EQUAZIONI COSTITUTIVE
Macchina per Prova di trazione
P
P
Equazioni costitutive
Prova di trazione di una barra di acciaio “dolce”, normalmente
utilizzato nelle costruzioni civili. Registriamo i valori
simultanei della forza F applicata alla barra e dell’allungamento
∆l relativo a due punti inizialmente a distanza l0. Riportando su
di un grafico, in ascisse i valori di ∆l ed in ordinate quelli di F ,
otteniamo una curva simile a quella illustrata in Figura.
Ipotizzando una distribuzione omogenea delle tensioni sulla sezione di
area A e delle deformazioni lungo l’asse della barra, dalle forze F si
derivano le tensioni σ = F/A e dagli allungamenti ∆l le deformazioni ε =
∆l/l0; lo stesso grafico può quindi essere letto in termini di tensioni deformazioni semplicemente operando un cambiamento delle scale degli
assi del riferimento. Nella curva OABCD, il primo tratto, OA, è
praticamente rettilineo; raggiunte la deformazione εy e la tensione fy
(valori detti di snervamento del materiale), nel tratto AB le deformazioni
aumentano mentre la forza e la tensione restano praticamente costanti.
Raggiunto il punto B, per far crescere la deformazione occorre aumentare
la forza, ma la pendenza della curva è ora molto inferiore a quella iniziale
e va diminuendo, fino ad annullarsi nel punto C, dove la forza raggiunge il
valore massimo Ft e la tensione il valore ft = Ft/A, valori detti di rottura
della barra e del materiale, rispettivamente. Facendo crescere le
deformazioni oltre C, l’equilibrio è possibile solo se si riduce la forza
applicata; nel punto D infine si raggiunge l’effettiva rottura della barra, in
corrispondenza della deformazione ultima εu.
Per una prova di trazione di un’asta di lunghezza L, soggetta ad una forza
normale P che si deforma variando la sua lunghezza di ΔL, si valutano nel
tratto iniziale rettilineo la tensione e la deformazione:
P
L
 xx  ;
 xx 
.
A
L
e quindi ottenere il valore del modulo di elasticità normale E mediante :
 xx
E
 tg.
 xx
E
n
Calcestruzzi
25 - 40 kN/mm^2
0,1 - 0,15
Acciaio
206 kN/mm^2
0,3
Alluminio
70 kN/mm^2
0,36
Rame
120 kN/mm^2
0,35
L’area di base, inizialmente di superficie A, subisce una variazione ΔA
causata dalle deformazioni trasversali valutate sperimentalmente misurando
le variazioni di dimensione della sezione.
P
Provino indeformato
Provino deformato
P
P
Provino indeformato
Provino deformato
P
Si definisce infine il coefficiente di Poisson o coefficiente di contrazione
trasversale mediante:
n
y
 yy
 xx

 zz
 xx
.
z
y
Il modulo di Young E ha le dimensioni di una tensione [F L−2]. Il coefficiente
ν è detto anche ‘rapporto’ di Poisson è adimensionale.
Calcestruzzo: caratteristiche meccaniche
80
70
60
tensione, MPa
Le prove di compressione si effettuano in
genere su provini cubici con spigolo di 15 cm
o cilindrici con D = 15 cm e H = 30 cm.
Le curve tensione σ−deformazione ε di
provini di calcestruzzo con diverse resistenze
sono evidenziate in Figura.
50
40
30
20
10
0
0
0,18
0,2
0,4
0,6
0,8
deformazione, %
1
1,2
R.Hooke nel 1676 diede il primo contributo in tema di equazioni
costitutive. Sulla base delle sue esperienze sulle molle di orologi propose la
relazione di proporzionalità ( ut tensio sic vis ) :
F  ku ossia   E.
La relazione di Hooke ha avuto una notevole importanza perchè dimostrò la
possibilità di misurare la forza, ossia la tensione, attraverso misure di
spostamenti, ossia di deformazioni. Essa descrive il comportamento di un
materiale elastico lineare, e quasi tutti i materiali da costruzione, se poco
sollecitati, sono riconducibili ad esso.
Il legame elastico lineare è descritto da una relazione che generalizza la
legge di Hooke:
 xx  C xxxx  xx  C xxxy  xy  C xxxz  xz  C xxyy  yy  C xxyz  yz  C xxzz  zz ,
..........................................................................................................,
 yz  C yzxx  xx  C yzxy  xy  C yzxz  xz  C yzyy  yy  C yzyz  yz  C yzzz  zz .
I 36 coefficienti Cxxxx ,…, Cyzzz non dipendono dalla deformazione ma,
eventualmente, dalla posizione della particella materiale. Quando ciò accade
si parlerà di materiali eterogenei. Quando viceversa le non dipendono dal
punto diremo che il materiale è omogeneo, le componenti sono quindi delle
costanti per tutto il corpo. Anche il comportamento più semplice, ossia
quello elastico lineare, implica quindi la conoscenza di ben 36 costanti
materiali che sono evidentemente difficili da valutare soprattutto quando si
pensi che ciò può esser fatto solo sperimentalmente. Il numero di tali
costanti che descrivono il legame può però essere ridotto se il materiale
presenta particolari proprietà di simmetria nella risposta, ossia delle
simmetrie nel suo comportamento.
Si consideri un cilindro di materiale soggetto ad uno stato di tensione
monoassiale uniforme nella direzione x; in ogni punto lo stato di tensione è
definito dal tensore:
  xx

T 0
 0

0
0
0
0
0
0


.


