Elementi di Teoria della Trave
Il vincolo di continuità esistente tra le varie parti di un solido è costituito dalla coesione tra il
materiale che sta da una parte di una ideale sezione di separazione con quello che sta dall’altra. E’
evidente che la sollecitazione proveniente da una parte del corpo sarà trasferita all’altra mediante
una distribuzione di forze elementari che interessa tutta la sezione.
E’ come se una serie di vincoli fossero distribuiti uniformemente lungo la sezione S che divide le
due parti, a ciascuna delle quali sarà applicata una reazione ∆R (tre componenti nello spazio, due
nel piano). Il sistema di tali reazioni sarà equivalente alla sollecitazione applicata al corpo in esame.
In altre parole, una volta determinate le caratteristiche della sollecitazione relative ad una sezione S,
rivolgiamo la nostra attenzione alla sezione stessa per risalire dalle caratteristiche della
sollecitazione alle forze interne che hanno sede nella sezione e le cui risultanti sono appunto le
caratteristiche N, M, T.
Poiché l’analisi rigorosa di questo problema esula dagli scopi di questa breve trattazione, verranno
introdotte ipotesi semplificate i cui significati verranno via via illustrati.
La conoscenza delle caratteristiche della sollecitazione in una sezione S non è ancora la conoscenza
della legge con cui queste caratteristiche vengono distribuite sulla sezione stessa per dar luogo a
quelle forze interne alle quali daremo il nome di TENSIONI.
Per comprendere i motivi che rendono indispensabile la conoscenza delle tensioni è sufficiente
riflettere sul fatto che la conoscenza delle caratteristiche della sollecitazione, da sola, non permette
di comprendere se la sezione su cui esse agiscono è o meno in grado di sopportarle.
Ad esempio l’eventualità che un’asta di una sezione reticolare si rompa o meno dipende non solo
dal valore calcolato di N, ma anche dall’area della sezione dell’asta e dal materiale da cui essa è
costituita. La forza interna N rappresenta in realtà la risultante della distribuzione di forze
elementari agenti su tutta l’area, cioè N/A. Quanto più grande è la sezione tanto più piccola è la
tensione corrispondente. Tanto maggiore è la capacità di resistenza di una sezione quanto più
resistente è il materiale impiegato.
Per passare al concetto di tensione, possiamo pensare alla fune o al pilastro come se fossero
composti da infinite fibre parallele di dimensioni trasversali infinitesime. Si definisce TENSIONE
NORMALE lo sforzo normale applicato alla fibra di sezione unitaria.
Infatti, la forza per unità di area, o intensità delle forze distribuite su una data sezione, detta appunto
tensione è:
σ =
N
A
1
Così come definita la tensione normale σ rappresenta il valore medio dello sforzo sulla sezione
piuttosto che lo sforzo in uno specifico punto della sezione.
Per definire lo sforzo in un punto P della sezione si consideri una piccola area ∆A nell’intorno di P.
Dividendo l’intensità ∆F per ∆A si ottiene il valore medio dello sforzo su ∆A. Facendo tendere ∆A
a zero si ottiene lo sforzo nel punto P:
σ = lim
∆A → 0
∆F
∆A
In generale, il valore ottenuto per la tensione σ nel punto P è diverso dal valore dello sforzo medio
poiché σ varia sulla sezione. Ad esempio in un’asta soggetta a carichi concentrati uguali ed opposti
(a), questa variazione è piccola in una sezione lontana dai punti di applicazione dei carichi
concentrati (c), ma diviene rilevante in prossimità di questi punti (b, d).
La reale distribuzione degli sforzi nella generica sezione è staticamente indeterminata.
2
UNA DISTRIBUZIONE UNIFORME DI TENSIONI È POSSIBILE SOLO SE LA LINEA
D’AZIONE DEI CARICHI CONCENTRATI P PASSA PER IL BARICENTRO DELLA
SEZIONE CONSIDERATA.
Questo caso viene definito come FORZA NORMALE CENTRATA.
