MISURA SPERIMENTALE DELLA CIRCONFERENZA
E DELL’AREA DEL CERCHIO
“Nella circonferenza, l’inizio e la fine coincidono”
Eraclito
La rettificazione della circonferenza è stato un argomento che ha interessato molto i
matematici dell’antichità. Rettificare una circonferenza significa determinare con il solo
ausilio di riga e compasso un segmento la cui lunghezza sia uguale a quella della
circonferenza.
E’ orami noto che il problema è impossibile a causa della trascendenza di π.
La rettificazione della circonferenza si basa sul seguente teorema: La circonferenza
rettificata è l'unico segmento maggiore del perimetro di un qualunque poligono regolare
inscritto nella circonferenza e minore del perimetro di un qualunque poligono regolare
circoscritto.
In altri termini la lunghezza della circonferenza è l'estremo superiore dell'insieme dei
perimetri dei poligoni regolari inscritti e l'estremo inferiore dell'insieme dei perimetri dei
poligoni regolari circoscritti e il teorema precedente afferma che questi due estremi
coincidono.
I matematici dell’antichità osservarono manualmente che il rapporto fra la lunghezza (l) di
una circonferenza e il suo diametro (d) era una costante:
, o
.
L’osservazione ci dice che il rapporto è un numero fisso.
Molti matematici hanno speso gran parte delle loro energie per calcolare il valore di tale
rapporto, cioè di π, con la maggiore precisione possibile. I Babilonesi lo approssimavano a
3, ma un risultato più accurato venne trovato da Archimede, che giunse a stabilirlo con un
errore di appena due millesimi.
Il numero π, all’inizio, non si chiamava così. Molti matematici erano soliti usare questo
simbolo per indicarlo, ma si giunse al nome “ufficiale” solo nel 1706, quando Willimam
Jones lo definì con la prima lettera della parola “periferia”, che in greco si scrive περιφρεια.
In seguito, Leonhard Euler, che prima aveva utilizzato la c e poi la p, si decise ad utilizzare
definitivamente il simbolo π, che iniziò ad avere una inarrestabile diffusione.
L’idea di Archimede fu di approssimare la lunghezza della circonferenza tramite il
perimetro di poligoni regolari inscritti e circoscritti alla circonferenza.
Noi abbiamo provato a riprodurre 6 poligoni regolari inscritti nella medesima circonferenza
ed abbiamo constato che via via che il numero dei poligoni cresce, il perimetro del
poligono regolare inscritto si avvicina alla lunghezza della circonferenza per difetto.
Come primo passo abbiamo disegnato con il compasso una circonferenza di raggio 14
cm; all’interno abbiamo costruito il triangolo equilatero.
Successivamente abbiamo costruito il quadrato inscritto.
Poi il pentagono regolare inscritto.
L’esagono regolare inscritto.
L’ottagono regolare inscritto.
Ed infine il dodecagono regolare inscritto
Dall’ultima immagine possiamo constatare, con l’ausilio di una riga, che i perimetri dei
poligoni approssimano sempre più la misura della circonferenza.
Abbiamo indicato la misura del diametro (il primo filo in basso a sinistra) e poi via via la
misura del perimetro del triangolo, del quadrato, del pentagono, dell’esagono,
dell’ottagono e del dodecagono regolari inscritti, infine in rosso abbiamo rappresentato la
circonferenza circoscritta.
Il pannello completo è il seguente:
Anche il problema del calcolo dell’area può essere affrontato utilizzando la stessa idea. Al
crescere del numero dei lati le aree dei poligoni approssimano sempre meglio l’area del
cerchio. Noi abbiamo ritagliato le figure inscritte e le abbiamo sovrapposte, partendo
dall’alto prima il triangolo, poi il quadrato e a seguire il pentagono, l’esagono, l’ottagono ed
il dodecagono e possiamo constatare che il poligono con più lati (in questo caso il
dodecagono) approssima meglio degli altri l’area del cerchio.