su un foglio a quadretti, aiutandoti con righello e goniometro, il percorso della nave, in una scala conveniente.
B) Trova (aiutandoti con il righello) la distanza tra Startharbour ed Anotherisland.
C) Trova la lunghezza del percorso della nave.
D) Dopo quindici giorni la nave deve effettuare il medesimo tragitto da Startharbour ad Anotherisland; però, grazie all'alta marea, può tranquillamente
passare sopra agli scogli. Trova (aiutandoti con il goniometro) la rotta più conveniente per la nave.
V2-2
Un caccia militare, volando con un'inclinazione rispetto al suolo di 40°, si alza in quota di 2200 m in 200 secondi.
A) Disegna uno schema della situazione, evidenziando i vettori spostamento.
B) Misura con il righello lo spostamento orizzontale del caccia.
C) Misura con il righello lo spostamento totale del caccia.
D) Potevi trovare lo spostamento totale senza usare il righello, ma facendo un calcolo?
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V3- Rappresentazione di un vettore
Per rappresentare un vettore il modo più comodo è quello di usare un segmento orientato, ovvero un segmento per cui viene definito un verso, indicato con
una freccia.
La lunghezza del segmento (in un'opportuna scala) definisce il modulo del vettore; la retta cui appartiene il segmento definisce la direzione (non orientata);
infine la freccia indica il verso, orientando la direzione.
E' la rappresentazione che abbiamo usato nell'unità V1, per descrivere gli spostamenti sull'Isola dei Pirati. Nella mappa dell'Isola, la scala specifica che il
lato di un quadratino rappresenta 100 passi. Naturalmente, anziché i quadratini ed i passi può essere più comodo usare i metri ed i centimetri.
Questa rappresentazione ci consente di lavorare agevolmente con i vettori. Ecco un altro esempio, che descrive un percorso più complesso: nota la scala
indicata in basso a sinistra.
Attenzione: la lunghezza del segmento include la freccia. Quindi si misura dalla coda fino alla punta della freccia.
In seguito, per distinguere gli scalari dai vettori, useremo questa convenzione, molto comune: i vettori saranno indicati da una lettera con una piccola freccia
sopra: ad esempio potremo chiamare uno spostamento ⃗
S ; questo ci ricorda che un vettore può essere rappresentato da un segmento orientato. Per gli
scalari useremo come sempre una lettera senza freccia (lunghezza L, temperatura T, ecc.).
Il modulo di un vettore lo indicheremo mettendo il simbolo del vettore tra barre: ad esempio ∣⃗
S∣=100 passi ; la direzione (o meglio, l'angolo che la
S , che ricorda l'angolo.
direzione del vettore forma con una direzione di riferimento) la indicheremo con il simbolo ∢ ⃗
Ad esempio, se è ⃗
S =100 passi verso Est allora ∣⃗
S∣=100 passi e ∢ ⃗
S =90 ° perché la direzione Est forma 90° con la direzione di riferimento, il Nord.
Quando non c'è il rischio di confondersi con uno scalare, per il modulo di un vettore useremo anche la notazione abbreviata ∣⃗
S∣=S .
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Per disegnare i vettori e' comodo usare un foglio di carta a quadretti, o della carta millimetrata; ricordiamo sempre di indicare la scala.
A ha modulo 400 m, perché il segmento che lo
Il vettore ⃗
rappresenta è lungo 4 cm in scala 1 cm:100 m ; ha
direzione orizzontale ed il suo verso è verso destra; quindi,
se usiamo l'asse orizzontale diretto verso destra come
B
direzione di riferimento, l'angolo è 0°. Analogamente ⃗
⃗
ha modulo 500 m ed angolo 90°; C ha modulo 300 m ed
⃗ ha modulo 400 m ed angolo 270°.
angolo 180°; D
E è lungo circa 4,2 cm: lo puoi misurare
Il segmento che rappresenta ⃗
con il righello o meglio ancora usare il teorema di Pitagora: la
quadrettatura del foglio definisce un triangolo rettangolo, i cui cateti (in
verde tratteggiato) sono 3 cm e 3 cm; quindi la lunghezza dell'ipotenusa
(arrotondata al millimetro, perchè il righello ha una sensibilità di 1 mm)
2
2
è √ 3 +3 = √18=4,2 cm . Ma l'ipotenusa è proprio il segmento che
E ; quindi il modulo di ⃗
E , tenuto conto della scala, è
rappresenta ⃗
circa 420 m. L'angolo può essere misurato con un goniometro; in questo
caso però si vede subito dal disegno che è 45°.
⃗ ∣=450 m . In questo caso
⃗ : sempre arrotondando al millimetro è √ 22 + 42=4.5 cm e quindi ∣F
Con lo stesso metodo possiamo calcolare il modulo di F
(*)
⃗ =63 ° .
l'angolo va proprio misurato con il goniometro: non vi è un metodo immediato per calcolarlo; risulta ∢ F
(*) In realtà vi è un metodo, la trigonometria.
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Riassumendo
I vettori possono essere rappresentati da un segmento orientato (una freccia):
- la lunghezza del segmento definisce il modulo del vettore (in scala)
- la direzione della retta definisce la direzione del vettore;
- la freccia definisce il verso.
Domande, esercizi e problemi
V3-1
Durante una partita di calcio il pallone, inizialmente fermo al centro del campo, viene calciato lungo l'asse maggiore del campo; dopo 20 m viene intercettato
da un giocatore che lo scaglia in una nuova direzione inclinata di 45° in senso antiorario rispetto alla precedente. Il pallone percorre 15 m quindi viene
nuovamente fermato da un altro giocatore e calciato in una nuova direzione inclinata di 90° in senso orario rispetto alla precedente; dopo aver percorso 10
m viene ancora fermato.
A) Aiutandoti con il righello, disegna su di un foglio a quadretti gli spostamenti del pallone.
Senza usare il righello:
B) Di quanto si è spostato il pallone lungo la direzione dell'asse maggiore del campo?
C) Di quanto si è spostato il pallone lungo la direzione dell'asse minore del campo?
D) Quanto vale il modulo dello spostamento totale del pallone, dal centrocampo al punto finale?
E) Qual'è la lunghezza del percorso effettuato dal pallone?
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V4- Le operazioni sui vettori – il prodotto di uno scalare per un vettore
Sappiamo che con le grandezze scalari si possono fare operazioni aritmetiche, che hanno un significato fisico.
Si può sommare: se aggiungiamo 0,5 litri d'acqua ad un secchio che ne contiene già 1,5 litri, otteniamo 2 litri d'acqua, e scriviamo: 1,5 l+0,5 l=2,0 l .
Questo può essere fatto con qualsiasi coppia di grandezze scalari purché siano omogenee, ovvero abbiano la stessa unità di misura: non posso sommare 1
litro d'acqua con 1 metro di stoffa! Posso moltiplicare: se compro 3 kilogrammi di mele a 2 Euro al kilogrammo, spendo 2 kg⋅3 € /kg =6 € . In questo caso
non è necessario che le grandezze siano omogenee.
Esistono anche operazioni che agiscono sui vettori. La prima operazione che vediamo è il prodotto di uno scalare per un vettore: è un'operazione che, a
S .
partire da una grandezza scalare a e da una grandezza vettoriale ⃗
S fornisce un vettore T⃗ ; e lo indichiamo in modo simbolico come T⃗ =a⋅⃗
⃗
⃗
⃗
Cosa significa? Se S è uno spostamento, ad esempio 100 passi verso Est, e per esempio a=2 , cosa significa T =2⋅S ? Fare due volte 100 passi
verso Est, significa fare 200 passi verso Est!
Un altro esempio: nella figura S⃗ ha modulo 300 metri (osserva la scala) e
T⃗ =3,5⋅⃗
S ha quindi modulo 3,5⋅300 m=1050 m .
La direzione ed il verso non cambiano.
S è 100 passi verso Est, e a=−2 , cosa significa
E se a fosse negativo? Se ⃗
⃗
⃗
T =−2⋅S ? Fare meno due volte 100 passi verso Est, cioè fare meno 200 passi
verso Est, significa fare 200 passi verso Ovest! Quando a è negativo, cambia il
verso del vettore. Ricorda che il modulo di un vettore è sempre positivo (o
eventualmente nullo): è il verso che cambia.
⃗
S ha modulo 300 metri, quindi T⃗ =−3,5⋅⃗
Nella figura
S ha modulo
3,5⋅300 m=1050 m ; 3,5 è il valore assoluto di -3,5.
La direzione non cambia, ma il verso è opposto; quindi l'angolo con una direzione di
riferimento cambia di 180°.
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In particolare, T⃗ =− ⃗
S=−1⋅⃗
S è un vettore con lo stesso modulo e direzione di ⃗
S ma verso opposto.
E se invece di moltiplicare si trattasse di dividere? Dividere significa moltiplicare per l'inverso: quindi
⃗
S
1 ⃗
=
⋅S
a
a
()
. Naturalmente, come per i numeri,
deve essere a≠0 .
Riassumendo
Il prodotto di uno scalare a per un vettore ⃗
S è un vettore T⃗ =a⋅⃗
S così definito:
⃗
⃗
∣T⃗∣=∣a∣⋅∣⃗S∣ ;
- il modulo di T è dato dal modulo di S per il valore assoluto di a :
- la direzione (non orientata) di T⃗ è la stessa di ⃗
S ;
- se a >0 , anche il verso di T⃗ è lo stesso di ⃗
S ; quindi ∢T⃗ =∢ ⃗
S
⃗
⃗
- se invece a <0 , allora il verso di T è opposto a quello di S ; quindi ∢T⃗ =∢ ⃗
S +180 °
Nota
E se fosse a=0 ? Avremmo un vettore di modulo 0, quindi uno spostamento nullo. Si chiama vettore nullo; e la sua direzione non è definita: spostarsi
di 0 metri verso Nord o di 0 metri verso Est e' lo stesso: significa non spostarsi affatto!
Domande, esercizi e problemi
V4-1
Considera uno spostamento S con modulo 2 km ed angolo 45° misurati da Nord, verso Est.
