Rosetta Zan
Dipartimento di Matematica, Università di Pisa
[email protected]
L’apprendimento come attività
costruttiva e implicazioni
PAS A059
Incontro
29 aprile 2014
Perché l’interpretazione sia
un’ipotesi di lavoro:
• Deve dirigere, e non bloccare, l’intervento
Esempio: ‘non è in grado’
• Deve essere puntuale, e non generica
Esempi:
‘Non si impegna’
‘Non ha le basi’
‘Non capisce’
‘Non ha metodo di studio’
l’interpretazione
giusta / sbagliata
è un’ipotesi di lavoro
funziona / non funziona
importanza per l’insegnante di avere un
repertorio di interpretazioni possibili
L’apprendimento come attività costruttiva
importanza per l’insegnante di avere un
repertorio di interpretazioni possibili
 visione ‘tradizionale’:
il contenitore vuoto da riempire…
 l’apprendimento come attività costruttiva
...la conoscenza è in gran parte costruita dal
discente
 l ’ individuo è soggetto attivo che interpreta
l’esperienza
 costruisce convinzioni
mondo degli oggetti fisici
mondo degli organismi viventi
mondo degli esseri umani
 teorie
Prevedere il moto della pallina all’uscita
del tubo
Anche studenti di fisica rispondono così:
Ricerche classiche
• Processi decisionali
Kahneman & Tversky
• Fisica ingenua
Processi decisionali:
Kahneman, Tversky, Shafir
Voss
Perkins
Fisica ‘ingenua’:
McCloskey, DiSessa
Per approfondire:
Howard Gardner, Educare al comprendere, 1993
Piattelli Palmarini, L’illusione di sapere, 1993
Graziano Cavallini, La formazione dei concetti scientifici, 1995
Linda ha 31 anni. E’ nubile, schietta e molto brillante. Ha
una laurea in filosofia. Da studentessa si interessava
molto ai problemi di discriminazione razziale e di
ingiustizia sociale, e prendeva parte attiva alle
dimostrazioni anti-nucleari.
a) Linda insegna in una scuola elementare
b) Linda lavora in una libreria e prende lezioni di yoga
c) Linda è attiva nel movimento femminista
d) Linda è un’assistente
sociale
e) Linda è membro della Organizzazione Elettorale Femminile
f) Linda lavora in una banca
g) Linda è un agente assicurativo
h) Linda lavora in una banca ed è attiva nel movimento femminista
Alcune implicazioni generali
1. Il ruolo del contesto
Problema: La figura mostra un tubo metallico curvo visto dall’alto.
Una sfera metallica è inserita alla fine del tubo indicato dalla freccia ed è
spinta dall’altra parte del tubo ad alta velocità. Il punto in cui fuoriesce la
sfera ha coordinate (2,-2) (la misura è in metri). La sfera esce nella direzione
del vettore 3 i + 4 j con una velocità iniziale di 500 m/sec. Dare le coordinate
della sfera un secondo dopo l’uscita dal tubo.
Alcune implicazioni generali
1. Il ruolo del contesto
2. Il ruolo dell’errore
1. Popper
‘Evitare errori è un ideale meschino: se non
osiamo affrontare problemi che siano così
difficili da rendere l’errore quasi inevitabile,
non vi sarà allora sviluppo della
conoscenza. In effetti, è dalle nostre
teorie più ardite, incluse quelle che sono
erronee, che noi impariamo di più.
Nessuno può evitare di fare errori; la cosa
più grande è imparare da essi.‘
2. Bachelard
Quando si ricercano le condizioni psicologiche
dei progressi della scienza, ci si convince ben
presto che è in termini di ostacoli che bisogna
porre il problema della conoscenza scientifica.
(…)
Tornando su un passato di errori, la verità la si
trova in un vero e proprio pentimento
intellettuale.
Si conosce, infatti, contro una conoscenza
anteriore, distruggendo conoscenze mal fatte,
superando quello che nello spirito stesso fa da
ostacolo alla spiritualizzazione.
3. F. Enriques
‘Il Maestro sa che la comprensione degli errori dei suoi
allievi è la cosa più importante della sua arte didattica.
