RELAZIONI DI PROPORZIONALITÀ TRA GRANDEZZE
Giulia Menconi
Richiami di teoria
• Proporzionalità diretta: due grandezze x e y sono direttamente proporzionali se il loro
rapporto è costante, ovvero se trovo una costante k 6= 0 tale che
y
=k
x
• Quando x e y sono direttamente proporzionali, allora posso dire che
y = kx
e che
y
k
ed è vero anche il viceversa: se due grandezze sono in relazione y = kx allora sono direttamente
proporzionali.
x=
• Quando x e y sono direttamente proporzionali, allora x = 0 se e solo se y = 0
• Quando x e y sono direttamente proporzionali, allora se li rappresentiamo come coordinate di
punti su un piano cartesiano, essi sono disposti su una retta che passa per l’origine.
• Quando x e y sono direttamente proporzionali con costante di proporzionalità k, allora
x:y=1:k
e viceversa
• Proporzionalità inversa: due grandezze x e y sono inversamente proporzionali se il loro
prodotto è costante, ovvero se trovo una costante k 6= 0 tale che
xy = k
• Quando x e y sono inversamente proporzionali, allora posso dire che
y=
k
x
x=
k
y
e che
ed è vero anche il viceversa: se due grandezze sono in relazione xy = k allora sono inversamente
proporzionali.
• Quando x e y sono inversamente proporzionali, allora non possono assumere mai valore zero
• Quando x e y sono inversamente proporzionali, allora se li rappresentiamo come coordinate di
punti su un piano cartesiano, essi sono disposti su un ramo di iperbole.
• Quando x e y sono inversamente proporzionali con costante di proporzionalità k, allora
x:k=1:y
e viceversa
Esercizi
1. Considerare i dati nella seguente tabella:
x
y
0
......
(a) Disegnare i dati della tabella su un piano cartesiano
1
1.5
(b) Individuare, se esiste, una legge di proporzionalità diretta o inversa
...... 3
5
......
6
9
che leghi le due grandezze e descriverla con una formula
(c) Completare la tabella con i dati mancanti: è sempre possibile?
2. Considerare i dati nella seguente tabella:
x
y
0
......
...... 2
(a) Disegnare i dati della tabella su un piano cartesiano
1
(b) Individuare, se esiste, una legge di proporzionalità diretta o inversa
1.5
...... 3
9
.....
2
6
0.25
1
12
8
che leghi le due grandezze e descriverla con una formula
(c) Completare la tabella con i dati mancanti: è sempre possibile?
3. Considerare i dati nella seguente tabella:
x
y
0
......
1
.....
8
3
2
5
6
20
3
......
(a) Disegnare i dati della tabella su un piano cartesiano
(b) Individuare, se esiste, una legge di proporzionalità diretta o inversa
che leghi le due grandezze e descriverla con una formula
(c) Completare la tabella con i dati mancanti: è sempre possibile?
...... 9
4. Considerare i dati nella seguente tabella:
x
y
0
......
...... 2
(a) Disegnare i dati della tabella su un piano cartesiano
5
.....
(b) Individuare, se esiste, una legge di proporzionalità diretta o inversa
......
1
5
1
2
6
3
che leghi le due grandezze e descriverla con una formula
25
(c) Completare la tabella con i dati mancanti: è sempre possibile?
.....
1.2
5. Due grandezze x e y soddisfano la relazione:
x:y=4:8
(a) Che puoi dire di
x
y
o di xy? Uno dei due è costante?
(b) Le due grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali? Quale è la costante k
di proporzionalità?
(c) Costruisci una tabella con degli esempi numerici che soddisfino la proporzione
6. Due grandezze x e y soddisfano la relazione:
x:8=4:y
(a) Che puoi dire di
x
y
o di xy? Uno dei due è costante?
(b) Le due grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali? Quale è la costante k
di proporzionalità?
(c) Costruisci una tabella con degli esempi numerici che soddisfino la proporzione
7. Due grandezze x e y soddisfano la relazione:
x:y=1:3
(a) Che puoi dire di
x
y
o di xy? Uno dei due è costante?
(b) Le due grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali? Quale è la costante k
di proporzionalità?
(c) Costruisci una tabella con degli esempi numerici che soddisfino la proporzione
8. Due grandezze x e y soddisfano la relazione:
x:8=1:y
(a) Che puoi dire di
x
y
o di xy? Uno dei due è costante?
(b) Le due grandezze sono direttamente o inversamente proporzionali? Quale è la costante k
di proporzionalità?
(c) Costruisci una tabella con degli esempi numerici che soddisfino la proporzione
9. Quali delle seguenti relazioni sono relazioni di proporzionalità diretta?
y = 5x
y = 3x − 1
y=
15
2x
y=
15x
2
10. Quali delle seguenti relazioni sono relazioni di proporzionalità inversa?
y=
1
5x
y=
2
x
y=
15
2x
y=
15
+7
2x
11. Per fare un regalo 6 amiche spendono 12 euro ciascuna. Quanto avrebbero speso per lo stesso
regalo se fossero state in 5 a pagare?
La proporzione che risolve il problema è
6 : 12 = x : 5
6 : 5 = 12 : x
6 : 5 = x : 12
6 : 12 = 5 : x
12. Compro 6 pacchi di pasta da 1,25 euro l’uno. Quanti pacchi di pasta da 1, 50 euro avrei comprato, spendendo la stessa cifra? La proporzione che risolve il problema è
6 : x = 1, 50 : 1, 25
6 : 1, 50 = 1, 25 : x
x : 1, 50 = 1, 25 : 6
6 : 1, 25 = x : 1, 50
13. Compro una maglietta a prezzo scontato del 40% e pago 28 euro. Quale è il prezzo senza
sconto? La proporzione che risolve il problema è
28 : 60 = 100 : x
28 : 40 = x : 100
28 : 60 = x : 100
28 : 100 = x : 60
14. Con 10 litri di benzina Fabio ha percorso 180 km. Quanti chilometri percorrerà con 18 litri
utilizzando lo stesso mezzo? La proporzione che risolve il problema è
18 : x = 180 : 10
10 : x = 180 : 18
10 : 180 = x : 18
10 : 180 = 18 : x
15. Considerare i seguenti grafici: quali sono relativi a relazioni di proporzionalità diretta o inversa?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)