ELEMENTI DI GEOMETRIA DESCRITTIVA
44
Il problema della rappresentazione
Il problema fondamentale della rappresentazione è quello di riprodurre, in
un ambiente bidimensionale (foglio da disegno) degli oggetti
tridimensionali. Il disegno dunque, inteso come rappresentazione di uno o
più oggetti, consiste in una trasformazione 3D -> 2D.
2D
3D
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
45
1
Definizioni e proposizioni fondamentali
Introduciamo alcuni concetti fondamentali della geometria proiettiva, che è alla base della
scienza della rappresentazione.
Definizioni
Proposizioni fondamentali
Il punto, la retta ed il piano si dicono
Due punti individuano una retta a cui essi
appartengono
elementi fondamentali
Un insieme di punti, rette, piani dicesi figura o
forma geometrica
Si dice che due elementi si appartengono
quando uno sta sull’altro (o lo contiene)
Due piani individuano una retta a cui essi
appartengono
Tre punti, non appartenenti ad una stessa
retta, individuano un piano a cui essi
appartengono
Tre piani, non appartenenti ad una stessa
retta, individuano un punto a cui essi
appartengono
Un punto ed una retta che non si
appartengono, individuano un piano a cui essi
appartengono
Una retta ed un piano che non si
appartengono individuano un punto cui essi
appartengono
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
46
Forme geometriche fondamentali
Si dicono figure o forme geometriche elementari le seguenti:
Elemento
generatore
Punto
Forme di 1a specie
Forme di 2a specie
Retta punteggiata
Piano punteggiato
Figura formata dai punti
appartenenti ad una retta
Figura formata dai punti
appartenenti ad un piano
Fascio di rette
Stella di rette
Figura formata dalle rette
appartenenti ad uno stesso
piano e ad uno stesso punto
Figura formata dalle rette
dello spazio appartenenti al
medesimo punto
Retta
Forme di 3a specie
Spazio punteggiato
Figura formata
dello spazio
dai
punti
Piano rigato
Figura formata dalle rette
appartenenti ad un piano
Piano
Fascio di piani
Stella di piani
Spazio di piani
Figura formata dai piani che
appartengono
ad
una
medesima retta
Figura formata dai piani dello
spazio
appartenenti
al
medesimo punto
Figura formata dai piani dello
spazio
Le forme fondamentali si dicono di 1a, 2a o 3a specie a seconda che i loro elementi si possano
mettere in corrispondenza biunivoca e continua con gruppi ordinati d 1, 2 o 3 parametri.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
47
2
Legge di dualità nello spazio
Confrontando tra loro le definizioni date nella trasparenza precedente si osserva che ciascuna
di esse, o rimane inalterata, o si muta in una delle altre scambiando tra di loro le parole
punto e piano e lasciando inalterata la parola retta.
Tali forme, che si ottengono l’una dall’altra con tali scambi, vengono dette duali.
Forme di 1a specie
Retta punteggiata
Fascio di piani
Fascio di rette
Forme di 2a specie
Fascio di rette
Stella di piani
Piano punteggiato
Piano rigato
Stella di rette
Forme di 3a specie
Spazio punteggiato
Spazio di piani
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
48
Elementi impropri
Gli elementi impropri sono concetti utili a definire l’intersezione di enti tra loro paralleli. Per
definizione un punto improprio è il punto che appartiene a ciascuna retta di un fascio
di rette parallele. In questo modo due rette qualsiasi si intersecano sempre: l’intersezione
può essere un punto proprio o improprio.
r1
r1
r2
P∞
P
r2
Due rette incidenti si intersecano in un
punto proprio dello spazio.
Due rette parallele si intersecano in un
punto improprio dello spazio.
Analogamente una retta impropria è quella retta che appartiene a ciascun piano di una
fascio di piani paralleli.
Due piani qualsiasi dunque si intersecano sempre:l’intersezione può essere una retta
propria o impropria.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
49
3
L’operazione di proiezione
Introduciamo in questa trasparenza e nella successiva i concetti base della geometria
descrittiva, ossia le operazioni di proiezione e sezione.
Proiezione di un punto da un punto
Proiezione di una retta da un punto
Proiettare da un punto S (detto centro di
proiezione) un punto P significa costruire la
retta (SP), detta retta proiettante (o
proiettante)
Proiettare da un punto S (detto centro) una
retta r significa costruire il piano (Sr), detto
piano proiettante
Proiezione di un punto da una retta
Proiettare da una retta r (detta asse di
proiezione) un punto S significa costruire il
piano (Sr), detto piano proiettante
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
50
L’operazione di sezione
Sezione di un piano con un piano
Sezione di una retta con un piano
Sezionare con un piano π un piano σ significa
costruire la retta di intersezione di σ con π.
Tale intersezione è detta traccia.
Sezionare con un piano π una retta r significa
costruire il loro punto di intersezione. Tale
punto è detto traccia.
