Rosetta Zan
Dipartimento di Matematica, Università di Pisa
[email protected]
DIDATTICA DELLA
MATEMATICA
TFA A059
Incontro
20 marzo 2013
Attività su Federico:
alcune riflessioni
Che tipo di ragazzo è Federico? (Franta e
Colasanti, 1995)
Federico entra in classe e si dirige subito al
suo posto.
Si siede, tira fuori dallo
zainetto penne e quaderni e inizia a
ripassare le lezioni. I compagni lo invitano
a giocare, ma si rifiuta dicendo che deve
studiare.
All’arrivo
dell’insegnante
Federico si alza, le sorride, quindi torna a
sedersi.
Secondo lei, che tipo di ragazzo è Federico?
1: per niente 2: un po’ 3: non so 4: abbastanza 5: molto
• Responsabile
1
2
3
4
5
• Secchione
1
2
3
4
5
• Diligente
1
2
3
4
5
• Socievole
1
2
3
4
5
• Studioso
1
2
3
4
5
• Indipendente
1
2
3
4
5
• Intelligente
1
2
3
4
5
• Isolato
1
2
3
4
5
• Furbo
1
2
3
4
5
• Maturo
1
2
3
4
5
Prima riflessione...
GIUDIZIO
Federico è...
OSSERVAZIONE
Federico fa...
Postman e Weingartner, 1973:
‘…noi trasferiamo i nostri sentimenti e le nostre
valutazioni a oggetti al di fuori di noi. Per
esempio, diciamo “John è stupido” o “Helen è
vivace” come se la stupidità e la vivacità fossero
delle caratteristiche di John e Helen.
Una parafrasi letterale di “John è stupido”
(ovvero, il suo significato più scientifico) può
essere qualcosa del tipo:
“Quando percepisco il comportamento di John,
sono deluso, angustiato, frustrato o disgustato”.
La proposizione che uso per esprimere le mie
percezioni e valutazioni di questi fatti è “John è
Dicendo
“John
è
stupido”,
parliamo di noi stessi molto di più
che di John.
Eppure, questo fatto non si riflette per
nulla nell’affermazione.
L’io – il segno della partecipazione di
colui che percepisce – è stato
rimosso mediante una peculiarità
grammaticale.’
Seconda riflessione...
GIUDIZIO
Federico è...
INTERPRETAZIONE
Federico fa così perché…
OSSERVAZIONE
Federico fa...
influenzata da:
le nostre esperienze
i nostri schemi interpretativi
mette in gioco:
le nostre emozioni
INTERPRETAZIONE
Federico fa così perché…
OSSERVAZIONE
Federico fa...
Attività sulle scene:
alcune osservazioni
GRAVI / NON GRAVI
1. Valutazioni diverse possono rimandare a
valori diversi
Marco:
Grave perché: non padroneggia il
linguaggio
Non grave perché: è solo un problema di
linguaggio
Azzurra:
Grave perché: non ha studiato
Non grave perché: non ha studiato
2. La stessa valutazione può poggiare su
argomentazioni completamente diverse
Azzurra:
Grave perché:
• Studio mnemonico non ragionato
• Mancanza di concetto di perimetro
• Dimostra che non sta ragionando ma sta
rispondendo a caso
• Dimostra chiaramente di non aver
studiato
3. Il giudizio poggia su un’interpretazione
dell’errore
“Grave perché l’alunna ha imparato
meccanicamente il procedimento di
soluzione ma non ne ha compreso il
significato”
• “Grave perché non riesce ad astrarre”
• “Grave perché non ha la più pallida idea di
cosa sta facendo”
OSSERVARE
- non ha fatto…
- non è in grado di fare
- non ha capito
- non ha studiato
INTERPRETARE
QUANDO è stato commesso
(prima / dopo l’azione didattica)
POSSIBILI CAUSE
QUANTE VOLTE
POSSIBILI
CONSEGUENZE
la valutazione
della gravità
degli errori
QUALE LIVELLO
DI SCUOLA
POSSIBILITA’
DI CORREGGERLO
IMPORTANZA
DELL’ARGOMENTO
DIFFICOLTA’
DELL’ARGOMENTO
la valutazione
della gravità
POSSIBILI
CONSEGUENZE
degli errori
IMPORTANZA
DELL’ARGOMENTO
Individuazione di ‘saperi minimi’
QUANDO è stato commesso
(prima / dopo l’azione didattica)
QUANTE VOLTE
la valutazione
della gravità
degli errori
Necessità di un’osservazione
continua e contestualizzata
la valutazione
della gravità
degli errori
QUALE LIVELLO
DI SCUOLA
Importanza del raccordo
la valutazione
della gravità
degli errori
POSSIBILITA’
DI CORREGGERLO
Visione della gravità centrata
sull’insegnante
QUANDO è stato commesso
(prima / dopo l’azione didattica)
POSSIBILI CAUSE
QUANTE VOLTE
POSSIBILI
CONSEGUENZE
la valutazione
della gravità
degli errori
QUALE LIVELLO
DI SCUOLA
POSSIBILITA’
DI CORREGGERLO
IMPORTANZA
DELL’ARGOMENTO
DIFFICOLTA’
DELL’ARGOMENTO
CONVINZIONI
C
O
N
O
S
C
E
N
Z
E
EPISTEMOLOGIA
V
A
L
O
R
I
la valutazione
della gravità
degli errori
EMOZIONI
VISSUTO
…dell’insegnante!
