ANALISI DELLO STATO DI DEFORMAZIONE
Un mezzo continuo, da un punto di vista macroscopico, è una regione dello
spazio V, delimitata da una o più superfici chiuse ed occupate da materia in ogni
sua parte, comunque piccola.
Mezzi continui sono i solidi, i liquidi e gli aeriformi.
Un mezzo continuo si dice deformabile se possono variare le posizioni relative
dei suoi punti; in caso contrario si dice rigido.
Applicando ad un mezzo continuo, già in equilibrio sotto l’azione di certe azioni,
un sistema di azioni aggiuntive, si provocano generalmente in esso delle
variazioni di configurazione (spostamenti).
Possono esistere spostamenti per i quali non variano le posizioni relative delle
singole parti del mezzo continuo, e quindi le distanze relative tra i suoi punti: si
tratta di moti rigidi o, più precisamente, di traslazioni e rotazioni rigide.
Epurando il campo di spostamenti dai moti rigidi si ottiene la deformazione
pura subita dal mezzo continuo.
1
CONFIGURAZIONE INIZIALE ed ATTUALE
Si consideri un solido strutturale nelle configurazioni indeformata (iniziale) e
deformata (attuale).
V
z
O
x
P
Configurazione iniziale
uy(P)
u(P)
V¢
Configurazione
uz(P)
attuale
y
P¢
ux(P)
In uno spazio euclideo tridimensionale, fissato un riferimento cartesiano
ortonormale, sia P¢º{x¢,y¢,z¢} la posizione assunta da un punto Pº{x,y,z} a
deformazione avvenuta. Si definisce spostamento del punto P il vettore u(P),
avente piede nel punto P e testa nel punto P¢:
u(P)= [ux(P) uy(P) uz(P)]T
dove ux(P)= x¢-x, uy(P)= y¢-y e uz(P)= z¢-z sono le componenti di spostamento,
secondo i tre assi coordinati.
2
CAMPO di SPOSTAMENTI CONTINUO ed INVERTIBILE
Si assuma che il campo di spostamento del solido strutturale sia congruente:
1) Esternamente: in corrispondenza dei punti vincolati sulla frontiera del
volume, il campo di spostamento è compatibile con i vincoli stessi.
2) Internamente: nel volume del continuo materiale non si verificano né
distacchi (fratture), né compenetrazioni di materia: a tale fine il campo di
spostamenti deve essere descritto da una funzione continua, monodroma (ad
un sol valore), ed invertibile.
Campo di spostamenti
non continuo
Campo di spostamenti non
invertibile
(Lacerazione di materia)
(Compenetrazione di materia)
3
CAMPO di SPOSTAMENTI INFINITESIMI
Si consideri un solido strutturale nelle configurazioni indeformata (iniziale) e
deformata (attuale) e di valuti il campo di spostamenti infinitesimi in un intorno
I del punto P.
n
C
dV
z
O
x
V
SL
P
u
y
a)
n I¢
I
P
r
C¢
C
SV
u (P )
r
O
P'
u
r'
b)
Ipotesi di spostamenti e deformazioni infinitesimi e perciò trascurabili rispetto
alle dimensioni finite del solido elastico
4
CAMPO di SPOSTAMENTI INFINITESIMI
Si consideri un solido strutturale nelle configurazioni indeformata (iniziale) e
deformata (attuale).Siano Pº{x,y,z} un generico punto del solido strutturale e
Qº{x+dx,y+dy,z+dz} un punto appartenente all’intorno di P.