Un tipo di sforzo completamente diverso si ottiene quando ad un elemento strutturale si applicano
forze trasversali:
Tagliando l’asta mediante una sezione compresa tra i punti di applicazione delle due forze ed
isolando una delle due parti si conclude che devono esistere forze interne, agenti nel piano della
sezione di risultante pari a P.
Dividendo la forza di taglio P per l’area della sezione si ottiene la TENSIONE TANGENZIALE
MEDIA τ:
τ med =
P T
=
A A
In genere la distribuzione degli sforzi tangenziali su tutta la sezione non può essere considerata
uniforme, ma varia dal valore zero alla superficie dell’elemento, fino ad un valore massimo τ max che
può essere anche molto più grande del valore τ med .
Le tensioni (σ e τ) sono definite quindi dal rapporto tra una forza ed un’area (tra una sollecitazione
e la superficie della sezione considerata). La sua unità di misura nel sistema pratico M.K.S. è il
kg/cm². Nel sistema internazionale S.I. l’unità di misura della tensione prodotta da 1N su una
superficie di 1 m²:
1Pa = 1 N2
m
Più usato è il multiplo MPa (megapascal) che vale:
1Mpa = 10 6 Pa = 10 6 N2 = 1 N 2
m
mm
La conversione approssimata di queste unità di misura è:
1
kg
= 10 N 2 = 0 ,10 N 2 = 0,10MPa
2
cm
cm
mm
Ovvero:
1 MPA = 1
N
= 10kg / cm 2
2
mm
3
I casi analizzati in precedenza erano limitati a elementi sotto carico assiale e sotto carico trasversale.
La maggior parte degli elementi strutturali sono sottoposti a condizioni di carico più complesse.
Per rendere più immediata la visualizzazione dello stato di tensione in un punto P di un elemento
soggetto a condizioni di carico e quindi di sollecitazione qualsiasi, conviene considerare un cubo
infinitesimo centrato in P e gli sforzi esercitati su ciascuna delle sei facce del cubo.
Le componenti di tensione mostrate in figura sono σ x , σ y e σ z , che rappresentano le tensioni
normali sulle facce perpendicolari rispettivamente agli assi x, y e z, e le sei componenti di tensione
tangenziale τ xy , τ xz , ecc. in cui il primo pedice rappresenta l’asse perpendicolare alla faccia su cui
agisce la tensione, mentre il secondo pedice indica il verso della tensione.
Tra le sei componenti dello sforzo tangenziale sussistono importanti relazioni. Mediante condizioni
di equilibrio si ottiene che:
τ xy = τ yx
τ zx = τ xz
τ zy = τ yz
Nelle applicazioni comuni, la determinazione degli sforzi non è fine a se stessa, ma è invece
utilizzata come strumento per la risoluzione dei seguenti problemi:
1) VERIFICA di strutture esistenti al fine di prevedere il loro comportamento per assegnate
condizioni di carico.
2) PROGETTO di nuove strutture destinate ad assolvere specifiche funzioni, nel rispetto di
opportuni requisiti di sicurezza ed economicità.
Al fine di risolvere entrambi i problemi è necessario conoscere il comportamento del materiale
utilizzato quando è soggetto ad assegnate condizioni di carico. A questo scopo vengono effettuate
prove sperimentali su opportuni campioni dello stesso materiale.
La mancanza di omogeneità od isotropia della maggior parte dei materiali da costruzione (legno,
calcestruzzo, murature), le resistenze che si ottengono per lo stesso materiale sono diverse a
seconda del tipo di sollecitazione. Quindi le prove che è necessario effettuare per ottenere una
completa descrizione delle sue proprietà meccaniche sono di diverso tipo. Esistono però diverse
teorie che ci permettono di ricondurre stati tensionali dovuti a sollecitazioni composte a stati di
tensione derivanti da sollecitazione assiale (N) di trazione o compressione.
4
Se assoggettiamo una barra di acciaio ad uno stato di sollecitazione di trazione semplice e in
particolare se riportiamo in un diagramma sulle ascisse le variazioni ∆L della lunghezza originaria
L del provino e sulle ordinate i carichi sollecitanti P si ottiene:
Sino ad un certo valore del carico P (tratto OA) la relazione che esprime il ∆L è:
∆L = KP
dove K è una costante.
