ISTITUZIONI DI ECONOMIA
LAUREA IN INGEGNERIA GESTIONALE
A.A. 2004-05
ESERCIZI SCELTI DI MICROECONOMIA
1) Con una funzione di produzione standard la massimizzazione del profitto
implica l'uguaglianza tra prezzo e costo marginale. Spiegare perchè si ottiene
questo risultato.
La massimizzazione della funzione di profitto, ricavi meno costi, significa trovare
dapprima la condizione di primo ordine per un massimo. Se il prezzo del prodotto
è dato e non dipende dalla quantità il soddisfacimento della condizione di primo
ordine implica che la derivata prima della funzione di profitto si annulli. E questo
avviene solo se prezzo e costo marginale si uguagliano.
2) Fornire una spiegazione del perche’ un isoquanto può presentare tratti con
pendenza positiva.
La possibilità che accada quanto indicato nella domanda dipende dalla possibilità
che il tasso marginale di sostituzione tecnica tra input assuma valori positivi. Il
tasso presenta positività solo se uno dei prodotti marginali dei due fattori diventa
negativo, cioè se un incremento dell’input cui si riferisce comportasse una
diminuzione del prodotto. Il che avrebbe come conseguenza che per far restare
la produzione costante bisognerebbe far crescere l’impiego dell’altro input, posto
che il suo prodotto marginale resti positivo.
3) Perché la funzione di costo marginale di una funzione di costo di breve
presenta sempre inclinazione maggiore della corrispondente funzione di costo
marginale di lungo periodo?
La funzione di costo di breve è caratterizzata per una certa dimensione
dell’impianto. Nel punto ottimo di produzione, costi medi di lungo minimi e
coincidenti con quelli di brevi e medesima coincidenza tra costi marginali di breve
e di lungo, le decisioni di produzione basate sulla funzione di breve e di lungo
coincidono perché l’impianto è ottimamente dimensionato rispetto al livello di
produzione. Prima e dopo quel livello l’impianto è sovra o sottodimensionato il
che, nella teoria standard della produzione e dei costi (curve di costo ad U),
implica che i costi medi di breve siano sempre superiori ai costi medi calcolati
con la funzione di costo di lungo periodo. I costi marginali riflettono questa
maggiore ‘difficoltà’ di produzione e presentano una più accentuata inclinazione
rispetto al costo marginale di lungo. La funzione di offerta di breve e di lungo è il
tratto crescente sopra il costo medio minimo. Quella di breve si presenta più
rigida di quella di lungo. Dato il prezzo di mercato la produzione di breve risulterà
inferiore rispetto a quella di lungo.
4) Sia la seguente una funzione di costo totale CT =144+ y2 un’impresa in
concorrenza perfetta. Calcolare il prezzo minimo che consente all’impresa di
stare momentaneamente sul mercato e il prezzo che rende massimo il profitto.
In tale ipotesi, di breve periodo, l’impresa può stare sul mercato se il prezzo è
maggiore/uguale del minimo del costo medio variabile. Con la funzione di costo
totale totale CT=144+y2 il costo variabile medio è CVM= y 2/y=y. Il minimo è y=0.
Pertanto il prezzo minimo cercato è nullo. A qualsiasi prezzo positivo l’offerta
sarà positiva.
Il profitto massimo lo si realizza al livello di produzione che uguaglia
prezzo e costo marginale. La funzione di costo marginale è c’=2y. Pertanto il
prezzo che massimizza il profitto è p=2y, per un qualsiasi y>0.
5) Sia la seguente una funzione di costo totale CT= y+y2 di una impresa in
monopolio. Calcolare il profitto massimo con una curva di domanda p(y)=101-y.
E’ necessario individuare la produzione a cui si uguagliano costo marginale e
ricavo marginale. c’=2y+1; RT= p(y)y= 101y-y2. E il RM=101-2y. Da cui deriva
che y=25. Il prezzo risulta pertanto p(y)=101-y=76.
Il ricavo p(y)y=76*25=1900; il costo totale CT==25+252; il profitto
RT-CT=1900-(25+252).
6) Indica una modalità di attivazione dei processi produttivi che consente di
ridurre la diseconomia spesso connessa all’utilizzo di un elemento fondo.
