Lezione 3: Ancora sui vettori
Norma
Abbiamo detto che uno degli elementi che contraddistinguono un vettore è la sua
lunghezza. Allora incominciamo a vedere i vantaggi della rappresentazione dei vettori
usando le coordinate e usiamole per determinare la lunghezza
di un dato vettore.
x
Se prendiamo un qualsiasi vettore del piano u =
quanto varrà la sua lunghezy
za?
P=(x 0,y 0)
y0
v
O
x0
Figura 26: Quanto vale la lunghezza di questo vettore?
Semplicemente sarà uguale alla distanza del punto P dall’origine:
lunghezza di u = dist (O, (x, y)) =
q
x2 + y 2 .
Questa quantità nel “linguaggio degli spazi vettoriali” si chiama norma del vettore (e
noi da ora in poi la chiameremo cosı̀) e si indica con kuk (norma del vettore u)
kuk =
Esempio 20 Se u =
x y =
q
x2 + y 2 .
√
√
3
, allora kuk = 9 + 1 = 10.
−1
È chiaro quindi che in modo del tutto analogo possiamo definire la norma di un
vettore dello spazio u = OP, che non sarà altro che la lunghezza del segmento OP e
quindi la distanza del punto P dall’origine:
24
Lezione 3
25
Se u è un vettore dello spazio, quindi u =
kuk =
 
x  
 y 
z 

x
 
 y ,
=
z
la sua norma (la sua lunghezza) è
q
x2 + y 2 + z 2 .


1
√
√


Esempio 21 La norma del vettore u =  −1  è data da kuk = 1 + 1 + 4 = 6.
2
Questa quantità appena definita per i vettori del piano e dello spazio (la norma)
verifica le seguenti proprietà:
Proprietà della norma:
1) kuk ≥ 0 per tutti i vettori u;
2) kuk = 0 se e soltanto se u = 0 (vettore nullo);
3) kλuk = |λ|kuk per tutti i vettori u e per qualsiasi numero reale λ;
4) ku + vk ≤ kuk + kvk (questa si chiama disuguaglianza triangolare).
Le prime due proprietà sono evidenti se pensiamo alla definizione in termini delle
componenti, ma sono anche ovvie se pensiamo al significato della norma. La proprietà
1) dice che la lunghezza è un numero positivo e la 2) dice che l’unico vettore che ha
lunghezza nulla è il “vettore nullo”, ciò quello che degenera in un punto.
Proviamo a verificare la proprietà 3) nel caso dei vettori del piano (per i vettori
dello spazio la verifica è ovviamente del tutto analoga):
λx λy kλuk = =
q
(λx)2 + (λy)2 =
q
q
λ2 (x2 + y 2) = |λ| x2 + y 2 = |λ|kuk .
Notate
che nel far uscire λ2 dalla radice abbiamo avuto l’accortezza di mettere il modulo
√
( λ2 = |λ|).
Per ciò che riguarda la proprietà 4), la si può verificare graficamente:
lungo ||v||
lungo ||u||
v
u+ v
u
lungo ||v+u||
Figura 27: Disuguaglianza triangolare
con i tre vettori ku + vk, kuk e kvk si può costruire un triangolo. La disuguaglianza
triangolare (”triangolare” appunto!) dice semplicemente che in un triangolo la somma
della lunghezza di due lati (kuk + kvk) è sempre maggiore della lunghezza del terzo
Lezione 3
26
lato (ku + vk). E l’uguaglianza c’è solo se tutti i vettori sono paralleli (con lo stesso
verso) e il triangolo degenera in un segmento.