In altre parole il legame è lineare.
Superato questo valore il legame cessa di essere lineare per assumere una legge più complessa (gli
allungamenti crescono più rapidamente del carico).
Superato il carico corrispondente al punto B del diagramma, osserviamo che l’allungamento
aumenta rapidamente sotto carico costante (tratto orizzontale BC).
Questo tratto rappresenta lo snervamento del materiale.
Dopo questo si entra nel campo delle grandi deformazioni: a piccoli incrementi di carico
corrispondono forti allungamenti di tipo permanente fino alla rottura del provino, punto E.
Un diagramma di questo tipo, caratterizzato da un grande allungamento a rottura ∆Lmax e dal
fenomeno di snervamento, è proprio dei materiali duttili (acciaio da costruzione); viceversa uno
scarso allungamento a rottura è proprio dei materiali cosiddetti fragili (calcestruzzo, muratura), il
diagramma tipo è:
5
Sulla base di questi esperimenti si trova che ∆L è proporzionale a P ed L è inversamente
proporzionale all’area della sezione del provino A, cioè:
∆L = K ' PL
A
che può essere scritta come:
ε=
∆L
P
σ
= K' = K' σ =
L
A
E
dove ε=∆L/L rappresenta l’allungamento o l’accorciamento unitario, σ è la tensione normale,
mentre la costante K ' = 1/E è dipendente solamente dal materiale.
σ = Eε
ε=
σ
E
La costante E prende il nome di modulo di elasticità E. La precedente relazione prende il nome di
legge di Hooke valida per i sistemi elastici.
MODULI ELASTICI PER I MATERIALI DA COSTRUZIONE
Acciaio: 2˙100˙000 kg/cm² (210˙000 N/mm²)
Calcestruzzo: 200˙000 ÷ 450˙000 kg/cm² (20˙000 ÷ 45˙000 N/mm²)
Legno: 100˙000 kg/cm² (10˙000 N/mm²)
Una volta noto il carico ultimo a cui può resistere un dato elemento strutturale, il progetto di tale
elemento consisterà nel verificare che il carico ultimo sia considerevolmente maggiore del carico
che l’elemento sopporta nelle normali condizioni di utilizzo. Quest’ultimo carico è detto carico
ammissibile o carico di esercizio o di progetto. La restante parte è tenuta come riserva per garantire
la sicurezza.
CARICO AMMISSIBILE =
CARICO ULTIMO
FATTORE DI SICUREZZA
Se ci si riferisce al caso di tensione normale σ si ha:
Il fattore di sicurezza tiene conto delle numerose incertezze presenti nella conoscenza delle azioni
esterne, delle sollecitazioni e dello stato tensionale.
σ amm =
σu
F.S.
6
CASI ELEMENTARI DI SOLLECITAZIONE
FORZA NORMALE N
Questa sollecitazione si verifica in un elemento strutturale quando in tutte le sue sezioni è diversa da
zero la sola forza normale.
σ=
N
A
⎛ N⎞
⎜ ± ⎟ + TRAZIONE
⎝ A⎠
− COMPRESSIONE
La distribuzione delle tensioni nella sezione è di tipo uniforme, quindi il relativo diagramma è
costante.
N
≤ σ amm
A
N
PROGETTO: A =
VERIFICA: σ =
σ amm
7
Quando le dimensioni della sezione sono notevolmente piccole rispetto alla sua lunghezza, occorre
distinguere tra sollecitazione di trazione e sollecitazione di compressione.
Nel caso di sollecitazione di compressione, nelle sezioni snelle possono insorgere fenomeni di
instabilità.
Consideriamo un’asta di acciaio di lunghezza L vincolata alle estremità come indicato in figura:
Si applica alla trave un carico assiale P ed una forza trasversale F.
Esiste un certo valore del carico applicato P, detto carico critico Pcr, al di sopra del quale l’asta
dopo aver rimesso l’azione di disturbo F, non rimane più nella configurazione iniziale rettilinea. Il
carico critico dipende dalla lunghezza dell’asta e dal momento d’inerzia I per il quale si assume il
valore più piccolo della sezione.