I
dr
z
x
r
y
u(Q)
Q
u(P)
P
r¢
Q¢
dr ¢
P¢
du
I¢
dr
r r
r
r
r
r
r
d r + u(Q) = u(P) + d r ¢ = u(P) + d r + du
r
r
r
u(Q) = u(P) + du
5
CAMPO di SPOSTAMENTI INFINITESIMI
Sviluppando in serie di Taylor le componenti di spostamento scritte in notazione
matriciale, si ottiene:
ì
¶u x(P)
¶u x (P)
¶u x (P)
ï
ï
u
(Q)
=
u
(P)
+
dx
+
dy
+
dz + 0(2)
x
x
ï
¶x
¶y
¶z
ï
ï
ï
ï
¶u y (P)
¶u y (P)
¶u y (P)
u(Q) = u (P) + J(P) d r + 0(2) Û ï
u
(Q)
=
u
(P)
+
dx
+
dy
+
dz + 0(2)
í y
y
ï
¶x
¶y
¶z
ï
ï
ï
¶u (P)
¶u (P)
¶u z(P)
ï
u z (Q) = u z (P) + z
dx + z
dy +
dz + 0(2)
ï
ï
¶x
¶y
¶z
ï
î
dove J(P) è la matrice jacobiana delle componenti di spostamento, valutata in P e
0(2) indica infinitesimi di ordine superiore al primo:
é ¶u x (P)
ê
ê ¶x
ê
ê ¶u y (P)
J(P) = ê
ê ¶x
ê
ê ¶u z (P)
ê
êë ¶x
¶u x (P)
¶y
¶u y (P)
¶y
¶u z (P)
¶y
¶u x (P) ù
ú
¶z ú
ú
¶u y (P) ú
ú
¶z ú
ú
¶u z (P) ú
ú
¶ z úû
e dove dr=[dx, dy, dz]T è il vettore distanza tra i punti P e Q.
6
MATRICI di DEFORMAZIONE e di ROTAZIONE
La parte emisimmetrica della matrice jacobiana nel generico punto P è la
matrice di rotazione, e si indica con W(P); la parte simmetrica è la matrice di
deformazione (o tensore di deformazione), e si indica con e(P).
W (P) =
1é
1é
Tù
Tù
J
(
P
)
J
(
P
)
;
e
(P)
=
J
(
P
)
+
J
(
P
)
û
û
2ë
2ë
Dunque, trascurando i termini di ordine superiore al primo, il campo di
spostamenti nell’intorno del punto P si scrive:
u(Q) = u(P) + W (P) dr + e (P) d r = duR (P) + duD
I primi due termini a secondo membro definiscono un atto di moto rigido du R (P):
rappresentano, rispettivamente, lo spostamento del punto Q dovuto ad una
traslazione rigida assieme al punto P e ad una rotazione rigida attorno al punto
D
P. Il terzo termine du, infine, rappresenta il contributo conseguenza di una
deformazione pura.
7
MATRICE di ROTAZIONE
Omessa la dipendenza esplicita dal punto P, il tensore di rotazione si
può riscrivere nella forma:
é
é ¶ux ¶uy ù
1
ê
ê
ú
0
ê
2 êë ¶y
¶x úû
ê
ê 1 é ¶u
¶ux ù
y
ê
ú
W=ê ê
0
¶y úû
ê 2 êë ¶x
ê
ê 1 é ¶uz - ¶ux ù 1 éê ¶uz - ¶uy ùú
ú
ê ê
¶z úû 2 êë ¶y
¶z úû
êë 2 êë ¶x
é 0 -w
ù
w
z
y
ê
ú
ê
ú
= ê wz
0 -wx ú
ê
ú
êê-wy wx
0 úú
ë
û
1 é ¶ux ¶uz ù ùú
ê
ú
2 êë ¶z
¶x úû ú
ú
1 é ¶uy ¶uz ù úú
ê
úú =
2 êë ¶z
¶y úû ú
ú
ú
0
ú
úû
p
wz +
2
wz
La seconda uguaglianza è valida nell’ipotesi di piccoli spostamenti
8
MOTO RIGIDO e DEFORMAZIONE PURA
In figura i tre contributi sono esplicitati con riferimento al caso di una trave a
mensola soggetta ad una forza applicata all’estremo libero.
9
MOTO RIGIDO e DEFORMAZIONE PURA
In figura i tre contributi sono esplicitati con riferimento al caso di un solido
piano.
