L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. Front – pagina v Maggio 20, 2013 v Indice Prefazione 9 9.1 9.2 9.3 Per lo studente xv Ringraziamenti xvi Correnti comprimibili non viscose (senza urti) 2 Derivata di un integrale su un intervallo variabile Derivata di un integrale di volume su un dominio variabile 2 Teorema di trasporto di Reynolds: osservazioni 6 Versione alternativa del teorema di trasporto di Reynolds 8 Conservazione della massa Equazione di bilancio della quantità di moto Correnti incomprimibili con densità non uniforme Correnti incomprimibili con densità uniforme 9.5 Conservazione dell’energia Energia totale del fluido Equazione della densità di energia totale Equazione dell’energia specifica interna 9.6 1 Derivata di integrali su domini mobili Ipotesi di corrente incomprimibile 9.4 xiii Equazioni di Eulero per correnti comprimibili Completamento termodinamico Equazioni di Eulero: forma conservativa Equazioni di Eulero: forma quasi lineare Condizioni per le equazioni di Eulero comprimibili Equazione dell’entropia per correnti non viscose 4 10 11 12 9.7 Correnti stazionarie: entalpia ed entalpia totale “Equazione di Bernoulli” per correnti comprimibili Coefficiente di pressione per correnti comprimibili 9.8 9.9 Corrente isentropica lungo una linea di corrente 21 21 23 25 Velocità del suono Condizione sonica e valori critici Il caso del gas ideale politropico 28 29 31 Equazioni dell’acustica 34 Linearizzazione delle equazioni di Eulero Equazioni dell’acustica in un fluido in quiete Velocità del suono e onde acustiche in una dimensione Soluzione delle equazioni di Eulero dell’acustica 9.10 Velocità di propagazione nel fluido comprimibile Equazioni di Eulero in una dimensione Problema agli autovalori e velocità caratteristiche 9.11 Potenziale per correnti comprimibili variabili 34 35 38 42 44 44 45 46 14 “Bernoulli comprimibile” per correnti irrotazionali 48 15 9.12 Potenziale per correnti comprimibili stazionarie 50 16 16 16 17 18 18 18 19 19 20 Equazione del potenziale con linearizzazione Caso del gas ideale politropico: equazione adimensionale Metodo perturbativo 9.13 Correnti subsoniche stazionarie attorno a un cilindro Soluzione mediante separazione delle variabili Rappresentazione del campo di moto Correnti comprimibili non simmetriche portanti 9.14 Corrente subsonica stazionaria attorno a una sfera Soluzione mediante separazione delle variabili Rappresentazione del campo di moto 51 52 53 54 55 58 63 67 69 72 L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. INDICE – pagina vi Maggio 20, 2013 vi 9.15 Equazione delle piccole perturbazioni 9.16 Correnti irrotazionali stazionarie con entropia uniforme 76 11.4 Onda d’urto normale nel gas ideale politropico 121 78 Velocità del gas dopo l’onda d’urto 125 Equazioni per correnti irrotazionali stazionarie Equazioni della velocità per correnti piane Equazioni della velocità per correnti assisimmetriche 79 79 80 9.17 Equazione di Crocco e correnti stazionarie rotazionali Correnti stazionarie rotazionali con entalpia totale uniforme 10 Correnti comprimibili viscose 10.1 Viscosità di un fluido comprimibile Tensore velocità di deformazione Tensore degli sforzi viscosi Fluido viscoso newtoniano Dipendenza della viscosità dalla temperatura 10.2 Equazione di bilancio della quantità di moto Forza di attrito viscoso Forza agente sui corpi rigidi fermi 10.3 Conservazione dell’energia Conducibilità termica e dissipazione viscosa Equazione dell’entropia specifica 10.4 Equazioni di Navier–Stokes per fluidi comprimibili Equazioni in forma conservativa 