Il Pricing delle componenti derivative dei prodotti strutturati con metodi basati su trasformate di Fourier: stato dell’arte e prospettive
L’algoritmo Gauss-Lobatto via FFT
Sommario
L’Unbundling dei Prodotti Strutturati
Sommario
Teoria ed Implementazione
• L’Unbundling dei prodotti strutturati
• L’unbundling dei prodotti strutturati
• Il mercato delle Obbligazioni Strutturate in Italia
• Il mercato delle Obbligazioni Strutturate in Italia
• L’Option Pricing via FFT: una sintesi
• L’Option Pricing via FFT: una sintesi
• Un approccio Gauss-Lobatto all’uso delle FFT
• Un approccio Gauss-Lobatto all’uso delle FFT
• L’algoritmo Gauss Lobatto
Prodotti
Strutturati
• L’algoritmo Gauss Lobatto
• Option Pricing con algoritmi Gauss Lobatto
• Option pricing con algoritmi Gauss Lobatto
• Performance nel Pricing e nella Calibrazione
• Performance nel Pricing e nella Calibrazione
Marcello Minenna - Paolo Verzella
Risk Italia 2006 – Milano,110 Ottobre 2006
L’Unbundling dei Prodotti Strutturati
2
3
L’Unbundling dei Prodotti Strutturati
L’Unbundling dei Prodotti Strutturati
Data di
Sottoscrizione
L’Unbundling dei Prodotti Strutturati
La Componente Derivativa
7
Sommario
La Componente Derivativa
RIDUCE
AUMENTA
La Componente Obbligazionaria
La Componente Obbligazionaria
Prodotti
Strutturati
Obbligazioni
Strutturate
9
Obbligazioni
13
10
Obbligazioni Strutturate
14
Componente Derivativa
Data di
Scadenza
6
L’Unbundling dei Prodotti Strutturati
L’Unbundling dei Prodotti Strutturati
Valore Attuale
Componente
Obbligazionaria
5
4
8
Il mercato delle Obbligazioni Strutturate in Italia
• L’unbundling dei prodotti strutturati
• Il mercato delle Obbligazioni Strutturate in Italia
• L’Option Pricing via FFT: una sintesi
• Un approccio Gauss-Lobatto all’uso delle FFT
• L’algoritmo Gauss Lobatto
Obbligazioni Strutturate in Italia
Trend sul Mercato Primario
1995 – sett ‘05
• Option pricing con algoritmi Gauss Lobatto
• Performance nel Pricing e nella Calibrazione
11
12
Stochastic Interest + Linked
15
Callable/Puttable
16
Reverse Convertible
Callable/puttable
Vanilla
Stochastic Interest + Linked
Strutture Pure
Strutture Miste
Sommario
Reverse Convertible
• L’Unbundling di prodotti strutturati
• Il mercato delle Obbligazioni Strutturate in Italia
• L’Option Pricing via FFT: una sintesi
• Un approccio Gauss-Lobatto all’uso delle FFT
• L’algoritmo Gauss Lobatto
• Option pricing con algoritmi Gauss - Lobatto
• Performance nel Pricing e nella Calibrazione
17
L’Option Pricing via FFT: una sintesi
18
L’Option Pricing via FFT: una sintesi
20
Il Metodo Fast Fourier Transform – Implementazione
La “Single Integration Formula”
La “Single Integration Formula”
Carr – Madan (1999)
Carr – Madan (1999)
dove:
19
Caratteristiche Principali
Un solo integrale da calcolare (raddoppia la velocità nei metodi FT-Q)
Miglioramento dell’Accuratezza per un fattore pari ad 1/2
Implementazione FFT
Algoritmi di Quadratura
Il Metodo Fast Fourier Transform – Implementazione
Implementazione FFT
Algoritmi di Quadratura
a
b
a
b
N-C
?
N-C
?
Scelta arbitraria di un parametro “limitante”
21
Algoritmi di Quadratura– Teoria
22
Algoritmi di Quadratura– Teoria
Schemi Newton – Cotes
23
Algoritmi di Quadratura– Teoria
Schemi Newton – Cotes
Sono caratterizzati da una griglia di discretizzazione a punti
fissi ed equispaziati per la funzione caratteristica
24
Algoritmi di Quadratura– Teoria
Newton – Cotes Schemes
Sono caratterizzati da una griglia di discretizzazione a punti
fissi ed equispaziati per la funzione caratteristica
Ciò implica che, se la funzione caratteristica ha un
comportamento regolare
Newton – Cotes Schemes
Sono caratterizzati da una griglia di discretizzazione a punti
fissi ed equispaziati per la funzione caratteristica
Ciò implica che, se la funzione caratteristica ha un
comportamento regolare
Grado Elevato di Interpolazione = Migliore Accuratezza
25
Algoritmi di Quadratura– Teoria
26
Il Metodo Fast Fourier Transform – Il Pricing via Algoritimi di Quadratura
Algoritmi di Quadratura– Teoria
Schemi Newton – Cotes
Schemi Newton – Cotes
Sfortunatamente, la funzione caratteristica è SPESSO una
funzione oscillatoria con sbalzi improvvisi
Grado Elevato di Interpolazione (maggiore dell’8°) =
Instabilità Numerica
Così, SPESSO, gli schemi Newton – Cotes falliscono nel
fornire prezzi stabili ed accurati
29
27
Il Pricing via Algoritmi Newton-Cotes
Regola del Trapezio
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Il Metodo Fast Fourier Transform – Il Pricing via Algoritimi di Quadratura
Il Pricing via Algoritmi Newton-Cotes
Regola di Simpson
Se la funzione caratteristica tende ad infinito, gli schemi
NC ESPLODONO
30
31
32
Il Metodo Fast Fourier Transform – Il Pricing via Algoritimi di Quadratura
Il Metodo Fast Fourier Transform – Il Pricing via Algoritimi di Quadratura
Il Metodo Fast Fourier Transform – Implementazione