Configurazione
iniziale C
Configurazione
attuale C ¢
10
MATRICE o TENSORE di DEFORMAZIONE
Omessa la dipendenza esplicita dal punto P, il tensore di
deformazione e si può riscrivere nella forma:
é
¶u x
ê
ê
¶x
ê
ê 1 é ¶u
¶u x ù
y
ê
ú
e=ê ê
+
ê
¶y úû
ê 2 ë ¶x
ê
ê 1 é ¶u z + ¶u x ù
ú
ê ê
ê
úû
2
¶
x
¶
z
êë ë
1 é ¶u x ¶u y ù
ê
ú
+
ê
2 ë ¶y
¶x úû
¶u y
¶y
1 é ¶u z ¶u y ù
ê
ú
+
2 êë ¶y
¶z úû
1 é ¶u x ¶u z ù ùú
+
ê
ú
2 êë ¶z
¶x úû ú é
ú ê ex
1 é ¶u y ¶u z ù úú ê 1
ê
ú ú = ê 2 g xy
+
ê
2 ë ¶z
¶y úû ú ê
ú êêë 12 g xz
¶u z
ú
ú
¶z
úû
1
2
g xy
ey
1
2
g yz
g xz ùú
ú
1
g
2 yz ú
ú
ez úú
û
1
2
dove la seconda uguaglianza è valida nell’ipotesi di piccoli
spostamenti e dove le componenti speciali di deformazione ei
(estensionale) e gij (angolare), con i,j=x,y,z e i¹j, sono:
¶ui
ei =
¶i
;
¶ui ¶u j
gij =
+
¶j
¶i
11
GRANDEZZE FISICHE della DEFORMAZIONE
Per descrivere lo stato di deformazione in un solido strutturale occorre
conoscere la variazione di lunghezza e la variazione di direzione subite da un
generico segmento infinitesimo PQ a seguito di un assegnato campo di
spostamenti, che conduce il solido strutturale dalla configurazione iniziale C alla
configurazione attuale C¢.
C
C¢
Al limite per Q®P, lo studio delle variazioni di lunghezza (dilatazioni e
contrazioni) e di direzione (scorrimenti) fornisce informazioni complete sullo
stato di deformazione nell’intorno del generico punto P, da cui si risale alla
deformazione del solido strutturale.
12
GRANDEZZE FISICHE della DEFORMAZIONE
Si definisce dilatazione media del segmento PQ la quantità adimensionale
fornita dal rapporto incrementale:
ePQ =
P¢ Q¢ - PQ
PQ
Facendo tendere il punto Q al punto P
lungo un’assegnata retta r, il segmento
PQ diviene infinitesimo; il limite
fornisce la deformazione estensionale
nel punto P secondo la direzione r, con
r direzione del segmento PQ nella
configurazione iniziale:
er = lim
Q® P
P¢ Q¢ - PQ
r
Configurazione
iniziale
Q
P
P¢
Q¢
Configurazione attuale
PQ
Le deformazioni estensionali sono positive se corrispondono ad un allungamento
delle fibre (dilatazioni), negative se corrispondono ad un accorciamento
(contrazioni).
13
GRANDEZZE FISICHE della
DEFORMAZIONE
Al fine di comprendere il significato
fisico degli elementi del tensore di
deformazione si isoli un parallelepipedo
é
¶ux
ê
ê
¶x
ê
ê 1 é ¶u
¶ux ù
y
ê
ú
e =ê ê
+
ê
úû
2
¶
x
¶
y
ê ë
ê
ê 1 é ¶uz ¶ux ù
+
ú
ê ê
¶z ûú
êë 2 ëê ¶x
1 é ¶ux ¶uy ù 1 é ¶ux ¶uz ù ùú
ê
ú
+
+
ê
ú
ê
ú
2 ë ¶y
¶x û 2 ëê ¶z
¶x ûú ú
ú
¶uy
1 é ¶uy ¶uz ù úú
ê
ú
+
¶y
2 êë ¶z
¶y úû úú
ú
1 é ¶uz ¶uy ù
¶uz
ú
ê
ú
+
ú
2 êë ¶y
¶z ûú
¶z
úû
Dx
ux (x ,y ,z )
y
uy +
¶u y
dy
¶y
ux (x +Dx , y, z )
¶u x
ux +
dx
¶x
uy
x
infinitesimo.