10.5 Corrente di Newton fra due lastre piane 10.6 Struttura interna viscosa dell’onda d’urto normale Integrazione analitica delle equazioni Caso del gas ideale e con Pr = 3/4 81 82 83 83 84 85 86 88 89 89 92 94 95 96 97 97 99 101 103 103 10.7 Equazioni di Navier–Stokes 108 e stabilità termodinamica 10.8 Forma alternativa delle equazioni 110 per gas ideale politropico 11 Correnti comprimibili, Sistemi di riferimento solidali con una parte di fluido Equazione di Rankine–Hugoniot e adiabatica dell’urto Relazione di Prandtl Equazioni ridotte per correnti 1D isentropiche Ricerca della soluzione similare Caso del gas ideale politropico 126 126 127 130 11.6 Tubo d’urto con gas ideali 132 11.7 Onde d’urto oblique 135 Condizioni di salto in correnti 2D/3D Superficie di contatto Relazioni di salto dell’urto obliquo Caso del gas ideale politropico 11.8 Espansione stazionaria di Prandtl–Meyer Condizioni al contorno e di fine ventaglio Problema in forma adimensionale Il caso del gas ideale politropico Formazione del vuoto 11.9 Urto conico in un gas ideale Equazioni di Eulero in coordinate sferiche Caso del gas ideale politropico Condizioni al contorno sul cono e di salto sull’urto 136 137 138 139 144 145 147 148 151 154 154 156 156 11.10 Forma non differenziale: metodo dei volumi finiti 159 Equazioni di Navier–Stokes in forma non differenziale 162 12 Il problema di Riemann 163 della gasdinamica 12.1 Autovalori e autovettori delle equazioni di Eulero 163 Problema agli autovalori e velocità caratteristiche 164 113 12.2 Non linearità genuina e degenerazione lineare 166 114 12.3 Generalità del problema di Riemann 167 Interpretazione geometrica 169 12.4 Discontinuità di contatto 169 12.5 Equazioni del problema di Riemann 170 12.6 Onde di rarefazione 172 anche con urti 11.1 Relazioni di salto in correnti stazionarie in una dimensione 11.2 Discontinuità di contatto 11.3 Onda d’urto normale 11.5 Onde di rarefazione dipendenti dal tempo 115 116 118 119 120 Formazione del vuoto 173 L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. Front – pagina vii Maggio 20, 2013 vii 12.7 Onde d’urto 174 12.8 Funzioni non lineari del problema di Riemann 177 12.9 Velocità relative limite 177 12.10 Problema di Riemann del gas ideale politropico 179 182 12.11 Problema di Riemann del gas diatomico non politropico 183 12.12 Problema di Riemann per il gas di van der Waals 187 13 Magnetogasdinamica 13.1 Dinamica del campo magnetico e del fluido Equazioni della magnetofluidodinamica Equazioni della magnetofluidodinamica incomprimibile 187 188 189 193 194 194 196 13.2 Equazioni della magnetogasdinamica 196 13.3 Onde magnetogasdinamiche lineari 198 Onde magnetosoniche e onda magnetica di Alfvén 13.4 Correnti magnetogasdinamiche piane Velocità caratteristiche 13.5 Onde con campo magnetico puramente trasversale Autovalore multiplo linearmente degenere Onde magnetoacustiche Derivata fondamentale della magnetogasdinamica se Bn = 0 Onde di rarefazione e curve integrali Onde d’urto Adiabatica di Hugoniot con campo magnetico trasversale Gas ideale politropico 13.6 Onde magnetogasdinamiche generali Discontinuità di contatto Onde di Alfvén Onde magnetoacustiche veloci Onde magnetoacustiche lente 13.7 Onde di rarefazione magnetogasdinamiche Relazioni dell’urto magnetogasdinamico Gas ideale politropico 220 221 223 13.9 Adiabatica di Hugoniot magnetica 223 in forma parametrica Gas ideale politropico Parametrizzazione dell’entalpia specifica Relazioni termodinamiche Funzioni non lineari del problema di Riemann Caso non politropico 13.8 Onde d’urto in