Gerberto e il
de Mensura Fistularum
Costantino Sigismondi
[email protected]
16 maggio 2006
Giornata Gerbertiana
Istituto Nazareth
Musica e Quadrivio
• La musica sta all’aritmetica come
l’astronomia sta alla geometria
Teoria musicale nei secoli
• Tradizione pitagorica ripresa nel periodo
ellenistico: su incarico di Aristotele (384-322 a.
C.) Aristosseno scrisse la storia della musica
andata perduta
• Cicerone (100-43 a.C.) tratta alcuni argomenti
nel Somnium Scipionis, ripresi da Posidonio
(135-51 a.C.). Macrobio lo commenta nel IV sec.
d. C.
• Calcidio enciclopedista del IV sec. d. C. nel
commento al Timeo ne tramanda i temi al
medioevo
• Boezio (480-525 d. C.) lascia il De Institutione
Musica
L’organo idraulico
• Inventato ad Alessandria da Ctesibio (II
sec. a. C.)
• Trovato un esemplare in uno scavo in
Ungheria
• Il peso dell’acqua serviva a mantenere in
pressione l’aria che poi fluiva attraverso le
canne
La scala Pitagorica
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Sul monocordo
Armonica fondamentale lunga L (es. do, ut)
Quinta 2/3 L (es. do – sol)
Quarta 3/4 L (es. do – fa)
Tono (da fa a sol) 8/9 L
Semitono (diatonico es. mi - fa) 243/256 L
fattore per passare da 64/81=(8/9)² (do – re
e re- mi, una terza maggiore) a 3/4 (do – fa)
Suoni Armonici
• Sul monocordo sono tutti i sottomultipli
secondo numeri interi della corda vibrante
• Nel flauto si ottengono soffiando con forza
crescente, in modo che nel tubo si
instaurino 1, 2 e 3… oscillazioni complete
a frequenze 1, doppia, tripla… della
fondamentale
Scala di Calcidio
La x 256/243
Si b x 9/8
Do x 1
Re x 8/9
Mi x 8/9
Fa x 243/256
Sol x 8/9
La x 8/9
Si b x 243/256
Do x 8/9
1.1852
1.125
1
0.8888
0.7901
0.75
0.6666
0.5926
0.5625
0.5
384
364 ½
324
288
256
243
216
192
Tabella di Michel Huglo sulla derivazione dei numeri
musicali di Calcidio e Boezio dalle serie di 2^n e 3^n
Scala di Gerberto
(minore naturale)
La x 9/8
Si x 256/243
Do x 1
Re x 8/9
Mi x 8/9
Fa x 243/256
Sol x 8/9
La x 8/9
Si x 8/9
Do x 243/256
1.1852
1.0535
1
0.8888
0.7901
0.75
0.6666
0.5926
0.5267
0.5
384
341 1/3
324
288
256
243
216
192
Equazione dell’Arpa a corde di uguale densità lineare e uguale tensione
Correzione di Bocca
End Correction
per le canne d’organo
• In una canna cilindrica di diametro d e
lunga L risuona in modo stazionario
un’onda sonora di lunghezza
λ=L+0.6·d
• Se la canna ha una apertura a tromba
λ=L+0.85·d
Dalle corde pitagoriche
alle canne d’organo
• Per canne con lo stesso diametro si applica la
correzione di bocca che è indipendente dalla
frequenza del suono (nota suonata)
• Queste correzioni sono necessarie per
mantenere l’intonazione
• Se la canna di 384 unità suona il La1,
λLa1 =384+0.6·d
• Per L=192 unità non suona il La2, ma una nota
leggermente più bassa, poiché
λLa2= λLa1/2= 384/2 - 0.3·d + 0.6·d
Lunghezza effettiva 0.6·d/2
della canna per il La2
Diametro 27.85 e stessa intonazione del Monocordo col La1 = 384
Le canne sono in colore rosso, sempre più corte delle corde
Rapporti tra le ottave
(per il monocordo sempre=2)
La1/La2
Si1/Si2
Do1/Do2
Re2/Re3
Mi2/Mi3
Fa2/Fa3
Sol2/Sol3
La2/La3
Si2/Si3
Do2/Do3
2.095326
2.108759
2.115011
2.13129
2.150153
2.159462
2.183065
2.210742
2.243531
2.259916
Da un’ottava all’altra
il rapporto aumenta in media
del ~ 6.25%
• Gerberto considera il passaggio da un
fattore 13 + ½ ad uno di 14 + 1/3 +3/288
dall’ottava inferiore alla superiore,
entrambi fissati per tutte le note
• Ciò corrisponde ad un aumento fisso del
6.25%.
L’accordo tra il moltiplicatore di
Gerberto e la correzione di bocca
moderna si trova con canne La1 di
rapporto
Ø/L = 1:13.79
La nomenclatura musicale usata
è di poco posteriore a Gerberto
• È di Guido d’Arezzo (1032),
dall’inno a San Giovanni
Soprano: Erminia Santi
Bibliografia
• Gerbertus de Mensura Fistularum, Madrid
Biblioteca Nacional, ms 9088
• K. J. Sachs, Mensura Fistularum,
Stuttgart-Murrhardt, 1970-1980
• C. Meyer, Gerbertus Musicus, in Gerbert
l’Européen, Actes du Colloque d’Aurillac
Mem. Soc. La Haute-Auvergne 3 (1997)
pp. 183-192
• R. A. Serway, Physics for Scientists and
Engineers, Saunders College Pub.
Philadelphia,1992 p. 489-490
• L. E. Kinsler et al., Fundamental of Acoustics,
John Wiley & Sons, NY, 2000 p. 274
• D. E. Hall, Musical Acoustics, Brooks Cole, CA
USA, 2002, p. 234
• F. G. Nuvolone, Gerberto Musico, Archivum
Bobiense Studia V (2005)
• In italiano: A. Frova, La Fisica della Musica,
Zanichelli BO (1999)