Modellizzazione matematica
ovvero matematica e realtà
R. Garuti
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Struttura
1. Riferimenti istituzionali : dai “vecchi” programmi ai
“nuovi” curricoli
2. Matematica nella realtà: si prende spunto dalla realtà,
si indaga nella realtà, si traggono regole di
comportamento per la realtà
3. Due esempi: l’allungamento di una molla e la gita in
pullman
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1. Riferimenti istituzionali
1.1 I programmi della scuola media (1979)
Tra i suggerimenti metodologici per la Matematica si legge: “ …si
farà ricorso ad osservazioni, esperimenti, problemi tratti da situazioni
concrete così da motivare l’attività matematica della classe,
fondandola su una sicura base intuitiva. Verrà dato ampio spazio
all’attività di matematizzazione intesa come interpretazione
matematica della realtà nei suoi vari aspetti (naturali, tecnologici,
economici…) con la diretta partecipazione degli allievi.”
Tra i suggerimenti metodologici per le Scienze Sperimentali si legge
:“…gli allievi saranno guidati dall’insegnante ad osservare e a
discutere fra loro per prospettare soluzioni ed ipotesi interpretative e
quindi ad ideare esperimenti per verificarne o confutarne la validità”.
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1.2 I programmi della scuola elementare (1985)
Dal commento ai programmi di M. Pellerey:
Il privilegio dato all’approccio per problemi deriva dal fatto che il
pensiero matematico è caratterizzato dalla attività di risoluzione di
problemi e ciò è in sintonia con la propensione del bambino a porre
domande e a cercare risposte. Di conseguenza le nozioni matematiche
di base vanno fondate e costruite partendo da situazioni problematiche
concrete, che scaturiscano da esperienze reali del fanciullo e che
offrano anche l’opportunità di accertare quali apprendimenti
matematici egli ha in precedenza realizzato, quali strumenti e quali
strategie risolutive utilizza e quali sono le difficoltà che incontra.
Educare alla matematica significa dunque, in primo luogo, abituare a
porsi problemi significativi, a tradurli in rappresentazioni matematiche
adatte, a controllarne la risolubilità, a trovare e interpretare
correttamente e validamente le soluzioni più adeguate
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1.3 Il Progetto SeT: C.M. 270 (1999) Progetto speciale
per l’educazione scientifico e tecnologica
Motivazioni del progetto:
Una adeguata cultura scientifica e tecnologica è una parte importante
della formazione di tutti i cittadini, per almeno tre ragioni:
• la comprensione delle leggi del mondo naturale e delle logiche di
quello costruito dall’uomo, così come la comprensione e il possesso dei
metodi della matematica, delle scienze sperimentali e della tecnologia
sono un aspetto essenziale nella formazione intellettuale di ogni
persone;
• la mancanza di conoscenze scientifico tecnologiche impedisce di
affrontare in modo maturo le decisioni pratiche e le scelte etiche che
l’intreccio fra scienza, vita personale e società impongono ad ogni
cittadino;
• i contenuti e i metodi della scienza e della tecnologia sono, anche se in 5
modi diversi, una componente necessaria di qualsiasi professionalità.
Tematiche presenti nel Progetto SeT
10. Dimostrazioni e modelli
L’uso dei modelli matematici e analogici, è strategico nel processo
di comprensione della realtà, sia per verificarne leggi e
comportamenti, sia, a volte, per l’indicazione di nuovi spunti di
ricerca. A livello educativo ed epistemologico si tratta di
confrontare il metodo “induttivo” con forme più rigorose di
argomentazione scientifica fino ad arrivare alla dimostrazione
logico-matematica. La tecnologia offre per questo validi strumenti
didattici.
11. Metodo matematico, metodo sperimentale, tecnologie
La specificità del metodo matematico e del metodo sperimentale
vanno evidenziate anche in correlazione con l’uso delle tecnologie
che via via si rendono disponibili. Il certo e il probabile possono
essere due modi di interpretare i fenomeni reali che andrebbero
enfatizzati nella pratica didattica.
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Progetti Set C.M. 131 (2000)
Fra gli altri….
•Elementi di statistica e probabilità
con l'ausilio delle calcolatrici
grafiche
•Dimostrazioni e modelli: approccio
al sapere teorico
•I linguaggi della matematica e delle
scienze...