ERRORE = indicatore ‘oggettivo’?
•
•
•
•
In quale contesto è stato commesso l’errore?
Chi ha costruito la ‘verifica’?
Chi ha stabilito gli obiettivi?
Chi ha stabilito che l’esercizio proposto permette
di riconoscere il raggiungimento degli obiettivi?
• Cosa c’è di oggettivo nei vincoli che si
impongono o meno agli allievi? (tempo / numero
di esercizi / uso dei testi, della calcolatrice…)
L’OGGETTIVITA’ DELLA VALUTAZIONE
ASSUNZIONE DELLA RESPONSABILITÀ
DELLE PROPRIE SCELTE DIDATTICHE
OSSERVARE
- non ha fatto…
- non è in grado di fare
- non ha capito
- non ha studiato
INTERPRETARE
INTERPRETAZIONE
Le parole più usate:
-“Non riesce …”
-“Non ha capito…”
-“Non ha le basi…”
-“Non si impegna”
l’interpretazione
giusta / sbagliata
è un’ipotesi di lavoro
funziona / non funziona
Perché l’interpretazione sia
un’ipotesi di lavoro:
• Deve dirigere, e non bloccare, l’intervento
Esempio: ‘non è in grado’
• Deve essere puntuale, e non generica
Esempi:
‘Non si impegna’
‘Non ha le basi’
‘Non capisce’
‘Non ha metodo di studio’
Perché l’interpretazione sia
un’ipotesi di lavoro:
• Deve dirigere, e non bloccare, l’intervento
Esempio: ‘non è in grado’
• Deve essere puntuale, e non generica
Esempi:
‘Non si impegna’
‘Non ha le basi’
‘Non capisce’
‘Non ha metodo di studio’
l’interpretazione
giusta / sbagliata
è un’ipotesi di lavoro
funziona / non funziona
importanza per l’insegnante di avere un
repertorio di interpretazioni possibili
L’apprendimento come attività costruttiva
importanza per l’insegnante di avere un
repertorio di interpretazioni possibili
L’apprendimento come attività
costruttiva
 visione ‘tradizionale’:
il contenitore vuoto da riempire…
 l’apprendimento come attività costruttiva
...la conoscenza è in gran parte costruita dal
discente
 l’individuo è soggetto attivo che interpreta
l’esperienza
 costruisce convinzioni
mondo degli oggetti fisici
mondo degli organismi viventi
mondo degli esseri umani
 teorie
Prevedere il moto della pallina all’uscita
del tubo
Anche studenti di fisica rispondono così:
Ricerche classiche
• Processi decisionali
Kahneman & Tversky
• Fisica ingenua
Processi decisionali:
Kahneman, Tversky, Shafir
Voss
Perkins
Fisica ‘ingenua’:
McCloskey, DiSessa
Per approfondire:
Howard Gardner, Educare al comprendere, 1993
Piattelli Palmarini, L’illusione di sapere, 1993
Graziano Cavallini, La formazione dei concetti scientifici, 1995
Alcune implicazioni generali
1. Il ruolo del contesto
Prevedere il moto della pallina all’uscita
del tubo
Anche studenti di fisica rispondono così:
Problema: La figura mostra un tubo metallico curvo visto dall’alto.