Se consideriamo un elemento strutturale compresso per il quale non si inneschi il fenomeno
dell’instabilità, vale la formula:
P = σ amm A
Se si aumenta la lunghezza del pilastro, per evitare l’insorgere di fenomeni di instabilità, occorre
ridurre l’entità della forza P oppure, diminuire la tensione ammissibile di calcolo. Chiamando ω il
coefficiente di riduzione della tensione ammissibile si ha:
P=
σ amm
A
ω
dove ω è un coefficiente che dipende dalla snellezza dell’elemento compresso.
La formula di progetto dell’elemento strutturale è quindi:
A=
ωP
σ amm
8
FLESSIONE RETTA
Consideriamo una trave prismatica con sezione dotata di un asse di simmetria sollecitata da un
carico uniformemente ripartito.
Concentriamo la nostra attenzione sulla parte di trave soggetta al momento flettente massimo:
M max =
pl 2
8
La deformazione della parte di trave soggetta al momento massimo è la seguente:
Se si considerano positive le deformazioni ε di allungamento si rileva una variazione da valori
positivi (di allungamento) al lembo inferiore e valori negativi (di accorciamento) al lembo
superiore. Tale variazione è lineare con l’altezza e le sezioni per ipotesi si mantengono piane dopo
la deformazione.
Nel passare da allungamenti ad accorciamenti si evidenzia la presenza di uno strato di fibre che
mantengono inalterata la lunghezza. Tale strato si chiama neutro e si indica quale ASSE NEUTRO
la sua intersezione con la generica sezione della trave.
9
Supponendo valida la legge di Hooke e detto E il modulo di elasticità del materiale dobbiamo
ammettere che alla dilatazione ε corrisponde una tensione σ:
σ = Eε
La legge di Hooke consente di passare dalle tensioni alle deformazioni. Ribaltando i diagrammi nel
piano della sezione si ottiene:
Il diagramma delle tensioni deve soddisfare due condizioni di natura statica, cioè di equilibrio:
a) Il risultante delle tensioni deve essere equivalente ad una forza normale nulla (ΣF x =0)
H
∫0 σ ( y ) B dy = 0
C=
1
H
σ max B
2
2
−C +T = 0
T=
1
H
σ max B
2
2
10
Tale equazione fornisce la posizione dell’asse neutro, tenendo conto dell’andamento lineare delle
tensioni.
b) l’insieme delle tensioni deve dar luogo ad un momento risultante pari a quello applicato M,
H
∫0 σ ( y ) B y dy = M
La condizione a) indica che il momento statico della figura rispetto all’asse neutro e che quindi
l’asse neutro è baricentrico. Posizionando quindi gli assi con origine nel baricentro:
Poiché la tensione è proporzionale alla distanza dall’asse neutro (legame lineare), la generica
tensione della fibra a distanza y dall’asse neutro è σ(y)=Cy, dove C è una costante da determinare.
L’equazione che fornisce l’equilibrio dei momenti è quindi:
ys
ys
i
i
∫y σ ( y ) B y dy = C ∫y
C=
By 2 dy = C I z = M
M
M
⇒ σ = Cy =
y
Iz
Iz
Se in particolare poniamo y = yi e y = ye otteniamo i valori estremi per la sezione normale:
σ i = σ max =
M
yi
Iz
σ s = σ min =
M
ys
Iz
Se si pone:
Iz
= Wi
yi
Iz
= Ws
ys
e
Si ottiene:
σ max =
M
Wi
σs = −
M
WS
Le due grandezze Wi e Ws sono caratteristiche della sezione considerata e prendono il nome di
moduli di resistenza (a flessione).