L’attivazione in linea consente di ridurre i tempi d’ozio. Non consente di per se di
ridurre il sottoutilizzo.
7) Indicare modalità che consentono la riduzione del sottoutilizzo di un elemento
fondo all’interno di un processo.
Solitamente questo è possibile amumentando la quantità prodotta, se questo non
provoca colli di bottiglia in altri elementi fondo.
8) Spiegare perche’di norma un isoquanto ha pendenza negativa nello spazio di
due input.
Dalla funzione di produzione standard a rendimenti decrescenti rispetto a un
fattore discende che per mantenere costante il livello di produzione al ridursi
dell’impiego di un input è necessario aumentare l’impiego dell’altro input nella
misura stabilita dal il tasso marginale di sostituzione tecnica. Di qui l’inclinazione
negativa. Per la convessità dell’isoquanto entrano in gioco altri fattori connessi.
9) Sia la seguente una funzione di costo totale CT=20+y2 di un’impresa in
monopolio con curva di domanda p(y)=-2y+12. Calcolare il profitto e spiegare il
risultato.
Con la funzione di costo totale totale CT=20+y2 il costo marginale è c’=2y. Il
ricavo marginale è (py)’=-4y+12. Pertanto la produzione che garantisce
uguaglianza tra ricavo marginale e costo marginale è y=2. Il costo totale è
CT=24. Il ricavo totale è per p=12 pari a 16. Il profitto è pertanto negativo. La
funzione di domanda non consente pertanto un profitto positivo nonostante la
produzione sia ottimizzata..
10) Sia la seguente una funzione di costo totale CT=9+y2 di un’impresa in
monopolio con una curva di domanda p(y)=101-y. Supponiamo che un
provvedimento di legge liberalizzi il mercato. Calcolare il prezzo che prevarrebbe
sul mercato in ipotesi di completa liberta’ di entrata.
E’ necessario individuare la produzione a cui si uguagliano costo marginale e
costo medio. c’=2y; c/y=9/y)+y. Uguagliando e risolvendo si ottiene y=3, la
produzione a cui corrisponde il costo medio minimo. Il prezzo che copre quel
costo medio minimo è quello cercato. p=(9/3)+3=6. Le informazioni sulla curva di
domanda non servono.
11) Un'impresa fronteggia una curva di domanda q=400-0,5p. Il prezzo sia
p=100. Calcolare l'intervallo in cui è conveniente soddisfare la domanda.
Quello che importa è la nozione di ricavo marginale. Esso non deve diventare
negativo a fronte di incrementi di produzione. Pertanto l'intervallo in cui è
conveniente produrre coincide con il tratto della ascissa (quantità) in cui il ricavo
marginale ammette valori positivi. Il ricavo marginale si calcola moltiplicando
dapprima la curva di domanda espressa in funzione di p per la quantità, e poi
calcolando la derivata prima rispetto alla quantità. pq=q(-2q+800)=-2q2+800q;
RM=-4q+800. Il ricavo marginale presenta valori positivi nell'intervallo 0<q<200.
12) Una curva di domanda presenta una elasticità rispetto al prezzo pari a –0,6
quando il prezzo è 100 e la quantità domandata pari a 100. Se la curva di
domanda è lineare calcolare il prezzo che consente un valore unitario
dell’elasticità della domanda.
I dati dell’esercizio dicono che e=(dq/dp)(p/q)=0,6 per un rapporto p/q=1; perciò
(dq/dp)=0,6. La curva di domanda lineare avrà un coefficiente angolare di –0,6;
pertanto q=A-0,6p. Con p=q=100, A=160. Moltiplicando la relazione di domanda
per p si ottiene il ricavo totale. La sua derivata prima è la funzione di ricavo
marginale. RM=(-2/0,6)q+160/0,6. Il ricavo marginale si azzera nel punto di
elasticità unitario della curva di domanda. Pertanto (2/0,6)q=160/0,6, da cui q=80
a cui corrisponde un prezzo p=133 (arrotondato per difetto).
13) Sia la seguente una funzione di produzione q=5L. Sapendo che pL=2 e che
l’impresa può al più spendere 100 determinare la combinazione produttiva scelta
e il livello di produzione.