Una sfera metallica è inserita alla fine del tubo indicato dalla freccia ed è
spinta dall’altra parte del tubo ad alta velocità. Il punto in cui fuoriesce la sfera
ha coordinate (2,-2) (la misura è in metri). La sfera esce nella direzione del
vettore 3 i + 4 j con una velocità iniziale di 500 m/sec. Dare le coordinate
della sfera un secondo dopo l’uscita dal tubo.
TEST DI WASON
A
R
4
7
Quali carte gireresti per verificare se per queste 4 carte vale
la regola:
'Se da una parte c’è una vocale, dall’altra c’è un numero
pari‘ ?
VARIAZIONI SUL TEMA…
Beve
birra
Beve
acqua
Sopra i
16 anni
Sotto i
16 anni
'Se una persona beve birra deve avere più di 16 anni'.
Quali casi controllereste?
Alcune implicazioni generali
1. Il ruolo del contesto
2. Il ruolo dell’errore:
2.1 L’epistemologia e la pedagogia dell’errore
2.2 L’interpretazione dell’errore
2.2.1 Distinzione errore / fallimento
2.2.2 Un repertorio di interpretazioni
Alcune implicazioni generali
1. Il ruolo del contesto
2. Il ruolo dell’errore:
2.1 L’epistemologia e la pedagogia dell’errore
2.2 L’interpretazione dell’errore
2.2.1 Distinzione errore / fallimento
2.2.2 Un repertorio di interpretazioni
1. Popper
‘Evitare errori è un ideale meschino: se non
osiamo affrontare problemi che siano così
difficili da rendere l’errore quasi inevitabile,
non vi sarà allora sviluppo della
conoscenza. In effetti, è dalle nostre
teorie più ardite, incluse quelle che sono
erronee, che noi impariamo di più.
Nessuno può evitare di fare errori; la cosa
più grande è imparare da essi.‘
2. Bachelard
Quando si ricercano le condizioni psicologiche
dei progressi della scienza, ci si convince ben
presto che è in termini di ostacoli che bisogna
porre il problema della conoscenza scientifica.
(…)
Tornando su un passato di errori, la verità la si
trova in un vero e proprio pentimento
intellettuale.
Si conosce, infatti, contro una conoscenza
anteriore, distruggendo conoscenze mal fatte,
superando quello che nello spirito stesso fa da
ostacolo alla spiritualizzazione.
3. F. Enriques
‘Il Maestro sa che la comprensione degli errori dei suoi
allievi è la cosa più importante della sua arte didattica.
Egli impara presto a distinguere gli errori significativi da
quelli, che non sono propriamente errori - affermazioni
gratuite di sfacciati che cercano di indovinare - dove
manca lo sforzo del pensiero, della cui adeguatezza si
vorrebbe giudicare. E degli errori propriamente detti, che
talora sono in rapporto con manchevolezze delle singole
menti, ma nei casi più caratteristici si presentano come
tappe del pensiero nella ricerca delle verità, il maestro sa
valutare il significato educativo: sono esperienze
didattiche che egli persegue, incoraggiando l'allievo a
scoprire da sé la difficoltà che si oppone al retto giudizio,
e perciò anche ad errare per imparare a correggersi’
4. Turing
Anche il matematico umano prende qualche
cantonata quando sperimenta nuove
tecniche.
E’ facile per noi considerare queste sviste
come non rilevanti e dare al ricercatore
un’altra possibilità, ma alla macchina non
viene riservata alcuna pietà.
In altre parole, se si aspetta che la macchina
sia infallibile, allora essa non può anche
essere intelligente.’
5. Krygowska
Questa accortezza didattica [n.d.r.: il blocco delle
occasioni di errore] consiste nella scelta, da parte
del professore abile, delle difficoltà che l’allievo
incontrerà sulle vie del ragionamento in modo che
l’ occasione di commettere errori sia minima.
Certi manuali e certe raccolte ci offrono esempi al
riguardo. Gli esercizi sono raggruppati
sistematicamente, dopo che alcuni sono
presentati come esempio, le istruzioni sono
talmente suggestive che è difficile, anche a un
alunno che capisca poco, di commettere un
errore.
[Krygowska]
Un simile blocco degli errori non dà risultati
positivi che apparentemente. Quello che è
oscuro nel cervello dell’alunno rimane oscuro
benché il segnale «errore» non si accenda.