1


Domanda: Come faccio a trovare un vettore parallelo al vettore u =  2  che sia
−3
lungo 1 (di norma 1)?
Se siamo fortunati, magari già u ha lunghezza 1. In quel caso sarebbe facile rispondere. Proviamo a calcolare la lunghezza di u:
√
√
kuk = 1 + 4 + 9 = 14 .
No! Siamo stati sfortunati, non ha lunghezza 1. E allora? Che si fa? Ma noi sappiamo modificare la lunghezza di un vettore lasciandone invariata
√ la direzione. Basta
moltiplicarlo per un scalare. Lo scalare√giusto è ovviamente 1/ 14, cosicchè il vettore
risultante avrà lunghezza uguale a 1/ 14 volte la lunghezza del vettore u, ossia 1. Il
vettore che cercavamo è
 1 
√
 214 
1
√ 
√
u=
v=
 14 
14
−3
√
14
ed è facile vericare (usando la definizione) che questo vettore ha norma 1.
Esercizio 22 Trovare un vettore parallelo al vettore w = u − 12 v di lunghezza 2, dove
u=
1
2
e
v=
4
6
.
Fate attenzione: questo esercizio non è più difficile di quelli che abbiamo fatto finora,
semplicemente la domanda è meno diretta e per dare la risposta dobbiamo “scomporla”
in domande “intermedie” alle quali sappiamo rispondere.
Quindi il primo passo è determinare il vettore w. E questo lo sappiamo fare:
w=
1
2
1
−
2
4
6
=
1−2
2−3
=
−1
−1
.
Il secondo passo è quello di calcolarne la norma, per poter sapere come modificarlo per
ottenere un vettore di lunghezza 2:
√
kwk = 2
quindi il vettore che cerchiamo è
2
√ w=
2
− √22
− √22
!
Definizione 23 Un vettore di norma 1 si chiama versore o vettore unitario. Le
componenti di un versore si chiamano coseni direttori (se ci pensate...non sono niente altro che il coseno dell’angolo che il versore forma rispettivamente con l’asse x e con
l’asse y).
Lezione 3
27
1
0
Esempio 24 In E ci sono due versori “speciali”,
e
. L’insieme formato da
0
1
questi due vettori, per un motivo che capiremo presto,si chiama base canonica di
5
E 2 . Vi faccio notare che un qualsiasi vettore, diciamo
, si può ottenere usando i
3
due vettori della base canonica, ossia
2
5
3
1
=5
0
+3
0
1
...ci torneremo.
È chiaro che, analogamente, anche i vettori
 
 
 
0
0
1
     
0 , 1 , 0
1
0
0
sono speciali (si dice che formano la base canonica di E 3 .)
Prodotto scalare
Introduciamo un’altra importante operazione tra vettori. Questa operazione che tra
poco definiremo associa a due vettori un numero (uno scalare), contrariamente alle due
operazioni definite finora il cui risultato è un vettore.
Cerchiamo di capire con un esempio quali possone essere delle motivazioni per
introdurre questa nuova operazione. Pensiamo di avere una situazione in cui delle forze
(dei vettori) agiscono su un oggetto che però è soggetto a dei vincoli (cioè non è libero
di muoversi in qualsiasi direzione). Se noi vogliamo descrivere come agiscono queste
forze, dobbiamo tener conto che i vettori che le rappresentano vengono “deviati dai
vincoli”. Cercherò di essere un po’ meno generica:
Esempio 25 Se un oggetto di massa m viene lasciato in caduta libera, su questo agirà
una forza F = mg diretta lungo la direzione verticale e di intensità pari alla norma di
F (kFk).
Figura 28: caduta libera
Ora se però questo stesso oggetto è poggiato su un piano inclinato la velocità con
cui cadrà sarà minore (cosı̀ come la forza che agisce su di lui). Su questo agirà una
forza, F′ , diretta nella direzione obligata dal vincolo, cioè quella del piano inclinato, e
con un intensità che dovrà dipendere dall’inclinazione del piano (è chiaro a tutti che
Lezione 3
28
Figura 29: vincolo
più il piano è inclinato più è difficile tener fermo l’oggetto). Vorremmo sapere però
come dedurre la norma di F′ conoscendo quella di F. Se chiamiamo u il versore nella
direzione del vincolo e α l’angolo che u ha con F, la forza risultante dall’azione del
vincolo sarà data dalla “proiezione” di F lungo la direzione u:
Figura 30: forza risultante
e quindi si avrà kF′ k = kFk cos α.
Notate che questo è coerente con l’esperienza comune a tutti che gli oggetti poggiati
su piani orizzontali stanno fermi (l’angolo α è di 90 gradi e quindi il coseno è zero).
L’operazione che vogliamo definire, e che servirà in tanti altri contesti, è quella che
in questa situazione associa ai vettori F e u il valore kF′ k.
Definizione 26 Dati due vettori u e v il prodotto scalare tra questi vettori (hu, vi)
è dato da
hu, vi = kukkvk cos α
dove 0 ≤ α ≤ π è l’angolo tra i due vettori.
Notazione: Una notazione alternativa molto usata per il prodotto scalare è u · v.
Quindi se di due vettori conosciamo la lunghezza e l’angolo tra i due possiamo
calcolarne il prodotto scalare.
Un altro esempio notevole dell’uso del prodotto scalare è il calcolo del lavoro di una
forza durante uno spostamento. Come tutti dovreste sapere, il lavoro compiuto da una
forza è pari alla forza per lo spostamento. Ebbene, il “per” in questa affermazione non
è altro che il prodotto scalare tra i vettori forza e spostamento.
Lezione 3
29
NOTA: Se due vettori sono ortogonali (perpendicolari) il loro prodotto scalare
è uguale a zero. E viceversa se per qualche ragione potessimo stabilire che il prodotto
scalare tra due vettori dati è uguale a zero, possiamo dedurre che questi sono ortogonali!
Ma c’è un modo alternativo per calcolare il prodotto scalare tra due vettori? Se,
per esempio ne conosco le coordinate, ce un modo per calcolarlo direttamente senza
bisogno di stabilire qual’è l’angolo tra i due?
Il teorema che segue ci dice come si può calcolare il prodotto scalare tra due vettori
usando le componenti.
Teorema 27 Se u =
scalare è dato anche da
x1
y1
ev=
x2
y2
sono due vettori di E 2 , allora il loro prodotto
hu, vi = x1 x2 + y1 y2