π
π
r
σ
Sezione di un piano con una retta
Sezionare con una retta r un piano π significa
costruire il loro punto di intersezione.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
51
4
L’operazione di proiezione su un piano
L’operazione di proiezione di enti geometrici su un piano è molto importante nella scienza
della rappresentazione. Essa consiste nell’applicare, in serie, le operazioni di proiezione e di
sezione.
Proiezione su un piano di un punto da
un punto
Proiezione su un piano di una retta da
un punto
Proiettare da un punto S su un piano π un
punto A significa proiettare prima A da S,
quindi sezionare la retta (SA) con il piano π.
Proiettare da un punto S su un piano π una
retta r significa proiettare prima r da S,
quindi sezionare il piano (Sr) con il piano π.
π
π
A’
r’
A
S
S
r
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
52
Proprietà invarianti delle proiezioni
Ogni operazione che trasforma una figura in un’altra attraverso una proiezione viene detta
trasformazione proiettiva.
L’insieme delle proposizioni geometriche che non sono alterate da trasformazioni arbitrarie
delle figure cui si riferiscono costituisce la geometria proiettiva. L’applicazione dei teoremi
della geometria proiettiva ai problemi di rappresentazione costituisce la geometria
descrittiva.
Se una determinata proprietà K di una figura F si mantiene invariata nella figura proiettata
F’, si dice che tale proprietà è un invariante proiettiva.
Alcune invarianti proiettive sono le seguenti:
1.
se un punto P appartiene ad una retta r, la proiezione P’ di P appartiene ancora alla
proiezione r’ di r (conservazione dell’appartenenza);
2.
se tre punti P, Q ed R sono allineati, allora le loro proiezioni P’, Q’ ed R’ sono ancora
tre punti allineati (conservazione dell’allineamento);
3.
se tre rette r, s e t sono incidenti, allora le loro proiezioni r’, s’ e t’ sono anch’esse
incidenti (conservazione dell’incidenza);
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
53
5
Proprietà non invarianti delle proiezioni
A seguito di un’operazione di proiezione molte proprietà di una figura F non si mantengono
nella figura proiettata F’. Varie proprietà geometriche non sono, in generale, invarianti
rispetto ad una proiezione. In generale non sono invarianti le proprietà in cui interviene il
concetto di parallelismo e quelle in cui interviene il concetto di misura (proprietà
metriche). Alcune proprietà in generale non invarianti sono le seguenti:
1.
il parallelismo;
2.
l’ortogonalità;
3.
le misure di lunghezze e di angoli;
4.
i rapporti tra le misure di lunghezze e di angoli;
5.
L’appartenenza di un punto ad un intervallo (betweenness), come mostrato nella figura
seguente (il punto P appartiene all’intervallo [A,B], ma il punto P’ non appartiene
all’intervallo [A’,B’])
A
C
P
B
π
P’
B’
A’
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
54
Rapporto semplice di tre punti di una retta
Fissati su di una retta r un’origine ed un verso, un segmento LM giacente su di essa si dice
positivo o negativo secondo che un punto che lo descrive andando da L ad M si muova
secondo il verso positivo o negativo della retta .
Il rapporto k = LN/LM viene detto rapporto semplice
C
dei tre punti ed indicato con (LMN).
M
r
s
Dati tre punti LMN, ed altri tre punti L’M’N’, proiezione
dei precedenti secondo il centro C, si può vedere quale
relazione intercede tra i rispettivi rapporti semplici
(LMN) ed (L’M’N’).
N
L
L’
l
Applicando il teorema dei seni si ha:
N’
M’
n
m
LN sen(nl ) LM sen(ml )
=
;
=
CN sen(rl ) CM
sen( rl )
Da cui, dividendo membro a membro:
CN sen(nl )
CN ' sen( nl )
( LMN ) =
; ( L' M ' N ' ) =
CM sen(ml )
CM ' sen(ml )
Si osserva che, in generale, il rapporto semplice non è un invariante proiettiva. Lo
diventa, tuttavia, se il centro di proiezione C diviene improprio.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
55
6
Birapporto di quattro punti di una retta
Fissati su di una retta quattro punti L, M, N, ed O, si definisce birapporto, indicato con
(LMNO) il rapporto tra i rapporti semplici definiti dalle terne (LNO) ed (MNO). Si ha quindi:
( LMNO ) =
C
O
M
r
s
Il birapporto è indipendente dall’unità di misura e
dall’orientamento della retta r, ma dipende
dall’ordine con cui si considerano i quattro punti.