Questo modo di procedere dà delle illusioni ai
professori e agli alunni e il primo passo sulla
via del verbalismo è compiuto, l’abolizione
delle difficoltà non essendo equivalente alla
vittoria riportata sopra di esse.’
6. Gardner
‘Insegnanti e studenti (...) non sono disposti
ad assumersi i rischi del comprendere e si
accontentano dei più sicuri “compromessi
delle risposte corrette”.
In virtù di tali compromessi, insegnanti e
studenti considerano che l’educazione
abbia avuto successo quando gli studenti
sono in grado di fornire le risposte
accettate come corrette.’
7. Alla maniera di Postman e
Weingartner…
Gillupsie: E lei, dottor Bluffing, cosa mi racconta?
Bluffing: Tutto a posto, dottor Gillupsie. I miei
pazienti sono stati dimessi.
Gillupsie: Ottimo, Bluffing. Anche quel paziente
della 302 che aveva quel febbrone inspiegabile?
Bluffing: Anche lui, dottor Gillupsie: ora è a casa.
Gillupsie: E come ha fatto a fargli calare la
temperatura? Ci abbiamo provato in tutti i modi
e non c’era riuscito di farla andare sotto i 38°!
Quale metodo ha trovato? Cosa gli ha dato?
Bluffing: Beh, dottor Gillupsie, la temperatura in sé
non è calata… ma abbiamo stabilito,
naturalmente dopo aver consultato diversi
articoli scientifici, che d’ora in poi la febbre è
sopra i 39°. Ufficialmente quindi possiamo
dichiarare che il paziente 302 non è proprio
malato! E quindi l’abbiamo rassicurato e
dimesso.
Gillupsie: Geniale, dottor Bluffing! [rivolto agli altri
dottori] Imparate da Bluffing, ragazzi! [di nuovo
rivolto a Bluffing] E mi dica, John, quel paziente
che aveva le analisi del sangue così sballate?
Quei valori così alti di insulina?
Bluffing: Anche quello dimesso, capo. Guarito!
Gillupsie: Eccezionale, Bluffing! Fossero tutti così al Blear
Hospital, le nostre azioni salirebbero alle stelle! Ma mi
dica, quale cura ha funzionato per abbassare l’insulina?
Bluffing:In realtà le abbiamo provate tutte senza successo,
capo.
Gillupsie: E allora, Bluffing? Come mai l’ha dimesso?
Bluffing: Beh, capo, ho pensato che visto che con l’insulina
non se ne veniva a capo, era meglio fargli l’analisi dei
globuli bianchi. E quella era proprio perfetta, capo! Da
dimissione immediata. E avesse visto come era contento
anche il paziente!
Gillupsie: [serio] Lo so, Bluffing… La serenità dei pazienti è
davvero importante! E fortunatamente qui al Blear ci
sono medici come lei che se ne preoccupano…
L’errore come risorsa didattica
(Raffaella Borasi)
Esempio
a b ab
3 6 9
2 5 7
 
 
 
c d cd
4 7 11
3 7 10
- Ci sono altre operazioni fra frazioni in cui
numeratore e denominatore sono combinati
separatamente?
- Ci sono dei casi (cioè scelte particolari degli interi
a, b, c, d) in cui l'algoritmo corretto e quello
descritto sopra portano allo stesso risultato?
- Ci sono delle situazioni di vita reale che possono
essere descritte da quel modo di sommare,
piuttosto che dall'algoritmo corretto per la somma di
frazioni?
Alcune implicazioni generali
1. Il ruolo del contesto
2. Il ruolo dell’errore:
2.1 L’epistemologia e la pedagogia dell’errore
2.2 L’interpretazione dell’errore
2.2.1 Distinzione errore / fallimento
2.2.2 Un repertorio di interpretazioni
Alcune implicazioni generali
COMPITO PER CASA
1. Il ruolo del contesto
2.
Riflettere:
Il ruolo
dell’errore:
• sulla distinzione fra errore e fallimento
2.1•sulle
L’epistemologia
e ladistinzione
pedagogia dell’errore
implicazioni di tale
2.2 L’interpretazione dell’errore
2.2.1 Distinzione errore / fallimento
2.2.2 Un repertorio di interpretazioni
Alcune implicazioni generali
1. Il ruolo del contesto
2. Il ruolo dell’errore:
2.1 L’epistemologia e la pedagogia dell’errore
2.2 L’interpretazione dell’errore
2.2.1 Distinzione errore / fallimento
2.2.2 Un repertorio di interpretazioni
Da L’insegnamento come attività
sovversiva, di N. Postman e C.