Alla home page dei “Progetti SeT” INDIRE
http://www.bdp.it/set/area1_esperienzescuole/cm131/5.htm
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1.4 I curricoli 2001- UMI-CIIM Scuola elementare e
Scuola media
Quale matematica insegnare?
Nuclei tematici
Nuclei di processo
•Il numero
• Misurare
• Lo spazio e le figure
• Le relazioni
• Argomentare e
congetturare
• I dati e le previsioni
• Risolvere e porsi problemi
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Quali competenze per il futuro cittadino?
• leggere, comprendere ed esprimere informazioni veicolate
attraverso numeri, percentuali, tabelle, grafici
• utilizzare domini di conoscenze per produrre e sostenere
argomentazioni o per ascoltare attentamente, analizzare
criticamente e valutare argomentazioni prodotte da altri
• risolvere e porsi problemi
• operare scelte in condizioni di incertezza
• effettuare esplorazioni, osservazioni, riconoscere regolarità,
produrre e formulare congetture e ipotesi
• progettare e costruire modelli di situazioni reali
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CONTESTI DI APPRENDIMENTO
extramatematici
intramatematici
matematizzazione
attività di
modellizzazione
fenomeni sociali
fenomeni naturali
prodotti della tecnologia
...
numeri
figure
micromondi (Cabri, …)
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...
Doppia natura dei concetti matematici
strumenti di
modellizzazione
oggetti di
riflessione
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Contesti già fortemente matematizzati nella vita
quotidiana
•scambi economici
•rappresentazioni dello spazio
•ricette - produzioni
•giochi tradizionali
•macchine: ingranaggi, meccanismi
Continuità tra
extrascolastico
e scolastico
•...
Prodotti culturali
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Contesti extrascolastici che conducono a
modellizzazioni che spesso si oppongono alle
concezioni dei ragazzi
•ombre del Sole
ruolo
dell’insegnante
•trasmissione dei caratteri ereditari
•estrazioni (Lotto, lotterie, …)
• caduta dei gravi
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Dove cercare per trovare?
1. I programmi del 1979 (scuola media) e i programmi
del 1985 (scuola elementare) si possono trovare in
Internet
2. Progetto SeT si può trovare sul sito della ex-BDP ora
INDIRE
http://www.bdp.it/set/area1_esperienzescuole/cm131/5.htm
3. I curricoli 2001, Commissione UMI-CIIM si
possono reperire i materiali è:
http://www2.dm.unito.it/paginepersonali/arzarello/index.ht
m Si tratta della pagina personale del prof.
Ferdinando Arzarello, Universita' di Torino,
Presidente della CIIM
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2. Matematica e realtà
Dalla prefazione al libro di E. Castelnuovo e M. Barra
(1974)
…la realtà è comunque sempre presente: si prende
spunto dalla realtà, si indaga nella realtà, si traggono,
dopo aver matematizzazto, regole di comportamento
per la realtà.
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Un esempio…un’indagine statistica
Quanto siamo alti? Qual è la media delle stature della
nostra classe? I dati saranno tradotti in disegno, e questi
grafici, che riguardano i ragazzi stessi, costituiranno un
quadro appeso alla parete della classe. E’ interessante
confrontare la media delle loro stature con la media in altre
classi, di ragazzi della stessa età: e anche con la media
indicata nei libri di pediatria. Siamo più alti o più bassi
della media ufficiale italiana?. E cosa accade alle stature di
bambini di altri paesi? Spesso la media risulta differente.
Ma ci sono rapporti che risultano uguali nei vari paesi: per
esempio il rapporto fra l’altezza e l’apertura delle braccia.
La ricerca di questi dati e la scoperta di rapporti fissi nelle
varie popolazioni entusiasma i ragazzi: siamo tutti uguali! 16
Modellizzazione matematica
La modellizzazione matematica è il processo che
consente di selezionare particolari aspetti di una
situazione (un fenomeno fisico, una situazione in campo
economico, un fenomeno naturale, ecc), di rappresentarli
con i linguaggi della matematica, stabilendo delle
relazioni di tipo matematico.
La MATEMATICA come strumento di
MODELLIZZAZIONE e di INTERPRETAZIONE
TEORICA DEL MONDO
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Un modello matematico è la rappresentazione formale di
idee o conoscenze relative ad un fenomeno (Malinvaud)
• un modello matematico è la rappresentazione di un
fenomeno
•Tale rappresentazione non è descrittiva, discorsiva o a
parole, ma formale, cioè espressa in un linguaggio
matematico
• non esiste una via diretta dalla realtà alla matematica.