x2
x1




Analogamene se invece u =  y1  e v =  y2  sono due vettori di E 3 il loro
z2
z1
prodotto scalare è
hu, vi = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
Proof. Facciamo la dimostrazione nel caso dei vettori del piano. Il caso dei vettori
dello spazio si fa analogamente.
x1
x2
Fissiamo due vettori v =
eu=
. Per fare la dimostrazione ci basta un
y1
y2
disegno e il teorema di Pitagora. Ecco il disegno
P1
u-v
h
!
O
P2
Q
l1
l2
Figura 31: In questa figura abbiamo scelto v = OP1 e u = OP2 .
Guardate la figura. Il lato P1 P2 è l’ipotenusa del triangolo P1 QP2 e quindi per il
Teorema di Pitagora si ha
h2 + l22 = ku − vk2 .
(1)
Ma l2 = kuk − l1 , mentre h2 = kvk2 − l12 (sempre per il Teorema di Pitagora). Allora
possiamo sostituire nella formula (1) e otteniamo
ku − vk2 = kvk2 − l12 + (kuk − l1 )2 = kvk2 + kuk2 − 2l1 kuk
(2)
(notare che l’ultima identità si ottiene svolgendo il quadrato tra parentesi e semplificando i termini uguali. A questo punto possiamo scrivere l1 usando l’ipotenusa del
Lezione 3
30
triangolo rettangolo P1 OP2 e l’angolo α. Infatti, per definizione di cos α otteniamo che
l1 = kvk cos α e quindi sostituendo in (2) otteniamo
ku − vk2 = kvk2 + kuk2 − 2kvkkuk cos α
ossia
(x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 == x21 + y12 + x22 + y22 − 2hv, ui, .
Svolgendo i quadrati e semplificando i termini comuni (questo potete farlo da soli), si
ottiene l’identità richiesta, cioè
hv, ui = x1 x2 + y1 y2 .
L’ho fatta lunga, ma questa è finalmente la fine della dimostrazione.
Esempio 28
1. h
1
−1
,
i = −1 + 6 = 5
2
3
√ √
0
√2 i = −3 3
2. h
,
3
− 3
1
−6
3. h
,
i=0
3
2
Domanda: cosa posso dire dell’angolo tra i vettori di questo esempio conoscendo il
loro prodotto scalare? Se mi ricordo come si definisce il prodotto scalare in termini
delle norme e dell’angolo compreso (ossia in termini geometrici), posso dedurre che se
il prodotto scalare è positivo, negativo o nullo, tale sarà il coseno dell’angolo tra i due
vettori. Quindi nei tre casi l’angolo sarà:
1. ACUTO (il coseno è positivo sugli angoli minori di 90 gradi)
2. OTTUSO (il coseno è negativo sugli angoli maggiori di 90 gradi)
3. RETTO !! (il coseno è nullo se l’angolo è di 90 gradi)
Domanda: dato un vettore v come faccio a trovare un vettore ad esso ortogonale?
Per il momento siamo in grado di dare una risposta a questa domanda se il vettore
v è in un riferimento cartesiano del piano, mentre nel caso dello spazio il problema è
evidentemente più complicato. È chiaro infatti che se assegno una direzione sul piano
ci sarà una sola altra direzione ad essa ortogonale, mentre se sono nello spazio ci sono
infinite direzioni ortogonali ad una data e quindi sarà meno facile caratterizzarle. In
altri termini data una retta del piano c’è una sola retta ad essa ortogonale, mentre
nello spazio le rette ortogonali a una data retta sono infinite, tutte quelle appartenenti
al piano ortogonale alla retta (ma questo lo vedremo poi...).
Torniamo all’ortogonalità sul piano:
2
x0
Esempio 29 Prendiamo il vettore v =
e cerchiamo un vettore u =
ad
3
y0
esso ortogonale. Se vogliamo che siano ortogonali dobbiamo imporre che il loro prodotto
scalare sia nullo
x0
2
h
,
i = 2x0 + 3y0 = 0 .
y0
3
Lezione 3
31
Cerco x0 e y0 in modo che questa equazione (lineare) sia vericata, come faccio? Osservate:
⇐⇒
2x0 + 3y0 = 0
2x0 = −3y0
3
x0 = − y0
2
⇐⇒
quindi ho infinite soluzioni di questo problema, tutte le coppie del tipo (− 32 y0 , y0 ).
Ogni volta che fisso a mio piacimento un valore per y0 determino automaticamente x0
in modo che sia verificata l’equazione.
Ma come?... avevamo detto che la soluzione (visto che siamo nel piano) sarebbe
stata unica!
Ma osservate un’altra cosa: tutte le coppie che troviamo sono tutte proporzionali, e
quindi i vettori corrispondenti sono tutti paralleli (ricordate come agisce la moltiplicazione di un vettore per uno scalare? Non gli cambia la direzione, cambia solo lunghezza
e eventuamente verso).
Comunque...
Per esempio possiamo scegliere y0 = 2 e otteniamo di conseguenza x0 = −3. Quindi
−3
2
è ortogonale a
2
3
!
Nota: Un modo facile per ottenere un vettore ortogonale a un dato vettore del piano
è quello di invertire l’ordine delle componenti e cambiare di segno una delle due.
Attenzione: Non cercate di inventarvi un meccanismo simile per determinare un
vettore ortogonale a uno dato nello spazio. So che è una tentazione, ma non funziona.
−3
Esempio 30 Determiniamo un vettore ortogonale al vettore
. Invertiamo l’or7
7
−7
dine delle componenti e cambiamo di segno a una: per esempio
, ma anche
.
3
−3
Verifica:
−3
7
h
,
i = −21 + 21 = 0 Ok!
7
3
−3
−7
h
,
i = 21 − 21 = 0 Ok!
7
−3
Facciamo un ultimo esempio:
 