Per la sezione rettangolare si ha:
σ max =
M
M
y =
I z i BH 3
12
H
M
=
2 BH 2
6
11
Per la verifica della sezione occorrerà la σ max non superi un limite accettabile per la trazione e la
σ min non superi un limite accettabile per la compressione. Per alcuni materiali tali limiti sono uguali
per altri no. Supponiamo di conoscere tali limiti, cioè una σ amm :
VERIFICA:
σ=
M
≤ σ amm
W
PROGETTO: W ≥
M
σ amm
Per la sezione rettangolare:
BH 2 ≥
6M
σ amm
Si tenga presente che lo spostamento di parti di area, prossime all’asse neutro, verso i lembi della
sezione, a parità di area totale, porta ad incrementare il modulo di inerzia e quindi il modulo di
resistenza.
DEFORMAZIONE DI UN ELEMENTO SOGGETTO A FLESSIONE
Poiché il momento flettente è uniforme, l’elemento si infetterà uniformemente. La linea AB, data
dall’intersezione della superficie superiore dell’elemento con il piano delle coppie ha una curvatura
costante. In altre parole, la linea AB, originariamente rettilinea, viene trasformata in un arco di
circonferenza di centro C.
In generale la deformazione dell’elemento causata dal momento flettente M è misurata dalla
curvatura della superficie neutra. Indicando con R il raggio del cerchio nel quale si trasforma l’asse
della trave, la deformazione della generica fibra è:
12
1
y
=
R εx
Es. 1
Si progetti la sezione di una trave in acciaio appoggiata alle estremità e sottoposta ad un carico
uniformemente distribuito. Si consideri la sola flessione semplice.
Consideriamo un profilato a doppio T serie IPE in acciaio tipo Fe 360, σ =1600 kg/cm².
Il minimo modulo di resistenza si ottiene dalla formula:
Wz min =
pl 2
σ amm
=
pl 2
8σ amm
Si può notare che il modulo di resistenza può anche essere messo in relazione alla lunghezza della
trave e al carico. Supponiamo L = 5 m e p = 700 kg/m
pl 2 700x52
=
=
= 2187,5 kg / m
8
8
M max
Wz min =
M
σ amm
=
218750 kg ⋅ cm
≅ 137cm3
2
1600 kg / cm
Consultando la tabella dei profilati metallici, si trova che il più piccolo profilo IPE con modulo di
resistenza superiore a quello calcolato è un IPE 180 avente Wz=146 cm³ il quale sopporterà una
tensione massima, nella sezione di mezzeria, pari a:
σ max = ± M
Wz
=
218750
= 1498 kg / cm 2 < σ amm
2
146cm
(= 149,8 N / mm 2 < σ amm = 160 N / mm 2 )
13
I z = 1320 cm 4
Progettiamo ora la stessa trave in legno avente una σ amm = 82 kg cm².
Consideriamo una trave rettangolare.
PROGETTO : BH 2 ≥
6M max
σ amm
=
6x 218750
≅ 16006 cm3
82
Se consideriamo una larghezza di 20 cm si ottiene:
H min =
6 M max
≅ 29 cm
B ⋅ σ amm
Si adotta quindi una trave di altezza H=30 cm
σ max = ±
6 M max 6 ⋅ 218750
=
≅ 73 kg cm 2 < 82 kg cm 2
2
2
BH
20 ⋅ 30
= (7,3 N / mm 2 < σ amm = 8,2 N / mm 2 )
14
Si noti che ha parità di carico e di schema statico, grazie alla maggiore capacità di resistenza
dell’acciaio, rispetto a quella del legno è possibile contenere le dimensioni della sezione della trave.
FLESSIOINE DEVIATA
Nel caso precedente le forze esterne sono considerate agenti in un piano la cui intersezione con il
piano della sezione generica della trave coincide con uno degli assi principali di inerzia della
sezione stessa. Può accadere che il piano contenente le forze esterne (piano di sollecitazione)
intersechi la sezione secondo una direzione arbitraria. In questo caso la flessione è detta
FLESSIONE DEVIATA.
15
Quando il piano di sollecitazione non coincide più con un piano principale di inerzia non è più
possibile attendersi che l’elemento si infletta in tale piano, cioè che l’asse neutro della sezione
coincida con l’asse della coppia. Per determinare gli sforzi nel caso più generale di flessione deviata
può essere utilizzato il principio di sovrapposizione degli effetti.