In altri termini il fenomeno specifico studiato non
determina la “sua” rappresentazione matematica; ciò
che invece si fa è tradurre in formule idee e conoscenze
relative al fenomeno
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… sulla modellizzazione ( da Quartieroni Alfio, La
modellistica matematica e la fluidodinamica: una sintesi
fra teoremi e mondo reale. Politecnico di Milano 1998)
Il modello non esprime necessariamente l’intima e reale essenza
del problema ( la realtà è spesso così complessa da non lasciarsi
rappresentare in modo esaustivo con formule matematiche), ma
deve fornire una sintesi utile. I matematici hanno un ruolo
particolare in tale contesto. Essi sanno vedere e capire la natura
intrinseca di un problema, determinare quali caratteristiche
sono rilevanti e quali non lo sono, e, di conseguenza sviluppare
una rappresentazione matematica che contiene l’essenza del
problema stesso.
Una caratteristica della sfera d’indagine matematica presente in
questo processo è l’astrazione, ovvero la capacità di identificare
caratteristiche comuni in campi differenti, così che idee generali
possano essere elaborate ed applicate a situazioni tra loro assai
diverse.
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Primo esempio: la molla (III media)
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1. Premessa metodologica
L’esperienza che descriverò è il risultato di lunghe
riflessioni ed esperienze in classe del Gruppo Di Ricerca
di Genova
Dal fenomeno alla formula (1978-1988)
• Analisi di fenomeni- analisi di relazioni fisiche costruzione della relazione algebrica tra le variabili
analizzate
• Difficoltà degli allievi nel processo di costruzione
autonoma del modello
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Obiettivo: capire l’utilità della modellizzazione (dal 1989)
• Le stesse operazioni cognitive che intervengono nella
costruzione di modelli possono anche svilupparsi
attraverso la comprensione di modelli costruiti da altri.
• In allievi che non hanno esperienze di modellizzazione
si preferisce esplorare le potenzialità e i meccanismi della
modellizzazione prima di inserirlo in una attività di
modellizzazione autonoma:
-confronto tra formule e comportamenti di fenomeni
- realizzazione di esperimenti per approfondire l’analisi dei
legami tra caratteristiche del fenomeno, coefficienti della
formula e caratteristiche del fenomeno
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Questo ambito appare assai produttivo per:
- l'acquisizione del concetto di funzione come
trasformazione di variabili all'interno di una
formula.
- l'esperienza di modellizzazione matematica di
un fenomeno fisico;
- la formulazione di ipotesi e loro verifica
- l'uso dei diagrammi cartesiani come strumenti
di concettualizzazione euristica e di analisi delle
relazioni tra i dati sperimentali e i modelli
matematici.
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FASE 1: UN MODELLO MATEMATICO PER
L'ALLUNGAMENTO DELL'ELASTICO
A)Scegliere la formula in accordo con i dati sperimentali .
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B) Discussione e confronto delle strategie utilizzate:
a) Uso del solo calcolo per verificare quale formula è in
accordo con i dati della tabella;
b) Riflessione sulla formula per giustificare
l'accettazione o l'esclusione della formula stessa;
c) Riferimento diretto al fenomeno fisico nell'analisi della
formula.
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C) Grafico sperimentale e matematico
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FASE: 2 PRIMI ESPERIMENTI
A) Vengono effettuati due esperimenti con molle di
lunghezza uguale, ma di materiale e diametro delle
spire diverso e piccoli bulloni inseriti in graffette da
appendere alla molla .
B) Costruite le tabelle dei dati sperimentali agli alunni
viene proposta la seguente formula
L=H+K*N
e viene chiesto di determinare H E K in modo che essa
risulti in accordo con i dati sperimentali dei due
esperimenti e di illustrare il modo attraverso il quale
essi pervengono a tali risultati.
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I dati sperimentali: molla lunga 15,5 cm. Graffette N°5
bullone diametro 1 cm
N
L
0
15,5
• Strategie di tipo algebrico
1
16,2
• strategie di tipo statistico
2
17,3
Per determinare K
3
18,5
4
19,7
5
20,8
…
….
