Rosetta Zan
Dipartimento di Matematica, Università di Pisa
[email protected]
DIDATTICA DELLA
MATEMATICA
TFA A048-A049-Matematica
Incontro
5 aprile 2013
L’apprendimento come attività costruttiva
• Misconcetti e modelli primitivi
• Linguaggio matematico e linguaggio
quotidiano
• Razionalità matematica e altre forme di
razionalità
• Convinzioni, atteggiamenti, emozioni
importanza per l’insegnante di avere un
repertorio di interpretazioni possibili
L’apprendimento come attività costruttiva
• Misconcetti e modelli primitivi
importanza per l’insegnante di avere un
repertorio di interpretazioni possibili
In contesto scolastico
ALLIEVO
MATEMATICA
INSEGNANTE
L’allievo:
• interpreta i messaggi dell’insegnante
alla luce delle proprie conoscenze, convinzioni, esperienze…

interpretazione ‘distorta’
MISCONCETTI
L’allievo interpreta...
•
•
•
•
•
procedure
termini
simboli
proprietà
concetti
 dà loro un ‘senso’

misconcetti
L’allievo
interpreta…procedure
Errori sistematici.
Molti allievi sbagliano…
...non perché applicano in modo scorretto procedure
corrette
Ma perché applicano (in modo corretto) procedure
scorrette!
278135=
143
352146=
214
406219=
213
543367=
224
510238=
328
1023835 =
1812
Scena 1: Johnnie
437 – 284 =
437284=
253
L’insegnante: “Hai dimenticato di sottrarre 1
da 4 nella colonna delle centinaia!”
L’allievo interpreta… termini / simboli
 spigolo – rombo - altezza...
 ipotesi / tesi
 le parentesi
 segno di uguale
…
Le altezze di un triangolo
A
MODELLO PRIMITIVO
B
C
A
B
INFLUENZA DEL LINGUAGGIO
• l’altezza di una persona
• …di una casa
• …di un ponte
C
L’allievo interpreta… termini / simboli
 spigolo – rombo - altezza...
 ipotesi / tesi
 le parentesi
 segno di uguale
…
Scena 7: Alice
Deve riconoscere in alcuni enunciati l’ipotesi
e la tesi.
Sistematicamente, riconosce come ipotesi
quella che invece è la tesi.
L’allievo interpreta… termini / simboli
 spigolo – rombo - altezza...
 ipotesi / tesi
 le parentesi
 segno di uguale
…
L’allievo interpreta… termini / simboli
 spigolo – rombo - altezza...
 ipotesi / tesi
 le parentesi
 segno di uguale
…
Scena 6: Marco
Deve moltiplicare x + 1
per x +2:
x + 1  (x+2) =
= x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2
L’allievo interpreta… termini / simboli
 spigolo – rombo - altezza...
 ipotesi / tesi
 le parentesi
 segno di uguale
…
L’allievo interpreta… termini / simboli
 spigolo – rombo - altezza...
 ipotesi / tesi
 le parentesi
 segno di uguale
…
Il segno di uguale
“In un bosco vengono piantati 425 alberi nuovi. Qualche
anno dopo, vengono abbattuti i 217 alberi più vecchi.
Nel bosco ci sono quindi 1063 alberi. Quanti alberi
c’erano prima che venissero piantati quelli nuovi?”
1063 + 217 = 1280 – 425 = 855
“4 + 5 = 3 + 6”
‘dopo il segno “=” ci dev’essere la risposta, e non un
altro problema!’
“4 + 5 = 9” e “3 + 6 = 9”.
Il segno di uguale
Problema: Quanti giorni di vacanza
abbiamo avuto quest’estate?
30-10 = 20+31 = 51+31 = 82+15 = 97
giugno
luglio
agosto
settembre
"Secondo te questo calcolo fatto da due
bambini di terza è giusto?"
Una discussione in classe
CHE COSA SIGNIFICA IL SEGNO "=" IN
MATEMATICA?
• INS: Cosa vuol dire "essere uguale a" ,
quel segno lì in matematica che
significa?
• ILA: Vuol dire che viene il risultato.
• LUI: Tu per fare l'uguale devi fare prima
l'operazione e poi devi fare l'uguale, così
ti viene fuori il risultato.
• GIO: Uguale significa avere un risultato
in un'operazione, in una moltiplicazione
e così
• INS: E se io scrivo 8=8 va bene?
• GIO: No, devi anche metterci +0 perché
se no non si capisce…
…devi metterci anche
qualcosa.
Scena 9: Irene
Irene, prima liceo classico:
x2 = 3x - 2
x2 + 3x + 2 = 0
… e trova quindi le due soluzioni.
Irene
“Non sarò certo io a contestare
una regola che tutti accettano!
Mi adeguo senz’altro.
Ma nessuno mi potrà mai
convincere che se aggiungo la
stessa quantità ai due membri di
un’equazione,
non
cambia
niente!”
L’uso delle lettere
Scrivi un’equazione usando le variabili S e P per
rappresentare il seguente enunciato: ‘In questa
università gli studenti sono 6 volte i professori’.
Usa S per il numero degli studenti, e P per il
numero dei professori.
In un gruppo di 150 matricole di Ingegneria il 37%
non scrive l’equazione corretta S=6P.
L’errore più comune è: 6S=P.
La percentuale di errore cresce al 73% in una
versione del problema in cui il rapporto professori /
studenti è 4:5 invece che 1:6.
In uno studio successivo viene utilizzata una versione
modificata del test originario (Rosnick, 1981). Tale versione
viene data ad un gruppo di 33 studenti che seguono un
corso di statistica e a 119 studenti di scienze sociali in un
corso di calcolo al secondo semestre:
In questa università gli studenti sono 6 volte i professori. Questo fatto
è rappresentato dall’equazione: S=6P.
a) In questa equazione, cosa sta ad indicare la lettera P?
i) Professori
ii) Professore
iii) Numero dei professori
iv) Nessuna delle risposte precedenti
v) Più di una fra le risposte precedenti (se sì, indica quali)
vi) Non so
b) Cosa sta ad indicare la lettera S?
i) Professore
22 %
ii) Studente
iii) Studenti
iv) Numero degli studenti
v) Nessuna delle risposte precedenti
vi) Più di una fra le risposte precedenti (se sì, indica quali)
vii) Non so
L’allievo interpreta…concetti