M z = M cosϑ
M y = Msenϑ
Poiché gli assi y e z sono assi centrali di inerzia della sezione si può scrivere:
Mz
y
Iz
My
z
fig. (c) ⇒ σ x = +
Iy
fig. (b) ⇒ σ x = −
La distribuzione degli sforzi dovuta ad M è quindi data da:
σx = −
Mz y M yz
+
Iz
Iy
Una situazione usuale di flessione deviata si ha per gli arcarecci di una struttura a capriata.
16
SOLLECITAZIONE DI TAGLIO NELLA FLESSIONE
È noto che lo sforzo di taglio è sistematicamente accompagnato da flessione, in quanto per T≠0 si
ha un momento flettente variabile.
Consideriamo una trave prismatica soggetta a Ty = T costante e ad un momento Mz variabile
linearmente.
Il problema è in generale di difficile risoluzione anche se è possibile sviluppare una trattazione
approssimata estendendo quella valida per la sezione rettangolare stretta.
Consideriamo un tronco della trave illustrata nella figura precedente. Per equilibrare i carichi
verticali, poiché le tensioni normali nella flessione retta costituiscono un sistema a risultante nullo,
dovranno esistere altre tensioni sostanzialmente diverse dalle precedenti. In prima approssimazione
si può immaginare che attraverso la faccia del tronco e la restante parte della trave si sviluppano
delle tensioni τ costanti (vedi figura).
17
Poiché la somma degli elementi di area dA è l’area totale A, si ottiene:
τ =T
A
Consideriamo un tronco di trave di lunghezza dx, e prendiamo in esame una parte compresa tra il
bordo inferiore e l’ordinata generica y. Poiché le σ subiscono un incremento passando dalla sezione
di sinistra a quella di destra (in quanto si incrementa il momento M), la condizione di equilibrio alla
traslazione nella direzione dell’asse x non è soddisfatta dalle sole tensioni σ. L’equilibrio si trova
ipotizzando l’esistenza di tensioni tangenziali τ al contatto tra la parte considerata e quella
sovrastante. Se si suppone che tali tensioni τ siano distribuite uniformemente sulla larghezza B, si
ha:
τ B ∆x = ∆r
Utilizzando la formula di Navier per la flessione si ha che:
σ=
M
y
Iz
σ + ∆σ =
∆σ =
M + ∆M
y
Iz
T∆x
∆M
y=
y
Iz
Iz
La risultante delle ∆σ , ∆R è :
∆R =
1 ⎛H⎞
B ⎜ ⎟ (∆σ 1 + ∆σ 2 )
2 ⎝2⎠
18
∆R =
1 ⎛H
⎞⎛H
⎞ T∆x
− y⎟ ⎜
+ y⎟
B⎜
2 ⎝ 2
⎠⎝ 2
⎠ Iz
Poiché è:
τ B∆x = ∆R ⇒ τ =
⎞ 6T
1 T ⎛ H2
⎜⎜
− y 2 ⎟⎟ =
3
2 Iz ⎝ 4
⎠ BH
⎛ H2
⎞
⎜⎜
− y 2 ⎟⎟
⎝ 4
⎠
Per:
y=0
⇒ τ=
τ max =
3 T
T
= 1,5
2 BH
A
3 T
3
≅ τ media
2 BH 2
Si noti che nell’espressione:
∆R =
1 ⎛H
⎞⎛H
⎞ T∆x
− y⎟ ⎜
+ y⎟
B⎜
2 ⎝ 2
⎠⎝ 2
⎠ Iz
⎛H
⎞
La quantità B ⎜ − y ⎟ è l’area del tronco di trave considerato, che moltiplicato per la distanza
⎝2
⎠
1⎛H
⎞
⎜ + y ⎟ del suo baricentro dall’asse neutro z fornisce il momento statico Sz.
2⎝ 2
⎠
Si ottiene quindi:
Sz
T ∆ x = τ B∆ x
Iz
TS
τ= z
BI z
Quest’ultima relazione ha nella trattazione del problema della flessione e taglio la stessa importanza
che ha la formula di Navier nel problema della flessione pura.