10
26,9
20
38,9
L = 15,5 + 1,18 *N
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• Seconda molla di materiale diverso, ma stessa lunghezza
iniziale
L= 15,2+2,1*N seconda molla
• Confronto fra formule, grafici e tabelle
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Confronto fra i grafici delle due molle
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FASE 3: SIGNIFICATO FISICO DEL MODELLO
MATEMATICO
A) Discussione sul significato fisico di H e K
B) Manipolazione di molle molto diverse fra loro
facilmente reperibili nella realtà
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FASE 4: MODELLO GRAFICO
Sullo stesso riferimento cartesiano vengono
costruiti i grafici relativi alle due formule
realizzate e si crea così un legame fra fenomeno,
grafico e formula: "quella che va su più in fretta è
quella con K maggiore, ed è la molla più tenera"
Esperimenti mentali sul riferimento cartesiano
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OSSERVAZIONI
Tutta l'attività didattica é impostata in modo da realizzare un
forte equilibrio nell'utilizzo dei tre sistemi di segni che
vengono assunti di volta in volta per produrre interpretanti del
fenomeno: GRAFICO, FORMULA e TABELLA. L'attività nei
tre mondi non é attuata in sequenza come succede negli
itinerari didattici più "tradizionali", ma é orchestrata in modo
tale che l'alunno debba costantemente passare da un mondo
risolutivo all'altro.
Il GRAFICO è
a) mediatore fra formula e fenomeno fisico: rende visibile la
formula e "libera" il fenomeno dalle "irregolarità;
b) strumento per immaginare: evoca casi limite difficilmente
immaginabili a partire dalla formula o dal fenomeno.
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Secondo esempio: la gita in
pullman (III° elementare)
1. Problema La classe di Luca deve noleggiare un pullman
per una breve gita, il noleggio costa £ 60.000 in tutto. Se
tutti e 20 i bambini della classe partecipassero alla gita
quanto dovrebbe pagare ognuno di loro? E se partecipassero
solamente in 11, quanto dovrebbe pagare ogni ragazzo?
Scrivi il ragionamento che fai per risolvere il problema.
2. Confronto di strategie di soluzione
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3. Il diagramma cartesiano
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4. Interpretazione del grafico
Stralcio di discussione
Stefano: i pallini sono il punto di incontro tra i numeri di persone e il
costo individuale della partecipazione alla gita
Isabella nella linea orizzontale abbiamo numerato per 5 mentre in quella
verticale per 5000
Francesco: unendo i punti si ottiene una linea un po’ curva che non ha
alti e bassi, su e giù, ma scende sempre.
Nicolò: i punti estremi sono dati da una persona che paga £ 60.000 e da
60 persone che pagano 1000 lire
Andrea: questo vuol dire che più persone partecipano, meno pagano e
viceversa
Matteo: tutti i punti individuati sono sono superiori allo zero. Non ha 36
senso pensare che zero bambini paghino zero lire per non andare in gita
...dal concreto all’astratto
5. Un problema nel problema: Sulla linea orizzontale del
grafico, potevamo continuare a scrivere i numeri oltre il
60? Perché?
6. Riflessione sul contesto “problema” e sul contesto
“matematico”
7. Verso i razionali “Immaginandoci un pullman fantastico
che contenga il numero di persone che noi vogliamo, se
partecipassero più di 60.000 bambini quanto spenderebbe
ognuno di loro? I numeri che conosci (0,1,2,3…) sono
sufficienti per poter rispondere a questa domanda?
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…alcuni esempi
Alessia: scelgo 70.000 bambini e provo a fare la divisione
70.000:60.000= no, non si può fare perché 6:7 non si può
fare perché 7 è maggiore di 6
Dario: 60.000:60.000= 1 lira, 60.000:61.000= meno di 1
lira perché diminuisce il risultato. Però non so scrivere
questo numero: 1 lira, metà lira, un quarto di lira
Giovanni. 60.000:60.000=1 60.000:100.000=? Io dovrei
trovare un numero che moltiplicato per 100.000 mi dia
60.000, ma non lo trovo
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Un problema per voi…
Il problema della molla doppia
Immagina di avere due molle
dello stesso materiale, stesso
diametro di spira, ma di
lunghezza iniziale diversa, ad
esempio una doppia dell'altra.
Come sarà l'allungamento di
questa seconda molla?
Perchè?"
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A) Discussione e rappresentazione grafica delle tre
possibili ipotesi
B) Risoluzione individuale del problema
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