Egli impara presto a distinguere gli errori significativi da
quelli, che non sono propriamente errori - affermazioni
gratuite di sfacciati che cercano di indovinare - dove
manca lo sforzo del pensiero, della cui adeguatezza si
vorrebbe giudicare. E degli errori propriamente detti, che
talora sono in rapporto con manchevolezze delle singole
menti, ma nei casi più caratteristici si presentano come
tappe del pensiero nella ricerca delle verità, il maestro sa
valutare il significato educativo: sono esperienze
didattiche che egli persegue, incoraggiando l'allievo a
scoprire da sé la difficoltà che si oppone al retto giudizio,
e perciò anche ad errare per imparare a correggersi’
4. Turing
Anche il matematico umano prende qualche
cantonata quando sperimenta nuove
tecniche.
E’ facile per noi considerare queste sviste
come non rilevanti e dare al ricercatore
un’altra possibilità, ma alla macchina non
viene riservata alcuna pietà.
In altre parole, se si aspetta che la macchina
sia infallibile, allora essa non può anche
essere intelligente.’
5. Krygowska
Questa accortezza didattica [n.d.r.: il blocco delle
occasioni di errore] consiste nella scelta, da parte
del professore abile, delle difficoltà che l’allievo
incontrerà sulle vie del ragionamento in modo che
l’ occasione di commettere errori sia minima.
Certi manuali e certe raccolte ci offrono esempi al
riguardo. Gli esercizi sono raggruppati
sistematicamente, dopo che alcuni sono
presentati come esempio, le istruzioni sono
talmente suggestive che è difficile, anche a un
alunno che capisca poco, di commettere un
errore.
[Krygowska]
Un simile blocco degli errori non dà risultati
positivi che apparentemente. Quello che è
oscuro nel cervello dell’alunno rimane oscuro
benché il segnale «errore» non si accenda.
Questo modo di procedere dà delle illusioni ai
professori e agli alunni e il primo passo sulla
via del verbalismo è compiuto, l’abolizione
delle difficoltà non essendo equivalente alla
vittoria riportata sopra di esse.’
6. Gardner
‘Insegnanti e studenti (...) non sono disposti
ad assumersi i rischi del comprendere e si
accontentano dei più sicuri “compromessi
delle risposte corrette”.
In virtù di tali compromessi, insegnanti e
studenti considerano che l’educazione
abbia avuto successo quando gli studenti
sono in grado di fornire le risposte
accettate come corrette.’
7. Alla maniera di Postman e
Weingartner…
Gillupsie: E lei, dottor Bluffing, cosa mi racconta?
Bluffing: Tutto a posto, dottor Gillupsie. I miei
pazienti sono stati dimessi.
Gillupsie: Ottimo, Bluffing. Anche quel paziente
della 302 che aveva quel febbrone inspiegabile?
Bluffing: Anche lui, dottor Gillupsie: ora è a casa.
Gillupsie: E come ha fatto a fargli calare la
temperatura? Ci abbiamo provato in tutti i modi
e non c’era riuscito di farla andare sotto i 38°!
Quale metodo ha trovato? Cosa gli ha dato?
Bluffing: Beh, dottor Gillupsie, la temperatura in sé
non è calata… ma abbiamo stabilito,
naturalmente dopo aver consultato diversi
articoli scientifici, che d’ora in poi la febbre è
sopra i 39°. Ufficialmente quindi possiamo
dichiarare che il paziente 302 non è proprio
malato! E quindi l’abbiamo rassicurato e
dimesso.
Gillupsie: Geniale, dottor Bluffing! [rivolto agli altri
dottori] Imparate da Bluffing, ragazzi! [di nuovo
rivolto a Bluffing] E mi dica, John, quel paziente
che aveva le analisi del sangue così sballate?
Quei valori così alti di insulina?
Bluffing: Anche quello dimesso, capo. Guarito!
Gillupsie: Eccezionale, Bluffing! Fossero tutti così al Blear
Hospital, le nostre azioni salirebbero alle stelle! Ma mi
dica, quale cura ha funzionato per abbassare l’insulina?