In generale si può notare il fatto che la sollecitazione di taglio dia delle tensioni che risultino
massime in vicinanza dell’asse baricentrico, mentre la sollecitazione flettente dà tensioni che
risultano massime presso i lembi esterni della sezione.
19
Sezione rettangolare
τ yx =
Sz = ∫
h/2
0
Ty S z
IzB
y B dy =
Iz =
BH 2
8
BH 3
12
20
τ xy max
BH 2
8 = 3 Ty
=
1
BH 3 B 2 A
12
Ty
Sezione a doppio T
Il momento statico S z (rispetto all’asse z) viene calcolato considerando la parte tratteggiata in
figura.
⎛H S⎞
⎛h
⎞⎛h 2− y
⎞
S z = Bs ⎜ − ⎟ + b ⎜ − y ⎟ ⎜
+ y⎟
⎝ 2 2⎠
⎝2
⎠⎝ 2
⎠
Poiché l’ala ha dimensioni considerevolmente maggiori di quelle dell’anima, il contributo
dell’anima nella valutazione delle tensioni τ è modesto, come si vede dal diagramma delle tensioni
tangenziali in figura. Si può quindi trascurare il contributo dell’anima e quindi il valore τ max non
differisce molto da quello che si ottiene dividendo T per l’area dell’anima.
τ max =
T
hb
Il profilato a doppio T con la sua forma risolve egregiamente il problema delle travi soggette a
flessione e taglio poiché concentra sulle ali il materiale che deve resistere alla tensione e nell’anima
quello che deve sopportare il taglio.
Per il progetto e la verifica di resistenza si dovrà controllare che:
τ max ≤ τ amm
Per le travi in acciaio la tensione tangenziale ammissibile viene ricondotta alla tensione normale
tramite la relazione:
τ max = σ amm
3
3
21
Es. 2
Si progetti una trave in acciaio con schema statico di trave a sbalzo caricata uniformemente da una
carico p = 1200 kg/m
Progettiamo la sezione della trave sulla base del valore del momento flettente massimo, poi la
verifichiamo per quanto riguarda le tensioni tangenziali. Scriviamo la formula di progetto e
ricaviamo il minimo modulo di resistenza.
Adottiamo una sezione tipo IPE in acciaio Fe 360 con σamm=1600 kg/cm².
Tmax = p ⋅ l = 3000 kg
M max =
p ⋅l2
= 3750 kg ⋅ m
2
Wmin =
375000 kg ⋅ cm
= 234 cm3
2
1600 kg / cm
Scegliamo il profilato IPE con modulo di resistenza superiore a Wmin :
IPE 220 con W=252 cm³
22
375000
= 1488 kg / cm 2 < 1600 kg/cm²
252
= (149 N/mm²<160 N/mm²)
3
T
3000
≅
=
= 252 kg / cm 2 < τ amm = σ amm
= 924 kg / cm 2
3
s ⋅ h 0,59 ⋅ 20,16
σ max =
τ max
FORZA NORMALE ECCENTRICA
In alcuni casi la forza normale N può essere applicata lungo una retta diversa dall’asse della trave
(pur essendo parallela a questo), con traccia sulla sezione diversa dal baricentro. In questo caso
l’elemento strutturale è soggetto a sforzo normale eccentrico, ovvero a sforzo normale e flessione.
Anche in questo caso per calcolare le tensioni prodotte si può ricorrere alla sovrapposizione degli
effetti.
Raramente questo tipo di sollecitazione interviene nelle strutture di orizzontamento, tranne in alcuni
casi di coperture inclinate. La presenza contemporanea di forza normale e flessione rappresenta
invece la normalità per le strutture verticali.
My = Pl y = Pzc
M z = Pl z = Plc
Pz
P Pyc
±
y± c z
Iy
a
Iz
N Ny
Nz
σx = − ± c y ± c z
A
Iz
Iy
σx = −
σx =
N
A
⎛
y
z z⎞
⎜⎜ − 1 ± c y ± c ⎟⎟
Iz
Iy ⎠
⎝
Ponendo σ x = 0 in questa equazione si ottiene la posizione dell’asse neutro.