A) Disegna, in scala, lo spostamento S
B) Disegna, in scala, lo spostamento 3 
S
C) Disegna, in scala, lo spostamento −3 
S
⃗
D) Disegna, in scala, lo spostamento −S
E) Disegna, in scala, lo spostamento 0,5 ⃗
S
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V5- Il vettore velocità
Finora, l'unico tipo di vettore che abbiamo visto è lo spostamento.
Un altro vettore è il vettore velocità, V⃗ : la velocità(*) di un corpo(**) in movimento è definita come il vettore spostamento
⃗
S
intervallo di tempo T, diviso per T : V⃗ =
T
⃗
S
1 ⃗
Ricordiamo che dividere un vettore S⃗ per lo scalare T significa moltiplicare per l'inverso di T : V⃗ = =
⋅S .
T
T
⃗
S che il corpo compie in un
()
Consideriamo
ad
esempio
una
nave
che
effettua
uno
spostamento
⃗
S =300 m verso Sud-Est e che impiega per effettuarlo un minuto, ovvero usando le
unità del Sistema Internazionale T =60 s .
Applicando le regole dell'unità V4,
∣V⃗ ∣= 1 ∣⃗S∣= 300 m =5 m
T
60 s
s
e
∢V =∢S
quindi
V⃗ =5 m/ s verso Sud-Est
()
Poiché un intervallo di tempo T ha sempre valore positivo, la direzione ed il verso di
V⃗ sono sempre gli stessi di ⃗
S .
Osserva che l'unità di misura della velocità, nel Sistema Internazionale, è il metro/secondo
[m/s]. Ed infatti nel disegno vi sono due scale: una per i vettori spostamento (1cm : 100 m)
ed una per i vettori velocità (1 cm : 1 m/s).
Spesso, nel linguaggio comune, si usa il termine velocità per indicare non il vettore velocità V⃗ ma il suo modulo ∣V⃗ ∣ : si dice che un'automobile ha una
velocità di 90 km/h (cioè 25 m/s), senza specificare la direzione ed il verso di movimento dell'auto; sarebbe più corretto (anche se un po' pedante) dire che
l'automobile ha una velocità di modulo 90 km/h. La lingua inglese ha due termini: velocity indica il vettore velocità, mentre speed indica il suo modulo.
(*) Più correttamente questa è la velocità media.
(**) In fisica il termine corpo si riferisce ad un qualunque oggetto di cui si studino le proprietà fisiche.
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Riassumendo
1.
2.
3.
⃗
S
Il vettore velocità di un corpo è lo spostamento ⃗
S che il corpo compie in un intervallo di tempo T , diviso per T : V⃗ =
T
∣⃗S∣
Il modulo della velocità è ∣V⃗ ∣=
, e si misura (nel Sistema Internazionale) con il metro/secondo [m/s].
T
La direzione ed il verso della velocità sono gli stessi dello spostamento ∢V⃗ =∢ ⃗
S
Domande, esercizi e problemi
V5-1
Una nave effettua uno spostamento
A) Disegna, in scala, lo spostamento
B) Disegna, in scala, la velocità V
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S di 10 km, sulla rotta 125 (125° misurati da Nord verso Est) in 2 ore (ovvero 7200 secondi).
S della nave
delle nave
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V6- Le operazioni sui vettori – la composizione di vettori paralleli
Un'altra importante operazione sui vettori è la composizione. In realtà l'abbiamo già incontrata: effettuando due spostamenti in sequenza si ottiene un unico
spostamento, detto il risultante.
R è il risultante della composizione di ⃗
B . Fare prima ⃗
Nella figura, ⃗
A e ⃗
A e poi
⃗
⃗
B equivale all'unico spostamento R .
Si dice che la composizione si fa con la regola “punta-coda”:
⃗
B si trasporta ⃗
B parallelamente a sé stesso (cioè lasciando
per comporre
A e ⃗
B con la punta di ⃗
inalterati direzione e verso) in modo da far coincidere la coda di ⃗
A .
⃗
B
Il vettore risultante si ottiene congiungendo la coda di ⃗
con
la
punta
di
A
Come si calcola il modulo e la direzione del risultante? Vediamo innanzitutto i casi più semplici,
quando i vettori hanno la stessa direzione. E' conveniente rappresentare i vettori su di un foglio a quadretti, o su carta millimetrata .
⃗
Nella figura
A è rappresentato da un segmento
lungo 4 cm, quindi (nella scala 1cm: 100 m) ha
B ha modulo 600 m;
modulo 400 m; analogamente ⃗
inoltre sono paralleli, ovvero hanno la stessa direzione
R ha la stessa direzione e
e verso; anche il risultante ⃗
verso, ed il segmento che lo rappresenta è lungo10
R è 1000 m, ovvero la
cm; quindi il modulo di ⃗
⃗
B .
somma dei moduli di A e ⃗
1 cm : 100 m
Riassumendo
Se due vettori hanno la stessa direzione e lo stesso verso, il risultante ha la stessa direzione, ha lo stesso verso e ha
come modulo la somma dei moduli:
∣⃗R∣=∣⃗A∣+∣⃗B∣
⃗
∢⃗
R =∢ ⃗A=∢ B
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B ha
Nella figura ⃗
A ha ancora modulo 400 m e ⃗
modulo 600 m; però sono antiparalleli, ovvero
hanno la stessa direzione ma verso opposto; anche il
R ha la stessa direzione ed il verso di
risultante ⃗
⃗
B , che è il vettore di modulo maggiore; il
R è 200 m, ovvero la differenza tra il
modulo di ⃗
B e quello di ⃗
modulo di ⃗
A . Osserva che la
differenza è sempre tra il modulo maggiore ed il
modulo minore, quindi ill risultato e' positivo, come
deve essere.
1 cm : 100 m
Riassumendo
Se due vettori hanno la stessa direzione e verso opposto, il risultante ha la stessa direzione, ha il verso del
B e come modulo ha la differenza tra il modulo del maggiore ed il modulo del minore:
vettore maggiore ⃗
∣⃗R∣=∣⃗B∣−∣⃗A∣
⃗
∢⃗
R =∢ B
Nota
⃗ e ⃗
B con lo stesso modulo, la stessa direzione e verso opposto? La regola mi darebbe un risultante con modulo 0. Ed è
E se avessi due vettori A
corretto: fare 10 passi avanti e poi 10 passi indietro equivale a non muoversi affatto; quindi lo spostamento risultante è nullo.
Nota
B sulla punta di
trasportando la coda di ⃗
⃗
A e ⃗
A , si operasse nell'ordine inverso, trasportando la coda di ⃗
A sulla
B
E se invece che comporre ⃗
⃗
punta di B , cosa si otterrebbe?
Si vede dagli esempi fatti sopra che il risultante è lo stesso.
Per la composizione di vettori l'ordine non importa: è un'operazione commutativa. Questo fatto verrà dimostrato nell'unità V15
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Domande, esercizi e problemi
V6-1
Una nave si muove con velocità 25 km/h in direzione Est. Chiamiamo V⃗ nave questa velocità. Un jet di linea le passa sopra, muovendosi con velocità
V⃗ jet =30 V⃗ nave ; anche un piccolo aereo da turismo le passa sopra, con velocità V⃗ aereo =−8 V⃗ nave .
A) Qual'è il modulo della velocità del jet? Qual'è la sua direzione?
B) Qual'è il modulo della velocità dell'aereo da turismo? Qual'è la sua direzione?
V6-2
Un treno, entrando in stazione, avanza lentamente alla velocità di 5 km/h. Un passeggero, Mario, si dirige verso il vagone di coda, camminando a 3 km/h
rispetto al treno. Un secondo passeggero, Luigi, si dirige verso il vagone di testa, camminando a 2 km/h rispetto al treno. Alessandra attende l'arrivo del
treno, ferma sul marciapiede della stazione. Paola attende anche lei l'arrivo del treno, ma cammina sul marciapiede della stazione, nello stesso senso del
treno, a 2 km/h.
A) Disegna un grafico per rappresentare la situazione.
B) Qual'è la velocità di Mario rispetto ad Alessandra?
C) Qual'è la velocità di Luigi rispetto ad Alessandra?
D) Qual'è la velocità del treno rispetto a Paola?
E) Qual'è la velocità di Mario rispetto a Paola?
F) Qual'è la velocità di Luigi rispetto a Paola?
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V7- Le operazioni sui vettori – la composizione di vettori non paralleli
Vediamo come funziona la regola di composizione “punta-coda” nel caso di vettori non paralleli.
Nella figura ⃗
A è rappresentato da un segmento lungo 4 cm, quindi (nella
B ha modulo 400 m; inoltre
scala 1cm:100 m) ha modulo 400 m; anche ⃗
sono perpendicolari, ovvero le loro direzioni formano un angolo di 90°. Il
R è ottenuto con la regola della ”punta-coda”.
risultante ⃗
⃗
B ed ⃗
R è rettangolo, con ⃗
R come
Il triangolo i cui lati sono ⃗
A
ipotenusa. Posso quindi applicare il Teorema di Pitagora per calcolare il
R , che è lungo, approssimando al
modulo del segmento che rappresenta ⃗
2
2
R∣=570 m .
millimetro, √ 4 + 4 =5.7 cm ; quindi in scala ∣⃗
E la direzione? Essendo i due cateti del triangolo rettangolo congruenti, il
R forma con
triangolo oltre che rettangolo è isoscele e l'angolo che ⃗
R =45 ° .
l'orizzontale è ∢ ⃗
1 cm : 100 m
⃗ ha ancora modulo 400 m; ma
Nella seconda figura A
⃗
ora B ha modulo 600 m; anche in questo caso sono
perpendicolari e quindi si può ancora applicare il Teorema
R risulta
di Pitagora : il segmento che rappresenta ⃗
2
2
√ 4 + 6 =6.2 cm ; quindi in scala ∣⃗R∣=620 m . E la
direzione? In questo caso, non si può determinare l'angolo
con un calcolo semplice; è possibile però misurarlo con il
R =34 ° .
goniometro, ottenendo ∢ ⃗
1 cm : 100 m
R. Gallerini - I vettori
19 /56
⃗
⃗
B non sono
In questa
figura
A e
perpendicolari, quindi non è possibile applicare il
B
Teorema di Pitagora al triangolo di lati ⃗
A , ⃗
⃗
ed R che non è rettangolo. Posso però procedere
come nell'unità V3 ed applicarlo al triangolo con i
cateti evidenziati in verde, che è rettangolo. Quindi
2
2
si trova che l'ipotenusa è √ 9 +4 =9.8 cm ; quindi
R∣=980 m . Anche in questo caso non vi
in scala ∣⃗
è un modo semplice per determinare l'angolo;
R =24 ° .
misurato col goniometro otteniamo ∢ ⃗
1 cm : 100 m
Finora non abbiamo introdotto nessun simbolo particolare per indicare la composizione di due vettori; usualmente si usa il simbolo “+” e la composizione
viene anche chiamata somma vettoriale o, per brevità, somma. Naturalmente non va confusa con l'usuale somma tra grandezze scalari.