E’ questo un problema di massimizzazione di prodotto, dato un vincolo di spesa
sui costi di produzione. Il fattore di produzione è solo lavoro. Pertanto con un
costo di 100 sono impiegabili 50 unità di L (100/2). La produzione sarà pari a
5*50=250.
14) Sia la seguente una funzione di produzione q=2L0,5. Il prezzo del fattore è
pL=2. Calcolare la funzione di costo medio e marginale.
Dalla funzione di produzione otteniamo L=q2/4. La funzione di costo di breve è
CT=2L=2( q2/4). La funzione di costo medio è perciò CT/q=(1/2)q; la funzione di
costo marginale è C’=q.
15) Determinare la quantità che massimizza il profitto di una impresa in
concorrenza perfetta per una funzione di costo totale CT=10+q-q2+q3
considerando un prezzo di mercato p=6.
Ricaviamo la funzione di costo marginale C’=1-2q + 3q2 ; uguagliando al prezzo
p=6 e scegliendo la soluzione con segno positivo otteniamo q=5/3.
16) Una impresa in concorrenza perfetta ha una funzione di produzione q=2L1/2
con L unico fattore di produzione. Calcolare il livello di produzione quando il
prezzo della merce è 100 e il prezzo del fattore 50.
La funzione di costo è CT=50L; L=(1/4)q2; pertanto CT=(50/4)q2; la funzione di
costo marginale, derivata prima della funzione di costo totale, è C’=25q, definita
per valori positivi di q. Al prezzo di mercato p=100 la produzione che massimizza
il profitto è q=100/25=4.
17) Una impresa operante in un mercato di concorrenza monopolista presenta la
funzione di costo totale CT=50q-9q2+q3. Sia data anche la funzione di domanda
(inversa) p=80-3q. Verificare se esiste una configurazione di equilibrio di lungo
periodo per questa impresa.
In concorrenza monopolistica una configurazione di equilibrio di lungo periodo
esiste se altre imprese non hanno incentivo a entrare nel particolare mercato
dell’impresa. Questo risultato si ottiene se la curva di domanda è tangente alla
curva di costo medio di lungo periodo nel suo tratto discendente.In termini
analitici è necessario che sia soddisfatta la condizione di tangenza, ovvero che la
derivata del costo medio uguagli la derivata della funzione di domanda per un
solo valore di produzione e che in quel punto prezzo e costo medio siano uguali:
dCmedio(q)/dq=dp(q)/dq.
Considerando che il costo medio è CT/q=50-9q+q2 con derivata 2q-9 e che la
derivata della funzione di domanda è pari a -3, otteniamo 2q-9=-3 da cui q=3. Ma
per q=3 il costo medio è CT/q=50-3*9+3*3=32 e il prezzo è p=80-3*3=71, non
uguali dunque. Pertanto con inclinazioni uguali la funzione di domanda presenta
un prezzo maggiore del costo medio. Esiste profitto e per q=3 non vi può essere
equilibrio di lungo periodo, ne’ per qualsiasi altro valore di q valendo la curva di
domanda data.
18) Perché la funzione di costo marginale di breve presenta sempre inclinazione
maggiore della corrispondente funzione di costo marginale di lungo periodo?
La funzione di costo di breve è caratterizzata per una certa dimensione
dell’impianto. Nel punto ottimo di produzione, i costi medi di lungo minimi
coincidono con quelli di brevi e medesima coincidenza si realizza tra costi
marginali di breve e di lungo; le decisioni di produzione basate sulla funzione di
breve e di lungo coincidono perché l’impianto è ottimamente dimensionato
rispetto al livello di produzione osservato. Prima e dopo quel livello l’impianto è
sovra o sottodimensionato il che, nella teoria standard della produzione e dei
costi (curve di costo ad U), implica che i costi medi di breve siano sempre
superiori ai costi medi calcolati con la funzione di costo di lungo periodo. I costi
marginali di breve riflettono questa maggiore ‘difficoltà’ di produzione e
presentano una più accentuata inclinazione rispetto al costo marginale di lungo.
La funzione di offerta di breve e di lungo è il tratto crescente sopra il costo medio
minimo. Quella di breve si presenta più rigida di quella di lungo. Dato il prezzo di
mercato la produzione di breve risulterà inferiore rispetto a quella di lungo.