Dall’esame della deformata in direzione
x si ottiene:
ex = lim
Dx ® 0
A ¢B¢ - AB
AB
u x (x +Dx , y, z )-u x (x , y, z ) ¶u x
= lim
=
Dx ®0
Dx
¶x
x
14
GRANDEZZE FISICHE della DEFORMAZIONE
Siano a e b due semirette uscenti dal generico punto P del solido strutturale nella
configurazione iniziale, e sia J l’angolo che esse formano. Nell’intorno di P, quindi, si
considerino due fibre PA e PB appartenenti a tali semirette ed orientate
concordemente ad esse: a deformazione avvenuta cambia anche la loro direzione
relativa. In altre parole, l’angolo J¢ che le corrispondenti semirette a¢ e b¢ (uscenti
dal punto P¢ e passanti per A¢ e B¢, rispettivamente) formano nella configurazione
attuale è, in genere, diverso dall’angolo iniziale J.
Si definisce scorrimento mutuo, o
coefficiente di deformazione angolare,
tra le due direzioni a e b, la quantità
adimensionale fornita dal limite:
(
µ - a·
¢b ¢
gab = lim (J - J¢) = lim ab
A®P
B® P
A®P
B® P
)
a
C
P
A
B
P¢
C¢
J
b
A¢
B¢
J¢
Lo scorrimento è positivo se corrisponde ad una diminuzione dell’angolo J, per
definizione il minore in valore assoluto tra quelli formati dalle semirette a e b.
a¢
b¢
15
¶u x
¶y
GRANDEZZE FISICHE della
DEFORMAZIONE
Al fine di comprendere il significato
fisico degli elementi del tensore di
deformazione si isoli un parallelepipedo
é
¶ux
1 é ¶ux ¶uy ù
ê
ê
ú
+
ê
ê
¶x
2 ë ¶y
¶x úû
ê
ê 1 é ¶u
¶uy
¶u ù
e = êê ê y + x ú
¶y úû
¶y
ê 2 êë ¶x
ê
ê 1 é ¶uz ¶ux ù 1 éê ¶uz ¶uy ùú
+
+
ú
ê ê
ê
¶z úû 2 ë ¶y
¶z úû
ëê 2 êë ¶x
1 é ¶ux ¶uz ù ùú
+
ê
ú
2 êë ¶z
¶x úû ú
ú
1 é ¶uy ¶uz ù úú
ê
ú
+
2 êë ¶z
¶y úû úú
ú
¶uz
ú
ú
¶z
úû
infinitesimo e se ne studia
deformata nel piano O(x,y).
ux(x,y+Dy,z)
Dy
la
π /2
uy
ux
?′
¶u y
¶x
uy(x+Dx,y,z)
Dx
éæp
ö÷ ux (x,y+Dy, z)-ux(x,y,z) uy(x+Dx, y, z)-uy(x ,y,z)ù ¶ux ¶uy
ú=
gxy = lim êçç -q¢÷ =
+
+
Dx®0 êè 2
ø
úû ¶y
Dy
Dx
¶x
Dy®0 ë
16
TENSORE di DEFORMAZIONE
Lo stato di deformazione in un solido strutturale è dunque noto se sono note
la variazione di lunghezza e la variazione di direzione subite da un generico
segmento infinitesimo a seguito di un assegnato campo di spostamenti.