Quindi il fatto che componendo
⃗
A e ⃗
B .
⃗
A e
⃗
B si ottenga il risultante
⃗
R lo potremo scrivere come ⃗
R= ⃗
A+ ⃗
B e dire che
⃗
R è la somma (vettoriale) di
E' naturalmente possibile comporre non solo due ma anche tre o più vettori: si compone il primo con il secondo, il risultante con il terzo e così via. E si
⃗ .
indicherà come ⃗
R= ⃗
A+ ⃗
B+ C
Inoltre ha senso parlare di differenza tra due vettori, ⃗
R= ⃗
A− ⃗
B , intesa come la somma di
⃗
nell'unità V4) è il vettore con lo stesso modulo e direzione di B ma verso opposto.
⃗
A e
(− ⃗
B) :
⃗
R= ⃗
A+(− ⃗
B) ; e
(− ⃗
B ) (come visto
Riassumendo
1.
2.
⃗
B∣ hanno direzione differente, il risultante 
R= 
A 
B si può ottenere graficamente con la regola “punta-coda”.
A e ∣⃗
2
2
R∣= ∣⃗A∣ +∣⃗
B∣
Se sono perpendicolari, per il teorema di Pitagora è ∣⃗
Se due vettori
R. Gallerini - I vettori
√
20 /56
Attenzione!
Il modulo del risultante è la somma dei moduli solo se i due vettori sono paralleli ed hanno lo stesso verso; altrimenti non è vero!
Quindi, in generale: ∣⃗
R∣=∣⃗
A+ ⃗
B∣≠∣⃗
A∣+∣⃗
B∣ .
Guarda ad esempio la figura all'inizio dell'unità V6: il modulo del risultante dei due spostamenti non è altro che la distanza che separa il punto di partenza
dal punto d'arrivo; invece la somma dei moduli è lo spazio percorso durante il movimento. Questo è sempre maggiore o uguale alla distanza: infatti in un
triangolo la somma di due lati è maggiore del terzo lato.
Domande, esercizi e problemi
V7-1 Una nave si muove di 30 km lungo la rotta 090 (ovvero verso Est), quindi di 30 km lungo la rotta 180 (ovvero verso Sud).
A) Fai un disegno della situazione, con i vettori spostamento in una scala opportuna.
B) Disegna il vettore spostamento risultante.
C) Calcola il modulo dello spostamento risultante.
D) Trova (senza usare il goniometro) l'angolo del vettore spostamento totale con la direzione Nord.
E) Misura il modulo dello spostamento totale con il righello; dopo la conversione di scala, confrontalo con il risultato in ottenuto in C.
F) Misura l'angolo dello spostamento totale con la direzione Nord con il goniometro; confrontalo con il risultato in ottenuto in D.
V7-2 Un appassionato di free-climbing cammina lungo un sentiero, in una zona pianeggiante, per 200m verso Est; quindi devia e cammina altri 300m verso
Nord e raggiunge una parete di roccia praticamente verticale. Si arrampica per 100m.
A) Qual'è la distanza tra il punto di partenza ed il punto di arrivo?
B) Qual'è la lunghezza del percorso del climber?
a con ∣⃗a∣=3 m e ∢⃗a =0 ° ed uno spostamento ⃗
V7-3 (1) Considera uno spostamento ⃗
b con ∣⃗b∣=4 m ; sia ⃗c =⃗
a +⃗
b .
⃗
A) Per quale direzione di ∣b∣ è massimo il valore di ∣⃗c∣ ? E quanto vale?
B) Per quale direzione di ∣⃗b∣ è minimo il valore di ∣⃗c∣ ? E quanto vale?
V7-4 Un escursionista si muove di 3 km verso Est; quindi svolta di 120° verso sinistra e prosegue per altri 6 km.
A) Disegna i vettori spostamento.
B) Senza usare goniometro e righello, quali sono il modulo e la direzione risultante?
Suggerimento: il triangolo formato dai tre spostamenti è un po' speciale...
(1) Adattato da Halliday-Resnick-Walker: Fundamentals of Physics
R. Gallerini - I vettori
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V8- La composizione delle velocità
Il significato della composizione di vettori nel caso di spostamenti è evidente; già nell'esempio del tesoro di Morgan ottenevamo lo spostamento risultante
(dalla Grande Quercia fino al tesoro) componendo i tre spostamenti dati dalla pergamena. Ma cosa significa comporre due velocità?
Un'imbarcazione, a tutta forza, può muoversi rispetto all'acqua con velocità V⃗ barca , in una certa
direzione. Se si muove lungo un tratto di fiume in cui non vi è corrente, la velocità rispetto alla riva
sarà la stessa: V⃗ =V⃗ barca
1 cm: 1 m/s
Ora l'imbarcazione si muove lungo un tratto di fiume dove c'è corrente, con velocità V⃗ corrente ,
e l'imbarcazione va nella stessa direzione e verso della corrente.
Quindi V⃗ barca e V⃗ corrente hanno la stessa direzione e verso; i loro moduli si sommano e la
velocità dell'imbarcazione vista dalla riva è maggiore.
1 cm: 1 m/s
Se invece l'imbarcazione si muove contro corrente, V⃗ barca e V⃗ corrente hanno la stessa
direzione ma verso opposto; al modulo della velocità della barca va sottratto il modulo
della velocità della corrente.
R. Gallerini - I vettori
1 cm: 1 m/s
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Infine, se l'imbarcazione si muove in direzione perpendicolare alla corrente, la composizione delle
velocità fornisce il risultato in figura: l'imbarcazione rischia di finire sugli scogli!
1 cm: 1 m/s
In tutti i casi, la velocità rispetto alla riva è data dalla risultante della composizione delle velocità del dell'imbarcazione e della corrente, secondo le stesse
regole usate per gli spostamenti.
Riassumendo
Le velocità si possono comporre con le stesse regole degli spostamenti.
Domande, esercizi e problemi
V8-1
Un piccolo aereo da turismo vola, con un'inclinazione rispetto al suolo di 45°, ad una velocità di 150 km/h, misurata rispetto all'aria. Vi è un forte vento
contrario, diretto orizzontalmente e con velocità di 50 km/h.
A) Disegna uno schema della situazione, evidenziando i vettori velocità
B) Determina il vettore velocità rispetto al suolo.
V9-2
La pioggia cade con velocità verticale di circa 6 m/s. Supponiamo vi sia vento, con velocità orizzontale di 3 m/s.
A) Disegna uno schema della situazione, evidenziando i vettori velocità
B) Calcola il modulo della velocità della pioggia rispetto al suolo.
C) Misura con il goniometro l'angolo che la pioggia forma con l' orizzontale.
D) Di quanti gradi bisogna tenere inclinato l'ombrello per ripararsi dalla pioggia?
R. Gallerini - I vettori
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V9- Le operazioni sui vettori - La scomposizione dei vettori
In questa unità consideriamo la scomposizione dei vettori, che è in un certo senso l'operazione inversa della composizione.
Consideriamo un vettore ⃗
S , rappresentato da un segmento orientato OP. Prendiamo due direzioni
orientate, perpendicolari tra loro, X ed Y e disegnamole con l'origine nella coda del vettore, O.
In questo modo abbiamo un riferimento Cartesiano ortogonale, con assi X ed Y ed origine in O.
Mandiamo la retta perpendicolare all'asse X per la punta del vettore, ottenendo sull'asse X il punto XS.
Ripetiamo l'operazione con l'asse Y, ottenendo YS.
A questo punto possiamo considerare il vettore
rappresentato dal segmento OYS.
S⃗X rappresentato dal segmento OXS ed il vettore
S⃗Y
I due vettori S⃗X ed S⃗Y sono la scomposizione di ⃗
S rispetto agli assi X ed Y. Osserviamo che dati i due
assi vi è una sola scomposizione; tuttavia prendendo altri due assi otterremmo due vettori diversi, ovvero
un'altra scomposizione; quindi la scomposizione dipende dagli assi scelti. Possiamo scegliere una qualsiasi
coppia di assi, purché perpendicolari.
R . I due triangoli O X S P ed
Facciamo adesso la composizione dei vettori S⃗X ed S⃗Y , ottenendo ⃗
O X S P ' sono congruenti; quindi OP' è sovrapposto ad OP e quindi ⃗
R= ⃗
S . Quindi componendo S⃗X ed
S⃗Y riotteniamo ⃗
S ; in questo senso, la scomposizione è l'operazione inversa della composizione.
R. Gallerini - I vettori
24 /56
Vediamo un esempio di scomposizione di spostamenti.
Nel centro di Torino le strade sono spesso perpendicolari, secondo la struttura dell'antico
accampamento romano da cui trasse origine la città. Dobbiamo andare dalla stazione di Porta
Susa alla fermata dell'autobus vicina all'incrocio tra via Cavalli e via Casalis; ovviamente non
possiamo andarci direttamente (spostamento in nero). Scomponiamo lo spostamento lungo le
direzioni delle vie, perpendicolari tra loro; ora possiamo effettuare i due spostamenti indicati
in blu, la cui composizione è lo spostamento che ci interessava.
Anche le velocità, in quanto vettori, possono essere scomposte. Vediamo un esempio.
Un'imbarcazione, con il timone a zero ovvero nella direzione poppa-prua, si muove con velocità V⃗ ,
misurata rispetto alla riva. L'imbarcazione dovrebbe avere una velocità nella direzione del timone,
ovvero poppa-prua; il fatto che la velocità abbia in realtà un'altra direzione significa che c'è una
corrente perpendicolare alla barca che la trascina. Come possiamo determinare la velocità della
corrente? Scomponendo vettori come in figura.