O’ Risulta, infatti:
N
L
L’
l
N’
M’
( LNO ) LO MN
=
( MNO) LN MO
n
o
m
( LMNO) =
1
( LMON )
Il birapporto tuttavia non cambia se si scambiano tra loro due qualunque dei punti
ed in pari tempo anche gli altri due:
( LMNO) = ( MLON ) = ( NOLM ) = (ONML)
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
56
Proprietà del birapporto
Considerata la definizione di rapporto semplice di tre punti su una retta e quella di
birapporto di quattro punti su una retta risulta:
( LMNO)
( LNO) ( M ' N ' O' )  CO CN '  CO' CN 
=
=

 =1
( L' M ' N ' O' ) ( L' N ' O' ) ( MNO)
 CO' CN  CO CN ' 
Tale relazione rappresenta la proprietà fondamentale del birapporto:
Il birapporto di quattro punti su una retta non si altera quando essi si
proiettano da un punto su un’altra retta.
Sussiste pure la seguente proprietà:
Due birapporti i quali differiscano per lo scambio dei primi due punti (o dei due
ultimi) hanno per prodotto l’unità. Infatti si ha:
( LMNO) =
( LNO)
( MNO)
; ( MLNO) =
( MNO)
( LNO)
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
57
7
Teorema di Desargues
Una dei cardini della geometria proiettiva è questo famoso teorema dovuto a Desargues:
se i vertici di due triangoli (DEF) e (D’E’F’) si corrispondono in una proiezione (le rette
congiungenti i vertici concorrono in un unico punto C – centro di proiezione), allora i lati
corrispondenti, prolungati, si incontrano in tre punti allineati (LMN).
Risulta valido anche il teorema duale: se i lati corrispondenti di due triangoli (DEF) e
(D’E’F’), prolungati, si incontrano in tre punti allineati (LMN), allora i vertici dei due triangoli
si corrispondono in una proiezione.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
58
Teorema di Pappo
Un altro teorema fondamentale della geometria proiettiva è presumibilmente ascrivibile al
matematico greco Pappo (vissuto nel III secolo a.C.): se (A, B, C) e (A’, B’, C’) sono due
terne di punti allineati, allora i punti che risultano dall’intersezione dei segmenti AB’ con BA’,
AC’ con CA’ e BC’ con CB’ sono allineati.
C
B
A
A'
B'
C'
Risulta valido anche il teorema duale: se a, b, c e a’, b’, c’. sono due terne di rette
incidenti, r, s, t le rette definite dai punti intersezione rispettivamente delle rette (ac’, ca’);
(ab’, ba’); (bc’,cb’) allora le rette r, s e t sono incidenti.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
59
8
Geometria proiettiva e rappresentazione
Uno degli aspetti particolarmente interessanti della geometria proiettiva è che ad essa è
riconducibile la percezione delle immagini che si ha nella realtà. Il meccanismo di visione
dell’occhio umano è in effetti schematizzabile attraverso uno schema proiettivo in cui il
centro di proiezione è rappresentato dal punto interno all’occhio in cui cristallino e cornea
focalizzano i raggi luminosi, mentre la superficie di proiezione è rappresentata dalla retina
(approssimativamente sferica).
Cornea
Retina
C
Cristallino
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
60
Cenni storici: l’Ottica di Euclide
Il primo tentativo di formalizzare i problemi legati alla rappresentazione è probabilmente
legato alle riflessioni sulle modalità di visione dei matematici Greci, che trovarono
sistemazione nell’opera di Euclide.
Proposizione IV: uguali lunghezze poste su una medesima retta, quelle che si
vedono a distanza maggiore appaiono minori.
Proposizione V: oggetti uguali, ma inegualmente distanti appaiono ineguali e
maggiore quello più vicino all’occhio.
Proposizione VI: rette parallele viste da lontano, appaiono non equidistanti.
Proposizione VI: oggetti uguali posti su di una stessa retta, ma tra loro distanti,
appaiono disuguali.
Da notare che, secondo l’impostazione data da Euclide, il concetto di maggiore o minore
deve intendersi come “visto sotto un angolo maggiore o minore”, ossia le grandezze
sono intese in termini di angoli visivi.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
61
9
Cenni storici: arte romanica
Dopo la fine del mondo classico la scienza della rappresentazione si è evoluta in modo lento,
e senza uno sviluppo sistematico. Le rappresentazioni pittoriche normalmente non affrontano
il problema della resa spaziale.
Paliotto d'altare della Seu d'Urgell con Cristo e gli apostoli,
prima metà sec. XII (Barcellona, Mudeo d’Arte Catalana)
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
62
Cenni storici: il Medioevo
Occorre arrivare ai pittori pre-rinascimentali per trovare i primi tentativi sistematici
di resa spaziale. Il risultato appare come qualcosa di ibrido tra assonometria e prospettiva.
Giotto (1267 - 1337):
Ambrogio Lorenzetti (1290 - 1348):
particolare da San Francesco che
Veduta di città sul mare (Siena,
dona il mantello (Assisi, Basilica
Pinacoteca)
superiore)
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
63
10
Cenni storici: il Rinascimento (1)
Il rinascimento rappresenta il punto di svolta per l’evoluzione delle tecniche di
rappresentazione. Con la messa a punto di regole precise per la rappresentazione del reale
codificate in trattati sistematici, si cerca di superare l’empirismo delle tecniche di
rappresentazione medievali.