19) Perché l'uguaglianza tra
massimizzazione del profitto?
prezzo
e
costo
marginale
implica
la
La massimizzazione della funzione di profitto, ricavi meno costi, significa trovare
dapprima la condizione di primo ordine per un massimo. Se il prezzo del prodotto
è dato e non dipende dalla quantità il soddisfacimento della condizione di primo
ordine implica che la derivata prima della funzione di profitto si annulli. E questo
avviene solo se prezzo e costo marginale si uguagliano. Oppure, se il prezzo
dipende dalla quantità, se il ricavo marginale e costo marginale si uguagliano.
20) In quali circostanze un isoquanto può presentare tratti con pendenza
positiva?
Quanto indicato nella domanda accade se il tasso marginale di sostituzione
tecnica tra input assume valori positivi; il che avviene se uno dei prodotti
marginali dei due fattori diventa negativo, cioè se un incremento dell’input cui si
riferisce comportasse una diminuzione del prodotto. Il che avrebbe come
conseguenza che per far restare la produzione costante bisognerebbe far
crescere l’impiego dell’altro input, posto che il suo prodotto marginale resti
positivo. Come se mettendo troppe sementi in una dato appezzamento di
terreno, esse si facessero concorrenza l’un l’altre producendo una riduzione del
raccolto e a questa riduzione si ovviasse immettendo nel terreno più fertilizzante
in modo da arricchire artificialmente le capacità riproduttive del terreno. Per
ottenere la stessa produzione useremmo di più di entrambi i fattori, sementi e
fertilizzante, con un costo più elevato.
21) Supponiamo una curva di domanda di un’impresa q=200-0,5p. Il prezzo p sia
p=100. Calcolare la variazione del ricavo per un aumento pari a uno della
quantità venduta.
La variazione del ricavo è il ricavo marginale. Calcoliamolo moltiplicando
dapprima la curva di domanda espressa in funzione di p per la quantità,
ottenendo il ricavo; poi calcolando la derivata prima rispetto alla quantità. pq=q(2q+400)=-2q2+400q; RM=-4q+400. Ora dalla funzione di domanda sappiamo
che per un prezzo pari a 100 la quantità assorbita dal mercato è 150. Un
incremento di una unità venduta porta l’assorbimento del mercato a 151.
Inserendo questo nuovo dato nella relazione del ricavo marginale otteniamo che
esso cala di 204.
22) Sia l’elasticità della domanda rispetto al prezzo pari a –0,6 quando il prezzo è
100 e la quantità domandata pari a 100. Con curva di domanda lineare calcolare
a quale prezzo l’elasticità della domanda assume valore unitario.
I dati dell’esercizio dicono che e=(dq/dp)(p/q)=|0,6| per un rapporto p/q=1; dal
che sia ha (dq/dp)=-0,6. La curva di domanda lineare avrà un coefficiente
angolare di –0,6; pertanto q=A-0,6p. Con p=q=100, A=160. Moltiplicando la
relazione di domanda per p si ottiene il ricavo totale. La sua derivata prima è la
funzione di ricavo marginale. RM=(2/0/6)q+160/0,6. Ricordiamo che il ricavo
marginale si azzera in corrispondenza del punto di elasticità unitario della curva
di domanda. Pertanto (2/0,6)q=160/0,6, da cui q=80 a cui corrisponde un prezzo
p=143 (arrotondato per difetto).
23) Sia la seguente una funzione di produzione q=2K0,5 L0,5; nel breve periodo
sia K=40. Il prezzo dei due fattori sia pL=2 e pK=8. Calcolare la funzione di costo
medio e marginale di breve periodo.
La funzione di produzione nel breve diviene q=40L0,5 da cui L=q2/402. L a
funzione di costo di breve è CT=2L+8*40=2 q2/402+320. La funzione di costo
medio è perciò C/q=(q/800)+(320/q); la funzione di costo marginale è
C’=2q/800=q/400.
24) Determinare la quantità che massimizza il profitto di una impresa in
concorrenza perfetta per una funzione di costo totale CT=10+q-q2+q3
considerando un prezzo di mercato p=6.