Si confronti questa figura con quella alla fine dell'unità V8: è la stessa situazione. Allora conoscevamo
la velocità della corrente e quella della barca rispetto all'acqua, e ci serviva trovare la velocità totale.
Ora conosciamo la velocità totale, che scomponiamo per ottenere quella della corrente.
R. Gallerini - I vettori
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Riassumendo
1. Ogni vettore ⃗
S può essere scomposto in due vettori perpendicolari tra loro S⃗x ed S⃗y , la cui composizione è ancora
2. Fissate due direzioni perpendicolari tra loro, la scomposizione è unica.

S = Sx  Sy .
Domande, esercizi e problemi
V9-1
Uno scacchista vuole muovere la torre bianca per mangiare il pedone nero e dare scacco al Re. Però la torre può
muoversi solo in orizzontale o verticale; occorrono quindi due mosse. Disegna un grafico a due dimensioni della
situazione e scomponi il vettore spostamento della torre in due componenti, una orizzontale ed una verticale.
V9-2
Una grande nave da crociera naviga lentamente verso Nord; un crocerista si allena correndo sul ponte, correndo perpendicolarmente alla direzione di
navigazione della nave. La velocità del crocerista, misurata rispetto al mare, è 8 km/h verso Nord-Est.
A) Fai un disegno della situazione, evidenziando i vettori velocità.
B) Determina il modulo della velocità della nave ed il modulo e verso della velocità del crocerista.
R. Gallerini - I vettori
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V10- Le operazioni sui vettori – il prodotto scalare (*)
In questa unità studiamo il prodotto scalare di due vettori: è un'operazione che, dati due vettori
A⋅⃗
B .
si indica come s= ⃗
⃗
A e ⃗
B , consente di ottenere una grandezza scalare s, che
Ricordiamo il concetto di proiezione di un segmento AB su di una retta r : si manda la perpendicolare da
A alla retta r , che la interseca in A ' (detto il piede della perpendicolare); quindi si manda la
perpendicolare da B ad r : il segmento A ' B ' è detto la proiezione del segmento AB su r .
•
p= ⃗A⋅⃗
B si procede così:
⃗ ;
si determina la proiezione di ⃗
A (cioè del segmento orientato che lo rappresenta) sulla retta che contiene B
•
si moltiplica la proiezione
•
si dà al risultato segno positivo se la proiezione di
Per calcolare il prodotto scalare
A B (cioè la lunghezza del segmento proiettato) per il modulo di
⃗
A ha lo stesso verso di
⃗
B (cioè la lunghezza del segmento che lo rappresenta)
⃗
B ; segno negativo se ha verso opposto.
Le figure seguenti illustrano alcuni casi.
Nella figura a destra la proiezione di
p= AB∣⃗
B∣ (positivo).
⃗
A su
⃗
B , cioè
A B=OH , ha lo stesso verso di
⃗
B e quindi
(*) Argomento avanzato
R. Gallerini - I vettori
27 /56
A su ⃗
B ,
Il caso rappresentato nella figura a destra è del tutto analogo al precedente, la proiezione di ⃗
⃗
⃗
cioè A B=OH , ha lo stesso verso di B e quindi p= AB∣B∣ (positivo) . L'unica differenza è che in
questo caso la proiezione H cade sul prolungamento del segmento che rappresenta il vettore.
Nella figura a sinistra la proiezione di
⃗
B e quindi p=−A B∣⃗
B∣ (negativo).
A è perpendicolare a ⃗
B , perciò O≡ H e
Nella figura a destra ⃗
sono perpendicolari il prodotto scalare è nullo.
⃗
A su
⃗
B , cioè
A B=OH , ha verso opposto a
B∣=0 . Quando due vettori
A B=0 ; quindi p=0∣⃗
⃗
A e ⃗
B hanno la stessa direzione e verso, perciò A B=OH =∣⃗
Nella figura a sinistra
A∣ ; quindi


p=∣A∣∣B∣ . Quando due vettori hanno la stessa direzione e verso (cioè sono paralleli) il prodotto scalare è
il prodotto dei moduli (quindi positivo).
Un caso particolare ed importante si ha quando
quadrato del modulo del vettore.
R. Gallerini - I vettori

A=
B : in questo caso
2
⃗
⃗ ∣⃗
A⋅A=
A∣∣⃗A∣=∣⃗
A∣ : il prodotto scalare di un vettore con sé stesso è uguale al
28 /56
In altra parole: il modulo di un vettore è la radice quadrata del prodotto scalare del vettore con sé stesso: ∣⃗A∣=√ ⃗A⋅⃗
A
A e ⃗
B hanno la stessa direzione e verso opposto, perciò A B=OH =∣⃗
Nella figura a destra ⃗
A∣ ;
⃗
⃗
quindi p=−∣A∣∣B∣ . Quando due vettori hanno la stessa direzione e verso opposto (cioè sono
antiparalleli) il prodotto scalare è meno il prodotto dei moduli (quindi negativo).
Mostriamo infine che il prodotto scalare gode di una proprietà importante: la proprietà distributiva del prodotto scalare rispetto alla somma vettoriale:
⃗ =( ⃗A⋅C)+(
⃗
⃗
⃗)
(⃗
A+ ⃗
B)⋅C
B⋅C
La dimostrazione è la seguente:

A⋅V = AV ∣V∣ e AV =OH
⃗
B⋅V⃗ =BV ∣V⃗∣ e BV =HK
⃗ V⃗ =C V ∣V⃗ ∣ e C V =OK
(⃗
A+ ⃗
B)⋅V⃗ =C⋅
Ma
C V =OK =OH + HK =AV + BV
quindi
(⃗
A+ ⃗
B)⋅V⃗ =C V ∣V⃗ ∣=( AV + BV )∣V⃗∣
e per la proprietà distributiva dei numeri:
(AV + BV )∣V⃗∣=( AV ∣V⃗ ∣)+(BV ∣V⃗∣)=( ⃗A⋅V⃗ )+( ⃗
B⋅V⃗ )
come si voleva dimostrare.
Un'altra importante proprietà del prodotto scalare è la proprietà commutativa:
R. Gallerini - I vettori

 =
A⋅B
B⋅
A . La dimostrazione di questa proprietà la daremo nell'unità V15.
29 /56
Riassumendo
1.
2.
3.
4.
5.
6.
⃗∣ ,
B per il modulo ∣B
Il prodotto scalare di due vettori s= ⃗
A⋅⃗
B è definito come il prodotto della proiezione di ⃗
A su ⃗
B∣ .
con segno positivo o negativo a seconda che la proiezione abbia lo stesso verso oppure verso opposto a ∣⃗
Vettori perpendicolari hanno prodotto scalare nullo.
Per vettori con la stessa direzione il prodotto scalare è uguale al prodotto dei moduli, con segno positivo o negativo a seconda
che abbiano lo stesso verso oppure verso opposto.
2
Il prodotto scalare di un vettore con sé stesso è uguale al quadrato del modulo del vettore: A⋅
A=∣
A∣
 ⋅V = 
A B
A⋅V  
B⋅V 
Vale la proprietà distributiva:  
A⋅
B= 
B⋅
A
Vale la proprietà commutativa: 
Domande, esercizi e problemi
V10-1 (1) Due vettori
⃗ =0
A) ⃗
A⋅B
⃗
B) ⃗
A⋅B=12
⃗
C) ⃗
A⋅B=−12
⃗
A e
⃗
B
hanno modulo 3 e 4 rispettivamente (in una certa unità di misura); qual'è l'angolo tra le loro direzioni quando
⃗ , D
⃗ , ⃗
V10-2(1) I vettori ⃗
B , C
E in figura hanno lo stesso modulo ma direzioni diverse.
A) Quali vettori hanno prodotto scalare con ⃗
A uguale ?
B) Quali vettori hanno prodotto scalare con ⃗
A opposto?
1 Adattato da Halliday-Resnick-Walker: Fundamentals of Physics
R. Gallerini - I vettori
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V11- Le componenti di un vettore (*)
Introduciamo una definizione: un vettore T⃗
di modulo unitario ∣T⃗∣=1 viene chiamato versore.
In un riferimento Cartesiano ortogonale con assi X ed Y possiamo considerare il versore dell'asse X, ossia il
vettore di modulo uno che ha la stessa direzione e verso dell'asse X. E' convenzione chiamarlo ⃗i .
In modo del tutto analogo possiamo considerare il versore dell'asse Y, ossia il vettore di modulo uno che ha
la stessa direzione e verso dell'asse Y. E' convenzione chiamarlo ⃗j .
Osserviamo che qualunque vettore V⃗ x diretto lungo l'asse X può essere scritto come
V⃗ x =v x ⃗i
(a)
dove
v x =+∣V⃗ x∣ se V⃗ x ha lo stesso verso dell'asse X
v x=−∣V⃗ x∣ se V⃗ x ha il verso opposto all'asse X
Ed analogamente, qualunque vettore V⃗y diretto lungo l'asse Y può essere scritto come
V⃗y =v y ⃗j
(b)
dove
v y=+∣V⃗ y∣ se V⃗ y ha lo stesso verso dell'asse Y
v y =−∣V⃗ y∣ se V⃗ y ha il verso opposto all'asse Y
(*) Argomento avanzato
R. Gallerini - I vettori
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Ma noi sappiamo, dall'unità V9, che qualunque vettore
vettori diretti come due assi perpendicolari:
V⃗ = V⃗ x + V⃗ y
V⃗ può essere scomposto nella somma di due
(c)
Esprimendo i vettori V⃗ x e V⃗y nella (c) mediante le espressioni (a) e (b),otteniamo infine che
qualunque vettore può essere scritto nella forma
V =v x i v y j
(d)
I numeri v x e v y , che per quanto detto prima possono essere sia positivi che negativi, son detti “le
componenti cartesiane di V⃗ rispetto agli assi”.
Osserviamo che le componenti cartesiane non sono altro che le coordinate cartesiane della punta del vettore, quando la coda del vettore è posta nell'origine.
Ancora, le componenti cartesiane sono le proiezioni (con segno) del vettore sugli assi.
R. Gallerini - I vettori
32 /56
Naturalmente se cambiamo riferimento cartesiano, ruotando gli assi, le componenti cambiano,
come illustrato nella figura a fianco.