magnetogasdinamica 13.10 Problema di Riemann con Bn = 0 Formazione del vuoto Gas ideale politropico 14 Gasdinamica relativistica 14.1 Nozioni preliminari di relatività Grandezze cinematiche Tensore metrico della relatività ristretta Grandezze dinamiche 225 227 228 229 231 231 232 232 233 14.2 Equazioni di Eulero relativistiche 233 Conservazione della massa Quadritensore flusso della densità di energia-momento Equazione di bilancio della quantità di moto Equazione di bilancio dell’energia Equazioni di Eulero relativistiche Equazione dell’entropia in assenza di urti Forma alternativa delle equazioni di Eulero relativistiche 234 234 235 235 236 236 237 199 14.3 Termodinamica del gas ideale relativistico 237 200 Relazioni fondamentali Equazioni di stato Entalpia Velocità del suono 237 238 238 239 201 203 204 205 206 207 208 210 212 212 213 214 216 218 218 14.4 Discontinuità di contatto 240 14.5 Urto normale relativistico 241 Condizioni di salto di Taub Adiabatica di Taub Gas ideale relativistico 242 242 244 14.6 Onda di rarefazione relativistica 245 Equazioni relativistiche con entropia uniforme Soluzioni similari Gas ideale relativistico 245 246 251 14.7 Onda di rarefazione con velocità anche trasversale 252 Soluzioni similari Gas ideale politropico 254 258 14.8 Onda d’urto con componente trasversale della velocità 258 14.9 Equazioni relativistiche in forma conservativa 260 L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. INDICE – pagina viii Maggio 20, 2013 viii 15 Problema di Riemann 263 relativistico 263 15.2 Equazioni relativistiche in forma quasi lineare 265 15.3 Autovalori e autovettori delle equazioni relativistiche 266 15.4 Derivata fondamentale della gasdinamica relativistica 268 15.5 Discontinuità di contatto 269 15.6 Onde di rarefazione 270 15.7 Onde d’urto Condizioni di salto di Taub 15.8 Velocità relative limite 272 273 273 276 15.9 Gas ideale politropico relativistico 278 15.10 Onda di rarefazione con velocità trasversale 281 Ricerca della soluzione similare Discontinuità di contatto Onda di rarefazione 284 285 285 15.11 Onda d’urto con componente trasversale della velocità 286 15.12 Problema di Riemann relativistico 289 con velocità qualsiasi Velocità limite Gas ideale relativistico 295 16.1 Correnti 1D con Bn = 0 e campi u e B perpendicolari 296 relativistica 15.1 Velocità relativa relativistica Formazione del vuoto 16 Magnetogasdinamica 290 291 Soluzioni similari Discontinuità di contatto 297 299 16.2 Onde di rarefazione magnetogasdinamiche 300 Gas ideale relativistico Formazione del vuoto Velocità relative limite 304 304 305 16.3 Adiabatica di Lichnerowicz 305 Onda d’urto con componente trasversale della velocità 310 16.4 Problema di Riemann con Bn = 0 313 16.5 Equazioni generali 314 Equazione del campo magnetico Equazioni per un’onda piana Forma quasi lineare di Giacomazzo e Rezzolla 314 314 315 16.6 Velocità caratteristiche in correnti qualsiasi 318 Caso particolare Bn = 0 319 Appendici A1 Bibliografia A-251 Indice analitico A-255 Tabelle riassuntive L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. Front – pagina ix Maggio 20, 2013 ix INDICE DELLE APPENDICI A Operatori differenziali vettoriali A-1 D D.1 A.1 Sistemi di coordinate ortogonali 1 A.2 Superfici coordinate e linee coordinate Fattori di scala ed elementi differenziali Gradiente 2 Gradiente in coordinate cilindriche e sferiche 7 Divergenza 8 Divergenza in coordinate cilindriche e sferiche 8 Rotore 9 A.3 A.4 A.5 A.6 Rotore in coordinate cilindriche e sferiche A.7 A.8 Laplaciano in coordinate cilindriche e sferiche Operatore