In questo studio del Brunelleschi il
problema della rappresentazione
dello
spazio
viene
risolto
intersecando i raggi proiettanti,
passanti per il punto di vista, con il
piano di riquadro, e utilizzando, a
questo scopo, la pianta e l’alzato
dell’elemento da rappresentare.
Si tratta, in pratica, dell’esecuzione
della prospettiva attraverso il
metodo di intersezione.
Filippo Brunelleschi (1377 - 1446): studio del
battistero (Firenze)
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
64
Cenni storici: il Rinascimento (2)
Leon Battista Alberti (1404 - 1472) semplifica la costruzione prospettica introducendo il
metodo che oggi chiamiamo del punto di distanza.
Si basa sulla convergenza verso un punto di fuga unico di tutte le rette perpendicolari al
piano della rappresentazione e la progressiva diminuzione delle dimensioni apparenti degli
elementi al crescere della loro distanza, da valutarsi attraverso la costruzione di un punto
laterale detto punto di distanza. Il metodo abbreviato forniva un criterio per la costruzione
della prospettiva molto efficace e fu utilizzato dagli artisti dell’epoca per mettere in scorcio
una pianta quadrettata o per realizzare un vero e proprio reticolo spaziale di riferimento per
la realizzazione della prospettiva .
Leon Battista Alberti Prospettiva
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
65
11
Cenni storici: il Rinascimento (3)
Il De prospectiva pingendi (1475) di Piero della Francesca (1416 ca. - 1492) costituisce
il primo trattato organico della prospettiva rinascimentale. La rappresentazione figurativa è
riferita a un sistema di leggi e procedimenti matematici che devono consentire una verosimile
traduzione dello spazio attraverso opportune deformazioni prospettiche avvertite dall’occhio
umano.
Mentre l’Alberti aveva concentrato la sua attenzione nel rappresentare sul piano del dipinto
figure sul piano del pavimento, Piero affrontò il problema di dipingere nel piano oggetti
tridimensionali.
Piero
della
Francesca
Flagellazione (Urbino, Galleria
nazionale delle Marche)
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
66
Cenni storici: il Rinascimento (4)
In questa stampa di Albrecth Dürer (1471 - 1528) è ben esemplificato il concetto di
proiezione che sta dietro alle tecniche di rappresentazione. I raggi di luce che vanno dalla
scena all’occhio costituiscono una proiezione intersecando il quadro.
Albrecht Durer Disegnatore della donna sdraiata
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
67
12
Cenni storici: il cinquecento ed il seicento. Dalla pittura
alla matematica.
È a partire dal XVI secolo che le tecniche di rappresentazione passano da un piano tecnicopittorico ad un piano teorico-matematico.
Guidobaldo dal Monte (1545 - 1607) pubblica nel 1600 un trattato sulla prospettiva
(Perspectivae Libri VI). Riprende in esame le tecniche utilizzate dagli artisti per arrivare ad
interessanti astrazioni. Pare che sia stato il primo a dimostrare che: la proiezione centrale di
un fascio di rette parallele è costituita da un fascio di rette concorrenti in un punto; più fasci
di rette parallele tra loro e tutte parallele allo stesso piano hanno i “punti in concorso” sulla
stessa retta
Girard Desargues (1591 - 1661) è stato uno dei massimi teorizzatori della geometria
proiettiva. Per teorizzare sul piano geometrico le tecniche della prospettiva introduce
elementi ideali (punto e retta impropri) compatibili con gli elementi fondamentali della
geometria euclidea (retta e punto).
Blaise Pascal (1623 - 1662) fu studioso notevole di geometria proiettiva. Si ricorda
soprattutto la sua interpretazione delle coniche in chiave proiettiva.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
68
Cenni storici: il settecento e l’ottocento. La geometria
descrittiva
Gaspard Monge (1746 - 1818) è considerato il padre della moderna geometria
descrittiva. Ad egli è dovuto il concetto della doppia proiezione ortogonale, descritto
nella Géométrie Descriptive (1798): presi due piani ortogonali (orizzontale e verticale) si
proietta su questi, ortogonalmente, la figura che si vuole rappresentare riportandone gli
spigoli ed i vertici. Quindi si ruota idealmente uno dei due piani rispetto all’altro e si
rappresentano le relative proiezioni su un unico foglio: la rappresentazione finale dell’oggetto
è quindi contenuta in un’unica tavola.