Vale inoltre la seguente proprietà: le componenti cartesiane di un vettore
 i e v y =V⋅
 j . La dimostrazione è la seguente. Risulta:
v x =V⋅
V sono uguali al prodotto scalare di
V per i versori
 i = v x i v y j⋅i =v x i⋅i v y j⋅i
V⋅
grazie alla proprietà distributiva del prodotto scalare, dimostrata nell'unità V10.
E' poi i⋅i =∣i ∣2=12 =1 , avendo il versore i modulo unitario. Inoltre j⋅i =0 , essendo i e j perpendicolari tra loro.
⃗ ⃗i =v x ⃗i⋅⃗i +v y ⃗j⋅⃗i =v x⋅1+v y⋅0=v x .
Quindi V⋅
⃗ ⃗j=v x ⃗i⋅⃗j+v y ⃗j⋅⃗j=v x⋅0+ v y⋅1=v y , come si voleva dimostrare.
Analogamente V⋅
Questo significa anche che in un riferimento cartesiano, le componenti cartesiane di V⃗ sono definite univocamente.
Viceversa, date le componenti cartesiane è definito univocamente il vettore V⃗ : infatti è V⃗ =v x ⃗i +v y ⃗j .
Quindi tra i vettori ∣V⃗ ∣ e le loro componenti cartesiane (v x , v y ) , in un dato riferimento, vi è una corrispondenza biunivoca.
R. Gallerini - I vettori
33 /56
i e
j degli assi :
Da questo consegue che:
•
date le componenti è possibile calcolare il modulo e la direzione di un vettore (e viceversa);
•
vettori con componenti uguali sono uguali (e viceversa).
Applicando il metodo di calcolo del modulo di un vettore che avevamo visto nell'unità V7, quando il vettore è somma di vettori perpendicolari e quindi si
può applicare il Teorema di Pitagora, otteniamo subito che:
∣V⃗ ∣= ∣V⃗x∣2+∣V⃗y∣2=√ v 2x + v 2y
√
ovvero il modulo di un vettore è la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti cartesiane.
Il calcolo della direzione orientata (ovvero dell'angolo con una direzione di riferimento) date le componenti, ed il calcolo delle componenti dato il modulo e
la direzione sono possibili, ma richiedono tecniche di trigonometria.
Riassumendo
1. Ogni vettore V⃗ , in un riferimento Cartesiano, può essere scritto come V =v x i v y j , dove ⃗i e ⃗j sono i
versori degli assi X ed Y ed i numeri v x e v y sono detti le componenti cartesiane del vettore nel riferimento.
 i e v y =V⋅
 j
2. Le componenti cartesiane sono date dal prodotto scalare del vettore per i versori degli assi: v x =V⋅
3. Tra vettori e loro componenti cartesiane (in un riferimento fissato) vi è una corrispondenza biunivoca: le componenti
definiscono univocamente il vettore e viceversa.
2
2
4. Il modulo di un vettore può essere calcolato dalle sue componenti cartesiane come ∣V⃗ ∣=√ v x +v y
R. Gallerini - I vettori
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Domande, esercizi e problemi
V11-1 (1) Nella figura a fianco:
A) qual'è il segno della componente x di d⃗1 ?
B) qual'è il segno della componente x di d⃗2 ?
C) qual'è il segno della componente y di d⃗1 ?
D) qual'è il segno della componente y di d⃗2 ?
E) qual'è il segno della componente x di d⃗1 + d⃗2 ?
F) qual'è il segno della componente y di d⃗1 + d⃗2 ?
V11-2 Una grossa cassa viene trascinata lungo un piano inclinato, che forma un angolo di 45° con
l'orizzontale. Se il modulo dello spostamento è ∣⃗
S∣=10 m
A) quant'è lo spostamento orizzontale (positivo verso destra)?
B) quant'è lo spostamento verticale (positivo verso l'alto)?
⃗
S
V11-3 La cassa dell'esercizio precedente viene trascinata lungo un piano inclinato, che questa volta forma un angolo di 30° con l'orizzontale; il modulo
dello spostamento è sempre ∣⃗
S∣=10 m
A) quant'è lo spostamento orizzontale (positivo verso destra)?
B) quant'è lo spostamento verticale (positivo verso l'alto)?
V11-4 La cassa dell'esercizio precedente viene trascinata lungo un piano inclinato, che questa volta forma un angolo di 60° con l'orizzontale; il modulo dello
spostamento è sempre ∣⃗
S∣=10 m
A) quant'è lo spostamento orizzontale (positivo verso destra)?
B) quant'è lo spostamento verticale (positivo verso l'alto)?
(1) Adattato da J. Walker: Fundamentals of Physics
R. Gallerini - I vettori
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V12- Il prodotto di uno scalare per un vettore mediante le componenti (*)
Le operazioni vettoriali assumono una forma particolarmente semplice quando i vettori sono espressi mediante le loro componenti.
Vogliamo moltiplicare un vettore V⃗ , di componenti cartesiane v x e v y , per uno scalare s .
Dimostriamo che il vettore T⃗ di componenti cartesiane t x =s v x e t y =s v y è proprio il vettore T⃗ =s V⃗
Supponiamo dapprima
.
s>0 .
Tracciamo la perpendicolare all'asse X dalla punta di V⃗ , in modo da evidenziare le componenti
cartesiane v x e v y . Esse sono le lunghezze dei cateti del triangolo OAB, rettangolo in O Â B e
la cui ipotenusa OB rappresenta V⃗ .
Costruiamo poi il triangolo O A ' B ' , rettangolo in O Â ' B ' , e con cateti di lunghezze t x =s v x e
t y =s v y ; sia T⃗ il vettore rappresentato dall'ipotenusa OB ' .
OA ' t x
A' B ' t y
= =s e
= =s ; quindi i due triangoli O A B e
OA v x
AB
vy
O A ' B ' sono simili per il primo criterio di similitudine, avendo un angolo congruente (l'angolo
retto) ed i lati adiacenti (i cateti) in proporzione .
Risulta, per costruzione,
Dalla similitudine dei triangoli consegue che anche
OB '
=s , quindi il modulo di
OB
T⃗ è
s volte
il modulo di V⃗ .
̂ B= A' O
̂ B ' , quindi la il direzione di
Sempre dalla similitudine dei triangoli, consegue l'uguaglianza degli angolo nell'origine: A O
V⃗ .
I vettori V⃗ e T⃗
hanno poi lo stesso verso; quindi T⃗ =s V⃗ .
(*) Argomento avanzato
R. Gallerini - I vettori
36 /56
T⃗ è la stessa di
Supponiamo ora
s< 0 .
La dimostrazione è del tutto analoga: i due triangoli O A B e O A ' B ' sono simili, per
cui il modulo di T⃗ è ∣s∣ volte il modulo di V⃗ ; la direzione è ancora la stessa ma ora il
verso è opposto; quindi ancora T⃗ =s V⃗ .
L'ultimo caso si ha per
s=0 . In questo caso T⃗ è il vettore nullo, che ha entrambe le componenti nulle; e quindi anche in questo caso T⃗ =s V⃗ .
Quindi il risultato vale per ogni valore di
s , come si voleva dimostrare.
Riassumendo
Il vettore T⃗ =s V⃗ , in un riferimento Cartesiano, ha componenti proporzionali, secondo il fattore s, alle componenti di
t x =s v x e t y =s v y .
R. Gallerini - I vettori
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V⃗ :
Domande, esercizi e problemi
V12-1
Uno spostamento è V⃗ =(3,5 m) ⃗i −(4,5 m)⃗j .
A) Quali sono le componenti di ⃗
A=2,5 V⃗ ?
B) Quali sono le componenti di ⃗
B=−2,5 V⃗ ?
V12-2
Considera i tre spostamenti V⃗ =−(2,5 m) ⃗i +(3,7 m) ⃗j ,
A) Esiste un numero a per cui ⃗
A=a V⃗ ? Quale?
B) Esiste un numero b per cui ⃗
B=a V⃗ ? Quale?
R. Gallerini - I vettori
⃗
A=(5 m) ⃗i −(7,4 m) ⃗j ,
⃗
B=−(10,0 m) ⃗i −(14,8 m) ⃗j .
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V13- La composizione di vettori mediante le componenti (*)
⃗ ⃗A+ ⃗
Anche la composizione (o somma) di due vettori C=
B può essere fatta facilmente con le componenti: le componenti del vettore somma sono la
somma delle componenti dei vettori addendi: c x =a x +b x e c y =a y +b y . Questo spiega l'uso dell'espressione somma di vettori come sinonimo di
composizione di vettori, e l'uso del simbolo “+”.
Dimostriamolo per le componenti lungo l'asse X.
B sono date da OP=a x e OQ=b x ,
In figura le componenti X dei vettori ⃗
A e ⃗
ottenute mandando le perpendicolari all'asse X AP e BQ dalle punte A e B dei
vettori.
A il vettore ⃗
B ; il vettore
Trasportiamo parallelamente a sé stesso sulla punta di ⃗
trasportato è rappresentato dal segmento AC . Mandiamo la perpendicolare all'asse X
dalla punta C, ovvero CR , e la parallela all'asse X per A , ovvero AS .
̂ Q=C A
̂ S (angoli
Nei due triangoli OQB e ASC sono congruenti gli angoli B O
̂ B= A Ŝ C (entrambi sono
tra coppie di rette a due a due parallele), e gli angoli O Q
angoli retti); quindi sono congruenti anche i rimanenti angoli O B̂ Q= A Ĉ S ; sono
inoltre congruenti i lati OB= AC (che rappresentano entrambi il modulo del vettore
⃗
B ). Quindi i due triangoli sono congruenti per il secondo criterio ed in particolare
sono congruenti i lati AS =OQ=b x .
Ma
PR= AS , lati opposti del rettangolo
PRSA ; e quindi
PR= AS=OQ=b x .
Quindi O R=OP + PR=OP +OQ=a x +b x ; ma O R=c x è la componente lungo
⃗ . Quindi c x =a x +b x , come si voleva dimostrare.
l'asse X del vettore C
La dimostrazione per le componenti lungo l'asse Y si svolge in modo del tutto analogo.