Bluffing:In realtà le abbiamo provate tutte senza successo,
capo.
Gillupsie: E allora, Bluffing? Come mai l’ha dimesso?
Bluffing: Beh, capo, ho pensato che visto che con l’insulina
non se ne veniva a capo, era meglio fargli l’analisi dei
globuli bianchi. E quella era proprio perfetta, capo! Da
dimissione immediata. E avesse visto come era contento
anche il paziente!
Gillupsie: [serio] Lo so, Bluffing… La serenità dei pazienti è
davvero importante! E fortunatamente qui al Blear ci
sono medici come lei che se ne preoccupano…
L’errore come risorsa
didattica
(Raffaella Borasi)
Esempio
a b ab
3 6 9
2 5 7
 
 
 
c d cd
4 7 11
3 7 10
- Ci sono altre operazioni fra frazioni in cui
numeratore e denominatore sono combinati
separatamente?
- Ci sono dei casi (cioè scelte particolari degli interi
a, b, c, d) in cui l'algoritmo corretto e quello
descritto sopra portano allo stesso risultato?
- Ci sono delle situazioni di vita reale che possono
essere descritte da quel modo di sommare,
piuttosto che dall'algoritmo corretto per la somma di
frazioni?
I QUESTIONARI PRIMA /
DOPO
Il questionario prima / dopo...
non è un test d’ingresso
ma uno strumento di lavoro:
• per lo studente
 prima della lezione,
conosce le convinzioni
• per l’insegnante
 prende consapevolezza delle
proprie conoscenze
 dirige in modo consapevole
l’attenzione durante lo studio
o la lezione
 riconosce i (piccoli) progressi
 dopo aver studiato, ha il
senso del lavoro fatto




degli studenti
dopo la lezione, ne
controlla gli effetti
può correggere il tiro
riconosce i (piccoli)
progressi
ha il senso del lavoro
fatto
L’apprendimento come attività costruttiva
• Misconcetti e modelli primitivi
• Linguaggio matematico e linguaggio
quotidiano
• Razionalità matematica e altre forme di
razionalità
• Convinzioni, atteggiamenti, emozioni
importanza per l’insegnante di avere un
repertorio di interpretazioni possibili
Da L’insegnamento come
attività sovversiva, di N.
Postman e C. Weingartner
Il dottor Gillupsie ha chiamato molti dei suoi
chirurghi interni del Blear General Hospital.
Essi stanno per cominciare la loro relazione
settimanale sulle varie operazioni compiute
negli ultimi quattro giorni. Dopo aver ascoltato i
chirurghi più anziani, Gillupsie si rivolge al
dottor Carstairs.
• Gillupsie: E lei, Carstairs, come le vanno le
cose?
• Carstairs: Temo di essere stato sfortunato,
dottor Gillupsie.
Niente operazioni questa
settimana, ma solo tre pazienti morti.
• Gillupsie: Bene; dovremmo parlarne un po’, non le
pare? Di che cosa sono morti?
• Carstairs: Non lo so con certezza, dottor Gillupsie, ma
comunque ho dato a ciascuno di loro un bel po’ di
penicillina.
• Gillupsie: Ah! Il sistema tradizionale della cura “buona
di per se stessa”, eh, Carstairs?
• Carstairs: Beh, non esattamente, capo. Pensavo solo
che la penicillina li avrebbe fatti stare meglio.
• Gillupsie: Per che cosa li stava curando?
• Carstairs: Insomma, stavano proprio male, capo, e io
so che la penicillina fa star meglio gli ammalati.
• Gillupsie: Certamente, Carstairs. Penso che lei abbia
fatto bene.
• Carstairs: E i morti, capo?
• Gillupsie: Cattivi, figlio mio, cattivi pazienti. E non c’è
niente che possa fare un buon dottore quando si trova
di fronte dei cattivi pazienti. E nessuna medicina può
farci nulla, Carstairs.
• Carstairs: Eppure mi è rimasta ancora la seccante
impressione che forse non avevano bisogno di
penicillina, che servisse qualcos’altro.