Ricaviamo la funzione di costo marginale C’=1-2q+3 q2 ; uguagliando al prezzo
p=6 e scegliendo la soluzione con segno positivo otteniamo q=5/3.
25) Una impresa in concorrenza perfetta ha una funzione di produzione q=2L 1/2
con L unico fattore di produzione. Calcolare il livello di produzione quando il
prezzo della merce è 100 e il prezzo del fattore 50.
La funzione di costo è CT=50L; L=(1/4)q2; pertanto CT=(50/4)q2; la funzione di
costo marginale, derivata prima della funzione di costo totale, è C’=25q, definita
per valori positivi di q. Al prezzo di mercato p=100 la produzione che massimizza
il profitto è q=100/25=4.
26) Si consideri una impresa operante in un mercato di concorrenza monopolista
che presenta la seguente funzione di costo totale CT=50q-9q2+q3. Sia data
anche la funzione di domanda (inversa) p=80-3q. Vericare se può esistere una
configurazione di equilibrio di lungo periodo per questa impresa.
In concorrenza monopolistica una configurazione di equilibrio di lungo periodo
esiste se altre imprese non hanno incentivo a entrare nel particolare mercato
dell’impresa. Questo risultato si ottiene se la curva di domanda è tangente alla
curva di costo medio di lungo periodo nel suo tratto discendente.In termini
analitici è necessario che sia soddisfatta la condizione di tangenza, ovvero che la
derivata del costo medio uguagli la derivata della funzione di domanda per un
solo valore di produzione e che in quel punto prezzo e costo medio siano uguali:
dCmedio(q)/dq=dp(q)/dq.
Considerando che il costo medio è CT/q=50-9q+q2 con derivata 2q-9 e che la
derivata della funzione di domanda è pari a -3, otteniamo 2q-9=-3 da cui q=3. Ma
per q=3 il costo medio è CT/q=50-3*9+3*3=32e il prezzo è p=80-3*3=71, non
uguali dunque. Pertanto con inclinazioni uguali la funzione di domanda presenta
un prezzo maggiore del costo medio. Esiste profitto e per q=3 non vi può essere
equilibrio di lungo periodo, ne’ per qualsiasi altro valore di q valendo la curva di
domanda data.
27) Costruire, sia in forma analitica che grafica, una curva di domanda di
mercato con elasticità costante in ogni punto. E spiegare i motivi della soluzione
adottata.
Una curva con elasticità costante è l’iperbole equilatera. Essa ha la proprietà che
le variazioni della tangente (il rapporto dq/dp) è esattamente compensato in
opposta direzione dalla variazione del rapporto tra ordinata e ascissa (p/q).
Pertanto l’elasticità è costante e anche unitaria (verificarlo).
28) Data la seguente funzione di produzione Y=bL-a, ove L indica quantità di
lavoro e "a" e "b" sono parametri positivi, dato il prezzo w>0 del lavoro, ricavare
la funzione di costo. Come varia il costo medio al variare della produzione?
Dalla funzione data esplicitiamo rispetto a L e otteniamo:
L=Y/b+a/b
Il costo di produzione è il prodotto tra la quantità di lavoro e il suo prezzo w,
C=Lw= wY/b+wa/b.
Pertanto c(y)= wY/b+wa/b. Il costo medio è c(y)/y= w/b+wa/bY, decrescente al
crescere di Y.
29) Data la funzione di costo di lungo periodo c=q+q2 di un'impresa in
concorrenza perfetta calcolare il livello di produzione che massimizza il profitto e
il livello massimo di profitto.
Nel lungo periodo il prezzo si assesta al livello del minimo del costo medio, ove si
verifica l’uguaglianza con il costo marginale. Pertanto basta uguagliare costo
medio e marginale per ricavare il livello di produzione che soddisfa l’equazione e
che rende minimo il costo medio unitario, il quale coincide con il prezzo di
mercato. A quel livello di produzione il profitto è nullo perche’ p=Cme. Calcoliamo
il livello di produzione che soddisfa le condizioni poste:
c’=1+2q è la funzione di costo marginale; c/q=1+q e la funzione di costo medio.
Le due funzioni si uguagliano per q=0. Non c’è pertanto un livello positivo di
prodotto che rende possibile un equilibrio di lungo periodo per una impresa con
la funzione di costo sopra indicata.