23
Es:
Ricordando il significato di raggio di inerzia, l’equazione dell’asse neutro non dipende dal valore di
N (o P) ma soltanto dalla posizione del punto C sulla sezione. La relazione che lega N a C è quella
di retta e centro relativo. Nel caso particolare di forza normale con traccia su un’asse centrale di
inerzia si ha uno stato di sollecitazione composto da forza normale e flessione retta.
Se il punto C si allontana dal baricentro, la distanza dell’asse neutro dal baricentro diminuisce. Se C
tende all’infinito, l’asse neutro diventa baricentrico e si ricade nel caso di flessione retta.
Viceversa se C si avvicina al baricentro, l’asse neutro si allontana fino al caso limite in cui C
coincide con il baricentro e l’asse neutro va all’infinito. In quest’ultimo caso si ricade nello sforzo
normale centrato. Si può notare che quando C è relativamente lontano dal baricentro l’asse neutro
taglia la sezione e le tensioni sono sia di trazione sia di compressione. Viceversa quando C è
relativamente vicino al baricentro l’asse neutro non taglia la sezione e le tensioni sono tutte dello
stesso segno, quello di N. Vi è quindi una posizione di transizione di C tra le precedenti due
situazioni, tale che l’asse neutro risulta tangente alle sezione. Tale posizione individua il cosiddetto
estremo del NOCCIOLO CENRALE DI INERZIA.
Le posizioni di C interne al nocciolo danno luogo a diagrammi delle tensioni di uguale segno,
mentre le posizioni esterne corrispondono a diagrammi intrecciati. Se ci ritrova sul bordo del
nocciolo l’asse neutro è tangente alla sezione.
Il problema si complica se il materiale non è reagente a trazione (calcestruzzo, muratura), infatti la
parte di sezione che non risulta compressa è da considerare inesistente è quindi la parte reagente è a
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priori incognita. Consideriamo un pilastro di muratura soggetto ad un carico P applicato nel centro
h
h
di pressione C con eccentricità e compresa tra: < e < .
2
6
Se l’eccentricità fosse minore di h/6 sappiamo che, essendo la sezione del pilastro rettangolare,
questa risulterebbe interamente reagente a compressione; ma siccome l’eccentricità è maggiore di
tale limite e il centro di pressione è situato al di fuori del nocciolo centrale di inerzia, la sezione
effettivamente reagente deve essere più piccola di quella geometrica, poiché dobbiamo escludere la
parte in trazione.
L’asse neutro in questo caso separa la zona reagente da quella non reagente.
L’equilibrio in direzione verticale fornisce:
P = σ max
b
y
2
(volume del prisma delle tensioni)
Per l’equilibrio alla rotazione, il carico P e il risultante del diagramma delle tensioni non devono
generare una coppia, vale a dire che le rispettive rette d’azione devono essere coincidenti.
Chiamando u la distanza dal bordo compresso della sezione del punto C, troviamo:
y
=u ⇒
3
y = 3u
Ciò significa che l’asse neutro dista dal bordo compresso della sezione tre volte la distanza del
centro di pressione dallo stesso bordo. Si ottiene quindi:
σ max =
2p 2p
=
≤ σ amm
by 3bu
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La reazione precedente può essere riscritta utilizzando:
h
−e
2
2P
=
⎛h
⎞
3b ⎜ − e ⎟
⎝2
⎠
u=
σ max
h
, cioè quando P agisce lungo il bordo della sezione la σ max = ∞ , quindi per l’equilibrio di
2
un pilastro compresso fatto di materiale non reagente a trazione, il centro di pressione C deve
cadere completamente all’interno della sezione.
Si ricorda che per la sezione rettangolare il valore dell’eccentricità che definisce il passaggio da
sezione tutta compressa a sezione in parte tesa e in parte compressa è:
Se e =
e=
h
6
Questo risultato è di solito espresso con la proposizione: la sezione rettangolare è tutta compressa se
la risultante cade all’interno del terzo medio.
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