• Gillupsie: Sciocchezze! La penicillina non fa mai
cilecca su dei buoni pazienti. Lo sanno tutti.
Al suo posto non mi preoccuperei troppo,
Carstairs.
L’apprendimento come attività costruttiva
• Misconcetti e modelli primitivi
importanza per l’insegnante di avere un
repertorio di interpretazioni possibili
In contesto scolastico
ALLIEVO
MATEMATICA
INSEGNANTE
L’allievo:
• interpreta i messaggi dell’insegnante
alla luce delle proprie conoscenze, convinzioni, esperienze…

interpretazione ‘distorta’
MISCONCETTI
L’allievo interpreta...
•
•
•
•
•
procedure
termini
simboli
proprietà
concetti
 dà loro un ‘senso’

misconcetti
L’allievo
interpreta…procedure
Errori sistematici.
Molti allievi sbagliano…
...non perché applicano in modo scorretto procedure
corrette
Ma perché applicano (in modo corretto) procedure
scorrette!
278135=
143
352146=
214
406219=
213
543367=
224
510238=
328
1023835 =
1812
Scena 1: Johnnie
437 – 284 =
437284=
253
L’insegnante: “Hai dimenticato di sottrarre 1
da 4 nella colonna delle centinaia!”
L’allievo interpreta… termini / simboli
 spigolo – rombo - altezza...
 ipotesi / tesi
 le parentesi
 segno di uguale
…
Le altezze di un triangolo
A
MODELLO PRIMITIVO
B
C
A
B
INFLUENZA DEL LINGUAGGIO
• l’altezza di una persona
• …di una casa
• …di un ponte
C
L’allievo interpreta… termini / simboli
 spigolo – rombo - altezza...
 ipotesi / tesi
 le parentesi
 segno di uguale
…
L’allievo interpreta… termini / simboli
 spigolo – rombo - altezza...
 ipotesi / tesi
 le parentesi
 segno di uguale
…
Scena 6: Marco
Deve moltiplicare x + 1
per x +2:
x + 1  (x+2) =
= x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2
L’allievo interpreta… termini / simboli
 spigolo – rombo - altezza...
 ipotesi / tesi
 le parentesi
 segno di uguale
…
L’allievo interpreta… termini / simboli
 spigolo – rombo - altezza...
 ipotesi / tesi
 le parentesi
 segno di uguale
…
Il segno di uguale
“ In un bosco vengono piantati 425 alberi nuovi.
Qualche anno dopo, vengono abbattuti i 217 alberi
più vecchi. Nel bosco ci sono quindi 1063 alberi.
Quanti alberi c’erano prima che venissero piantati
quelli nuovi?”
1063 + 217 = 1280 – 425 = 855
“4 + 5 = 3 + 6”
‘dopo il segno “=” ci dev’essere la risposta, e non un
altro problema!’
“4 + 5 = 9” e “3 + 6 = 9”.
Il segno di uguale
Problema: Quanti giorni di vacanza
abbiamo avuto quest’estate?
30-10 = 20+31 = 51+31 = 82+15 = 97
giugno
luglio
agosto
settembre
"Secondo te questo calcolo fatto da due
bambini di terza è giusto?"
Una discussione in classe
CHE COSA SIGNIFICA IL SEGNO "="
IN MATEMATICA?
• INS: Cosa vuol dire "essere uguale a" ,
quel segno lì in matematica che
significa?
• ILA: Vuol dire che viene il risultato.
• LUI: Tu per fare l'uguale devi fare prima
l'operazione e poi devi fare l'uguale, così
ti viene fuori il risultato.
• GIO: Uguale significa avere un risultato
in un'operazione, in una moltiplicazione
e così
• INS: E se io scrivo 8=8 va bene?
• GIO: No, devi anche metterci +0 perché
se no non si capisce…
…devi metterci anche
qualcosa.
Scena 7: Irene
Irene, prima liceo classico:
x2 = 3x - 2
x2 + 3x + 2 = 0
… e trova quindi le due soluzioni.
Irene
“Non sarò certo io a contestare
una regola che tutti accettano!
Mi adeguo senz’altro.