30) Dimostrare che il monopolista produce sempre una quantità a cui sulla curva
di domanda corrisponde una elasticità superiore ad uno (in modulo).
Il massimo profitto il monopolista lo ottiene calcolando il livello di produzione che
uguaglia costo marginale e ricavo marginale. Il costo marginale è, per definizione
maggiore/uguale a zero. Il ricavo marginale è pertanto positivo o, al limite, nullo.
Sulla curva di domanda i punti che corrispondono a ricavi marginali positivi
presentano una elasticità superiore ad uno. Pertanto la quantità che massimizza
il profitto del monopolista implica che la curva di domanda, nel punto
corrispondente, abbia elasticità (in modulo) superiore ad uno.
31) Spiegare cosa è il monopolio naturale e in quali condizioni una impresa
monopolista non guadagnerebbe nulla senza un sussidio pubblico.
Questo caso si incontra quando la funzione di costo ammette costi medi
decrescenti e il mercato è troppo piccolo per esprimere una domanda di merce o
servizio sufficiente per consentire un profitto positivo. Curva di costo medio e
curva di domanda sono entrambe decrescenti. Se il mercato è piccolo la curva di
domanda sta tutta sotto la curva di costo medio e nessuna produzione è
realizzabile con profitto. E’ chiaro che al più una sola impresa può stare sul
mercato e se la merce o servizio che realizza è socialmente importante (energia
elettrica ad esempio) le autorità politiche possono fissare il livello di produzione,
far pagare agli utenti il prezzo corrispondente sulla curva di domanda e integrare
la differnza tra prezzo e costo medio con un sussidio. Se il mercato cresce e la
curva di domanda si sposta bastevolmente verso destra a intersecare la curva di
costo medio, il prezzo di mercato può scendere e nel contempo l’impresa
consegue un profitto positivo senza più bisogno di sussidi.
32) Data una curva di domanda con elasticità in modulo uguale a 2 in un suo
punto, dire come varia il ricavo se il prezzo sale o scende del 10%. Provare il
risultato.
La curva di domanda nel punto indicato è elastica. Pertanto un aumento del
prezzo del 10% provoca una riduzione della quantità domandata maggiore del
10%. Il ricavo diminuisce. Per provarlo basta ricordare la definizione di elasticità
della domanda (in modulo): e=(dq/q)/(dp/p); che si può scrivere (dp/p)e= dq/q;
poiché per assunto 1<e<infinito, si ha che dp/p</dq/q; pertanto il ricavo
diminuisce.
33) Provare perché la curva della produttività marginale interseca la curva della
produttività media nel suo punto di massimo e che quando la produttività
marginale si azzera la produzione smette di crescere al crescere dell'input
variabile (funzione di produzione di breve periodo).
Sia Q=F(K0,L). Allora Q/L= F(K0,L)/L e d(Q/L)/dL=((dF/dL)L- F(K0,L))/L2=
=1/L((dF/dL)- F(K0,L)/L)=0. Pertanto nel punto di massimo della produttività
media la produttività marginale assume lo stesso valore; altrimenti la derivata
prima non si annullerebbe. Quando la derivata prima della funzione di
produzione si annulla (produttività marginale nulla) si individua un punto di
ottimo, un massimo se la derivata seconda è negativa. Aumentando l’impiego
dell’input variabile la produzione non cresce più, può ridursi in certe circostanze.
34) Per un'impresa in concorrenza perfetta, nel breve periodo, può essere
razionale produrre una quantità positiva di merce anche incorrendo in perdite.
Provare.
Quanto nella domanda accade se il prezzo di mercato si situa sotto il costo
medio totale ma sopra il costo medio variabile. Incorre in perdite ma le perdite
sarebbero maggiori, pari all’intero costo fisso, se nulla si produce. Un prezzo
compreso tra i livelli sopra indicati copre i costi variabili e una parte del costo
fisso (per unità di prodotto).
35) Una curva di domanda lineare presenta elasticità diverse da punto a punto.
Discutere perche' e mostrare come il valore in modulo dell'elasticità assume un
valore minimo e un valore massimo.