2
1

  
Esempio 31 Calcoliamo il prodotto scalare tra i vettori dello spazio  2  e  −4 ,
2
3

  
−3
1

  
e poi ancora tra  2  e  0 . Si ha
1
3
  



  

−3
1
2
1


  
  
h 2  ,  −4 i = 2 − 8 + 6 = 0 e h 2  ,  0 i = −3 + 3 = 0 .
1
3
2
3


 
1
−3
2

 
 

Quindi i vettori  −4  e  0  sono entrambi ortogonali al vettore  2 , ma non è
3
1
2
facile individuare “cosa li caratterizza”, “cosa hanno in comune”.
Lezione 3
32
Per concludere questa parte sul prodotto scalare vediamo quali proprietà verifica
questa operazione:
Proprietà del prodotto scalare
1) hu, ui ≥ 0 per tutti i vettori u;
2) hu, ui = 0 se e soltanto se u = 0 (vettore nullo);
3) hu, vi = hv, ui (il prodotto scalare è simmetrico);
4) hλu, vi = λhu, vi = hu, λvi;
5) hu, v + wi = hu, vi + hu, wi.
Tutte queste proprietà sono di verifica immediata usando la caratterizzazione del
prodotto scalare in termini delle componenti. E altrettanto facilmente si verifica anche
che
hu, ui = kuk2 .
Concludo facendovi notare, che se definisco, in analogia con quanto fatto finora,
il prodotto scalare tra le quaterne (abbiamo detto che anche loro sono un esempio di
spazio vettoriale) come

 

v1
u1
u  v 
  

h 2 ,  2 i = u1 v1 + u2 v2 + u3 v3 + u4 v4 ,
 u3   v3 
v4
u4
anche questa operazione verifica le proprietà elencate sopra.