Jean-Victor Poncelet (1788 -1867), allievo di Monge. I suoi studi sulla geometria
proiettiva, raccolti nel Traité des propriétés projectives des figures (1822), si focalizzarono
sullo studio delle trasformazioni proiettive e delle proprietà invarianti delle figure in seguito a
tali trasformazioni. A lui è dovuta l’introduzione del birapporto di quattro punti su una retta,
che rappresenta appunto l’invariante rispetto ad operazioni di proiezione.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
69
13
Proiezioni centrali e proiezioni parallele
Una importante distinzione, da cui derivano diversi sistemi di rappresentazione, si ha tra
proiezioni centrali e proiezioni parallele.
C
C
Nelle proiezioni centrali il centro di proiezione
si trova ad una distanza finita dal piano di
proiezione
(quadro).
Le
proiettanti
convergono nel centro di proiezione (punto
proprio dello spazio)
Nelle proiezioni parallele il centro di proiezione
si trova ad una distanza infinita dal piano di
proiezione (quadro). Le proiettanti sono tutte
parallele tra loro (convergono in un punto
all’infinito – punto improprio)
Prospettive
Assonometrie e proiezioni ortogonali
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
70
Quadro sinottico delle tecniche di rappresentazione
Proiezioni centrali
(coniche)
Proiezioni parallele
(cilindriche)
Prospettive
Prospettiva frontale
(ad un punto)
Prospettiva accidentale
(a due punti)
Prospettiva razionale
(a tre punti)
Proiezioni ortogonali
(ortografiche)
Assonometrie
Assonometrie
Assonometrie oblique
ortogonali
Isometrica
Dimetrica
Trimetrica
Cavaliera
dimetrica
Cavaliera
isometrica
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
Planometrica
71
14
Metodi di proiezione centrale (prospettiva).
I metodi di proiezione prospettica unificati (UNI EN ISO 5456-4) sono tre, e differiscono
tra loro per la posizione dell’oggetto da rappresentare rispetto al piano di proiezione. In
questa trasparenza è riportata la disposizione denominata posizione speciale, in cui la
faccia principale dell’oggetto da rappresentare è parallela al piano di proiezione.
Essa dà origine alla cosiddetta prospettiva ad un punto. Tutti i contorni e gli spigoli
paralleli al piano di proiezione conservano la loro direzione; tutte le linee perpendicolari al
piano di proiezione convergono al punto di fuga V, coincidente con il punto principale C.
Quadro prospettico
(piano di proiezione)
Punto di vista (centro
di proiezione)
Piano di terra (piano di
base, piano geometrale)
Punto principale
Linea di orizzonte
Punto di stazione (stazione di
osservazione)
Linea di terra (linea
di base)
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
72
Prospettiva a due punti.
Nella prospettiva a due punti l’oggetto da rappresentare è posizionato in modo da avere i
contorni e gli spigoli verticali paralleli al piano di proiezione (posizione
particolare). Tutte le linee orizzontali dell’oggetto convergono nei rispettivi punti di fuga
sulla linea di orizzonte.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
73
15
Prospettiva a tre punti.
Nella prospettiva a tre punti (detta anche prospettiva a quadro inclinato), l’oggetto da
rappresentare si trova in posizione generica (posizione qualunque), non avendo né
contorni, né spigoli paralleli al piano di proiezione.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
74
Metodi di proiezione parallela (assonometria)
L’assonometria può vedersi come un caso particolare della prospettiva con centro di
proiezione improprio. Il disegno di un oggetto, in assonometria, non corrisponde
esattamente alla realtà, poiché in pratica non può mai essere realizzata. Tuttavia le proiezioni
parallele godono di interessanti proprietà che le rendono particolarmente utili nelle
applicazioni (non ultima la rapidità e semplicità di esecuzione).
C
1.
I lati e le facce di un oggetto paralleli
al piano di proiezione si proiettano
secondo la loro grandezza reale.
Lati e facce non paralleli al quadro, una
volta proiettati, subiscono una modifica
delle loro dimensioni effettive.
2.
Segmenti tra loro paralleli si
proiettano ancora in segmenti
paralleli (la relazione di parallelismo è
un’invariante delle proiezioni parallele).
3.
Segmenti tra loro paralleli si riducono, in
proiezione, del medesimo rapporto.
4.
La proiezione è indipendente dalla
distanza dell’oggetto dal quadro.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
75
16
Assonometrie ortogonali ed oblique
Le assonometrie si classificano in ortogonali ed oblique a seconda della direzione che i raggi
proiettanti assumono rispetto al quadro.
Assonometria ortogonale
Assonometria obliqua
d
n//d
d
n
n
Nelle
assonometrie
ortogonali
la
direzione di proiezione è ortogonale
al quadro
Nelle assonometrie oblique la direzione
di proiezione è inclinata rispetto al
quadro
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
76
Rapporti di riduzione nelle assonometrie (1)
In una proiezione assonometrica, in generale, le lunghezze dei segmenti proiettati sono
diverse da quelle originali. Vale tuttavia la relazione che segmenti tra loro paralleli si
riducono, una volta proiettati, del medesimo rapporto. Si può dimostrare che la contrazione
delle
lunghezze
può
essere
Direzione di
Terna obiettiva
calcolata sulla base di tre
proiezione
coefficienti (rapporti di
Uz
riduzione) associati ai tre
Z
Uy
versori
di
una
terna
Y
Piano di proiezione
z
ortogonale.
y
Ux
Associata
una
terna
uz
uy
ortogonale
(terna
X
Terna
obiettiva)
allo
spazio
ux x
assonometrica.
tridimensionale,
la
proiezione assonometrica di
essa costituisce la terna
assonometrica.