misconcetti
 la moltiplicazione fa “ingrandire”
 un numero è negativo  nella sua
rappresentazione compare esplicitamente il
segno “-”
 insieme
Modelli primitivi (E. Fischbein)
Modello: moltiplicazione come addizione
ripetuta
• Operando: può essere un numero
positivo qualsiasi,
• Operatore: deve invece essere un
numero intero

si può dire 3 volte 0,65: 0,65 + 0,65 + 0,65
…ma 0,65 volte 3 ???
la moltiplicazione “fa ingrandire”
PROBLEMA 1
Da un quintale di grano si ottengono 0,75 quintali di farina.
Quanta farina si ricava da 15 quintali di grano?
PROBLEMA 2
Un chilo di detergente viene usato per produrre 15 chili di
sapone. Quanto sapone può essere fatto con 0,75 chili di
detergente?
76%
35%
TANGENTE AL GRAFICO DI UNA
FUNZIONE
• Dare una definizione di tangente al grafico
di una funzione.
Modello primitivo di tangente
A
Il disegno può portare a
costruire un’immagine per il
concetto di tangente in altri casi
quali:
P
concept image
concept definition
• Quando gli studenti seguono un corso di analisi
ricevono in genere una definizione formale di
tangente in un punto al grafico di una funzione
derivabile come retta passante per quel punto
con pendenza uguale alla derivata della funzione
nel punto.
• Nonostante questo, il loro modello di tangente,
costruito attraverso esperienze che hanno coinvolto
figure come le precedenti, può contenere elementi
‘parassiti’: ad esempio il vincolo che una tangente
può incontrare una curva in un punto solo e non può
attraversare la curva in quel punto.
• Questo modello (o per usare le parole di Vinner:
concept image) è confermato dalle risposte date alle
seguenti domande da 278 studenti che seguivano
un corso di analisi al primo anno di università:
Di seguito sono disegnate tre curve.
Su ognuna di esse è scelto un punto P.
Per ognuno dei tre casi scegli l'affermazione che ti sembra corretta fra le tre
elencate sotto, e segui le istruzioni fra parentesi.
A. Per P è possibile condurre esattamente una tangente alla curva
(disegnala).
B. Per P è possibile condurre più di una tangente (specifica quante: due, tre,
infinite. Disegnale tutte se sono in numero finito, ed alcune se sono infinite).
C. Per P è impossibile condurre tangenti alla curva.
In contesto scolastico
ALLIEVO
MATEMATICA
ITALIANO
Verbi riflessivi:
INSEGNANTE
Sono quelli che descrivono
azioni che si fanno allo specchio.
L’allievo:
Pettinarsi, lavarsi, truccarsi…
• interpreta i messaggi dell’insegnante
alla luce delle proprie conoscenze, convinzioni, esperienze…

