INDICE
•I VALORI MEDI
•LA MEDIA GEOMETRICA
•LA MEDIA ARITMETICA
•LA MEDIA QUADRATICA
•LA MEDIA ARMONICA
•LA MODA O VALORE MODALE
•LA MEDIANA
•I VALORI EQUIDISTANTI DAGLI
ESTREMI
I VALORI MEDI
Concetto e tipi di medie
Si può chiamare media di una distribuzione x1,
…., xn, rispetto a una funzione f(x1 , …., xn),
quella quantità m che sostituita alle xi nella
funzione lascia invariato il risultato.
In statistica si distinguono due tipi di medie:
-medie di calcolo (sono quelle che si calcolano
tenendo conto di tutti i valori della
distribuzione);
-medie di posizione (sono quelle che si
calcolano tenendo conto solo di alcuni valori).
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MEDIA
ARITMETICA
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Si definisce media aritmetica di più numeri quel
valore che, sostituito ai dati, lascia invariata la
loro somma.
Esistono due tipi di medie aritmetiche:
x1  x2  ...  xn
-semplice: M=
n
x1 * y1  x2 * y2  ...  xn * yn
-ponderata: M=
N
Dove “n” è uguale al numero di caratteri
mentre “N” è uguale alla sommatoria delle
frequenze (yi ).
LE PROPRIETA’ DELLA
MEDIA ARITMETICA
L’uso frequente della media aritmetica deriva dal
fatto che essa gode di alcune proprietà
fondamentali:
•La somma degli scarti positivi della media è
uguale a quella degli scarti negativi, e quindi la
somma algebrica di tutti gli scarti (positivi e
negativi) è uguale a zero.
Definiamo scarto lineare la differenza tra ogni xi e
la media M.
•La somma dei quadrati degli scarti della
distribuzione dalla media aritmetica è minore della
somma dei quadrati degli scarti da qualsiasi
numero.
•Proprietà traslativa: Aggiungendo (o
sottraendo)a tutti i valori xi la stessa quantità K, la
media risulta incrementata o ridotta di tale
quantità.
•Moltiplicando o dividendo tutti i valori xi per una
stessa quantità H, diversa da zero, la media risulta
moltiplicata o divisa per tale quantità.
LA MEDIA
GEOMETRICA
Si definisce media geometrica dei valori x1, x,2 …,
xn, quel numero G che sostituito ai valori xi lascia
invariato il prodotto.
x1 * x2 * … * xn = G*G*…*G=Gn
Da cui si ricava:
G=
G=
n
N
x1 * x2 * ... * x n
y1
y2
x1 * x2 * ... * xn
yn
LE PROPRIETA’ DELLA
MEDIA GEOMETRICA
1° Proprietà: moltiplicando (o dividendo) tutti i
valori xi per una stessa quantità h, maggiore di 0,
la media geometrica risulta moltiplicata (o divisa)
per tale quantità.
2° Proprietà: il reciproco della media geometrica
è uguale alla media geometrica dei reciproci delle
xi
LA MEDIA
QUADRATICA
La media quadratica è uguale alla radice quadrata
della media aritmetica dei quadrati dei valori dei
dati.
x1  x2  ... xn
Q
n
2
2
2
MEDIA
ARMONICA
La media armonica A è quel valore che sostituito
ai dati mantiene invariata la somma dei reciproci.
•Semplice:
A 
n
i n

i 1
1
xi
Se i valori hanno i pesi cioè le yi la formula è di
conseguenza :
i n
A 

yi

yi
xi
i 1
i n
i 1
LA MODA O
VALORE MODALE
Si dice moda o valore modale di una
distribuzione di frequenze il valore della
variabile alla quale corrisponde la massima
frequenza.
Se i dati sono raggruppati in classi possiamo
distinguere due casi :
•Se la classe ha un’ampiezza costante si dirà
classe moda quella che ha la frequenza più alta;
Se invece le classi sono con ampiezze differenti
una dall’altra dobbiamo:
Calcolare l’ampiezza di ogni classe;
Dividere ogni peso per la corrispondente
ampiezza.
A questo punto al rapporto più alto corrisponde
la classe modale.
LA MEDIANA
Data una distribuzione ordinata in ordine
crescente chiamiamo mediana il valore che
bipartisce la distribuzione
Nella mediana possiamo distinguere tre
casi:
Vai avanti per scoprirlo
•Dato un’insieme di valori Xi ordinati, se n dei
termini è dispari il valore della mediana
corrisponde al valore centrale; se n è pari il
valore della mediana è la semisomma dei due
valori centrali
•Se abbiamo una distribuzione con valori
discreti, occorre allora calcolare la frequenza
assoluta cumulata e determinare quale valore
corrisponde:
in

i 1
2
yi
Nel caso delle distribuzioni di frequenza con
valori raggruppati in classi, si determina la
classe mediana utilizzando il metodo delle
frequenze cumulate.
Una proprietà caratteristica della mediana è: la
mediana rende minima la somma dei valori
assoluti assoluti degli scarti, cioè la somma dei
valori assoluti degli scarti della mediana non è
superiore alla somma dei valori assoluti degli
scarti da qualunque altro valore.
Accanto al valore mediano si considerano il
primo quartile e il terzo quartile.
Il primo quartile è il valore che supera un
quarto dei termini ed è superato da tre dei
valori.
Il terzo quartile è il valore che supera di tre
quarti dei termini ed è superato da un quarto
dei termini.
VALORI
EQUIDISTANTI
DAGLI ESTREMI
In una distribuzione statistica si dice valore
equidistante dagli estremi, il valore ottenuto
facendo la semi somma dell’osservazione più
piccola e di quella più grande:
x1  xn
Ve 
2