laplaciano di un campo vettoriale Coordinate cilindriche Coordinate sferiche A.9 Operatori d’advezione Coordinate cilindriche Coordinate sferiche A.10 Identità differenziali vettoriali B D.2 7 B.2 Superfici e curve equipotenziali 20 Conservatività del campo e topologia del suo dominio 22 B.3 Domini connessi e semplicemente connessi 23 B.4 Condizioni necessarie per la conservatività 24 Potenziale scalare e potenziale vettoriale 27 C C.1 C.2 C.3 Equazioni di Eulero o equidimensionali A-30 Ricerca del cambiamento di variabili Soluzione generale dell’equazione trasformata 30 Soluzione generale dell’equazione equidimensionale 32 32 37 D.4 Concavità e convessità delle relazioni fondamentali 39 Funzioni convesse e concave Concavità della relazione fondamentale entropica Relazioni fondamentali per le grandezze specifiche Concavità della relazione fondamentale specifica Stabilità termodinamica D.5 Variabili intensive ed equazioni di stato Variabili intensive Equazioni di stato D.6 Trasformate di Legendre Trasformata di Legendre Trasformate di Legendre parziali 17 18 36 38 16 Campi vettoriali conservativi Assiomi della termodinamica 34 34 35 Rappresentazione dell’energia 11 B.1 34 D.3 10 Campi vettoriali conservativi A-18 Nozioni preliminari Postulato di Nernst 10 16 16 A-33 Sistema, stati di equilibrio e variabili di stato Relazione fondamentale di un sistema semplice Relazione fondamentale di un sistema multicomponente 4 11 13 Principi di termodinamica D.7 Potenziali termodinamici ed entalpia Potenziale di Helmholtz Entalpia Energia libera di Gibbs 39 40 41 42 42 43 44 45 46 47 49 49 49 50 50 D.8 Calori specifici e coefficienti termodinamici 51 D.9 Velocità del suono 52 D.10 Funzioni omogenee 54 D.11 Indipendenza e compatibilità delle equazioni di stato 56 Proprietà termodinamiche dei fluidi A-59 E E.1 Gas ideale politropico Equazioni di stato Calori specifici Entalpia Velocità del suono Relazioni fondamentali ad libitum 59 60 61 62 62 63 L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. INDICE – pagina x Maggio 20, 2013 x E.2 Gas ideale non politropico 65 Gas atomici Gas molecolari Principio di equipartizione dell’energia Modi di vibrazione della molecola Energia vibrazionale e calore specifico Relazione fondamentale in forma parametrica Velocità del suono E.3 65 65 66 68 68 70 71 Fluido di van der Waals E.5 F 74 75 77 Fluido di Soave–Redlich–Kwong 78 Forma della molecola e fattore acentrico Equazione di stato Relazione fondamentale in forma parametrica 78 79 79 Fluido di Martin–Hou Miscele di gas ideali e di fluidi di van der Waals 80 A-81 F.1 Composizione chimica dell’aria 81 F.2 Composizione di una miscela di gas 81 Frazioni di massa delle specie chimiche Frazioni molari delle specie chimiche Legame fra le frazioni di massa e le frazioni molari F.3 82 82 83 Miscela di gas ideali politropici 83 Gas ideali politropici Ipotesi di Gibbs sulla miscela di gas ideali Relazione fondamentale in forma parametrica Relazione fondamentale per grandezze globali Relazione fondamentale per grandezze specifiche Relazione fondamentale con numero di moli Relazione fondamentale per grandezze molari Equazione di stato della pressione F.4 Miscela di gas ideali non politropici Miscela di soli gas atomici e biatomici F.5 Miscele di fluidi di van der Waals Miscela di gas politropici Relazioni fondamentali dell’entropia della miscela Equazione di stato della pressione Miscela di gas non politropici Costruzione del profilo con curvatura 100 G.3 Convenzioni della notazione NACA 101 G.4 Spessore dei profili alari NACA 101 G.5 Linea media