Weingartner
Il dottor Gillupsie ha chiamato molti dei suoi
chirurghi interni del Blear General Hospital.
Essi stanno per cominciare la loro relazione
settimanale sulle varie operazioni compiute
negli ultimi quattro giorni. Dopo aver ascoltato i
chirurghi più anziani, Gillupsie si rivolge al
dottor Carstairs.
• Gillupsie: E lei, Carstairs, come le vanno le
cose?
• Carstairs: Temo di essere stato sfortunato,
dottor Gillupsie.
Niente operazioni questa
settimana, ma solo tre pazienti morti.
• Gillupsie: Bene; dovremmo parlarne un po’, non le
pare? Di che cosa sono morti?
• Carstairs: Non lo so con certezza, dottor Gillupsie, ma
comunque ho dato a ciascuno di loro un bel po’ di
penicillina.
• Gillupsie: Ah! Il sistema tradizionale della cura “buona
di per se stessa”, eh, Carstairs?
• Carstairs: Beh, non esattamente, capo. Pensavo solo
che la penicillina li avrebbe fatti stare meglio.
• Gillupsie: Per che cosa li stava curando?
• Carstairs: Insomma, stavano proprio male, capo, e io
so che la penicillina fa star meglio gli ammalati.
• Gillupsie: Certamente, Carstairs. Penso che lei abbia
fatto bene.
• Carstairs: E i morti, capo?
• Gillupsie: Cattivi, figlio mio, cattivi pazienti. E non c’è
niente che possa fare un buon dottore quando si trova
di fronte dei cattivi pazienti. E nessuna medicina può
farci nulla, Carstairs.
• Carstairs: Eppure mi è rimasta ancora la seccante
impressione che forse non avevano bisogno di
penicillina, che servisse qualcos’altro.
• Gillupsie: Sciocchezze! La penicillina non fa mai
cilecca su dei buoni pazienti. Lo sanno tutti.
Al suo posto non mi preoccuperei troppo,
Carstairs.
L’apprendimento come attività costruttiva
• Misconcetti e modelli primitivi
• Linguaggio matematico e linguaggio
quotidiano
• Razionalità matematica e altre forme di
razionalità
• Convinzioni, atteggiamenti, emozioni
importanza per l’insegnante di avere un
repertorio di interpretazioni possibili
L’apprendimento come attività costruttiva
• Misconcetti e modelli primitivi
importanza per l’insegnante di avere un
repertorio di interpretazioni possibili
In contesto scolastico
ALLIEVO
MATEMATICA
INSEGNANTE
L’allievo:
• interpreta i messaggi dell’insegnante
alla luce delle proprie conoscenze, convinzioni, esperienze…

interpretazione ‘distorta’
MISCONCETTI
L’allievo interpreta...
•
•
•
•
•
procedure
termini
simboli
proprietà
concetti
 dà loro un ‘senso’

misconcetti
L’allievo
interpreta…procedure
Errori sistematici.
Molti allievi sbagliano…
...non perché applicano in modo scorretto procedure
corrette
Ma perché applicano (in modo corretto) procedure
scorrette!
278135=
143
352146=
214
406219=
213
543367=
224
510238=
328
1023835 =
1812
Scena 1: Johnnie
437 – 284 =
437284=
253
L’insegnante: “Hai dimenticato di sottrarre 1
da 4 nella colonna delle centinaia!”
L’allievo interpreta… termini / simboli
 spigolo – rombo - altezza...
 ipotesi / tesi
 le parentesi
 segno di uguale
…
Le altezze di un triangolo
A
MODELLO PRIMITIVO
B
C
A
B
INFLUENZA DEL LINGUAGGIO
• l’altezza di una persona
• …di una casa
• …di un ponte
C
L’allievo interpreta… termini / simboli
 spigolo – rombo - altezza...
 ipotesi / tesi
 le parentesi
 segno di uguale
…
Scena 7: Alice
Deve riconoscere in alcuni enunciati l’ipotesi
e la tesi.
Sistematicamente, riconosce come ipotesi
quella che invece è la tesi.