(*) Argomento avanzato
R. Gallerini - I vettori
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Nella figura precedene si è mostrato il caso in cui le componenti a x e b x sono
entrambe positive; nulla cambia negli altri casi: ad esempio nel caso della figura a
destra si ha a x =3 e b x =−4 e risulta c x =3−4=−1 ; la dimostrazione è
la stessa.
Riassumendo
⃗
⃗
⃗
Il vettore C= A+ B ha componenti cartesiane che sono la somma delle componenti di
c x =a x +b x e c y =a y +b y .
R. Gallerini - I vettori
⃗
A
e
⃗
B :
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Domande, esercizi e problemi
V13-1 (1)
In figura sono mostrati i tre vettori spostamento
a =(4,2 m) ⃗i −(1,5 m) ⃗j
⃗
⃗
b =(−1,6 m) ⃗i +(2,9 m) ⃗j
⃗c =(−3,7 m) ⃗j
Quali sono le componenti della somma ⃗r =⃗
a +⃗
b +⃗c ?
V13-2
Dati due spostamenti
⃗ ⃗A+ ⃗
C=
B ?
⃗
⃗ =(−2,5 m) ⃗j , quanto vale il vettore
A=(3,2 m) ⃗i −(1,0 m) ⃗j ; C
⃗
B per cui
V13-3
Nella confusione di una battaglia, l'USS Enterprise ed un'astronave Klingon si trovano quasi nella stessa posizione allo stesso istante, entrambe con velocità
curvatura di modulo 3c ma perpendicolari tra loro. Il capitano Kirk ordina di lanciare immediatamente un siluro fotonico contro l'astronave Klingon.
Nota: nel seguito assumi che le velocità curvatura si sommino come le normali velocità.
A) Fissa un riferimento Cartesiano conveniente e fai un grafico della situazione.
B) Calcola le componenti della velocità del siluro in modo che possa colpire l'astronave Klingon, sapendo che il siluro ha velocità 5 c.
C) A quale velocità dovrebbe portarsi l'astronave Klingon, come minimo, per non essere colpita?
(1) Adattato da Halliday-Resnick-Walker: Fundamentals of Physics
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V14- Il prodotto scalare mediante le componenti (*)
Il prodotto scalare può essere effettuato facilmente in termini di componenti, ricordando le proprietà del prodotto scalare viste nell'unità V10.
A=a x ⃗i + a y ⃗j e ⃗
B=b x ⃗i +b y ⃗j due vettori, descritti mediante le loro componenti in un riferimento Cartesiano i cui assi hanno versori
Siano ⃗
Il prodotto scalare può essere effettuato come segue:
⃗
⃗
⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗
⃗ ⃗
A⋅B=(a
x i + a y j)⋅B=a x i ⋅B+a y j⋅B
dove si è usata la proprietà distributiva del prodotto scalare dimostrata nell'unità V10. E' poi:
a x ⃗i⋅⃗
B =a x ⃗i⋅( b x ⃗i +b y ⃗j )=a x a y ⃗i⋅⃗i + a x b y ⃗i⋅⃗j
usando ancora la proprietà distributiva del prodotto scalare.
Ma ⃗i⋅⃗i =∣⃗i ∣2=12=1 , poiché il prodotto scalare di un vettore per sé stesso è il quadrato del modulo, e ⃗i ha modulo 1.
Ed è ⃗i⋅⃗j=0 , poiché il prodotto scalare di vettori perpendicolari è nullo. Quindi
a x ⃗i⋅⃗
B =a x a y ⃗i ⋅⃗i + a x b y ⃗i ⋅⃗j=a x a y⋅1+a x b y⋅0=a x b y
Analogamente
a y ⃗j⋅⃗
B=a y ⃗j⋅(b x ⃗i +b y ⃗j)=a y b x ⃗j⋅⃗i + a y b y ⃗j⋅⃗j=a y b x 0+a y b y 1=a y b y
e finalmente otteniamo il risultato:
⃗
⃗
A⋅B=a
x bx + ay by
Riassumendo
Il prodotto scalare tra due vettori è dato, in termini di componenti, da
⃗
⃗
A⋅B=a
x bx + ay by .
(*) Argomento avanzato
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⃗i e ⃗j .
Domande, esercizi e problemi
V14-1 Che angolo formano gli spostamenti ⃗
B nei seguenti casi?
A e ⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
⃗
A) A=(2,0 m) i −( 3,0 m) j ; B=(3,0 m) i +(2,0 m) j
B) ⃗
A=(2,5 m) ⃗i −(3,0 m) ⃗j ; ⃗
B=(5,0 m)⃗i −(6,0 m) ⃗j
C) ⃗
A=(1,5 m) ⃗i −(2,0 m) ⃗j ; ⃗
B=−(3,0 m) ⃗i +( 4,0 m) ⃗j
Suggerimento: calcola il prodotto scalare.
⃗
⃗
⃗
⃗
b x affinché sia
V14-2 E' A=(2,5
m)⃗i −(3,5 m) ⃗j ; B=b
x i +( 2,0 m) j . Quanto deve valere
A) ⃗
B perpendicolare a ⃗
A ?
B) ⃗
B antiparallelo (stessa direzione ma verso opposto) ad ⃗
A ?
⃗
⃗
C) B parallelo (stessa direzione e stesso verso) ad A ?
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V15- Le proprietà delle operazioni vettoriali
(*)
Le operazioni sui vettori godono di diverse proprietà, che possono essere dimostrate facilmente in termini di componenti.
⃗ ⃗
La proprietà commutativa del prodotto scalare: ⃗
A⋅B=
B⋅⃗
A .
E' una conseguenza della formula del prodotto scalare mediante le componenti:
⃗
⃗
⃗
A⋅B=a
B⋅⃗
A=b x a x +b y a y
x bx + ay by
ma a x b x =b x a x e a y b y =b y a y per la proprietà commutativa del prodotto di numeri, quindi
⃗
⃗ ⃗
A⋅B=
B⋅⃗
A .
La proprietà commutativa della somma: ⃗
A+ ⃗
B= ⃗
B+ ⃗A .
La componente lungo l'asse X di ⃗
A+ ⃗
B è a x + b x ; quella di ⃗
B+ ⃗A è b x +a x ; ma esse sono uguali per la proprietà commutativa della somma di
numeri. Quindi l'uguaglianza vale per le componenti lungo l'asse X. Nello stesso modo si dimostra che vale anche per le componenti lungo l'asse Y; quindi,
poiché le componenti definiscono univocamente un vettore (ovvero vettori con le stesse componenti sono uguali), la proprietà vale anche per il vettore.
Il significato geometrico di questa proprietà risulta evidente dalla figura, ove il triangolo in
alto corrisponde alla somma ⃗
A+ ⃗
B ed il triangolo in basso alla somma ⃗
B+ ⃗A : la
⃗ e' il lato comune.
somma C
Si noti che il quadrilatero, essendo i lati opposti paralleli per costruzione, è un
⃗ è la diagonale. Per questo la legge di composizione di vettori
parallelogramma di cui C
viene anche chiamata regola del parallelogramma.
(*) Argomento avanzato
R. Gallerini - I vettori
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La proprietà distributiva del prodotto di uno scalare per un vettore, rispetto alla somma degli scalari: (r + s) ⃗
A=r ⃗
A+ s ⃗
A .
La componente lungo l'asse X di r s 
A è (r + s)a x ; quella di r ⃗A è r a x e quella di
(r + s)a x =r a x + s a x ; quindi
s ⃗A è s a x . Ma per la proprietà distributiva dei numeri è
l'uguaglianza vale per le componenti lungo l'asse X. Nello stesso modo si dimostra per le
componenti lungo l'asse Y. Il significato geometrico di questa proprietà risulta evidente dalla figura.
La proprietà distributiva del prodotto di uno scalare per un vettore, rispetto alla somma dei vettori:
s( ⃗
A+ ⃗
B)=s ⃗A+ s ⃗
B .
⃗
La componente lungo l'asse X di
A+ ⃗
B è (a x + b x ) e quindi la
componente lungo l'asse X di
s( ⃗
A+ ⃗
B) è s( a x +b x ) ; usando la
proprietà distributiva dei numeri è s(a x +b x )=s a x + s b x che non è altro
che la somma delle componenti lungo X di s ⃗A e s ⃗
B . Quindi
l'uguaglianza vale per le componenti lungo l'asse X. Nello stesso modo si
dimostra per le componenti lungo l'asse Y.
Anche in questo caso il significato geometrico della proprietà è evidente: i
due triangoli in figura sono simili.
Ricordiamo infine che vale la proprietà distributiva del prodotto scalare, dimostrata nell'unità V10.
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Riassumendo
Le operazioni sui vettori godono delle proprietà:
⃗ ⃗
• commutativa del prodotto scalare: ⃗
A⋅B=
B⋅⃗
A
⃗
⃗
⃗
• disrtributiva del prodotto scalare: ( A+ B)⋅V =( ⃗
A⋅V⃗ )+( ⃗
B⋅V⃗ )
• commutativa della somma: ⃗
A+ ⃗
B= ⃗
B+ ⃗A
• distributiva del prodotto scalare per vettore rispetto alla somma scalare : (r + s) ⃗
A=r ⃗
A+ s ⃗
A
• distributiva del prodotto scalare per vettore rispetto alla somma vettoriale : s( ⃗
A+ ⃗
B)=s ⃗A+ s ⃗
B
Domande, esercizi e problemi
V15-1
Usando le proprietà delle operazioni vettoriali, dimostra che
V15-2
A) Usando le proprietà delle operazioni vettoriali, dimostra che
B) Qual'è l'interpretazione geometrica della formula?
R. Gallerini - I vettori
2
2
 ⋅ 

A B
A− 
B =∣A∣ −∣
B∣
2
 = 
A 
B
∣C∣=∣A∣ ∣B∣22 A⋅B , essendo C
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F1- Le forze
Cosa sia una forza, intuitivamente, è noto:
i cani da slitta esercitano una
forza per trainare la slitta;
un calciatore, quando calcia
il pallone, esercita una forza
che fa muovere il pallone;
il pallone, se colpisce un
vetro, esercita una forza che
può romperlo;
per sollevare un peso, una
gru deve esercitare una forza.
Il peso, una proprietà che hanno tutti i corpi (almeno sulla Terra), è un particolare tipo di forza.