Se il comportamento è lineare elastico lo stato di deformazione risulta
caratterizzato da una deformazione lineare in direzione x data da:
 xx
.
E
In direzione trasversale si osservano sperimentalmente dilatazioni εyy e ε zz
date da:
n
 yy    xx ,
E
n
 zz    xx .
E
 xx 
Quindi la deformazione è
 xx
1
E  0
E
 0
0 
0 ,

 n xx 
0
 n xx
0
Se si applica una sola tensione uniforme nella direzione y cioè uno stato di
tensione è definito dal tensore:
 0

T 0
 0

0
 yy
0
0
0
0


.


La deformazione osservata risulta
 n yy
1
E  0
E
 0
0
 yy
0
0 

0 .
 n yy 
Se si applica infine una sola tensione uniforme nella direzione z cioè uno
stato di tensione è definito dal tensore:
0
0 
 0


T 0
0
0 .
 0
0  zz 

La deformazione osservata risulta
0
0 
  n zz
1
E  0
 n zz
0 .

E
0
 zz 
 0
Se lo stato di tensione è una
sovrapposizione dei tre stati
1
monoassiali in direzione x, y e z,
 xx   xx  n  yy   zz ,
E
le deformazioni totali nelle tre
1
direzioni risulterà dalla somma
 yy   yy  n zz   xx  ,
delle deformazioni:
E





1
 zz   zz  n xx   yy .
E
(*)
Applicando una deformazione di taglio puro si per un
materiale elastico lineare omogeneo ed isotropo si
rilevano solo stati di deformazione tangenziale pura
(sono nulle le deformazioni normali) e si scrive:
 xy
 xy 
,
2G
 yz
 yz 
,
2G

 zx  zx .
2G
G prende, per il significato che così assume, il
nome di modulo di elasticità tangenziale ed ha le
dimensioni di una tensione.
E’ possibile trovare anche una relazione tra E, G e ν .
G
E
.


2 1 n
Per ricavare le relazioni inversa della equazioni costitutive che forniscono
le deformazioni note che siano le tensioni, consideriamo la relazione:
 xx 
1
xx  nyy  zz .
E
Aggiungendo e sottraendo il rapporto (νσxx/E) si ottiene ancora:
 xx
1
n xx n xx (1  n) xx n
  xx  n yy   zz  


  xx   yy   zz .
E
E
E
E
E
Analogamente aggiungendo e sottraendo il rapporto (νσyy/E) alla seconda e
il rapporto (νσzz/E) alla terza relazione delle (*) si ottiene:
 yy 
 zz 
(1  n) yy
E

n
xx  yy  zz .
E
(1  n) zz n
  xx   yy   zz .
E
E
Per ricavare le relazioni inverse delle (*), cioè la relazione che fornisce il
tensore della tensione T in funzione del tensore della deformazione E, si
sommino membro a membro le relazioni precedenti:
 xx   yy   zz 
(1  2n)
xx   yy  zz .
E
(**)
Dalla relazione:
 xx
(1  n) xx n

  xx   yy  zz ,
E
E
ricaviamo la tensione σxx:
 xx 
E
n
 xx   yy  zz ,
 xx 
(1  n)
(1  n)
Per eliminare a secondo membro la somma delle tensioni normali si
utilizza la relazione (**) e si ottiene:
 xx 
E
nE
 xx   yy  zz ,
 xx 
(1  n)
(1  n)(1  2n)
Per analogia si può scrivere per le altre componenti:
 yy 
E
nE
 xx   yy  zz ,
 yy 
(1  n)
(1  n)(1  2n)
 zz 
E
nE
 xx   yy  zz ,
 zz 
(1  n)
(1  n)(1  2n)
Per le altre componenti tangenziali:
 xy  2G  xy ,
 xz  2G  xz ,
 yz  2G  yz ,.
PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI:
applicando contemporaneamente ad una stessa struttura elastica lineare
vari sistemi di forze, si producono spostamenti , deformazioni e tensioni
uguali alla somma di quelle prodotte separatamente da ciascun sistema
di forze o anche, in altre parole, ad una combinazione lineare di stati
elastici si associa una combinazione lineare delle corrispondenti forze.
TEOREMA DI CLAPEYRON (Paolo
Emilio) (1852):
il lavoro compiuto dal sistema di forze
applicate ad un corpo elastico lineare è
uguale alla metà del lavoro che le forze
stesse compirebbero se agissero fin
dall’inizio con la loro intensità finale.
TEOREMA DI KIRCHHOFF (o teorema di unicità) (1859)
La soluzione del problema dell’equilibrio di una struttura elastica soggetta
ad un sistema di forze esterne assegnate è unica (a meno di eventuali moti
rigidi).
Questo teorema giustifica il metodo adottato dal S.Venant per risolve il
problema della determinazione di spostamenti, tensioni e deformazioni in
una trave soggetta a carichi applicati alle basi (metodo semi – inverso);
il metodo consiste nel fissare a priori in modo arbitrario alcune
caratteristiche della soluzione.
Successivamente si determinano con le equazioni del problema elastico le
altre componenti di tensione, infine le condizioni al contorno definiscono le
forze da applicare sulle basi per ottenere quella soluzione.