Il tensore di deformazione e si può anche scomporre nella somma di sei matrici
simmetriche, di cui le prime tre rappresentano le deformazioni estensionali
pure nelle direzioni degli assi coordinati, e le seconde tre i corrispondenti
scorrimenti angolari puri:
é e
ê x
ê
e = ê 12 g xy
ê
ê 12 gxz
êë
1
2
g xy
ey
1
2
g yz
gxz ùú éê ex 0
ú ê
1
g
0
2 yz ú = ê 0
ú ê
e z úú êê 0 0
û ë
1
é 0
2 g xy
ê
ê
+ ê 12 g xy
0
ê
êê 0
0
ë
1
2
0ùú éê0 0 0ùú éê 0 0 0 ùú
ú ê
ú ê
ú
0ú + ê0 ey 0ú + ê 0 0 0 ú +
ú ê
ú ê
ú
0úú êê 0 0 0úú êê 0 0 ez úú
û ë
û ë
û
0ùú éê 0
0
0 12 gxz ùú éê 0
ú ê
ú ê
0ú + ê 0
0
0 ú + ê0
0
ú ê
ú ê
1
ú ê 0 12 g yz
0úú ê 2 gxz 0
0
û êë
ûú êë
0 ùú
ú
1
2 g yz ú
ú
0 úú
û
17
TENSORE di DEFORMAZIONE
Al fine di esplicitare il significato di questi sei contributi, si consideri un solido
cubico con tre spigoli di lunghezza l disposti lungo gli assi coordinati x, y e z.
Sottoponendo il solido a tre dilatazioni pure nelle direzioni degli assi coordinati,
cioè a tre allungamenti Dlx=ex l, Dly=ey l e Dlz =ez l, che mantengono inalterate
le dimensioni ortogonali, si ottengono i primi tre contributi al tensore di
deformazione.
Dl x
ex ¹ 0
Dlx=ex l
Dl y
ey ¹ 0
Dly=ey
Dl z
ez ¹ 0
Dlz =ez l
18
TENSORE di DEFORMAZIONE
Sottoponendo il solido cubico a tre scorrimenti angolari puri nei piani definiti
dagli assi coordinati, per cui due facce inizialmente ortogonali a deformazione
avvenuta subiscono rotazioni di verso opposto gxy, gxz e gyz, mantenendo
inalterati gli angoli nei piani ortogonali, si ottengono gli ultimi tre contributi al
tensore di deformazione.
g xy ¹ 0
g xz ¹ 0
g yz ¹ 0
19
DEFORMAZIONI e DIREZIONI PRINCIPALI
Il tensore di deformazione e, come il tensore di tensione s, è un tensore doppio
e simmetrico. È dunque rappresentato da una matrice simmetrica. Ci si chiede
se esistono delle direzioni particolari che subiscono solo dilatazioni estensionali
e non angolari. Cioè se esistono due rette m ed n che rimangono ortogonali
dopo la deformazione.
I
r
m
P
Eliminando i moti rigidi
si ottiene che:
u(Q) = du R (P) + du D =
r
r
d r = d rn
Q
= u(P) + W (P) d r + e (P) d r
r
u(P)
r
n
P¢
r
r
d r ¢ = dr ¢n ¢
r
u(Q)
Q¢
I¢
r
n¢
r
m¢
r
r
m º m¢
I¢
P
Q
Q¢
du
D
I
I
I¢
r
r
n º n¢
d uD = e (P) d r = d uD n
e (P) drn = d uD n
20
DEFORMAZIONI e DIREZIONI PRINCIPALI
Il tensore di deformazione e, come il tensore di tensione s, è un tensore doppio
e simmetrico. In perfetta analogia con quest’ultimo, dunque, sono numeri reali
gli autovettori ed autovalori di e, soluzione del problema:
e (P)n = ln;
l = du D / dr
L’equazione caratteristica, le cui radici sono le deformazioni principali, si scrive:
é
1
1
ù
gyx
gzx ú
ê ex - l
2
2
ê
ú
ê1
ú
1
p(l) = det êê gxy ey - l
gzy úú = l 3 - I e1 l2 + I e2 l - I e3 = 0
2
ê2
ú
ê1
ú
1
gyz ez - lú
ê gxz
êë 2
úû
2
dove I e1 , I e2 ed I e3 prendono il nome di invariante lineare, quadratico e
cubico della deformazione, dati rispettivamente da:
I e1 = ex + ey + ez = tr( e )
1 2
1 2
1 2
I e2 = ex ey + ex ez + ey ez - gxy - g xz - gyz ;
4
4
4
I e3 = det(e )
21
DEFORMAZIONI e DIREZIONI PRINCIPALI
La soluzione fornisce, rispettivamente, le direzioni principali di deformazione,
indicate con I, II, e III, ed i valori delle deformazioni estensionali secondo tali
direzioni, eI , eII e eIII .