interpretazione ‘distorta’
MISCONCETTI
Decisioni dell’insegnante
• Portare alla luce i misconcetti
• Cercare di scardinarli
Come?
Decisioni dell’insegnante
• Portare alla luce i misconcetti
1. Indicatori: Errori sistematici
Strategia: chiedere la collaborazione
dell’allievo nel descrivere i propri processi
di pensiero
2. Proporre situazioni non standard in cui
gli schemi degli allievi non funzionano
3. Questionari
Il giardino di Torquato?
2. Proporre situazioni non standard in cui
gli schemi degli allievi non funzionano
Dalle prove PISA. ‘Andatura’
La figura mostra le orme di un uomo che cammina.
La lunghezza P del passo è la distanza fra la parte
posteriore di due orme consecutive.
Per gli uomini, la formula
n
 140
P
fornisce una relazione approssimativa fra n e P,
dove:
n = numero di passi al minuto, e
P = lunghezza del passo in metri
- Domanda 1:
Se la formula si applica all’andatura di Enrico ed
Enrico fa 70 passi al minuto, qual è la lunghezza
del passo di Enrico?
Scrivi qui sotto i passaggi che fai per arrivare alla
risposta.
n
 140
P
n = numero di passi al minuto
P = lunghezza del passo in metri
Risultati (Italia):
23% risposte corrette
35% omissioni
- Domanda 1:
Se la formula si applica all’andatura di Enrico ed
Enrico fa 70 passi al minuto, qual è la lunghezza
del passo di Enrico?
Scrivi qui sotto i passaggi che fai per arrivare alla
risposta.
n
 140
P
n = numero di passi al minuto
P = lunghezza del passo in metri
70 / P = 140
Errore più frequente:
140 / 70
Negli esempi che seguono a è un numero diverso da zero.
Allora:
positivo
negativo
dipende
a2 + 1
è un numero