dei profili NACA a quattro cifre 102 G.6 Linea media dei profili NACA a cinque cifre 103 72 Fattore di comprimibilità Caso politropico Caso non politropico E.4 G.2 84 85 86 86 87 87 88 89 H G G.1 Generalità sui profili alari Coefficienti aerodinamici Curve caratteristiche A-104 H.1 Integrale con il coseno 104 H.2 Integrale con il seno 106 H.3 Un utile integrale indefinito 107 I Identità differenziali degli integrali su domini mobili A-108 I.1 Derivata di un integrale su un intervallo mobile 108 I.2 Derivata della circolazione lungo una curva mobile 109 I.3 Derivata del flusso attraverso una superficie mobile 111 I.4 Derivata dell’integrale su un volume mobile 113 I.5 Tabella riassuntiva delle identità differenziali 114 89 91 L Equazioni adimensionali per correnti comprimibili A-115 91 92 94 L.1 A-97 97 98 98 Equazioni di Eulero per correnti comprimibili Procedimento di adimensionalizzazione Equazioni di Eulero adimensionali 95 95 L.2 Profili alari NACA Integrali di Glauert per le equazioni integrali Equazioni di Navier–Stokes per correnti comprimibili Procedimento di adimensionalizzazione Equazioni di Navier–Stokes adimensionali Proprietà dissipative costanti e numero di Prandtl 115 116 118 118 119 120 121 L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. Front – pagina xi Maggio 20, 2013 xi M Equazioni dei fluidi con più componenti A-124 O O.1 M.1 Equazioni di conservazione 124 Equazioni di bilancio delle componenti chimiche Equazione di bilancio della quantità di moto Equazione di bilancio dell’energia totale Equazioni di Navier–Stokes per fluido multicomponente Forze di volume indipendenti dalle specie Equazioni di Eulero per fluido multicomponente Frazioni di massa delle specie chimiche M.3 Forme alternative delle equazioni di bilancio Forma non conservativa delle equazioni Equazione della densità di energia interna 129 M.6 Equazioni per fluido in equilibrio chimico 130 Reazione chimica elementare Modello di un insieme di reazioni chimiche M.8 Miscela di gas ideali reagenti in equilibrio Dissociazione omonucleare ed eteronucleare Conservazione dei costituenti atomici Legge di azione di massa e composizione di equilibrio Equazioni di stato N N.1 Correnti rotanti e strato limite di Ekman P.1 P.2 P.3 133 134 134 T 138 N.3 Corrente instazionaria di spin-down 142 167 A-168 Descrizione dello strumento 168 Correnti incomprimibili 169 Correnti comprimibili Legame fra tensori degli sforzi e delle deformazioni 169 170 171 173 173 173 174 A-177 177 T.2 Teorema del legame lineare fra tensori simmetrici 178 Dimostrazione del teorema Dettagli della dimostrazione Interpretazione geometrica T.3 Strato limite di Ekman 162 163 164 Relazione lineare fra grandezze tensoriali A-136 N.2 162 T.1 135 137 137 154 156 161 Equazione delle onde in dimensione n = 2 Tubo di Pitot 145 147 150 153 154 Corrente subsonica Corrente supersonica 131 132 Equazione delle onde in dimensione n = 3 Presa di pressione anteriore (pressione totale) Presa di pressione laterale (pressione statica) Effetti dovuti alla geometria Errori di allineamento 130 Equazioni per corrente stazionaria 136 in un sistema rotante Equazioni della corrente inviscida Equazioni della corrente viscosa P 130 131 131 145 Onde in una membrana elastica Onde sulla superficie di un liquido Risoluzione dell’equazione delle onde in dimensione n = 2 Problema di Cauchy–Dirichlet 127 127 M.5 Flussi delle specie chimiche e flusso di calore M.7 Reazioni chimiche O.3 127 128 Equazione delle onde in dimensione n = 1 Onde sonore in un gas Risoluzione del problema di Cauchy Problema