Restano definiti i seguenti
rapporti di riduzione:
p=
u
ux
u
; q= y ; r = z
Ux
Uy
Uz
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
77
17
Rapporti di riduzione nelle assonometrie (2)
I rapporti di riduzione sono compresi nell’intervallo [0,1] nel caso di assonometria
ortogonale. Nel caso di assonometria obliqua possono essere maggiori di 1.
Direzione di proiezione
A
B’ = B
A’
Piano di proiezione
π
In figura vediamo come nel caso di proiezione obliqua può aversi A’B’ > AB.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
78
Teorema di Pohlke
Data la direzione di proiezione e l’orientamento della terna obiettiva rispetto al piano di
proiezione è possibile determinare gli assi assonometrici ed i relativi rapporti di riduzione
Viceversa se si tracciano su
un piano tre segmenti ux, uy
ed uz non allineati (assi
assonometrici) uscenti da un
medesimo punto, è sempre
possibile determinare una
direzione di proiezione ed un
sistema di assi ortogonali
(terna obiettiva) con versori
di lunghezza U, le cui
proiezioni coincidono con i
segmenti ux, uy ed uz
(teorema di Pohlke).
Terna obiettiva
Direzione di
proiezione
U
Z
U
z
Y
y
z
U
uz
x
ux x
Piano di proiezione
y
uy
X
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
Terna
assonometrica.
79
18
Classificazione delle assonometrie in base ai rapporti di
riduzione
In base alle relazioni esistenti tra i valori dei rapporti di riduzione nelle assonometrie, si ha la
seguente importante classificazione:
Assonometrie isometriche: tutti i rapporti di riduzione sono tra loro uguali;
Assonometrie dimetriche: due rapporti di riduzione sono tra loro uguali;
Assonometrie trimetriche: tutti i rapporti di riduzione sono tra loro diversi.
Delle varie tipologie di assonometria l’isometrica presenta il vantaggio di non introdurre
contrazioni non uniformi nelle varie direzioni.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
80
Rapporti di riduzione nelle assonometrie ortogonali (1)
Nell’assonometria ortogonale ciascun rapporto di riduzione varia nell’intervallo [0,1]. Inoltre
esiste una relazione che lega l’orientamento della terna obiettiva, descritto dai tre angoli α, β
e γ e gli angoli descritti dagli assi della terna assonometrica (α’, β’ e γ’).
α ' = arccos(− ctgβ • ctgγ );
β ' = arccos(− ctgα • ctgγ );
γ ' = arccos(− ctgβ • ctgα )
β
− cos β '• cos γ '
;
ctgα =
cos α '
ctgβ =
− cos α '• cos γ '
;
cos β '
ctgγ =
− cos α '• cos β '
cos γ '
γ’
α’
α
γ
β’
Date quindi nel piano di proiezione tre rette
orientate che individuano tre angoli la cui
somma è 180°, è possibile individuare
analiticamente la disposizione spaziale della
terna
ortogonale
che,
proiettata
ortogonalmente dà origine ai tre assi
assonometrici.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
81
19
Rapporti di riduzione nelle assonometrie ortogonali (2)
Ne consegue che nelle assonometrie ortogonali gli assi assonometrici ed i rapporti di
riduzione non possono essere scelti ad arbitrio. Esiste una relazione che lega tra loro i
valori dei rapporti di riduzione agli angoli che descrivono l’orientamento della terna obiettiva
(e quindi degli assi assonometrici):
p=
u
ux
u
= senα ; q = y = senβ ; r = z = senγ .
Ux
Uz
Uy
Nell’ipotesi di isometria risulta p = q = r = 1. Sostituendo nelle precedenti equazioni tale
relazione si ottiene che l’unica disposizione degli assi assonometrici che soddisfano l’ipotesi
isometrica è tale per cui:
α’ = β’ = γ’ = 120°,
alla quale corrispondono i rapporti di riduzione:
p = q = r = 0.816.
Convenzionalmente, però, i rapporti di riduzione si assumono unitari nel caso della
assonometria ortogonale isometrica (un cubo di lato 100 viene rappresentato, in proiezione,
di lato 100, e non di 81.6). Ne consegue che l’assonometria isometrica produce un leggero
ingrandimento.