Ma nessuno mi potrà mai
convincere che se aggiungo la
stessa quantità ai due membri di
un ’ equazione, non cambia
niente!”
L’allievo interpreta…concetti

misconcetti
 la moltiplicazione fa “ingrandire”
 un numero è negativo  nella sua
rappresentazione compare esplicitamente il
segno “-”
 insieme
Modelli primitivi (E. Fischbein)
Modello: moltiplicazione come addizione
ripetuta
• Operando: può essere un numero
positivo qualsiasi,
• Operatore: deve invece essere un
numero intero

si può dire 3 volte 0,65: 0,65 + 0,65 + 0,65
…ma 0,65 volte 3 ???
la moltiplicazione “fa ingrandire”
PROBLEMA 1
Da un quintale di grano si ottengono 0,75 quintali di farina.
Quanta farina si ricava da 15 quintali di grano?
PROBLEMA 2
Un chilo di detergente viene usato per produrre 15 chili di
sapone. Quanto sapone può essere fatto con 0,75 chili di
detergente?
76%
35%
In contesto scolastico
ALLIEVO
MATEMATICA
ITALIANO
Verbi riflessivi:
INSEGNANTE
Sono quelli che descrivono
azioni che si fanno allo specchio.
L’allievo:
Pettinarsi, lavarsi, truccarsi…
• interpreta i messaggi dell’insegnante
alla luce delle proprie conoscenze, convinzioni, esperienze…

interpretazione ‘distorta’
MISCONCETTI
Decisioni dell’insegnante
• Ipotizzare la presenza di eventuali
misconcetti
• Riconoscere i misconcetti
• Cercare di scardinarli
Come?
APPROFONDIMENTO:
Le ricerche sui processi
decisionali
Luigi ha 34 anni. E’ intelligente, ma ha poca
fantasia, è abitudinario, metodico e non molto
attivo. A scuola era bravo in matematica, ma
debole nelle materie umanistiche.
a) Luigi fa il medico e gioca a poker per hobby
b) Luigi fa l’architetto
c) Luigi fa il contabile
d) Luigi suona per hobby musica jazz
e) Luigi ha l’hobby del surf
f) Luigi fa il giornalista
g) Luigi fa il contabile, e suona per hobby musica jazz
h) Luigi ha l’hobby dell’alpinismo
La roulette russa
Sei persone si sfidano alla roulette russa
usando una pistola con un tamburo a 6
colpi. La pistola ha un solo proiettile:
ciascuno a turno preme il grilletto e, se è
fortunato, passa la pistola al compagno
accanto.
(1) Secondo te qual è la posizione più sicura?
50%: la prima
23%: sono tutte equivalenti
(2) In quale posizione preferiresti trovarti?
40%: la prima
40%: l’ultima
Tversky e Shafir, 1992
1) Hai appena consegnato gli scritti di un difficile esame
universitario. Saprai dopodomani se sei stato promosso o se
sei stato bocciato. Ti viene proposta un’offerta
particolarmente vantaggiosa per una vacanza alle isole
Hawaii (un ‘pacchetto’ tutto-compreso per sette giorni a sole
200.000 lire). Devi, però, decidere entro domani, dando un
anticipo di 50.000 lire non rimborsabili. Puoi differire la
decisione di un giorno (quindi, nel frattempo saprai con
certezza se sei stato promosso o se sei stato bocciato),
pagando un extra di 15.000 non rimborsabili, e non scalabili
dal prezzo del pacchetto.
Che decideresti di fare?
Allo studente viene poi chiesto cosa deciderebbe se sapesse:
2) di essere stato promosso
3) di essere stato bocciato
Le terne possibili:
incerto
promosso
bocciato
C
C
C
C
C
N
C
N
C
C
N
N
N
C
C
N
C
N
N
N
C
N
N
N
1) Situazione di incertezza
2) Sa di essere stato promosso
3) Sa di essere stato bocciato
C = compra
N = non compra
Secondo te in italiano ci sono più parole di
sette lettere che finiscono in –ndo.
----ndo
oppure più parole che hanno una n in terza
posizione:
--n---?