Le forze sono delle grandezze fisiche di notevole importanza. Per definirle in modo fisicamente corretto dobbiamo però stabilire come si misurano. Un modo
tipico di misurare una grandezza fisica è tramite i suoi effetti. Osserviamo che le forze hanno come effetti o il movimento di un corpo (la slitta trainata dalla
forza dei cani, il pallone lanciato dalla forza del calciatore, il peso sollevato dalla forza del motore della gru) oppure la deformazione di un corpo (il vetro
rotto dalla forza del pallone).
Il metodo più semplice è quello basato sulle deformazioni che le forze provocano.
Si può osservare che collegando ad una molla un pesetto, la molla si allunga di una certa quantità a; collegando due
pesetti uguali (ovvero un peso doppio) l'allungamento raddoppia, diventando 2a. Provando con un peso triplo, quadruplo
ecc., l'allungamento diventa triplo, quadruplo ecc. Rimuovendo i pesi, la molla ritorna alla dimensione iniziale.
Questo ci consente di dire che l'allungamento della molla è proporzionale al peso collegato.
Questo è naturalmente vero finché il peso non diventa troppo grande; altrimenti la molla si danneggia e non ritorna più
alla forma iniziale.
Se anziché un peso, che è un particolare tipo di forza, applichiamo alla molla un tipo diverso di forza (ad esempio la
tiriamo con la forza del nostro braccio) otteniamo comunque un allungamento.
R. Gallerini - I vettori
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Possiamo quindi usare la molla per costruire uno strumento di misura: collegandola ad una scala graduata, calibrata mediante un'opportuna forza di
riferimento, otteniamo un dinamometro(*), ovvero uno strumento che misura le forze.
Collegando una forza (ad esempio, ancora un peso) ad un estremo del dinamometro e tenendo fisso l'altro estremo, la molla si allunga; la scala graduata
serve a misurare l'allungamento della molla.
Nella foto di vede un dinamometro, del tipo in uso nei laboratori didattici di fisica. La scala viene calibrata in newton (simbolo: N),
che è l'unità di misura della forza (e quindi anche del peso) nel Sistema Internazionale di unità di misura. Quindi sulla scala si leggerà
il valore della forza applicata, per esempio 5 N.
Un oggetto che ha una massa -misurata su di una bilancia- di 1 kg ha un peso, sulla Terra, di circa 9.8 N.
Evidentemente, una forza non può essere descritta solo dalla sua intensità, ovvero il valore misurato mediante un dinamometro: la slitta si può muovere in
direzioni diverse, a seconda della direzione in cui tirino i cani; il pallone può essere lanciato in direzioni diverse; quindi alle forze è associabile una
direzione.
Quando si tira un oggetto con una fune, la direzione della fune visualizza chiaramente la direzione della forza. Ad una
forza può anche essere associato un verso: tirare è diverso da spingere.
Quindi ad una forza può essere associata un'intensità, una direzione ed un verso, analogamente a quanto abbiamo visto per gli spostamenti e le velocità.
Questo ci autorizza a dire che una forza è una grandezza vettoriale, cioè rappresentabile mediante un vettore? E' un'ipotesi ragionevole, ma comunque solo
un'ipotesi: solo l'esperienza può confermarla. Per il momento ammettiamola valida; nell'unità F2 faremo un esperimento per capire se l'ipotesi è valida o no.
Osserviamo comunque che il dinamometro si dispone nella direzione della forza: ad esempio un dinamometro collegato ad un pesetto si dispone
verticalmente; ed il verso è quello dal punto fisso del dinamometro a quello in cui è applicato il pesetto, ovvero verso il basso. Se tiriamo con la mano un
dinamometro orizzontalmente, esso ancora si dispone nella direzione della forza. Quindi il dinamometro ci dà anche la direzione ed il verso della forza.
(*) Il termine è stato coniato in tempi moderni, dal greco classico δύναμιϛ (dùnamis, forza) e μέτρον (métron, misura).
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•
•
•
Riassumendo
Le forze sono grandezze fisiche vettoriali che si misurano con uno strumento detto dinamometro.
Le forze si manifestano causando movimenti o deformazioni.
L'unità di misura della forza nel Sistema Internazionale e' il newton (N).
Attenzione!
Spesso nel linguaggio comune si dice che un corpo pesa 1 kg. In realtà 1 kg è la sua massa; il peso corrispondente è circa 9,8 N. Il motivo della
confusione è duplice:
•
sulla Terra, peso e massa sono propozionali (con un fattore circa 9,8, detto accelerazione di gravità e che ha come simbolo la lettera g), quindi è
facile confonderli; ma ad esempio sulla Luna un corpo di massa 1 kg avrebbe un peso di solo 1,6 N. In realtà anche sulla Terra il peso cambia,
anche se di poco: una massa di 1 kg, pesata con un dinamometro a Roma, dà 9,803 N; la stessa misura ripetuta ad Helsinki darebbe 9.825 N ed a
Bangkok 9.780 N. (#)
•
in passato (e talvolta ancora oggi) si usava come unità di forza il kilogrammo-peso, abbreviato in kgp. Questo genera confusione tra il
kilogrammo come unità di massa ed il kilogrammo-peso come unità di forza. Per evitare confusioni, il Sistema Internazionale prevede di usare il
kilogrammo (kg) come unità di massa ed il newton (N) come unità di forza.
(#) Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/Gravity_(Earth)
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Esercizio per casa: costruzione di un dinamometro ad elastico
Materiale occorrente: un elastico (possibilmente nuovo); una graffetta; un cartoncino abbastanza robusto (con almeno un lato su cui si possa scrivere);
una lattina da bibita (vuota); matita e righello; una bilancia da cucina.
Esecuzione: Fai un foro nel cartoncino, infila l'elastico ed annodalo, in modo da bloccare il primo estremo dell'elastico.
Piega la graffetta, in modo da formare un gancio, e fissala al secondo estremo dell'elastico.
A questo punto hai già la struttura del dinamometro: se metti il cartoncino in verticale (ad esempio appoggiandolo ad una
parete) ed appendi un pesetto al gancio (ad esempio la lattina da bibita parzialmente riempita d'acqua) vedrai che l'elastico
si allunga. Manca tuttavia la scala graduata dove leggere le forze.
Riempi la lattina con acqua in modo che abbia una massa (misurata con la bilancia da cucina) di 0,1 kg; m etti il cartoncino
in verticale ed appendi la lattina al gancio; segna il punto in cui si trova il bordo piatto della graffetta. Riempi ancora la
lattina con acqua in modo che abbia una massa (sempre misurata con la bilancia da cucina) di 0,2 kg; segna anche questo
punto sul cartoncino. Poiché una massa di 0,1 kg ha un peso di circa 1 N (approssimiamo g≈10 N /kg ) ed una massa di
0,2 kg di circa 2 N, ora puoi costruire la scala.
Con il righello, traccia un segmento che unisca i due punti e misura la distanza tra i due punti (ad esempio potrebbe essere
45 mm), dividi per dieci (4,5 mm) e traccia nove divisioni intermedie a questa distanza. Hai ottenuto una scala da 1N a 2
N, con divisioni di 0,1 N.
Attenzione: se l'elastico che stai usando è molto rigido, ovvero si allunga poco, usa masse più grandi (ad esempio 0,2 e 0,3
kg); se invece è molto elastico, ovvero si allunga molto, usa masse più piccole (ad esempio 0,05 e 0,10 kg).
A questo punto puoi effettuare delle misure; ad esempio puoi mettere una quantità d'acqua intermedia nella lattina e pesarla. Puoi anche confrontare il
risultato con quello ottenuto misurando la massa (con la bilancia da cucina) e moltiplicando per g≈10 N /kg . Dovresti ottenere un risultato corretto,
con un errore strumentale di circa mezza divisione (0,05 N).
Potresti ottenere un errore più grande se l'elastico è vecchio: con il tempo il materiale di cui sono fatti gli elastici perde le sue caratteristiche di elasticità.
Prova con un elastico nuovo: dovrebbe andare meglio!
I dinamometri dei laboratori didattici usano delle molle d'acciaio, che consentono di avere un'accuratezza maggiore degli elastici.
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Domande, esercizi e problemi
F1-1
Due cani poco collaborativi trainano una slitta; il primo esercita una forza di 300 N verso Nord mentre il secondo una forza di 300 N verso Est.
A) Disegnare uno schema della situazione, evidenziando i vettori forza.
B) Determinare la forza risultante che agisce sulla slitta, in termini di modulo ed angolo.
C) Determinare la direzione di movimento della slitta (angolo rispetto all'asse Sud-Nord).
F1-2
Una pesante cassa è appoggiata su di un piano inclinato rispetto all'orizzontale. Scomponi il peso
⃗
P , pari a 2 kN, lungo le due direzioni rispettivamente parallela e perpendicolare al piano
inclinato, trovando (mediante calcoli, senza usare il righello) i moduli delle due forze ottenute
dalla scomposizione, P⃗// ed P⃗┴ nei casi seguenti:
A) l'angolo di inclinazione del piano è 45°
B) l'angolo di inclinazione del piano è 30°
C) l'angolo di inclinazione del piano è 60°
D) l'angolo di inclinazione del piano è 0° (ovvero il piano è orizzontale)
E) l'angolo di inclinazione del piano è 90° (ovvero il piano è verticale)
F1-3
Durante la costruzione di una piramide due squadre di operai (i Verdi e i Rossi) trascinano
faticosamente un grande masso mediante delle funi. Le forze esercitate dalle due squadre
sono equali in modulo: ∣F⃗ R∣=∣F⃗V∣=1,2 kN ma hanno direzioni diverse. Determinare
(mediante calcoli, senza usare il righello) la forza applicata alla cassa, in termini di modulo,
direzione e verso, quando l'angolo tra le due funi è
A) 60°
B) 120°
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F2- La natura vettoriale delle forze
Abbiamo detto precedentemente che le forze sono vettori.
Però non basta che una grandezza fisica sia descrivibile mediante un valore, una direzione ed un verso per essere un vettore.
Occorre pertanto pensare a delle esperienze che confermino o smentiscano l'ipotesi che le forze siano vettori. In altri termini, occorre verificare se le
operazioni vettoriali fondamentali:
1) il prodotto di uno scalare per un vettore
2) la composizione (o somma) vettoriale
si applicano alle forze.