Per quanto concerne, invece, le assonometrie ortogonali dimetriche e trimetriche, esistono
infinite terne possibili di angoli che descrivono l’orientamento della terna obiettiva.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
82
Procedura per ottenere la proiezione assonometrica
La procedura per ottenere la proiezione assonometrica è piuttosto semplice. Note le
coordinate nello spazio dei punti notevoli dell’oggetto, si procede nel modo che segue.
1)
Si sceglie un orientamento degli assi assonometrici tra quelli possibili e
consigliati (a ciascun orientamento è associata una terna di rapporti di riduzione);
2)
si riportano sugli assi assonometrici le coordinate dei punti notevoli dell’oggetto
moltiplicate per i corrispondenti rapporti di riduzione (ovvero si assegna a
ciascun asse la rispettiva scala)
Per convenzione l’asse Z è verticale. Normalmente il piano XY rappresenta il piano
orizzontale, e l’asse Z l’asse delle altezze.
Scala delle altezze
Z
ghezze
elle lun
Scala d
X
Scala
delle
largh
ezze
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
Y
83
20
Assonometria ortogonale isometrica
Nell’assonometria ortogonale isometrica (o semplicemente assonometria isometrica) gli assi
assonometrici sono angolarmente equidistanti. Per convenzione i rapporti di riduzione si
assumono unitari lungo tutti e tre gli assi. Poiché il rapporto reale di riduzione associato
all’ipotesi di isometria è pari a 0.816, tale convenzione fa si che l’oggetto sia rappresentato
in dimensioni leggermente ingrandite (di un fattore pari a 1/0.816 = 1.22) rispetto a
quelle reali. L’assonometria isometrica è di facile esecuzione e di ampio utilizzo.
Z
Z
0°
12
12
0°
ux = 1; uy = 1; uz = 1
ux
uy
uz
120°
Y
X
X
Y
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
84
Assonometria ortogonale dimetrica
Nell’ipotesi di dimetria l’orientamento della terna assonometrica non è univoco.
Normalmente si orientano gli assi in modo tale che l’angolo tra due di essi sia all’incirca lo
stesso, come nell’esempio qui riportato. Questo tipo di assonometria viene utilizzato quando
si vuole mettere in particolare evidenza una delle facce dell’oggetto.
ux = 0.5; uy = 1; uz = 1
Z
Z
X
X
uy
ux
42°
7°
uz
Y
Y
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
85
21
Assonometria ortogonale trimetrica
L’assonometria ortogonale trimetrica non rientra tra quelle previste dalla norma, ed è di
utilizzo raro. Si riporta qui una tra le infinita possibilità di orientamento degli assi
assonometrici ed i relativi rapporti di riduzione.
Z
Z
uz
4°
11
11
0°
ux = 0.695; uy = 0.811; uz = 0.927
uy
ux
136°
Y
X
Y
X
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
86
Assonometria obliqua cavaliera isometrica
Corrisponde ad una disposizione in cui gli assi X e Z sono paralleli al quadro e le proiettanti
sono inclinate di 45° rispetto ad esso. Risulta un significativo effetto di allungamento dei
segmenti paralleli all’asse Y.
Z
Z
ux
135
5°
X
uz
13
90
°
ux = 1; uy = 1; uz = 1
uy
X
°
Y
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
Y
87
22
Assonometria obliqua cavaliera dimetrica
La disposizione degli assi è analoga al caso della cavaliera obliqua isometrica, ma l’effetto di
allungamento lungo l’asse Y è ridotto.
Z
Z
5°
uz
ux
135
X
13
90
°
ux = 1; uy = 0,5; uz = 1
uy
X
°
Y
Y
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
88
Assonometria obliqua cavaliera planometrica
L’assonometria obliqua cavaliera
rappresentare edifici o arredamenti.
planometrica
viene
Z
comunemente
utilizzata
per
Z
135
ux
90°
X
5°
uz
13
°
ux = 1; uy = 1; uz = 2/3
uy
Y
X
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
Y
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23
Normazione
Le rappresentazioni assonometriche sono oggetto di normazione da parte della EN ISO
5456-3. La norma raccomanda l’utilizzo delle seguenti assonometrie:
-l‘assonometria ortogonale isometrica;
-l’assonometria ortogonale dimetrica;
-l’assonometria obliqua cavaliera isometrica;
-l’assonometria cavaliera con rapporto di riduzione uy = 0.5 (ux = uz = 1);
-l’assonometria planometrica.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
90
Elementi di cartografia
La cartografia tratta il problema di rappresentare sul piano, ad una scala
assegnata s, la superficie terrestre. Nelle trasparenze che seguono supporremo, per
semplicità, che questa sia approssimabile con una sfera.
Una rappresentazione ideale dovrebbe avere le seguenti proprietà:
equidistanza: diretta proporzionalità, secondo la scala assegnata, tra elementi
lineari sulla carta ed s. Una carta che possiede questa proprietà si dice equidistante
o lineare.
conformità: uguaglianza tra gli angoli. Una carta che possiede questa proprietà si
dice conforme, o autogonale o isogona.
equivalenza: diretta proporzionalità tra elementi d’area ed s2. Una carta che
possiede questa proprietà si dice equivalente o autalica.