Nel riferimento principale {I,II,III}, dunque, il tensore di deformazione e è
diagonale:
ée
0 ùú
ê I 0
ê
ú
e = ê 0 eII
0 ú
ê
ú
êê 0 0 eIII úú
ë
û
Nel riferimento principale {I,II,III}, gli invarianti di deformazione assumono le espressioni:
I e1 = eI + eII + eIII = tr( e )
I e2 = eI eII + eI eIII + eII eIII ; I e3 = eI eII eIII = det( e )
Il campo di deformazioni nell’intorno del generico punto P si può pensare come
la sovrapposizione delle sole tre deformazioni estensionali lungo le direzioni
principali I, II, e III, mutualmente ortogonali.
22
DEFORMAZIONI e DIREZIONI PRINCIPALI
Configurazione iniziale e deformata nel riferimento: a) cartesiano, b) principale
della deformazione, c) principale a meno di moti rigidi.
z
III ′
y
III
z′
x
x′
I′
y′
II ′
II
I
III ≡ III ′
II ≡ II ′
I ≡ I′
23
DEFORMAZIONI e DIREZIONI PRINCIPALI
Configurazione deformata nel riferimento: a) principale a meno di moti rigidi, b)
cartesiano con asse z=I principale della deformazione.
III
III
III
III
II
II
a) b)
z
I
II
I
II
a)
I
b)
24
COEFFICIENTE di DILATAZIONE CUBICO
Se le tre deformazioni principali sono tutte e tre diverse tra loro e diverse da
zero si ha uno stato di deformazioni triassiale.
Se una delle tre deformazioni principali è nulla e le altre due sono non nulle si ha
uno stato di deformazioni piano (o biassiale).
Se due delle tre deformazioni principali sono nulle e l’altra è non nulla si ha uno
stato di deformazione monoassiale (o lineare).
Si dimostra che la variazione relativa di volume dell’unità di volume di un
parallelepipedo elementare, contenuto in un assegnato intorno, è data dalla
traccia del tensore di deformazione, che coincide con l’invariante primo della
deformazione ed è detta coefficiente di dilatazione cubico:
DV ¢ - DV
lim
= tr(e ) = ex + ey + ez = eI + eII + eIII = I e
1
D V ®0
DV
Gli altri due invarianti della deformazione, I e2 e I e3, non possiedono un significato
fisico altrettanto evidente.
25
PARTICOLARI STATI DEFORMATIVI
Se le tre deformazioni principali sono tutte e tre diverse tra loro e
diverse da zero si ha uno stato di deformazioni triassiale.
Se una delle tre deformazioni principali è nulla e le altre due sono non
nulle si ha uno stato di deformazioni piano (o biassiale).
p(l)
p(l)
esx
III
s
eh
II
s
ez
I
l
sz
eIII
esIIx
eIh
s
l
26
STATI CINEMATICAMENTE AMMISSIBILI
z
•Equazioni di Compatibilità nel volume V:
SL
¶uy
¶u x
¶uz
¶u x ¶uy
= e x;
= e y;
= e z;
+
= g xy
¶x
¶y
¶z
¶y
¶x
¶uy ¶uz
¶u x ¶uz
+
= g xz ;
+
= g yz
in V
¶z
¶x
¶z
¶y
In forma matriciale
V
V
SV
£ L u= e
x
Sei equazioni in tre incognite: Sistema localmente labile
é¶
ê
•Condizioni cinematiche al contorno:
ê ¶x
ê
ê
T
£L = ê 0
u=u sulla superficie vincolata SV
ê
ê
ê
ê 0
êë
y
0
0
¶
¶y
0
0
¶
¶z
0
¶
¶z
¶
¶y
¶
¶z
0
¶
¶x
¶ù
ú
¶y ú
éu ù
ú
ê xú
¶ú
ú ; u= êêuy úú ;
¶x ú
êu ú
ú
êë z úû
ú
0ú
úû
T
é
ù
e = êex ey e z g yz gxz gxy ú
ë
û
27
STATI CINEMATICAMENTE AMMISSIBILI
•Assegnato un campo di spostamenti, è sempre possibile risalire, per
derivazione, alle deformazioni che risultano congruenti con gli spostamenti.
