CICLOMETRIA
Come si determina la lunghezza di una
linea curva?
A
B
Esiste un segmento L lungo come AB?
A
B
Lunghezza della circonferenza
 Esiste un segmento che misura come la
circonferenza?
 Costruisco poligoni regolari inscritti nella
circonferenza, aventi un numero di lati
sempre maggiore.
A
TEOREMA 1
Raddoppiando il numero
di lati di un poligono
regolare
inscritto,
il
perimetro del poligono
aumenta
M
B
C
AM+MB>AB
Costruisco poligoni regolari circoscritti alla
circonferenza, aventi un numero di lati sempre
maggiore
A
TEOREMA 2
Raddoppiando
il
numero di lati di un
poligono
regolare
circoscritto,
il
perimetro del poligono
diminuisce
E
T
D
B
DE < AD + AE
C
TEOREMA 3
Il perimetro di un poligono inscritto in una circonferenza è
sempre minore del perimetro di un poligono circoscritto
Abbiamo costruito due classi
Pn : classe dei perimetri dei poligoni circoscritti
pn : classe dei perimetri dei poligoni inscritti
 Tali classi sono separate
 Più è grande n più gli elementi Pn diminuiscono e
gli elementi pn aumentano
Esiste l’elemento che separa le due classi?
ELEMENTO SEPARATORE:
•il più piccolo della prima classe
• oppure il più grande della seconda classe
• oppure un elemento più piccolo di tutti gli
elementi della prima classe e più grande di tutti gli
elementi della seconda.
Le classi sono contigue
Esiste l’elemento separatore se le due classi
sono contigue:
presa una lunghezza ε piccola a piacere
esistono un poligono inscritto di perimetro pn
e un poligono circoscritto di perimetro Pn tali
che | Pn – pn | < ε
Dimostriamo che le due classi sono contingue:
Dimostrazione:
AB= Ln lato del poligono circoscritto di n lati
A’B’=ln lato del poligono inscritto di n lati
T punto di tangenza (AT=TB)
Pn : pn = AO : A’O  Pn : pn = AO : OT
(Pn - pn) : pn = (AO-OT) : OT
(Pn - pn) : pn = 8(AO-OT) : 8OT
(Pn - pn) : pn = 8(AO-OT) : P4 (perimetro del quadrato circoscritto)
Poiché pn < P4 per qualsiasi n, allora
(Pn - pn) < 8(AO-OT) ma AO-OT<AT , quindi
(Pn - pn) < 8(AO-OT) <8AT  (Pn - pn) < 4AB
 (Pn - pn) < 4 Ln Posso scegliere Ln piccolo a
piacere, preso Ln< ε/4  (Pn - pn) < ε
Classi separate e contigue
 ammettono l’elemento separatore C
 non appartiene né alla prima né alla seconda
classe
 C è più grande di tutti i poligoni inscritti e più
piccolo di tutti i poligoni circoscritti
Def : CIRCONFERENZA RETTIFICATA
Il segmento la cui lunghezza separa le classi
contigue dei perimetri dei poligoni inscritti e
circoscritti.
Teorema
Le circonferenze rettificate sono proporzionali
ai diametri
Hp :
C circonferenza rettificata di una
circonferenza di raggio r
C’ circonferenza rettificata di una
circonferenza di raggio r’
Th:
C:2r = C’ : 2r’
I perimetri dei poligoni inscritti sono proporzionali ai raggi
pn : p’n = r :r’  se r/r’=k, allora pn = kp’n
I perimetri dei poligoni circoscritti sono proporzionali ai raggi
Pn : P’n = r : r’  se r/r’=k, allora Pn = kP’n
p’n < C’ < P’n e kp’n < kC’ < kP’n  pn < kC’ < Pn
Per def. di C pn < C < Pn
Le ultime due relazioni sono vere per ogni n, perciò C=kC’
Quindi C:C’=k=r:r’
C:2r = C’:2r’
C/2r = C’ /2r’= … = π
… quanto vale π ?
Area del cerchio
 Si costruiscono le classi delle aree dei poligoni
inscritti e circoscritti
 Esse sono separate e contigue
 L’elemento separatore è l’area del cerchio
 Si dimostra che l’area è proporzionale al
quadrato del raggio
A/r2 = k =…. π
A= πr2
Area del settore circolare
Settore circolare: parte di cerchio delimitata da due
raggi.
A settore che insiste sull’arco a
B settore che insiste sull’arco b
A:B=a:b
Se B = πr2
 A: πr2 = a:2πr
 A = ar /2
r