Non essendo il geoide, approssimativamente sferico, una superficie sviluppabile
su un piano, non esiste alcun metodo cartografico che permetta di ottenere le tre
proprietà contemporaneamente.
È possibile costruire carte conformi o carte equivalenti. Simultaneamente ad un delle
due proprietà è pure possibile ottenere l’equidistanza, ma solo su linee assegnate.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
91
24
Sistemi di proiezione cartografica
I sistemi di proiezione cartografica si differenziano in base al tipo di
superficie su cui avviene la proiezione ed in base al fatto che la stessa sia
pura o modificata.
Proiezioni geometriche pure:
proiezioni piane
proiezioni cilindriche
proiezioni coniche
Proiezioni geometriche modificate:
Vengono ottenute dalle rispettive proiezioni pure modificandone i criteri in
maniera tale da contenerne le deformazioni.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
92
Proiezioni piane
Nelle proiezioni piane la terra, viene proiettata su un piano tangente ad
essa. Il centro di proiezione può essere un punto proprio (interno o
esterno) o un punto improprio.
Proiezione prospettica
centrografica
Proiezione prospettica
stereografica
Proiezione prospettica
scenografica
Proiezione parallela
ortografica
La proiezione stereografica è conforme. Tutte le altre sono afilattiche
(cioè né conformi né equivalenti).
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
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25
Esempi di proiezioni piane
Proiezione prospettica
stereografica
Proiezione prospettica
ortografica
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
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Proiezioni cilindriche pure
Nelle proiezioni cilindriche la terra viene proiettata sul cilindro tangente
lungo l’equatore. Ogni punto viene proiettato dal centro della terra. Il
cilindro viene poi tagliato lungo una generatrice e sviluppato su un piano.
La proiezione cilindrica centrale pura è afilattica. Soltanto sul piano
dell’equatore è equidistante.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
95
26
Esempio: proiezione cilindrica centrale pura
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
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Proiezioni coniche pure
Nelle proiezioni coniche la terra viene proiettata sul un cono tangente lungo
il parallelo corrispondente alla latitudine media della fascia da
rappresentare. Ogni punto viene proiettato dal centro della terra. Il cilindro
viene poi tagliato lungo una generatrice e sviluppato su un piano.
La proiezione cilindrica centrale pura è afilattica. Soltanto sul piano di
tangenza è equidistante. Per rappresentare ampie zone si ricorre a sistemi
policonici (unioni di più proiezioni coniche).
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
97
27
Esempio: proiezione conica centrale pura
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
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Proiezioni modificate
Le proiezioni modificate hanno lo scopo di rendere le proiezioni pure o
equivalenti, o conformi, o equidistanti lungo determinate linee. Tra queste
ricordiamo:
la carta di Mercatore;
la proiezione conica conforme di Lambert;
la proiezione conica equivalente di Lambert;
La proiezione conforme di Gauss
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
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28
La carta di Mercatore
La proiezione di Mercatore è una proiezione cartografica cilindrica modificata
analiticamente in modo da renderla conforme. Proposta nel 1569 dal
cartografo fiammingo Gerardus Mercator (italianizzato in Gerardo
Mercatore).
B
A
Linea lossodromica
Un retta tracciata sulla carta che interseca meridiani ad angolo costante
corrisponde ad una curva sulla superficie della terra che interseca meridiani
con lo stesso angolo. Questa linea indica la prora da tenere per spostarsi da
un punto ad un altro sulla superficie terrestre.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
100
Lossodromie e ortodromie
Lossodromia: curva che taglia i meridiani sotto un angolo costante.
Procedendo lungo una lossodromia ci muoviamo a spirale attorno alla Terra.
Ortodromia: curva di minima lunghezza congiungente due punti sulla
superficie terrestre. Coincide con un cerchio di raggio massimo.
*Immagine tratta da: http://web.unife.it/progetti/matematicainsieme/matcart/ortloss.htm
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
101
29
Proiezioni coniche modificate di Lambert
Il matematico svizzero Jean-Henri Lambert introdusse due proiezioni
coniche modificate, qui sotto riportate, che sono, rispettivamente, conforme
ed equivalente.
Proiezione conica
conforme di Lambert
Proiezione conica
equivalente di Lambert
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
102
Proiezione conforme di Gauss
Il grande matematico tedesco Carl Friedrich Gauss introdusse una
corrispondenza biunivoca analitica tra i punti della superficie terrestre e
quelli del piano che soddisfa le seguenti condizioni: 1) è conforme; 2) le
immagini di un meridiano di riferimento e dell’equatore sono rette
e 3) sul meridiano di riferimento la rappresentazione è
equidistante.
Appunti di Disegno Tecnico Industriale
103
30