•Per risalire invece ai 3 spostamenti note le 6 deformazioni, il problema è
indeterminato. È necessario dunque che le deformazioni soddisfino ulteriori
condizioni di integrabilità dette di congruenza interna. Delle 6 condizioni, 3 sole
sono indipendenti, esse
devono infatti soddisfare
le identità di BIANCHI:
¶2ei
1 ¶ é ¶gij ¶gik ¶gjk ù
ê
ú
=
+
¶j ¶k 2 ¶i êë ¶k
¶j
¶i úû
¶2gij é ¶2ei ¶2ej ù
=ê 2 + 2 ú
¶i¶j êë ¶j
¶i úû
in V
In forma matriciale:
é
ê
ê
ê
ê
¡1 = ê
ê
(3´6)
ê
ê
ê
êê
ë
0
¶2
¶z 2
¶2
¶y 2
¶2
¶z 2
0
¶2
¶x 2
¶2
¶2
¶y 2
¶y¶z
¶2
¶x 2
0
0
0
ù
ú
ú
ú
2
ú
¶
0 ú
ú
¶z ¶x
ú
2 ú
¶
ú
0
¶x ¶y úúû
0
0
£TL ¡=0
¡ e = 0
(6´6) (6´1)
(6´1)
é T
ù
T
¡ = êê ¡1 ¡ 2 úú
(6´6)
ë(6´3) (6´3)û
T
2
é
¶2
¶2
¶2 ùú
ê- ¶
0
0
ê ¶y¶z
2¶x 2 2¶x ¶y 2¶x ¶z ú
ê
ú
2
2
2
2
ê
¶
¶
¶
¶ úú
ê
¡2 =
0
0
ê
¶
z
¶
x
2
¶
x
¶
z
2¶y2 2¶y¶z úú
( 3´6)
ê
ê
¶2
¶2
¶2
¶2 úú
ê 0
0
êê
¶x ¶y 2¶x ¶z 2¶y¶z
228
¶z 2 úúû
ë
CONFRONTO con la TRAVE
dux ( x )
= ε ( x) ;
dx
duz ( x )
= γ ( x) −ϕ ( x) ;
dx
dϕ ( x )
= κ ( x ).
dx
Equazioni indefinite
di Compatibilità
Tre equazioni in tre incognite:
Sistema localmente isostatico
∂u x ( x, y, z)
∂u x (x, y, z) ∂u y ( x, y, z)
= ex ( x, y, z );
+
= γ xy ( x, y, z);
∂x
∂y
∂x
∂u y ( x, y, z)
∂u x ( x, y, z ) ∂u z (x, y, z)
+
= γ xz ( x, y, z );
∂y
∂z
∂x
∂u y ( x, y, z) ∂u z (x, y, z)
∂u z ( x, y, z )
= ez ( x, y, z);
+
= γ yz ( x, y, z );
∂z
∂z
∂y
= e y ( x, y, z );
Equazioni indefinite
di Compatibilità
in V
Sei equazioni in tre incognite:
Sistema localmente labile
La soluzione delle equazioni differenziali richiede
la conoscenza delle condizioni al contorno
29
ESERCIZI
. Assegnato il campo di spostamento :
u x ( x , y ) = α x 2 y; u y ( y , z) = α ( z + 2 y 2 ) ; u z ( y , z ) = −α yz.
Con 0 < α = 1,
determinare : la matrice di rotazione, la matrice di deformazione, le deformazioni principali.
z
y
Assegnato lo stato di
deformazione rappresentato in
figura determinare le
deformazioni e le direzioni
principali.
x
Riferimento bibliografico: A.Luongo, A. Paolone. Scienza delle Costruzioni,vol.I. Casa editrice Ambrosiana. 2005
30