Utilizzando la seguente specificazione
parametrica
(parametri ricombinanti)
Utilizzando la seguente specificazione
parametrica
(parametri ricombinanti)
Implementazione FFT
I prezzi Call sono calcolati via Algoritmo
Cooley-Tukey
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Algoritmi di Quadratura – Teoria
Viene utilizzata una scelta ottimale per la griglia di
discretizzazione
a
b
N-C
Gauss
34
Schemi di Gauss
• L’Unbundling di prodotti strutturati
• Il mercato delle Obbligazioni Strutturate in Italia
• L’Option Pricing via FFT: una sintesi
Algoritmi di Quadratura
Algoritmi di Quadratura – Teoria
Sommario
Schemi NC
Schemi NC
• Un approccio Gauss-Lobatto all’uso delle FFT
• L’algoritmo Gauss Lobatto
• L’option pricing con algoritmi Gauss Lobatto
• Performance nel Pricing e nella Calibrazione
35
Algoritmi di Quadratura – Teoria
Schemi di Gauss
36
Algoritmi di Quadratura – Teoria
Schemi di Gauss
Viene utilizzata una scelta ottimale per la griglia di
discretizzazione
Viene utilizzata una scelta ottimale per la griglia di
discretizzazione
I punti di discretizzazione sono scelti in maniera tale da
riprodurre perfettamente una funzione polinomiale
I punti di discretizzazione sono scelti in maniera tale da
riprodurre perfettamente una funzione polinomiale
Esempio: Formula di Quadratura Gauss-Lobatto
LIMITATA
all’intervallo (-1,1)
Schemi differenti corrispondono alla scelta di diversi criteri
di ottimizzazione
37
Algoritmi di Quadratura– Teoria
Impossibile v isualizzare l'immagine.
38
Algoritmi di Quadratura – Teoria
Algoritmi di Quadratura – Teoria
L’Estensione di Gautschi - Gander (2000)
dove
39
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Algoritmi di Quadratura – Teoria
L’Estensione di Gautschi - Gander (2000)
Lo schema Gauss-Lobatto Esteso è
Impossibile v isualizzare l'immagine.
è un polinomio di Legendre di ordine N-1
MIGLIORA
Accurato
la formula Gauss Lobatto
Il lavoro sviluppa un algoritmo GL sia
ricorsivo che adattivo per un intervallo
generico
41
Algoritmi di Quadratura – Teoria
Impossibile v isualizzare l'immagine.
Il Teorema Fondamentale della
Quadratura Gaussiana postula che le
ascisse ottimali di una formula di
quadratura gaussiana a N punti, sono
precisamente le radici del polinomio
ortogonale per il medesimo intervallo e
per la medesima funzione di peso
45
Vediamo come
42
Algoritmi di Quadratura – Teoria
Accuratezza
43
Algoritmi di Quadratura – Teoria
Impossibile v isualizzare l'immagine.
44
Algoritmi di Quadratura – Teoria
I polinomi di Legendre sono funzioni oscillatorie
Impossibile v isualizzare l'immagine.
Accuratezza
Stabile
Impossibile v isualizzare l'immagine.
Stabilità
Incrementare l’ordine di grandezza di N è
spesso utile per riprodurre il decadimento
oscillatorio della funzione caratteristica
Le radici dei polinomi di Legendre sono punti di discretizzazione ottimi
46
I polinomi di Legendre sono funzioni oscillatorie
47
48
Algoritmi di Quadratura – Teoria
Algoritmi di Quadratura – Teoria
I polinomi di Legendre sono funzioni oscillatorie
Impossibile v isualizzare l'immagine.
Il Metodo Fast Fourier Transform – Il Pricing via Algoritimi di Quadratura
Sommario
Il Pricing via Algoritmi Gauss-Lobatto
Impossibile v isualizzare l'immagine.
• L’unbundling dei prodotti strutturati
• Il mercato delle Obbligazioni Strutturate in Italia
• L’Option Pricing via FFT: una sintesi
Anche se grande, N rimane finito, in maniera tale
che gli schemi GL non possono ESPLODERE
quando la funzione caratteristica tende ad infinito
• Un approccio Gauss-Lobatto all’uso delle FFT
• L’algoritmo Gauss Lobatto
• Option pricing con algoritmi Gauss Lobatto
• Performance nel Pricing e nella Calibrazione
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Il Metodo Fast Fourier Transform – Il Pricing via Algoritimi di Quadratura
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Il Metodo Fast Fourier Transform – Il Pricing via Algoritimi di Quadratura
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Il Pricing delle componenti derivative dei prodotti strutturati con metodi basati su trasformate di Fourier: stato dell’arte e prospettive
Sommario
L’algoritmo Gauss-Lobatto via FFT
Il Pricing via Algoritmi Gauss-Lobatto
Teoria ed Implementazione
• L’unbundling dei prodotti strutturati
• Il mercato delle Obbligazioni Strutturate in Italia
• L’Option Pricing via FFT: una sintesi
• Un approccio Gauss-Lobatto all’uso delle FFT
Richiede un opportuno riaggiustamento
• L’algoritmo Gauss Lobatto
dell’algoritmo Cooley-Tukey per poter utilizzare
• Option pricing con algoritmi Gauss Lobatto
una griglia di campionamento variabile
• Performance nel Pricing e nella Calibrazione
Marcello Minenna - Paolo Verzella
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Structured Products Italia 2006 –56
Milano, 10 Ottobre 2006