di Cauchy–Dirichlet 126 M.4 Termodinamica della miscela ideale Equazioni di Navier–Stokes comprimibili per fluido multicomponente Equazioni di Eulero per fluido multicomponente O.2 125 126 M.2 Conservazione della massa totale 126 A-145 Equazione della corda vibrante Risoluzione del problema di Cauchy Risoluzione del problema di Cauchy–Dirichlet Vibrazioni di una corda con estremi fissi 124 124 125 125 Equazione delle onde T.4 V V.1 178 179 181 Legame sforzo–velocità di deformazione nei fluidi newtoniani Legame sforzo–deformazione nei solidi elastici Gas ideale diatomico vibra-dissociante 182 182 A-184 Livelli energetici della molecola biatomica e potenziale di Morse 184 L. Quartapelle e F. Auteri: FLUIDODINAMICA. INDICE – pagina xii Maggio 20, 2013 xii V.2 V.3 Rotazione molecolare e limite classico Contributo al calore specifico della vibra-dissociazione Contribuo della vibra-dissociazione all’entropia specifica V.4 Condizione di equilibrio per la dissociazione Determinazione della dissociazione V.5 V.6 Calore specifico e velocità del suono del gas vibra-dissociante Derivata fondamentale della gasdinamica V.8 V.9 S.2 190 S.3 Problema di Riemann V.10 Stati di Morse multipli RV Gas ideale diatomico roto- 191 W 195 W.1 198 199 W.2 200 202 Equazione fondamentale in forma adimensionale parametrica Adimensionalizzazione dei valori critici 230 230 Calore specifico e velocità del suono 231 231 232 232 W.4 Onde d’urto 233 W.5 Equazione di van der Waals modificata secondo Serrin 234 A-208 Transizione di fase liquido gas e curva di coesistenza 236 208 210 212 217 Y Y.1 Y.2 Y.3 218 RV.8 Problema di Riemann 221 Formazione del vuoto 222 Y.4 A-223 223 224 Termodinamica del gasplasma ideale idrogeno A-237 Modello di reazione con dissociazione e ionizzazione 237 Composizione del gas con dissociazione e ionizzazione 238 Dissociazione e ionizzazione all’equilibrio 238 Funzioni di partizione 240 Funzione di partizione della molecola idrogeno Funzione di partizione dell’atomo di idrogeno Funzioni di partizione del protone e dell’elettrone RV.7 Onde di rarefazione e onde d’urto 219 Coefficiente di dissociazione 229 204 RV.6 Proprietà termodinamiche del gas roto-vibra-dissociante Gas biatomici eteronucleari e parametro di sbilanciamento Fluido reale biatomico con gradi di libertà roto-vibratori 233 217 S.1 A-229 Onde di rarefazione RV.5 Relazione fondamentale in forma parametrica Gas ideale biatomico eteronucleare sbilanciato Fluido biatomico di van der Waals 227 W.3 214 S Termodinamica del gas biatomico 226 eteronucleare sbilanciato 203 RV.4 Contributo roto-vibrazionale al calore specifico Derivata fondamentale della gasdinamica 225 Velocità del suono Calore specifico a pressione costante Dilatazione termica e comprimibilità isoterma vibra-dissociante RV.1 Livelli di energia della molecola roto-vibra-dissociante RV.2 Funzione di partizione interna con roto-vibra-dissociazione RV.3 Equilibrio della dissociazione 224 Confronto delle velocità del suono Onde di rarefazione e onde d’urto 201 Formazione del vuoto Equilibrio per una dissociazione eteronucleare sbilanciata Frazioni di massa 189 Energia ed entropia della miscela 196 ideale diatomica–atomica Equazioni di stato del gas 197 diatomico vibra-dissociante Dati relativi ad alcuni gas diatomici V.7 186 Equazioni di stato del modello gas-plasma idrogeno Calore specifico e velocità del suono del gas-plasma idrogeno 240 241 242 243 245 Y.5 Onde di rarefazione e onde d’urto 246 Y.6 Problema di Riemann Formazione del vuoto 248 249
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