a2 - 5
è un numero



aaa + 3
è un numero



a
è un numero



3000+ a
è un numero



- 5 a2
è un numero



-a
è un numero



3. Questionari
Decisioni dell’insegnante
• Portare alla luce i misconcetti
• Cercare di scardinarli
• Rendere gli allievi consapevoli
• Costruire situazioni di ‘conflitto cognitivo’
• Discussione collettiva
Alcune implicazioni generali
COMPITO PER CASA
1. Il ruolo del contesto
2.
Riflettere:
Il ruolo
dell’errore:
• sulla distinzione fra errore e fallimento
2.1•sulle
L’epistemologia
e ladistinzione
pedagogia dell’errore
implicazioni di tale
2.2 L’interpretazione dell’errore
2.2.1 Distinzione errore / fallimento
2.2.2 Un repertorio di interpretazioni
errore / fallimento
In contesto scolastico:
Un soggetto:
 l’insegnante
riconosce il fallimento…
ed individua i comportamenti fallimentari
di un altro soggetto:
l’allievo
L’insegnante…
• Vuole che l’allievo modifichi i suoi
comportamenti fallimentari
• Cioè i comportamenti che secondo
l’insegnante lo hanno portato…
• …al fallimento riconosciuto
dall’insegnante stesso
INSEGNANTE
ALLIEVO
l’insegnante vuole che l’allievo modifichi i
propri comportamenti
ma è l’allievo che
deve modificarli
implicazioni didattiche
OSSERVAZIONE 1
Se l'allievo si è posto un obiettivo diverso, o
non si è posto alcun obiettivo, non
necessariamente condivide il fallimento
osservato dall'insegnante.
E se d’altra parte non riconosce un
fallimento, per quali motivi dovrebbe
cambiare i propri comportamenti?
INSEGNANTE
ALLIEVO
l’insegnante ha in mente un obiettivo
interno alla matematica
(trovare l’ipotenusa, le soluzioni di
un’equazione, …)
l’allievo si pone un obiettivo esterno alla
matematica
(dare la risposta giusta, prendere un buon
voto, …)
Spesso…
• L’allievo non riconosce il fallimento
individuato dall’insegnante perché si è
posto un obiettivo diverso
OBIETTIVO: dare la risposta corretta
Esempio: Marco
Deve moltiplicare x + 1
per x +2:
x + 1  (x+2) = x2 + 2x + x + 2 = x2 + 3x + 2
per l’insegnante…
ci sono 2 errori!
…per Marco
l’obiettivo è stato raggiunto
ERRORE
FALLIMENTO
OSSERVAZIONE 2
Inoltre non è detto che l’allievo condivida
l'individuazione dei comportamenti
fallimentari.
E d’altra parte lui vorrà cambiare i
comportamenti che lui stesso (e non
l’insegnante) riconosce come fallimentari…
Esempio 1: Se l’allievo ha copiato male il
compito da un compagno bravo…
…e non ha risolto correttamente gli esercizi
Comportamenti fallimentari:
 Non aver studiato
 Aver copiato male
Deve studiare / esercitarsi di più, meglio…
Devo copiare meglio…
Esempio 2: Risposte a caso…
• Per l’allievo il comportamento fallimentare
è:
Aver dato quella particolare risposta
• Per l’insegnante.
Aver risposto a caso
…cambia la risposta!
APPROFONDIMENTO:
Le ricerche sui processi
decisionali
Luigi ha 34 anni. E’ intelligente, ma ha poca
fantasia, è abitudinario, metodico e non molto
attivo. A scuola era bravo in matematica, ma
debole nelle materie umanistiche.
a) Luigi fa il medico e gioca a poker per hobby
b) Luigi fa l’architetto
c) Luigi fa il contabile
d) Luigi suona per hobby musica jazz
e) Luigi ha l’hobby del surf
f) Luigi fa il giornalista
g) Luigi fa il contabile, e suona per hobby musica jazz
h) Luigi ha l’hobby dell’alpinismo
Linda ha 31 anni. E’ nubile, schietta e molto brillante. Ha
una laurea in filosofia. Da studentessa si interessava
molto ai problemi di discriminazione razziale e di
ingiustizia sociale, e prendeva parte attiva alle
dimostrazioni anti-nucleari.
a) Linda insegna in una scuola elementare
b) Linda lavora in una libreria e prende lezioni di yoga
c) Linda è attiva nel movimento femminista
d) Linda è un’assistente sociale
e) Linda è membro della Organizzazione Elettorale Femminile
f) Linda lavora in una banca
g) Linda è un agente assicurativo
h) Linda lavora in una banca ed è attiva nel movimento femminista
La roulette russa
Sei persone si sfidano alla roulette russa
usando una pistola con un tamburo a 6
colpi. La pistola ha un solo proiettile:
ciascuno a turno preme il grilletto e, se è
fortunato, passa la pistola al compagno
accanto.
(1) Secondo te qual è la posizione più sicura?
50%: la prima
23%: sono tutte equivalenti
(2) In quale posizione preferiresti trovarti?
40%: la prima
40%: l’ultima
Tversky e Shafir, 1992
1) Hai appena consegnato gli scritti di un difficile esame
universitario. Saprai dopodomani se sei stato promosso o se
sei stato bocciato. Ti viene proposta un’offerta
particolarmente vantaggiosa per una vacanza alle isole
Hawaii (un ‘pacchetto’ tutto-compreso per sette giorni a sole
200.000 lire). Devi, però, decidere entro domani, dando un
anticipo di 50.000 lire non rimborsabili. Puoi differire la
decisione di un giorno (quindi, nel frattempo saprai con
certezza se sei stato promosso o se sei stato bocciato),
pagando un extra di 15.000 non rimborsabili, e non scalabili
dal prezzo del pacchetto.
Che decideresti di fare?
Allo studente viene poi chiesto cosa deciderebbe se sapesse:
2) di essere stato promosso
3) di essere stato bocciato
Le terne possibili:
incerto
promosso
bocciato
C
C
C
C
C
N
C
N
C
C
N
N
N
C
C
N
C
N
N
N
C
N
N
N
1) Situazione di incertezza
2) Sa di essere stato promosso
3) Sa di essere stato bocciato
C = compra
N = non compra
Secondo te in italiano ci sono più parole di
sette lettere che finiscono in –ndo.
----ndo
oppure più parole che hanno una n in terza
posizione:
--n---?