L’elasticità in un punto si misura con (dq/dp)(p/q). Con la curva di domanda
lineare il rapporto dq/dp è costante. Poiché p/q varia da punto a punto l’elasticità
è variabile. All’intercetta in ascissa p/q assume valore nullo. L’elasticità pertanto
diventa nulla. All’intercetta in ordinata p/q assume valore infinito, cosi’ l’elasticità.
36) Fornire una definizione formale di rendimenti di scala e spiegare poi in
ciascun caso l'andamento dei costi al variare del livello della produzione.
Con F(cK, cL) = cF(K,L) i rendimenti sono costanti e i costi medi pure.
Con F(cK, cL) < cF(K,L) i rendimenti sono decrescenti e i costi medi crescenti.
Con F(cK, cL) > cF(K,L) i rendimenti sono crescenti e i costi medi decrescenti.
37) Data la funzione di costo di breve periodo c= 12-q2 di un'impresa in
concorrenza perfetta calcolare il prezzo minimo che consente un profitto positivo.
Stabilire anche il livello minimo di produzione per ottenere un profitto maggiore di
zero.
Si calcola la funzione di costo medio e di costo marginale e si uguagliano a
cercare il livello di produzione che indica il minimo del costo medio (costo
marginale e medio sono uguali solo nel punto di minimo dei costi medi). Il prezzo
corrispondente in ordinata è il prezzo che aggiunto di epsilon infinitamente
piccolo consente un profitto positivo. Con la funzione di costo data non esiste
tuttavia un livello di produzione con costo medio minimo positivo e uguale al
costo marginale. La regola di massimizzazione usuale non funziona.
Se la funzione di costo fosse c= 12+q2 allora Cme=(12/q)+q e Cma=2q. Pertanto
il livello di produzione che uguaglia Cme e Cma sarebbe q=121/2. Sostituendo
nella funzione di costo medio si ottiene il valore minimo del costo medio e il
prezzo di mercato appena sufficiente a un profitto maggiore/uguale a zero.
38) Ricavare analiticamente la quantità di produzione che rende max il ricavo di
un monopolista data la curva di domanda p=20-q.
Dalla funzione di domanda, moltiplicando ambo i membri per q si ottiene la
funzione di ricavo R=20q-q2. Di essa si calcola la derivata prima e si cerca il
valore che la annulla: R’=20-2q=0, da cui q=10. La derivata seconda è R’’=-2<0.
Pertanto per q=10 si ottiene il massimo ricavo pari a 100.
39) Data una curva di domanda con elasticità uguale a 1/2 in un suo punto, dire
se il ricavo aumenta se il prezzo sale o scende del 10%. Provare il risultato.
La curva di domanda nel punto indicato è rigida. Pertanto un aumento del prezzo
del 10% provoca una riduzione della quantità domandata minore del 10%. Il
ricavo aumenta. Per provarlo basta ricordare la definizione di elasticità della
domanda (in modulo):
e=(Dq/q)/(Dp/p); che si può scrivere (Dp/p)e= Dq/q; poiché per assunto 0<e<1 si
ha che Dp/p>/Dq/q; pertanto il ricavo cresce.
40) Nel lungo periodo i costi di produzione sono minimizzati, dato un livello
produttivo, se il rapporto tra i prezzi degli input e il rapporto tra le produttività
marginali sono uguali. Provare.
Il punto di tangenza tra isocosto e isoquanto è la soluzione del problema del
produttore che minimizza i suoi costi, dato un certo livello di produzione. In quel
punto rapporto tra i prezzi (la pendenza della semiretta di isocosto) e la tangente
alla curva di isoquanto che è uguale al rapportotra le produttività marginali sono
uguali. Cosi’ la tesi è dimostrata.
41) A partire dalla definizione di grado di monopolio, mostrare in quale caso
estremo vale il risultato del modello di concorrenza perfetta di uguaglianza tra
prezzo e costo marginale.
La definizione formale di grado di monopolio è:
(p(q)-c’(q))/p(q);
che si può riscrivere, per trasformazioni note (ricavo marginale=costo marginale),
((p(q) – p(q)(1-1/e))/p(q))=1/e
Se il valore dell’elasticità diventa infinito allora il prezzo diventa uguale al costo
marginale e il grado di monopolio si azzera.