La prima condizione, in realtà, l'abbiamo imposta nella definizione stessa di forza mediante il dinamometro: abbiamo visto che se colleghiamo un peso P ad
⃗ per un numero k
in dinamometro, esso misurerà P; se colleghiamo due pesi P, esso misurerà 2P; e cosi via. Questo significa che moltiplicare una forza F
⃗ (uguali in senso vettoriale, quindi con lo stesso modulo, direzione e verso) al dinamometro, e questo
corrisponde ad applicare k forze uguali ad F
⃗ .
misurerà una forza pari a k F
La seconda condizione deve invece essere sottoposta ad esperimento. Ma cosa significa sommare le forze? Osserviamo innanzitutto che due forze opposte
(ovvero uguali in modulo e direzione ma con verso opposto) applicate nello stesso punto si equilibrano: il loro punto di applicazione non si sposta.
E' il principio del gioco del tiro alla fune: finché le due squadre esercitano la stessa forza, si ha equilibrio e le squadre
restano ferme; quando una squadra riesce a superare in forza l'altra, la trascina oltre la linea di demarcazione e vince.
Possiamo vedere questo fatto molto bene facendo una semplice esperienza: colleghiamo due pesetti tra di loro, mediante una carrucola ed
una funicella. Teniamoli fermi e poi lasciamoli liberi. Possiamo osservare che se il modulo della forza peso P⃗1 , misurata con il
dinamometro, supera quella di P⃗2 , la fune si muove: il pesetto a sinistra scende e l'altro sale; non vi è equilibrio. L'opposto succede se il
modulo di P⃗2 è maggiore del modulo di P⃗1 . Quando invece i due moduli sono uguali si ha equilibrio, e nulla si muove. E' proprio
come nel tiro alla fune, ma nell'esperimento possiamo misurare con il dinamometro le forze e vedere quantitativamente quello che succede.
Vediamo anche che il sistema composto dall'asta, carrucola e funicella (opportunamente realizzato) consente di trasportare le forze da un
punto ad un altro, senza cambiarne il modulo ma cambiandone il verso: per questo P⃗2 è in grado di equilibrare P⃗1 .
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Quindi due forze F⃗A e F⃗B con lo stesso modulo e direzione ma verso opposto (ovvero F⃗B =−F⃗B ) applicate nello stesso punto stanno in equilibrio.
R= F⃗A + F⃗B =⃗
0 .
In altre parole il risultante, ovvero la somma vettoriale delle due forze, è nullo: ⃗
Ma se le forze sono davvero grandezze vettoriali, quello che conta è il risultante: se ho tre forze, applicate nello stesso punto e con risultante nullo:
⃗
R= F⃗1 + F⃗ 2+ F⃗3= ⃗
0 esse devono essere equivalenti al caso di due forze opposte; e quindi devono mantenere il punto di applicazione in equilibrio. Lo
stesso deve valere per quattro, cinque o più forze, purché il risultante sia nullo.
Quindi verificare che la somma vettoriale si applica alle forze (e quindi che le forze sono veramente vettori) equivale a verificare che tre o più forze con
risultante nullo si equilibrano.
Questo si può realizzare con un apparato sperimentale come quello in figura: tre pesetti, preventivamente misurati con
il dinamometro e di modulo P 1 , P 2 e P 3 , sono collegati tra di loro mediante tre funicelle e due carrucole come
in figura. Le funicelle sono annodate tra loro in un punto C: questo è il punto di applicazione delle forze. Il modulo
F⃗ 2 ed F⃗ 3 che le funicelle applicano al punto C sono pari ai pesi, perché abbiamo visto che
delle forze F⃗1
carrucole e funi (opportunamente realizzate) trasportano le forze cambiandone eventualmente la direzione ma non il
modulo. Le carrucole possono essere fatte scorrere e bloccate sulle aste all'altezza desiderata. Si dispone il sistema in
modo che il tutto stia fermo: il punto C è quindi in equilibrio.
0 .
Per quanto detto prima, la risultante delle tre forze deve esser nulla: F⃗1 + F⃗2 + F⃗ 3=⃗
In altri termini, la somma vettoriale delle prime due forze (fatta con la consueta regola punta-coda della composizione
vettoriale) deve essere opposta alla terza: F⃗1 + F⃗2=− F⃗ 3 , ovvero aver lo stesso modulo, la stessa direzione e verso
opposto al vettore F⃗ 3 .
Vediamo se è proprio così.
Dietro l'apparato si fissa un foglio di carta, e si segnano su di esso due punti per ogni tratto di fune. In questo modo si
definisce, sul foglio, la direzione delle funicelle. Occorre prestare attenzione a tenere i due punti di una coppia più
lontani possibile tra di loro, per ridurre l'errore grafico; e naturalmente non bisogna spostare le funicelle.
R. Gallerini - I vettori
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Ora si toglie il foglio di carta dall'apparato e, con un righello, si congiungono i punti con delle rette, come in figura. Se i punti
sono stati presi correttamente, le tre rette si incontrano in un punto C, come nell'apparato sperimentale; le rette riproducono
le direzioni delle funicelle con una buona precisione.
A questo punto si traccia sulla prima retta un segmento di lunghezza pari (in una scala opportuna) al valore misurato del peso
P 1 : se l'ipotesi che le forze siano vettori è corretta, questo segmento rappresenta il vettore forza F⃗1 .
Infatti il modulo è pari a P 1 ; la direzione è quella della funicella, e quindi della forza; il verso è quello in cui la fune tira.
Si traccia poi, a partire dalla punta di F⃗1 , un segmento di lunghezza pari (nella scala scelta) al peso P 2 , con direzione
parallela a quella della seconda retta. Prendendo il verso concorde con la trazione della fune, questo segmento rappresenta il
vettore F⃗ 2 .
Il disegno sul foglio dà la rappresentazione grafica dei vettori forza F⃗1 e F⃗ 2 .
Ora non rimane che applicare la regola della composizione delle forze, per ottenere graficamente il vettore − F⃗3 .
Se le forze sono vettori, il risultato (entro i limiti dell'errore sperimentale) dovrebbe essere
quello rappresentato nella figura di sinistra: − F⃗3 ha la stessa direzione della terza
funicella, ha lunghezza (in scala) pari al peso P 3 e ha verso opposto al senso della
trazione della terza funicella (per questo vi è un segno meno).
Qualora invece o la direzione o la lunghezza o entrambe fossero significativamente diverse
da quelle corrispondenti a − F⃗3 , come nella figura di destra, significherebbe che le
forze non seguono la regola della composizione di vettori, e quindi non possono essere
considerate vettori.
L'esperimento conferma che effettivamente le forze si comportano come vettori.
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Nota
Abbiamo detto che una grandezza fisica, dotata di modulo, direzione e verso non è necessariamente un vettore; per questo si è illustrato un esperimento per
verificare che effettivamente le forze si comportano come vettori. Esistono grandezze fisiche con modulo, direzione e verso che non sono vettori? Sì; ad
esempio le rotazioni nello spazio.
Una rotazione è definita completamente dall'angolo di rotazione (ad esempio 70°) e dalla retta orientata attorno a
cui avviene la rotazione, detta asse di rotazione. Si usa la convenzione per cui la rotazione avviene in senso
antiorario attorno all'asse; cambiando di verso all'asse la rotazione si inverte. Quindi le rotazioni possono essere
rappresentate da un vettore, avente come modulo l'angolo di rotazione, come direzione quella dell'asse e con il
verso coerente con la convenzione delle rotazioni antiorarie
Proviamo a comporre due rotazioni: ad esempio ruotiamo un libro,
inizialmente appoggiato su di un tavolo orizzontale, prima di 90°
attorno ad un asse orizzontale, chiamiamola rotazione Rorizz , e poi
di 90° attorno ad un asse verticale, chiamiamola Rvert . Ecco cosa
succede.
Proviamo ora a comporre le due stesse rotazioni, ma invertendo
l'ordine: prima Rvert e poi Rorizz . Ecco cosa succede.
I risultato è diverso! Ovvero Rorizz + R vert ≠Rorizz + R vert . Ma la
composizione di vettori è commutativa, ovvero non dipende
dall'ordine: V⃗1 + V⃗2 =V⃗2 + V⃗1 .
Quindi le rotazioni nello spazio, pur potendo essere definite da un modulo, una direzione ed un verso, non sono dei vettori.
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Domande, esercizi e problemi
F2-1
Tre squadre giocano al tiro alla fune. Ad un certo punto del gioco la situazione
è di equilibrio; si sa che la squadra verde e la squadra rossa esercitano forze
uguali in modulo ∣F⃗ R∣=∣F⃗V∣=1,2 kN ma con diversa direzione. Determinare
(mediante il calcolo) il modulo , la direzione ed il verso della forza esercitata
dalla squadra blu F⃗B quando l'angolo tra le funi della squadra verde e rossa è
pari a
A) 60°
B) 45°
C) 30°
Suggerimento: riguarda l'esercizio F1-3.
F2-2
Durante la costruzione di una piramide, ad un geometra egiziano è stato affidato il compito di gestire il
sollevamento di un blocco di roccia pesante 100 kN. Egli ha deciso di sollevarlo facendolo trascinare con
funi da operai su di un piano inclinato di 45° rispetto all'orizzontale. Il piano inclinato sostiene il blocco
esercitando su di esso una forza (la reazione vincolare ⃗
R ) che è perpendicolare al piano stesso; gli
⃗
operai esercitano una forza parallela al piano F .
⃗ affinché il blocco sia in equilibrio; per il sollevamento è
A) Calcolare il valore minimo della forza F
sufficiente (supponendo il piano inclinato quasi perfettamente liscio) una forza appena superiore.
B) Sapendo che un operaio esercita una forza di 1000 N, quanti operai sono necessari, come minimo, al
sollevamento?
C) Se si fosse usato un piano inclinato di 30°, quanti operai sarebbero occorsi?
D) Se si fosse usato un piano inclinato di 60°, quanti operai sarebbero occorsi?
E) Se si fosse sollevato il blocco senza usare un piano inclinato, ovvero sollevandolo con una forza diretta
verso l'alto, quanti operai sarebbero occorsi?
Suggerimento: riguarda l'esercizio F1-2.
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